Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
8. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, образуют между собой угол 30?. Найдите тупой угол параллелограмма. А. 120?; Б 130?; В 150?; Г 160?. 9. Найдите острый угол ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна А 25?; Б 30?; В 50?; Г 60?. 10. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD делит сторону AB на отрезки AK итак, что AK : KB ? 1 : 3. Найдите AB, если периметр параллелограмма равен 60 см. А. 26 см Б 24 см В 20 см Г 15 см. Из вершины тупого угла A ромба ABCD проведена высота AK. ?CAK ? 30?, AC ? 6 см. Найдите периметр ромба. А. 18 см Б 24 см В 30 см Г 36 см. В {ABC (?C ? 90?, AC ? В) вписан квадрат так, что K ? AB; L ? AB; M ? CB; N ? AC. Найдите периметр квадрата, если AB ? 12 см. А. 24 см Б 20 см В 12 см Г 16 см. Задания для проверки знаний к § 1–5 1. Начертите четырехугольники проведите в нем диагонали. Найдите углы параллелограмма, если один из них равен 80?. 3. Найдите периметр квадрата, если его сторона равна 7 см. Периметр прямоугольника равен см. Найдите его стороны, если одна из них на 1 см больше, чем другая. ABCD – ромб. ?ABD ? 50?. Найдите углы ромба. На рисунке 65 ?ABD ? ?BDC, AB ? DC. Докажите, что – параллелограмм. Рис. 65 38 ????? 1 7. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 4, 6. Какой это четырехугольник выпуклый или невыпук лый? 8. Высоты, проведенные из вершины острого угла ромба, образуют между собой угол 120?. Найдите углы ромба. Биссектриса угла А параллелограмма А делит сторону на отрезки BK итак, что BK : KC ? 4 : 3. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 88 см. Дополнительные задания. В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой BC ? 23 см вписан прямоугольник так, что точки K и L принадлежат гипотенузе треугольника, а точки M и M N – катетам. Сторона N KL прямоугольника на 2 см больше стороны LM. Найдите периметр прямоугольника. Из вершины тупого угла В ромба ABCD проведена высота ВМ, ?DВМ ? 30?. Периметр ромба равен 40 см. Найдите меньшую диагональ ромба. ????????? ???????? ??????? ????? ???, ? ???????? ??? ??????? ???????????, ? ??? ?????? ?? На рисунке 66 изображена трапеция. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями а не параллельные боковыми сторонами На рисунке 66 AD и BC – основания трапеции и CD – ее боковые стороны. Рассмотрим некоторые свойства трапеции. ????? ????? ????????, ?????????? ? ??????? ???????, ????? Так как AD || BC, то ?A + ?B ? 180? (как сумма внутренних односторонних углов. Аналогично ?C + ?D ? 180?. ? 2. ???????? ???????? ???????? ??????? ????? Поскольку ?A + ?B ? 180?, то ?A < 180?, ?B < 180?. Аналогично ?C < 180?, ?D < 180?. Следовательно, трапеция выпуклый четырехугольник. Рис. 66 39 ???????????????? ??????? ???????? ???????? ?????????????, ????????- ??? ?? ????? ????? ????????? ???????? ? ??????, ?????- ????? ?????? ?? Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 BK – высота трапеции Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов прямой. На рисунке 68 – прямоугольная трапеция ABCD (?A ? 90?). Очевидно, что ?B ? 90?, АВ является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой Рис. 67 Рис. Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 – равнобокая трапеция Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции. ? ?????????? ???????? ???? ??? ????????? Доказательство) Пусть в трапеции ABCD А ? Проведем высоты трапеции BK и CM из вершин ее тупых углов В и С (рис. 70). Получили прямоугольник Поэтому BK ? CM. Рис. 69 Рис. 70 2) {ABK ? {DCM по катету и гипотенузе. Поэтому BAD ? ?CDA. 3) Также ?ABK ? ?DCM. Но ?KBC ? ?MCB ? 90?, поэтому и ?DCB ???DCM + 90?. Следовательно ABC ? ?DCB. ? 40 ????? 