Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
236. Точка Р окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды С. Найдите ?COD, если ?CPD ? 126?. 237. Точка А окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды LK. Найдите ?LAK, если ?LOK ? 128?. 1. Какой угол называют центральным. Что называют градусной мерой дуги окружности. Какой угол называют вписанным. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. Рис. 88 49 ???????????????? 238. Хорда разбивает окружность на две дуги в отношении : 2. Найдите градусные меры вписанных углов, опирающихся на эти дуги ??????? 239. Хорда АВ равна радиусу окружности. Точка С окружности и ее центр лежат по одну сторону от хорды АВ. Найдите ?АСВ. 240. Хорды AD и BC пересекаются в точке F. ?ABC ? 20?, ? В ? 80?. Найдите градусную меру угла Хорды AB и CD пересекаются в точке M. ?ABC ? 35?, ? В ? 55?. Докажите, что хорды AB и CD взаимно перпендикулярны. О – центр окружности, М ? 50? (рис. 89). Найдите х Рис. 89 Рис. 90 ??????? ??????? 243. Докажите, что угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания (рис. 90), равен половине дуги, лежащей между сторонами угла, то есть Равнобедренный треугольник вписан в окружность с центром в точке О. О ? 80?. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача Равнобедренный треугольник вписан в окружность с центром в точке О. ?MOK ? 100?. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача Найдите геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой 50 ????? 1 ?????????? ??? ?????????? 247. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона вдвое больше меньшей. Найдите углы трапеции. Стороны параллелограмма равны a и b (a > b). Найдите отрезки, на которые биссектриса острого угла делит его большую сторону ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 249. Из точки А к окружности проведены две касательные, В и Сточки касания (рис. 91). Найдите длины отрезков АВ и АС касательных, если их сумма равна 16 см. Рис. 91 ?????????? ??????? ??? ????????? 250. В каждой клетке прямоугольной доски размером 2019 клеток сидит жук. По сигналу все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется свободная клетка. ??????????????? ???????? ? ????????? ? ??????????, ???? ??? ??? ??????? ????? ?? ??????????. ?????????? ??? ? ???? ???????? ????????? ????? ??????? ????? ???? ? (???. Теорема (свойство углов вписанного четырехугольника. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180?. ????????? ? ????????? ??????? ????? ???? Доказательство. Пусть в окружность с центром О вписан четырехугольник (рис. 92). Тогда (по теореме о вписанном угле). Поэтому ? 360? ? 180?. Тогда + ?D ? 360? – 180? ? Следствие. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая. Д ока за тел ь ст во. Пусть трапеция ABCD вписана в окружность (рис. 93). Тогда ?A +С ? 180?. Нов трапеции + С ? 180?. Поэтому ?A ? ?D. Следовательно, ABCD – D равнобокая трапеция (по признаку равнобокой трапеции Рис. 92 Рис. Как известно из курса геометрии 7 класса, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольников это не так. Т е орем а 2 (признак вписанного четырехугольника. Если в четырехугольнике сумма двух противолежащих углов равна 180?, то около него можно описать окружность. Д ока за тел ь ст во. Пусть в четырехугольнике+ С ? 180?. Проведем через точки А, В и С окружность. Докажем (методом от противного, что вершина D четырехугольника также будет лежать на этой окружности) Допустим, что вершина D лежит внутри круга (рис. 94). Продолжим СD до пересечения с окружностью в точке М. Тогда В + ?D ? 180? (по условию) и МВ (по свойству углов вписанного четырех уголь ника). Тогда ?D ? ?M. Но ?ADC – внешний, а ?AMC – не смежный с ним внутренний угол треугольника. Поэтому ADC должен быть больше, чем ?