Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
Тема ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ (2011 г) На рисунке изображена окружность с центром в точке О и равносторонний треугольник АОВ, пересекающий окружность в точках Ми. Точка D лежит на окружности. Найдите градусную меру угла МDN. A Б В Г Д 15? 30? 45? 60? 120? 2. (2015 г) На диагонали АС квадрата АВСD взята точка, расстояния от которой до сторон АВ и ВС равны 2 см и 6 см соответственно. Определите периметр квадрата АВСD. A Б В Г Д 16 см см см см см. (2012 г) Биссектриса угла А прямоугольника А АВСD пересекает его большую сторону ВС в точке С М. Определите радиус окружности (в см), описанной около прямоугольника, если ВС ? 24 см, АМ ? 10 см. Тема ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. (2011 г) В треугольнике АВС: АВ ? 31 см, ВС ? 15 см, АС ? 26 см. Прямая а, параллельная стороне АВ, пересекает стороны ВС и АС в точках M и N соответственно. Вычислите периметр треугольника С, если МС ? 5 см. A Б В Г Д 15 мм мм мг) В треугольник АВС вписан квадрат см. рисунок. Высота этого треугольника, проведенная к стороне АС, равна 6 см. Найдите периметр квадрата (в см, если АС = 10 см Тема РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. (2015 г) На рисунке изображен прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой си острым углом ?. Укажите правильное равенство. A Б В Г Д cos? ?? cos? ?? cos? ?? cos? ?? cos? ?? 7. (2009 г) В трапеции АВСD: А ? 90?, АВ ? 12 см (см. рисунок. Диагональ ВD делит среднюю линию KL трапеции на отрезки Ми М, причем М ? 5,5 см и ? МL ? 3 см. Вычислите периметр трапеции ? АВСD (в см (2006 г) (Задача Л. Пизанского, XII–XIII вв.). Две башни, высота одной из которых 40 футов, а другой – 30 футов, расположены на расстоянии футов одна от другой. К колодцу, находящемуся между ними, одновременно с каждой башни вылетело по птичке. Двигаясь с одинаковой скоростью, они прилетели к колодцу одновременно. Найдите расстояние от колодца до ближайшей башни (в футах). Тема МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ г) В прямоугольнике АВСD прямые m и n проходят через точку пересечения диагоналей. Площадь фигуры, состоящей из трех закрашенных треугольников, равна 12 см. Вычислите площадь прямоугольника АВСD. A Б В Г Д 24 см 30 см 36 см 42 см 48 см (2010 г) На рисунке изображен прямоугольник АВСD и равносторонний треугольник, периметры которых соответственно равны 20 см и 12 см. Найдите периметр пятиугольника АKВСD в см. (2013 г) Меньшая сторона прямоугольника равна 16 ми образует сего диагональю угол 60?. Середины всех сторон прямоугольника последовательно соединили. Найдите значение выражения, где S – площадь (в м) получившегося четырехугольника г) В треугольнике АВС точка М – М середина стороны ВС, АС ? 24 см (см. рисунок). Найдите расстояние d (в см) от точки М до стороны АС, если площадь треугольника АВС равна 96 см (2014 г) Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 13 см и 23 см. Вычислите (в см) площадь трапеции. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Теорема (о площади прямоугольника. Площадь прямоугольника со сторонами a и b вычисляется по формуле S ?? a ? Доказательство. Пусть ABCD – произвольный прямоугольнику которого AB ? a, AD ? b (рис. 255). Докажем, что S ? ab. 1) Если длины отрезков AB и являются рациональными числами (целыми или дробными, то существует отрезок такой длины h, которую можно отложить целое число рази на отрезке AB, и на отрезке Приведем числа a и b к общему знаменателю. Получим Тогда. Имеем a ? ph, b ? qh. Разобьем отрезок AB на p равных частей длиной h, а AD – на q равных частей длиной h. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника (рис. 255). Эти прямые разобьют весь прямоугольник на pq равных квадратов со стороной (один из таких квадратов закрашен на рисунке 255). Так как единичный квадрат вмещает ровно n 2 квадратов со стороной , то площадь одного квадрата с такой стороной равна . Площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов. Имеем: Рис. 255 195 ?????????? 