1 2. ????????? ?????????? ???????? Доказательство. Рассмотрим рисунок 71. ?BAD ? ?CDA как углы при основании равнобокой трапеции ? DC, AD – общая сторона треугольников и А. Поэтому {ABD ? по двум сторонами углу между ними). Следовательно, AC ? В. Задача. О – точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD ирис. Докажите, что ООО ОД ока за тел ь ст во (доказано выше. Поэтому ?ODA ? ?OAD. По признаку равнобедренного треугольника равнобедренный. Поэтому О ? О. Поскольку AC ? В и О ? Ото О ? О (так как OC ? AC – AO, BO ? BD – Теорема (признак равнобокой трапеции. Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция – равнобокая. Д ока за тел ь ст во) Пусть в трапеции ABCD углы при большем основании AD равны (рис. 70), то есть ?BAD ? ?CDA. Проведем высоты BK и CM, они равны) Тогда {BAK ? {CDM (по катету и противолежащему углу. Следовательно, AB ? DC. Таким образом, трапеция равно- бокая, что и требовалось доказать «????????» ?????????? ????????????? (??-???????? «??????- ????» ???????? «??????», ? ????????? ?????? ??? ?????; ????? «?????- ???» ? «???????» – ????????????). ? «???????» ?????? ??? ???????? «????????» ???????????? ????? ??????? ????? ???, ?? ?????????? ????????????????. ??????????? ??????- ????? ????????????? ???????????? ?????? «????????» ? ??? ?? ???????. ???????? ? ??????????? ????????? ??????? ??????????? ? ??????- ?????????? ?????????? ????????? (I ?.), ?? ??????? ?????? ? XVIII ?. ???? ?????? ???? ???????????? ??? ??????? ????? ?????, ? ??????? ??? ???- ???? ???????????, ? ??? ?????? – ?? Рис. 71 1. Какую фигуру называют трапецией. Что называют основаниями трапеции, боковыми сторонами трапеции 41 ???????????????? ????????? На каких из рисунков 72–76 изображена трапеция Рис. 72 Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75 Рис. 76 185. Начертите трапецию PKML (PK || ML). Укажите основания трапеции, боковые стороны трапеции. 186. Начертите трапецию DMFK (DM || FK). Укажите основания трапеции, боковые стороны трапеции. Начертите прямоугольную трапецию ABCD, у которой A ? ?B ? Начертите равнобокую трапецию ABCD (AB (( ? CD). 189. Два угла трапеции равны 20? и 100?. Найдите два других ее угла. 190. Два угла трапеции равны 110? и 40?. Найдите два других ее угла ??????? 191. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а периметр – 28 см. Найдите боковую сторону трапеции. 192. Основания равнобокой трапеции равны 7 см и 5 см, а боковая сторона – 3 см. Найдите периметр трапеции. 193. Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла) острые 2) прямые 3) тупые? В случае положительного ответа начертите такую трапецию. Сформулируйте свойства трапеции. Что такое высота трапеции. Какую трапецию называют прямоугольной, а какую равнобокой? 6. Сформулируйте и докажите свойства равнобокой трапеции. Сформулируйте и докажите признак равнобокой трапеции Существует ли трапеция, у которой) основания равны 2) три стороны равны? В случае положительного ответа начертите такую трапецию. 195. Существует ли трапеция, у которой 1) три угла прямые 2) два противолежащих угла равны В случае положительного ответа начертите такую трапецию Стороны AD и BC – основания трапеции ABCD. Докажите, что ?CAD ? ?ACB. 197. Могут ли углы трапеции, взятые последовательно, относиться как 1) 2 : 3 : 4 : 1; 2) 2 : 3 : 5 : Могут ли углы трапеции, взятые последовательно, относиться как 1) 3 : 1 : 2 : 2; 2) 3 : 1 : 2 : 4? 199. В трапеции, не являющейся равнобокой, два угла равны и 140?. Можно ли найти два других ее угла. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины острого угла, образует с боковой стороной угол 38?. Найдите углы трапеции Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол 56?. Найдите углы трапеции. В трапеции ABCD AB – большее основание. Прямые и AD пересекаются в точке ЕЕ, ?BЕА ? 70?. Найдите углы трапеции. 203. В трапеции ABCD BC – меньшее основание. Наотрез- ке AD выбрали точку Е так, что BE || CD; Е ? 