АМС. Рис. 94 52 ????? Пришли к противоречию, значит, наше предположение ошибочно, и точка D не может лежать внутри круга) Аналогично можно доказать, что вершина D не может лежать вне круга) Следовательно, точка D лежит на окружности, ограничивающей круг (риса значит около четырехугольника можно описать окружность. ? С лед ст в и е 1. Около любого прямоугольника можно описать окружность. С лед ст в и е 2. Около равнобокой трапеции можно описать окружность. Заметим, что, как ив треугольнике, центром описанной около четырехугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, поскольку она равноудалена от всех его вершин. Например, в прямоугольнике такой точкой является точка пересечения диагоналей ???????? ? ????????? ????? ???????- ???, ???? ??? ??? ??????? ???????? ??????????. ?????????? ??? ???? ???????? ????????? ? ???????- ????? ??? (???. 95). Рис. 95 Рис. Теорема (свойство сторон описанного четырехугольника. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны. Д ока за тел ь ст во. Пусть четырехугольник описанный точки касания (рис. 96). По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности. На рисунке 96 равные отрезки обозначены одинаковым цветом. Тогда AD + BC ? AT + TD + BL + LC ? a + d + b + c; 53 ???????????????? AB + CD ? AP + PB + CK + KD ? a + b + c + Следовательно, AD + BC ? AB + CD. Как известно из курса геометрии 7 класса, в любой треугольник можно вписать окружность. Для четырехугольников это не так. Т е орем а 4 (признак описанного четырехугольника. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, тов этот четырехугольник можно вписать окружность. Д ока за тел ь ст во этой теоремы является достаточно громоздким, поэтому его не приводим. С лед ст в и е. В любой ромб можно вписать окружность. Как ив треугольнике, центром окружности, вписанной в четырехугольник, является точка пересечения биссектрис его углов. Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то центр вписанной в ромб окружности – точка пересечения диагоналей ??????? 251. На каких из рисунков 97–100 изображен вписанный четырехугольника на каких – описанный Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 1. Какой четырехугольник называют вписанным в окружность. Сформулируйте и докажите свойство углов вписанного четырехугольника. Сформулируйте следствие из этого свойства. Сформулируйте признак вписанного четырехугольника и следствия из него. Какой четырехугольник называют описанным около окружности. Сформулируйте и докажите свойство сторон описанного четырехугольника. Сформулируйте признак описанного четырехугольника и следствие из него 54 ????? 1 252. Можно ли вокруг четырехугольника описать окружность, если) ?A ? 30?; ?C ? 150?; 2) ?B ? 90?; ?D ? 80?? 253. Может ли четырехугольник быть вписанным в окружность, если) ?M ? 20?; ?K ? 150?; 2) ?N ? 90?; ?L ? 90?? ??????? ??????? 254. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны которого в порядке следования относятся как) 5 : 3 : 4 : 7; 2) 3 : 2 : 4 : 5? 255. Может ли быть описанным четырехугольник, стороны которого в порядке следования относятся как) 7 : 3 : 2 : 6; 2) 5 : 4 : 3 : 6? 256. Найдите углы A и B вписанного в окружность четырехугольника, если ?C ? 132?; ?D ? 29?. 257. Найдите углы C и D вписанного в окружность четырехугольника, если ?A ? 138?; ?B ? 49?. ??????????? ??????? 258. В равнобокую трапецию, периметр которой равен 16 см, вписана окружность. Найдите боковую сторону трапеции Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна 5 дм. Найдите периметр трапеции В остроугольном треугольнике проведены высоты и BH 2 , которые пересекаются в точке H. Докажите, что вокруг четырехугольника можно описать окружность, диаметром которой будет отрезок CH. 261. Точка M лежит на стороне AB остроугольного треугольника и MK – перпендикуляры к сторонами соответственно. Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность, диаметром которой будет отрезок CM. ??????? ??????? 262. Трапеция вписана в окружность радиуса R так, что диаметр окружности совпадает с ее большим основанием. Найдите периметр трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне 55 ???????????????? ?????????? ??? ?????????? 263. AB – основание равнобедренного треугольника центр вписанной окружности. ?AIB ? ? (? > Найдите углы треугольника основание равнобедренного треугольника центр описанной окружности. ?AOB ? ? (? < Найдите углы треугольника. Сколько случаев следует рассмотреть ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 265. Прямая EK параллельна стороне K AB треугольника. Докажите, что ?CKE ? ?CBA, ?CEK ??? ? CAB. ?????????? ??????? ??? ????????? 266. Постройте общую внешнюю касательную к двум непере- секающимся окружностям разных радиусов. Теорема Фале с а. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Д ока за тел ь ст во. Пусть параллельные прямые A 1 B 1 , A 2 B 2 , A 3 B 3 пересекают стороны угла с вершиной O (рис. при этом A 1 A 11 2 ? A 2 A 22 3 . Докажем, что B 1 B 2 ? B 2 B 3 1) Проведем через точки A 1 и прямые A 1 M и A 2 N, параллельные прямой OB 3 . A 1 A 11 2 ? A 2 A 22 3 (по условию, ?A 2 A 22 1 M ???A 3 A 33 как соответственные углы при параллельных прямых A 1 M и, ?A 1 A 11 2 M ???A 2 A 22 3 N (как соответственные углы при параллельных прямых A 2 M и M A 3 N). Поэтому {A 1 A 11 2 M ? {A 2 A 22 3 N (по стороне и двум N прилежащим к ней углам, а значит ? A 2 N как соответственные стороны равных треугольников) Четырехугольник A 1 MB 2 B 1 – параллелограмм (по построению. Поэтому ? B 1 B 2 . Аналогично A 2 NB 3 B 2 параллелограмм, поэтому A 2 N ? Рис. 101 56 ????? Таким образом, A 1 M ? A 2 N, A 1 M ? B 1 B 2 , A 2 N ? B 2 B 3 , следовательно, что и требовалось доказать. ? С лед ст в и е. Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой. С помощью линейки без делений по теореме Фалеса возможно разделить отрезок на любое количество равных частей. Задача. Разделите отрезок AB на 6 равных частей. Р е ш е ни е. 1) Пусть AB – данный отрезок (рис. 102). Проведем произвольный лучи отложим на нем циркулем последовательно отрезков AC 1 ? C 1 C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C 4 ? C 4 C 5 ? C 5 C 6 2) Через точки C 6 и B проведем прямую) Через точки С, С, С, С, С с помощью угольника и линейки проведем прямые, параллельные прямой BC 6 . Тогда по теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок AB на 6 равных частей AD 1 ? D 1 D 2 ? D 2 D 3 ? D 3 D 4 ? D 4 D 5 ? Рис. 102 ????? ????????? – ??????????????? ????????? ? ????????. ?? ???- ? ??? ???????? ??? ??????? ????? ?? ??? ?????????? ???? ???????? ?????, ???? ?? ??? ????? ?? ????? ?????????? ??????????? ?????? ???????. ? ??????? ???? ?????????????? ????? ?????????? ??????????- ???? ?? ?????? ? ????? ????????????? ? ?????????? ????????? ? ????- ???? ?????????????????? ??????. ?????? ????????? ? ?????????, 57 ???????????????? ????? ?? ?????? ?????? ?????? ??, ??? ? ?? ????? ??? ???? ???????? ?????????? ??????, ?? ? ?????? ??? ??????????? ??????? ?????- ???. ?? ?????????????? ????????? ?????? ?????????? ??????? ?? ????? ?? ????, ??? ????? ?????? ??????????? ??????? ???????, ? ?????????? ?? ??????, ?????? ? ?????? ????- ??????? ?????. ?? ?????? ????????? ????? ??? ??????, ??? ?????????? ?????? ? ?????????? ? ???? ?????? ????????? ??????????. ?? ???????- ??? ????????? ????????, ???????????? 28 ??? 