2) Рассмотрим случай, когда хоть одна из длин отрезков или AD является числом иррациональным (бесконечной десятичной дробью). Пусть число a n получили из числа a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + го. Так как a отличается от a n не более чем на, то Аналогично рассмотрим число такое, что. На прямых AB и AD отложим отрезки AB 1 , AB 2 , AD 1 , AD 2 , где AB 1 ? a n , ; AD 1 ? b n , AD 2 ? b n + и построим прямоугольники ирис. Тогда Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число станет очень малым, а потому число практически не будет отличаться от числа a n , а число практически не будет отличаться от числа b n . Поэтому произведение практически не будет отличаться от произведения a n b n . Следовательно, из последнего двойного неравенства следует, что площадь прямоугольника практически не отличается от числа Поэтому S ? Но из неравенств и при неограниченном увеличении числа n следует, что число a практично не отличается от числа a n , а число b – от числа Следовательно, число a n b n практически не отличается от числа ab. Окончательно имеем S ? Рис. 256 СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА Элементарные геометрические фигуры и их свойства Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Отрезком называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, которые лежат между двумя ее точками, вместе с этими точками. На рисунке 257: отрезок AB, точки A и B – концы отрезка. Точка A делит прямую на две части (рис. 258). Каждую из полученных частей вместе сточкой называют лучом, выходящим из точки A. Поэтому A называют началом каждого из лучей. Два луча, имеющие общее начало и дополняющие друг друга до прямой, называют дополняющими. Угол – это геометрическая фигура, состоя щая из двух лучей, которые выходят из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. На рисунке 259: угол AOB, точка O – его вершина OA и OB – стороны угла. Записать этот угол можно так ?AOB ? ; ?BOA; Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит его пополам. Аксиомы планиметрии. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей, и точки, ей не принадлежащие. II. Через две точки можно провести прямую и к тому же только одну. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой. (На рисунке. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен Рис. Рис. Рис. 259 197 ???????? ?? ????? ????????? 7 ?????? VII. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. ?AOB ? ? ?AOK ? + ?KOB (рис. 261). Рис. 260 Рис. Смежные и вертикальные углы Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополняющими лучами. На рисунке 262 углы ??AOK и ?KOB – смежные. Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180?. Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополняющими лучами сторон другого Рис. 262 Рис. На рисунке 263 ? AKC и ??DKB – вертикальные, углы AKD и ?CKB также вертикальные. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны. Перпендикулярные и параллельные прямые Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. На рисунке 264 прямые a и b – перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 265 прямые a и b – параллельны Рис. 264 Рис. 265 Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей Прямую c называют секущей для прямых и b, если она пересекает их в двух точках (рис. Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними пары углов 4 и 6; 3 и 5 – внутренними накрест лежащими пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 – соответственными углами. Признаки параллельности прямых. 1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180?, то прямые параллельны. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180?. Треугольники его элементы Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. Точки A, B, C – вершины треугольника отрезки AB ? c, AC ? b, BC ? a – стороны треугольника углы треугольника. Рис. 266 199 ???????? ?? ????? ????????? 7 ?????? Рис. 267 Рис. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. P ABC P ? AB + BC + Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. На рисунке 268 AM 1 – медиана треугольника. Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника сточкой противолежащей стороны. На рисунке 269 AL 1 – биссектриса треугольника Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника напрямую, содержащую его противолежащую сторону Рис. 269 Рис. На рисунке 270 AH 1 – высота Сумма углов треугольника равна Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике) против большей стороны лежит больший угол 2) против большего угла лежит большая сторона. Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников (по двум сторонами углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонами углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271). Рис. Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. Рис. Третий признак равенства треугольников (потрем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. Рис. Виды треугольников называют равнобедренным, если две его стороны равны. На рисунке 274 {ABC – равнобедренный, AC и BC – его боковые стороны, AB – основание. Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 201 ???????? ?? ????? ????????? 