Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
439. Параллельные прямые AB, CD и EF пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 126). OA ? 3 см, AC ? 4 см, BD ? 5 см, DF ? 2 см. Найдите CE и OB. 440. Параллельные прямые AB, CD и EF пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 126). OB ? 5, BD ? 7, AC ? 4, CE ? 3. Найдите OA и DF. ??????????? ??????? 441. Дано отрезки a, b, c. Постройте отрезок Дано отрезки l, n, m. Постройте отрезок 443. На рисунке 125 AB || CD, OA ? 4, AC ? 6. Найдите отрезки и BD, если OD ? 15. 444. На рисунке 125 AB || CD, OB ? 5, BD ? 7. Найдите отрезки и AC, если AC – OA ? 1. ??????? ??????? 445. На стороне AB треугольника отметили точку M так, что AM : MB ? 1 : 3. В каком отношении отрезок делит медиану AP треугольника АВС? 446. AD – медиана треугольника, точка M лежит на стороне, отрезок BM делит AD в отношении 5 : 3, начиная от точки A. Найдите AM : MC. ?????????? ??? ?????????? 447. Диагональ четырехугольника равна 5 см, а периметры треугольников, на которые она разбивает четырехугольник, равны 12 см и 14 см. Найдите периметр четырехугольника. Тупой угол прямоугольной трапеции равен 120?, а меньшая диагональ трапеции равна большей боковой стороне. Найдите отношение средней линии трапеции к большей боковой стороне ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 449. {ABC ? {MKL. Заполните пропуски) ?A ? ...; 2) ?B ? ...; 3) ?C ? ...; 4) MK ? ...; 5) ML ? ...; 6) KL ? ... . 83 ??????? ????????????? 450. Стороны одного треугольника вдвое больше соответствующих сторон другого треугольника. Во сколько раз периметр первого треугольника больше периметра второго. Дано { ABC и { A 1 B 1 C 1 . Известно, что ?A ? ?A 1 ? ? B ? ?B 1 ? Можно ли утверждать, что) С ? ?C 1 ; 2) { ABC ? { A 1 B 1 C 1 ? ?????????? ??????? ??? ????????? 452. Дан квадрат. Сколько существует в плоскости этого квадрата точек K таких, что каждый из треугольников и ADK – равнобедренный. В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мячи металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки ??? ????? ???? ???????? ?????????, ???? ?? ???? ?????????????? ????? ? ??????? ?????? ??? ????? ???? ??????????????? ???????? Это значит, что если треугольники и A 1 B 1 C 1 подобны (рис. 127), то A ? ?A 1 , ?B ? ?B 1 , ?C ? ?C 1 и Рис. 127 ???????? ??? ????? ???? 84 ????? Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно k. Число k называют коэффициентом подобия треугольника к треугольнику, или коэффициентом подобия треугольников и Подобие треугольников принято обозначать символом V. В нашем случае {ABC V { A 1 B 1 C 1 . Заметим, что из соотношения следует соотношение : BC : AC ? A 1 B 1 : B 1 C 1 : Задача 1. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих тре уголь ников. Д ока за тел ь ст во. Пусть {ABC V { A 1 B 1 C 1 и Тогда AB ? kA 1 B 1 , BC ? kB 1 C 1 , AC ? kA 1 C 1 Имеем: Задача 2. Стороны треугольника относятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника 27 см. Найдите две другие стороны второго тре- уголь ника. Р е ш е ни е. Так как по условию AB : BC : AC ? 4 : 7 : и { ABC V { A 1 B 1 C 1 , то A 1 B 1 : B 1 C 1 : A 1 C 1 ? 4 : 7 : 9. Обозначим A 1 B 1 ? 4x, B 1 C 1 ? 7x, A 1 C 1 ? 9x. По условию ? 27, тогда x ? 3 (см. Имеем A 1 B 1 ? 4 ? 3 ? 12 (см, B 1 C 1 ? 7 ? 3 ? 21 (см). О т в е т. 12 см, 21 см. Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, потянув за один из угловых маркеров ?? ?????, ?? ?????? ?? ???????? ?????? ??????????- ???? ??? ? ??????????? ? ?????????? ????????????. ? ????????????? ???????????? ?????? ???? ??????? ??????? II ???? ?????, ???????? 85 ??????? ????????????? ?????? ???? ???????, ? ??????? ??????? ?? ????? ?????????? ? ?????- ?????? ???? ??????? ??????? ????????. ?????? ? ??????? ????? ?? ?????? ?????? ????????? ? ????????? ???? ??????? ? ??????? ?????? ? V–IV ??. ?? ?. ?. ??????? ?????????? ?????????, ?????? ???????????, ??????? ????????? ? ??????. ??????? ??? ???????? ?????? ? ?????? ????? «?????». ?????????? ?????? ????