585 ???? ?? ?. ?. ?? ???????? ?????? ???????? ???????: «????????? ???? ??? ????????, ????????? ?????? ????? ????? ???? ?????????? ? ??????? Сформулируйте и докажите теорему Фалеса. ????????? ??????? 267. (Устно) На рисунке 103 A 1 B 1 || A 2 B 2 || A 3 B 3 , A 1 A 11 2 ? 3 см 3 ? 3 см, B 1 B 2 ? 5 см. Найдите B 2 B 3 268. На рисунке 103 A 1 B 1 || A 2 B 2 || A 3 B 3 , B 1 B 2 ? B 2 B 3 , A 2 A 22 3 ? ??7 см. Найдите A 1 A 1 2 269. На рисунке 104 M 1 N 1 || M 2 N 2 , OM 1 ? M 1 M 2 , ON 1 ? 4 см. Найдите ON 2 270. На рисунке 104 M 1 N 1 || M 2 N 2 , ON 1 ? 6 см, N 1 N 2 ? 6 см, OM 1 ? 3,5 см. Найдите OM 2 Рис. 103 Рис. 104 ??????? ??????? 271. 1 Разделите данный отрезок на 5 равных частей Разделите данный отрезок на 7 равных частей Задачи 271–274 необходимо решить с помощью линейки без делений. Фалес Милетский (ок. 625–548 дон. э 58 ????? 1 ??????????? ??????? 273. Разделите данный отрезок на две части в отношении 2 : Разделите данный отрезок на две части в отношении 3 : 2. 275. На рисунке 103 A 1 A 11 2 ? A 2 A 22 3 , A 1 B 1 || A 2 B 2 || A 3 B 3 A 1 A 11 2 : B 1 B 2 ? 3 : 5, B 2 B 3 – A 2 A 22 3 ? 8 см. Найдите A 1 A 1 2 , A 2 A 22 3 , B 1 B 2 , B 2 B 3 276. На рисунке 104 ON 1 ? N 1 N 2 , M 1 N 1 || M 2 N 2 , ON 1 : OM 1 ? ? 7 : 4, N 1 N 2 + M 1 M 2 ? 33 см. Найдите ON 2 и OM 2 ??????? ??????? 277. M и N – соответственно середины сторон AB и CD параллелограмма. Отрезки MD и BN пересекают диагональ в точках L и K соответственно. Докажите, что ? LK ? KC. 278. Точки E, F и G делят медиану AD треугольника на четыре равные части (AE (( ? EF ? FG ? GD). Докажите, что прямая CG делит сторону AB в отношении 3 : 2, считая от вершины A. 279. Точки M и N делят медиану AD треугольника натри равные части (AM (( ? MN ? ND). Докажите, что прямая содержит медиану треугольника. Точка K – середина медианы треугольника. Отрезок пересекает сторону K AC в точке C M. Найдите AM : M MC. ?????????? ??? ?????????? 281. Постройте отрезок АВ длиной 5 см и геометрическое место точек, равноудаленных от его концов. Из точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, удаленные от центра на 5 см и 7 см. Найдите длины этих хорд ??????? ??? ????????? 283. Всеукраинская математическая олимпиада, 1976 г) Внутри остроугольного треугольника выбрана точка так, что ?APB ? ? ? ?ACB ? + 60?, ?BPC ? ?BAC + 60?, ?CPA ? ?CBA + 60 A ?. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из точки P к сторонам треугольника, являются вершинами равностороннего треугольника На рисунке 105 KL – средняя линия треугольника Теорема (свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Д ока за тел ь ст во. Пусть KL – средняя линия треугольника рис. 105). Докажем, что KL || AB и 1) Проведем через точку L прямую, параллельную AB. По теореме Фалеса она пересекает сторону AC в ее середине, то есть в точке K. Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию KL. Поэтому KL || AB. 2) Проведем через точку L прямую, параллельную AC, которая пересекает AB в точке M. Тогда AM ? MB по теореме Фалеса). Четырехугольник AKLM – параллелограмм ? AM (по свойству параллелограмма, но Поэтому ? Рис. 105 Рис. Задача Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырех уголь ника. Д ока за тел ь ст во. Пусть ABCD – данный четырехугольника точки K, L, M, N – середины его сторон (рис. 106). KL – средняя линия треугольника, поэтому KL || AC и. Аналогично MN || AC, ??????? ????? ???????????? ? ?? ???????? 60 ????? Таким образом, KL || MN, KL ? MN. Тогда KLMN – параллелограмм (по признаку параллелограмма – средняя линия треугольника. Поэтому KN || BD. Следовательно, KFOP – также параллелограмм, откуда NKL ? Рассмотрим свойство медиан тре уголь ника. Т е орем а 2 (свойство медиан треугольника. |