60?, ? BЕА ? 40?. Найдите углы трапеции В прямоугольной трапеции острый угол вдвое меньше тупого. Найдите углы трапеции. 205. В прямоугольной трапеции тупой угол на 40? больше, чем острый. Найдите углы трапеции В равнобокой трапеции боковая сторона вдвое больше высоты. Найдите углы трапеции ??????? 207. В трапеции ABCD ?A + С ? 180?. Определите вид трапеции В прямоугольной трапеции острый угол равен 60?. Большая боковая сторона равна большему основанию и равна 16 см. Найдите меньшее основание 43 ???????????????? 209. В прямоугольной трапеции острый угол равен Меньшая боковая сторона равна меньшему основанию и равна 18 см. Найдите большее основание. В равнобокой трапеции диагональ равна большему основанию и образует с ним угол 40?. Найдите углы трапеции В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ образует с этим основанием угол 20?. Найдите углы трапеции Диагональ АС трапеции ABCD делит угол А пополам. Докажите, что боковая сторона АВ равна основанию ВС. 213. О – точка пересечения биссектрис углов Аи В трапеции. Докажите, что О ? 90?. 214. BK и CM – высоты равнобокой трапеции ABCD, проведенные из вершин ее тупых углов, AD ? а, BC ? Докажите, что А ? MD ? ; А ? KD ? 215. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание трапеции наотрез- ки 2 см и 7 см. Найдите основания трапеции ??????? 216. (Признак равнобокой трапеции. Если в трапеции диагонали равны, то она – равнобокая. Докажите Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции В равнобокой трапеции ABCD AD – большее основание ? CD, ?BAC ? 18?. Найдите углы трапеции. Основания равнобокой трапеции равны аи, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что высота трапеции равна 220. В прямоугольной трапеции острый угол и угол между меньшей диагональю и меньшим основанием равны по 60?. Найдите отношение оснований трапеции В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, а тупой угол втрое больше, чем острый. Найдите отношение оснований 44 ????? 1 222. Постройте трапецию по основаниям аи аи боковым сторонами. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 75?. Найдите внешний угол при вершине треугольника. Тупой угол ромба равен 120?, а его меньшая диагональ см. Найдите периметр ромба. Докажите, что параллелограмму которого все высоты равны, является ромбом ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 226. Начертите окружность, радиус которой 3 см. Проведите в ней диаметр и хорду. Точка O – центр окружности (рис. 77). Найдите) ?COB, если ?CAO ? 50?; 2) ?CAO, если ?COB ? Рис. 77 Рис. 78 228. Точка O – центр окружности, а точка M – точка касания прямой a с окружностью (рис. 78). Найдите) ?NMB, если ?MON ? 140?; 2) ?MON, если ?BMN ? 65?. ?????????? ??????? ??? ????????? 229. Четыре магазина некоего предпринимателя расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где ему следует разместить товарный склад, чтобы сумма расстояний от склада до всех магазинов была наименьшей 45 ???????????????? 7. ??????????? ????? ???????? ???? ? ???????? ? ?????? На рисунке 79 О – центральный угол, стороны которого пересекают окружность в точках Аи В. Точки Аи В разбивают окружность на две дуги. Часть окружности, лежащую внутри угла, называют дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Если центральный угол меньше развернутого, то соответствующая ему дуга меньше полуокружности (на рисунке она выделена цветом. Если центральный угол больше развернутого, то соответствующая ему дуга больше полуокружности. Развернутому углу соответствует дуга, являющаяся полуокружностью. Дугу обозначают символом, который записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, Ми (рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так: АМВ (или Аи А (или А. Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например АВ или АB). Дугу окружности можно измерять в градусах ????? ???? ?????????? ???????? ????????? ???? ???????????????? ?? ???????????? Например, если Ото АМВ ? 70? (рис. Очевидно, что градусная мера дуги, являющаяся полуокружностью, равна 180?, а дуги, являющейся окружностью. На рисунке 79: АNВ А А ? 360??– 70? ? 290?. ????????? ????? ???????? ????, ??????? ???????? ????? ? ?? ??????????, ? ??????? ?????????? ??? На рисунке 80 стороны вписанного угла АВС пересекают окружность в точках Аи С. Говорят, что этот угол опирается на дугу АМС. ??????????? ? ????????? Рис. Рис. 80 46 ????? Очевидно, что точки пересечения сторон вписанного угла с окружностью делят ее на две дуги. Той, на которую опирается вписанный угол, будет дуга, не содержащая его вершину. Например, на рисунке 80 стороны вписанного угла АВС делят окружность на две дуги АВС А А и АМС А А . Так как АМС А А не содержит вершины угла (точки В, то является дугой, на которую опирается вписанный угол АВС. Эта дуга выделена цветом. Т е орем а (о вписанном угле. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Д ока за тел ь ст во. Пусть ?ABC является вписанным в окружность с центром О и опирается на дугу АС (рис. 80). Докажем, что АМС А А . Рассмотрим три возможных положения центра окружности относительно вписанного угла) Пусть центр окружности – точка О – принадлежит одной из сторон угла, например ВС (рис. 81). Центральный угол АОС является внешним углом треугольника АОВ. Тогда, по свойству внешнего угла, ОС ? ?АВО + ?ОАВ. Но Орав- нобедренный (О ОВ как радиусы, поэтому ?АВО ? ?ОАВ. Следовательно, ОС ? 2?АВО, то есть ?AВС ? ?АВО ? АОС. Но ОС ? АМС А А . Таким образом, АОС. 2) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла рис. 82). Проведем луч ВО, пересекающий окружность в точке L. Тогда ?ABC ? ?ABL + ?LBC А + А А LC ?? А L + L А А C) ? АMC А А 3) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 83). Тогда ?ABC ? ?ABL – ?CBL А – LC А L – LC) АMC А А ? Рис. 81 Рис. 82 Рис. 83 Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны рис. Следствие. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой рис. 85). Рис. 84 Рис. Задача 1. Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг окружности, одна из которых лежит между сторонами угла, а вторая – между их продолжениями. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим ?AFC с вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что ?AFC – внешний угол треугольника В, поэтому ?AFC ? ?FBC + ?FCB ? Рис. 86 Рис. Задача 2. Докажите, что угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг окружности, лежащих между его сторонами. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим ?BFD, вершина которого лежит вне круга, аи секущие (рис. 87). Докажем, что ? BAD – внешний угол треугольника, поэтому DAB ? ?ADC + ?DFB; то есть Поэтому 48 ????? 1 ???????. ?? ??? ?????? ???? ????, ??? ?????????????, ??????? ?????- ??? ????????? ???????? (V ?. ?? ?. ?.). ? ???, ??? ????????? ????, ??????????? ?? ???????, ???????? ???- ???, ???? ???????? ??????????? 4000 ??? ???? ?????, ? ?????? ????- ?????????? ????? ????? ??????????? ?????? ??????????. ????????? ??????? 230. (Устно) Какие из углов на рисунке 88 являются вписанными в окружность Определите градусную меру угла, вписанного в окружность, если соответствующий ему центральный угол равен 1) 70?; 2) 190?. 232. Определите градусную меру центрального угла, если градусная мера соответствующего ему вписанного угла равна 1) 20?; 2) 100?. 233. Точки Аи В принадлежат окружности и лежат по одну сторону от хорды CD. Найдите А, если В ? 55?. ??????? ??????? 234. Точки A и B принадлежат окружности и лежат по разные стороны от хорды MN. Докажите, что MAN + ?MBN ? 180?. 235. Точки M и M N принадлежат окружности и лежат по разные стороны от хорды АВ. Найдите ?АМВ, если ?ANB ? 70?. |