- ??? ????????? ????????????: «???????? ????????????? ?????? – ???? ??, ??????? ????? ?????????????? ?????? ???? ? ???????????????? ???????». 1. Приведите примеры предметов одинаковой формы из окружающей среды. Какие треугольники называют подобными. Что такое коэффициент подобия ??????? 453. (Устно) {ABC { { V { MNK. Заполните пропуски) ?A ? ?...; 2) ?B ? ?...; 3) ?C ? ?... . 454. {ABC { { V { KLM, Заполните пропуски) ? ...; 2) ? ... . 455. {MLF V { PNK. Составьте всевозможные пропорции для сторон треугольников Дано {MNL V { ABC, ?M ? 40?, ?B ? Найти неизвестные углы обоих треугольников Дано {ABC { { V { DEF, ?A ? 30?, ?F ? 90?. Найти неизвестные углы обоих треугольников Дано {ABC { { V { A 1 B 1 C 1 , AB ? 8 см, A 1 B 1 ? 2 см. Найти 1) 2) 459. Дано {ABC { { V { A 1 B 1 C 1 , AB ? 10, BC ? 8, CA ? 6, A 1 B 1 ? 5. Найти B 1 C 1 , C 1 A 1 1 460. Дано {KLM V { K 1 L 1 M 1 , KL ? 12, KM ? 9, LM ? 21, K 1 L 1 ? 4. Найти K 1 M 1 , L 1 M 1 86 ????? 2 ??????????? ??????? 461. Стороны треугольника относятся как 7 : 8 : 9. Найдите неизвестные стороны подобного ему треугольника, у которого) меньшая сторона равна 21 см) большая сторона на 5 см больше средней) периметр равен 48 см Стороны треугольника относятся как 5 : 6 : 9. Найдите неизвестные стороны подобного ему треугольника, у которого) большая сторона равна 18 см) меньшая сторона на 3 см меньше средней) периметр равен 100 см Докажите, что два равносторонних треугольника подобны ??????? 464. Отношение периметров подобных треугольников равно : 3, а сумма их наибольших сторон равна 20 см. Найдите стороны каждого из треугольников, если стороны одного из них относятся как 2 : 3 : Отношение периметров подобных треугольников равно : 3, а сумма их наименьших сторон равна 21 см. Найдите стороны каждого из треугольников, если стороны одного из них относятся как 3 : 4 : 5. ?????????? ??? ?????????? 466. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите все пары равных треугольников, которые при этом образовались. Докажите, что точка пересечения биссектрис прилежащих к боковой стороне углов трапеции принадлежит средней линии трапеции ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 468. На рисунке 128 прямая KL параллельна стороне BC разностороннего треугольника. Найдите на этом рисунке все равные между собой углы. Рис. 128 87 ??????? ????????????? ?????????? ??????? ??? ????????? 469. Точки K и L принадлежат соответственно сторонами треугольника. Может ли точка пересечения отрезков BL и KC делить каждый из них пополам. Подобие треугольников, как и равенство тре уголь ников, можно установить с помощью признаков. Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верными используемое для доказательства одной или нескольких теорем. Л ем м а. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему тре уголь ник. Д ока за тел ь ст во. Пусть прямая B 1 C 1 пересекает стороны и AC треугольника соответственно в точках B 1 ирис. Докажем, что {ABC V {AB 1 C 1 1) ?A – общий для обоих треугольников (как соответственные углы при параллельных прямых BC и и секущей AB), ?C ? ?C 1 (аналогично, но для секущей AC). Следовательно, три угла треугольника равны трем углам треугольника) Последствию из обобщенной теоремы Фалеса имеем) Докажем, что Через точку B 1 проведем прямую, параллельную AC и пересекающую в точке M. Так как B 1 MCC 1 – параллелограмм, то MC. По обобщенной теореме Фалеса: Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим: Но MC ? B 1 C 1 . Следовательно, ???????? ??????? ??? ????? Рис. 129 88 ????? 2 4) Окончательно имеем ?A ? ?A, ?B ? ?B 1 , ?C ? ?C 1 и, а значит, {ABC V { Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонами углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим треугольники и, у которых ?A ? ?A 1 ирис. Докажем, что {ABC V {A 1 B 1 C 1 1) Отложим на стороне AB треугольника отрезок AB 2 ? A 1 B 1 и проведем через B 2 прямую, параллельную рис. 131). Тогда {ABC V {AB 2 C 2 (по лемме Рис. 130 Рис. 131 2) Последствию из обобщенной теоремы Фалеса Но AB 2 ? A 1 B 1 (по построению. Поэтому. По условию следовательно, откуда A 1 C 1 ? AC 2 3) Так как ?A ? ?A 1 , AB 2 ? A 1 B 1 и AC 2 ? A 1 C 1 , то {AB 2 C 2 ? {A 1 B 1 C 1 (по двум сторонами углу между ними) Но {ABC V {AB 2 C 2 , следовательно, Следствие. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого. С лед ст в и е 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны 89 ??????? Теорема (признак подобия треугольников по двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим треугольники и, у которых ?A ? ?A 1 , ?B ? ?B 1 (рис. 130). 1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем {ABC V {AB 2 C 2 2) ?AB 2 C 2 ? ? B, но ?B ? ?B 1 . Поэтому ?AB 2 C 2 ? ? B 1 3) Тогда {AB 2 C 2 ? {A 1 B 1 C 1 (по стороне и двум прилежащим углам) Следовательно, Следствие. Равносторонние треугольники подобны. С лед ст в и е 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны. С лед ст в и е 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны. Т е орем а 3 (признак подобия треугольников потрем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим треугольники и, у которых (рис. 130). 1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем {ABC { { V { AB 2 C 2 2) Тогда но AB 2 ? A 1 B 1 , поэтому Учитывая, что имеем AC 2 ? A 1 C 1 , B 2 C 2 ? B 1 C 1 3) Тогда {AB { { 2 C 2 ? {A 1 B 1 C 1 (потрем сторонам) Следовательно, {ABC { { V { Задача 1. Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3 : 5 : 6. Подобны ли эти треугольники Решение. Обозначим стороны второго треугольника через 3x, 5x и 6x. Но, значит, треугольники подобны (потрем сторонам). О т в е т. Да. Задача 2. Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, – 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне. Р е ш е ни е. Пусть ABCD – параллелограмм (рис. 132). AD ? 15 см, AB ? 10 см, BM ? 8 см – высота параллелограмма. Проведем DN – вторую высоту параллелограмма ABM V {ADN (как прямоугольные с общим острым углом. Тогда , то есть , откуда · DN ? 8 · 15, DN ? 12 (см). О т в е т. 12 см. Сформулируйте и докажите признаки подобия треугольников и их следствия ??????? 470. (Устно) При каких условиях два треугольника подобны) утре угольников есть общий угол) два угла одного треугольника равны двум углам другого) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого. При каких условиях {ABC { { V {DEF: 1) ?A ? ?D; 2) ?A ? 30?, ?B ? 40?, ?D ? 30?, ?E ? 40?; 3) AB ? 2DE, BC ? 2EF; 4) ?A ? 40?, ?B ? 70?, ?D ? 40?, ?E ? 90?? 472. При каких условиях {ABC { { V {MNK: 1) AB ? MN ? 20 см, BC ? NK ? 10 см) ?A ? ?M; ; 3) ?A ? 100?, ?B ? 30?, ?M ? 70?, ?N ? 20?; 4) ?C ? ?K, CB ? 5, CA ? 2, KN ? 10, KM ? Рис. 132 91 ??????? ????????????? 473. Докажите, что {ABC { { V {A { { 1 B 1 C 1 , если) AB ? 2, BC ? 3, AC ? 4, A 1 B 1 ? 4, B 1 C 1 ? 6, A 1 C 1 ? 8; 2) ?A ? 20?, ?A 1 ? 20?, AB ? 3, AC ? 5, A 1 B 1 ? 9, A 1 C 1 ? 15; 3) ?A ? 30?, ?B ? 40?, ?B 1 ? 40?, ?C 1 ? Докажите, что {MNK V {M 1 N 1 K 1 , если) ?M ? ?M 1 , MN ? 5, MK ? 6, M 1 N 1 ? 10, M 1 K 1 ? 12; 2) ?M ? 90?, ?N ? 50?, ?K 1 ? 40?, ?N 1 ? 50?; 3) MN ? 3, NK ? 4, MK ? 5, M 1 N 1 ? 6, N 1 K 1 ? 8, M 1 K 1 ? 10. ??????? ??????? 475. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, AC || Докажите, что {AOC { { V {BOD. 476. Прямые MN и KL пересекаются в точке O, ?MLO ? Докажите, что {MOL V {NOK. 477. На сторонах AB и AC треугольника соответственно отмечены точки P итак, что, Докажите, что {APL { { V {ABC { { 478. На сторонах KL и KN треугольника соответственно отмечены точки A итак, что Докажите, что Подобны литре угольники и A 1 B 1 C 1 , если) AB : BC : CA ? 3 : 4 : 6, A 1 B 1 ? 6, B 1 C 1 ? 8, C 1 A 1 1 ? 11; 2) ?A ? 30?, ?B ? 60?, ?A 1 : ?B 1 : ?C 1 ? 1 : 2 : Подобны литре угольники и A 1 B 1 C 1 , если) AB : BC : CA ? 4 : 3 : 7, A 1 B 1 ? 8, B 1 C 1 ? 6, C 1 A 1 1 ? 14; 2) ?A : ?B : ?C ? 2 : 3 : 4, ?A 1 ? 20?, ?B 1 ? 50? 481. На рисунках 133–135 найдите подобные треугольники и докажите их подобие Рис. 133 Рис. 134 Рис. 135 92 ????? На рисунках 136–138 найдите подобные треугольники и докажите их подобие Рис. 136 Рис. 137 Рис. 138 |