7 ?????? Рис. 274 Рис. Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Треугольник, все стороны которого равны, называют рав- носторонним. На рисунке 275 {ABC – равносторонний. Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний. Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним. Свойство биссектрисы равнобедренного тре уголь ника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. На рисунке 276 биссектриса AN, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и высотой. В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников остроугольные (все углы которого – острые – рис. 277); ? прямоугольные (один из углов которых – прямой, а два других – острые – рис. 278); ? тупоугольные (один из углов которых – тупой, а два других острые – рис. 279). Рис. 276 Рис. 277 Рис. 278 Рис. 279 Внешний угол треугольника Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого тре уголь ника. На рисунке 280 ?BAK – внешний угол треугольника Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть ?BAK ? ?B + ?C. Рис. 280 Рис. Прямоугольные треугольники Если ?C ? 90?, то {ABC { { – прямоугольный (рис. 281). и BC – катеты прямоугольного треугольника гипотенуза прямоугольного треугольника Свойства прямоугольных треугольников. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90?. 2. Гипотенуза больше любого из катетов. Катет, противолежащий углу 30?, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30?. 5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Признаки равенства прямоугольных треугольников. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны 203 ???????? ?? ????? ????????? 7 ?????? 4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны. Окружность и круг Окружностью называют геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, равноудаленных отданной точки (рис. Эту точку называют центром окружности отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности. На рисунке 282 точка O – центр окружности радиус окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 282 MN – хорда, BC – диаметр. Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью называют кругом (рис. Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, ограничивающей круг. Свойства элементов окружности. Диаметр окружности вдвое больше его радиуса. Диаметр является наибольшей из хорд. 3. Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является диаметром, перпендикулярен этой хорде. Касательной к окружности называют прямую, которая имеет с окружностью одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 284 прямая a – касательная к окружности, точка K – точка касания. Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Рис. Рис. 283 Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. На рисунке 285 AB ? AC. Рис. 284 Рис. Окружность, вписанная в треугольник Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. При этом треугольник называют описанным около окружности (рис. В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника Рис. 286 Рис. Окружность, описанная около треугольника Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника. При этом треугольник называют вписанным в окружность (рис. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам УПРАЖНЕНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА. Точка N принадлежит отрезку AB ? 7,6 см. Найдите длины отрезков AN и NB, если) AN втрое больше NB; 2) NB больше AN на 2,6 см. Найдите градусные меры смежных углов, если они относятся как 4 : 5. 3. Найдите градусную меру каждого из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, если сумма двух из них равна 162?. 4. Являются ли прямые a и b на рис. 288–290 параллельными Рис. 288 Рис. 289 Рис. 290 5. Один из углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равен 70?. Найдите остальные семь углов. Одна из сторон треугольника вдвое меньше второй и на см меньше третьей. Найдите стороны этого тре уголь ника, если его периметр равен 24 см. Дано AB ? CD, ?ABD ? ?BDC (рис. Доказать { ABD ? { CDB. 8. Начертите разносторонний остроугольный треугольник. Проведите в нем медиану, высоту AH, биссектрису AL. 9. Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 54?. 10. В треугольнике проведена биссектриса BL. Найдите A, если ?C ? 80?, ?LBC ? 35?. 11. Внешние углы при двух вершинах треугольника соответственно равны 120? и 140?. Найдите градусную меру каждого из его внутренних углов. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них враз меньше второго. На рисунке 292 точка O – центр окружности, ? CAO ? 15?. Найдите Рис. Рис. 292 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ |