Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
630. {EFP – прямоугольный. Заполните пропуски EF 2 ? ... 2 + ... 2 ;2) EP 2 ? ... 2 – ... 2 631. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны) 6 см и 8 см 2) 12 см и 35 см Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны) 5 см и 12 см 2) 8 см и 15 см Найдите неизвестный катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны) 17 см и 8 см 2) 26 см и 10 см Найдите неизвестный катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны) 25 см и 7 см 2) 41 см и 40 см ??????? 635. Две большие стороны прямоугольного треугольника равны 7 см и 5 см. Найдите его наименьшую сторону Две меньшие стороны прямоугольного треугольника равны 2 см и 3 см. Найдите его наибольшую сторону Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Найдите его диагональ. 638. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из его сторон – 12 см. Найдите другую сторону прямоугольника Боковая сторона равнобедренного треугольника равна см, а высота, проведенная к основанию, – 12 см. Найдите основание тре уголь ника. Рис. 178 125 ??????? ????????????? ????????????? 640. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, – 15 см. Найдите боковую сторону треугольника. Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Найдите его сторону Сторона ромба равна 13 см, а одна из его диагоналей – 10 см. Найдите вторую диагональ ромба Диагональ квадрата равна см. Найдите его сторону. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 8 см. Найдите длину медианы, проведенной к большему катету Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и см. Найдите длину медианы, проведенной к меньшему катету Из точки A к окружности с центром O проведена касательная точка касания. Найдите длину отрезка AO, если OB ? 2 см, AB ? 7 см Из точки M к окружности с центром O проведена касательная точка касания. Найдите длину отрезка PM, если OP ? 3 см, OM ? 6 см Является ли прямоугольным треугольник со сторонами) 15; 20; 25; 2) 4; 5; 6? 649. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами) 5; 6; 9; 2) 16; 30; 34? 650. В окружности, радиус которой равен 13 см, проведена хорда длиной 10 см. Найдите расстояние от центра окружности доданной хорды. 651. В окружности проведена хорда длиной 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от ее центра до хорды равно 6 см ??????? 652. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и см. Найдите третью сторону (рассмотрите все случаи. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и см. Найдите третью сторону (рассмотрите все случаи). 654. Катеты прямоугольного треугольника относятся как : 24, а гипотенуза равна 50 см. Найдите периметр треугольника Катет относится к гипотенузе как 8 : 17. Найдите периметр треугольника, если второй катет равен 30 см 126 ????? 3 656. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунках 179– 182. 657. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунках 183 и 184. Рис. 179 Рис. 180 Рис. 181 Рис. 182 Рис. 183 Рис. 184 658. Один из катетов прямоугольного треугольника равен см, а другой на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника. Один из катетов прямоугольного треугольника равен см, а гипотенуза на 1 см больше другого катета. Найдите периметр треугольника В треугольнике тупой, A BC ? 39 см, AB ? 17 см – высота треугольника см. Найдите AC. 661. BK – высота треугольника, у которого ?C – тупой. AB ? 20 см, BC ? 13 см, CK ? 5 см. Найдите В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 5 см и делит ее на два отрезка так, что прилежащий к вершине равнобедренного треугольника отрезок равен 12 см. Найдите основание треугольника. Высота ВК равнобедренного треугольника А) делит сторону А на отрезки АК ? 24 см и К ? 1 см. Найдите основание треугольника Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 8 см и 10 см и одна из них перпендикулярна сто- роне. 665. Радиус окружности, описанной около тупоугольного равнобедренного треугольника, равен 37 см, а его основание см. Найдите боковую сторону треугольника. Высота равнобедренного остроугольного тре уголь ника, проведенная к основанию, равна 18 см, а радиус окружности, описанной около него, – 13 см. Найдите боковую сторону тре уголь ника. 667. Постройте отрезок, длина которого равна см Постройте отрезок, длина которого равна см Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 10 см и 26 см. Найдите периметр треугольника Биссектриса прямого угла треугольника делит гипотенузу на отрезки, которые равны 15 см и 20 см. Найдите периметр треугольника. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит катет на отрезки 2 см и 10 см. Найдите периметр треугольника Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны см и 8 см. Найдите среднюю линию трапеции Равнобокая трапеция с основаниями a и b описана около окружности. Докажите, что ее высота равна Отношение боковой стороны к основанию равнобедренного треугольника равно 5 : 8, а разность отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, равна 3 см. Найдите периметр треугольника Боковая сторона равнобедренного треугольника на 5 см меньше основания. Отрезки, на которые биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, относятся как 5 : 3. Найдите периметр треугольника. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30?. Найдите медиану этого треугольника, проведенную к гипотенузе, если сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Окружность радиуса 3 см вписана в ромб. Один из отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба, равен 9 см. Найдите периметр ромба. Трапеция вписана в окружность так, что диаметр окружности является ее большим основанием, а отношение оснований равно 2 : 1. Найдите углы трапеции ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 679. Проведите прямую m. Отметьте точку A на расстоянии 2 см и точку B на расстоянии 3 см от прямой m. 680. Проведите прямую a и отметьте не принадлежащую ей точку B. 1) Проведите перпендикуляр BK к прямой a. 2) Проведите отрезок BM, где M – некоторая точка прямой) Сравните длины отрезков BK и BM. 681. Проведите параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см ??????? ??? ????????? 682. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника. Пусть AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой (рис. 185). Точку H называют основанием перпендикуляра AH. Пусть K – произвольная точка K прямой a, отличающаяся от H. Отрезок называют наклонной, проведенной из точки A к прямой, а точку K основанием наклонной. Отрезок HK называют K проекцией наклонной AK напрямую Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной ? ?????????, ?? Рис. 185 129 ??????? ????????????? ????????????? 1. ?????????????, ??????????? ?? ????? ? ??????, ?????? ????? ?????????, ??????????? ?? ???? ????? ? ???? Действительно, в прямоугольном треугольнике катет, AK – гипотенуза (рис. 185). Поэтому AH < AK. 2. ???? ??? ?????????, ??????????? ? ?????? ?? ????? ?????, ?????, ?? ????? ? ?? Пусть из точки A к прямой a проведены наклонные AK и AM (AK (( ? AM) и перпендикуляр AH (рис. 186). Тогда ? {AHM (по катету и гипотенузе, поэтому HK ? Рис. Верно и обратное утверждение. ???? ???????? ???? ?????????, ??????????? ?? ????? ? ??????, ?????, ?? ????? ? ???? ?????????. {AHK ? {AHM (по двум катетам, поэтому AK ? рис. 186). 4. ?? ???? ?????????, ??????????? ?? ????? ? ??????, ??????? ???????? ??, ? ??????? ?????? Пусть AK и AL – наклонные, HK > HL рис. Тогда AK 2 ? AH 2 + HK 2 (из {AHK), AL 2 ? AH 2 + HL 2 (из Но HK > HL, поэтому AK 2 > AL 2 , следовательно, AK > Свойство справедливо ив случае, когда точки K и L лежат на прямой по одну сторону от точки Верно и обратное утверждение. ?? ???? ?????????, ??????????? ?? ????? ? ??????, ??????? ????????? ????? ??????? ????????. 130 ????? Пусть AK и AL – наклонные, AK > AL рис. Рис. Тогда HK 2 ? AK 2 – AH 2 (из {AHK), HL 2 ? AL 2 – AH 2 (из Но AK > AL, поэтому HK 2 > HL 2 , следовательно, HK > Задача 1. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции – 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол Решение. Пусть на рисунке 187 AL ? 10 см, HL ? 6 см, ? AKH ? 30?. 1) Из {AHL: (см) Из {AHK по свойству катета, противолежащего углу 30 K ?, будем иметь: Поэтому AK ? 2 ? AH ? 2 ? 8 ? 16 (см). О т в е т. 16 см. Задача 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см. Р е ш е ни е. Пусть на рисунке 187 KH ? 30 см, HL ? 9 см. По свойству 4: AK > AL. Обозначим AL ? x см. Тогда AK ? (x + 9) см. Из {AHL: AH 2 ? AL 2 – LH 2 , поэтому AH 2 ? x 2 – 9 Из {AHK: AH 2 ? AK 2 – HK 2 , поэтому AH 2 ? (x + 9) 2 – 30 Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части. Имеем уравнение (x + 9) 2 – 30 2 ? x 2 – 9 2 , откуда x ? Следовательно, AL ? 41 см, AK ? 41 + 9 ? 50 (см). О т в е т. 41 см, 50 см 131 ??????? ????????????? ????????????? 1. Что называют наклонной, проведенной из точки к прямой 2. Что называют основанием наклонной. Что называют проекцией наклонной 4. Сформулируйте свойства наклонных и их проекций ??????? 683. (Устно) Назовите на рисунке 188: 1) перпендикуляр, проведенный из точки к прямой b; 2) основание перпендикуляра) наклонную, проведенную из точки к прямой b; 4) основание наклонной) проекцию наклонной. 684. Начертите прямую m и отметьте не принадлежащую ей точку P. Проведите перпендикуляр PK и наклонную к прямой Устно) BM – перпендикуляр к прямой b, BP – наклонная (рис. 188). Сравните BM и BP. 686. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, равна 5 см, а длина наклонной, проведенной из этой же точки, – 13 см. Найдите проекцию наклонной на данную прямую. 687. Перпендикуляр, проведенный изданной точки к прямой, равен 6 см. Из этой же точки к прямой проведена наклонная, проекция которой напрямую равна 8 см. Найдите длину наклонной Из точки к прямой проведены две равные наклонные. Проекция одной из них равна 6 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. 689. Из точки к прямой проведены две равные наклонные. Расстояние между их основаниями равно 10 см. Найдите проекции наклонных на данную прямую. Точка лежит на расстоянии 10 см от прямой. Из этой точки к прямой проведена наклонная, образующая с прямой угол 30?. Найдите длину наклонной и длину ее проекции на прямую. Рис. 188 132 ????? 3 691. Точка лежит на расстоянии 2 см от прямой. Из этой точки к прямой проведена наклонная, образующая с прямой угол 45?. Найдите проекцию наклонной на эту прямую и саму наклонную. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна 13 см, а ее проекция – 5 см. Найдите проекцию второй наклонной, если она образует с прямой угол Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна 12 см и образует с прямой угол 30?. Найдите длину второй наклонной, если ее проекция напрямую см. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 13 см и 20 см. Проекция первой напрямую равна 5 см. Найдите проекцию второй наклонной ??????? 695. Из точки, находящейся на расстоянии 24 см от прямой, проведены две наклонные длиной 25 см и 26 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько случаев следует рассмотреть? 696. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные длиной 10 см и 17 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько случаев следует рассмотреть. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 5 см и 8 см. Какой угол образует вторая наклонная с прямой, если проекция первой наклонной напрямую равна 3 см. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 41 см, а ее проекции – 9 см. Какой угол образует вторая наклонная с прямой, если ее проекция на эту прямую равна 40 см? 699. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой а. Из этих точек к прямой а проведены перпендикуляры длиной см и 7 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, если MN ? 13 см. 700. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой m. Из этих точек к прямой m проведены перпендикуляры длиной см и 7 см. Найдите AB, если расстояние между основаниями перпендикуляров равно 8 см. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 10 см и 14 см, разность проекций которых равна 8 см. Найдите проекции наклонных и расстояние от точки до прямой 133 ??????? ????????????? Из точки к прямой проведены две наклонные, разность которых равна 2 см. Найдите эти наклонные и расстояние от точки до прямой, если проекции наклонных равны см и 5 см ??????? 703. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите проекции двух меньших сторон на большую сторону. 704. Стороны остроугольного треугольника равны 25 см см и 36 см. Найдите проекции двух больших сторон на меньшую сторону. 705. Из точки A к прямой проведены наклонные AB и AC и перпендикуляр AK, причем точка K лежит между точками и C. AB ? 15 см, AK ? 12 см, KC ? 16 см. Найдите ?BAC. ?????????? ??? ?????????? 706. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 11 см, а ее высота – 6 см. Найдите диагональ трапеции. Радиусы двух окружностей, имеющих внешнее касание, равны 1 см и 4 см. Прямая a – общая касательная этих окружностей. Найдите расстояние между точками касания прямой a с окружностями ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 708. В треугольнике) проведена средняя линия KL (рис. 189). KL ? 3 см, LB ? 4 см) У { KBL и { ABC найдите отношение катета, противолежащего углу B, к катету, прилежащему к углу B, и сравните полученные значения) В {KBL и { ABC найдите отношение катета, противолежащего углу B, к гипотенузе и сравните полученные значения) В { KBL и {ABC найдите отношение катета, прилежащего к углу B, к гипотенузе и сравните полученные значения. Определите меру углов треугольника со сторонами длиной) 1 см см 2 см 2) 1 см 1 см см. Рис. 189 134 ????? 3 ?????????? ??????? ??? ????????? 710. Задача Стэнфордского университета) Точка P расположена внутри прямоугольника так, что расстояние от нее до вершины прямоугольника равно 5 ярдов, до противоположной вершины – 14 ярдов, а до третьей вершины – 10 ярдов. Каково расстояние от точки P до четвертой вершины. Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом C (рис. 190). Для острого угла A катет BC является противолежащим катетом, а катет AC – прилежащим катетом. Для острого угла B катет AC является противолежащим, а катет BC – прилежащим ??????? ???? ????? ????????? ??? ????? ???? ???????? ????????? ???- ???????????? ?????? ? Синус угла A обозначают так sin A. Следовательно ??????? ???? ????? ????????? ??? ????? ???? ???????? ????????? ??????????? ?????? ? Косинус угла A обозначают так cosA. Следовательно, Так как катеты AC и BC меньше гипотенузы AB, то синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы. ????????? ??????? ???? ????? ????????? ??? ????? ???? ???????? ????????? ??????????????? ?????? ? Тангенс угла A обозначают так tgA. Следовательно, ??????? ? ??????? ??????? ???? ????? ????????? ??? ????? ????. ??????????? ????? ????????? ? ?????? ? ????? ???????? ??? ????? Рис. 190 135 ??????? ????????????? Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. Рассмотрим прямоугольные треугольники и A 1 B 1 C 1 , у которых ?A ? ?A 1 (рис. 191). Тогда {ABC V по острому углу. Поэтому Рис. Из этого следует, что ? sin Аналогично ? cos A 1 , поэтому tgA gg ? Таким образом, приходим к выводу синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла. Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямо угольном треугольнике ? b |