1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства

• Название: 1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства
• Дата: 25.06.2019
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: TVIMS.docx
• Тип: Документы; #82957
• страница: 2 из 6

Док-во:;;;

; ,чтд

Замечание: При применении формулы полной вероятности, события называют гипотезами.

Теорема (Формула Байеса) – Пусть события образуют полную группу. A – некоторое событие, которое может произойти совместно с любым из событий, образующих полную группу, причем то вероятность появления события A, которое может произойти совместно с любым из событий полной группы, причем , тогда условные вероятности событий полной группы при условии наступления события A находятся по формуле Байеса:



Замечание: В формуле Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез, а называются апостериорными вероятностями гипотез.

Пример (Формула полной вероятности): Имеются две урны. В первой – 3б и 5ч шара, во второй – 4б и 3ч. Из первой наудачу взят шар и переложен во вторую. После, из второй урны извлечен наудачу шар. Какова вероятность того, что он белый.

A – из второй урны извлечен белый шар; – из первой урны во вторую был переложен белый шар; – из первой урны во вторую был переложен черный
Решение:;;;



Ответ:

9. Испытания Бернулли. Формула Бернулли.

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей. , , p+q=1. Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний. Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Элементарным исходом будет являться: (w₁,w₂,…,w_n), .

Всего таких исходов 2ⁿ.

. (1)
Формула (1) показывает, что события независимы.
Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов.
Раcсм. соб. . По теореме сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.


10. Полиномиальное распределение.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E₁, E₂, …, E_k, P(E_i)=p_i, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E₁ появиться r₁ раз, E₂ – r₂ раз, …, E_k – r_k раз вычисляется по формуле:

где

Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.

11. Теорема Пуассона

Теорема(Пуассона): Пусть производятся n-независимых испытаний в каждом из которых событие А наступает с вероятностью p, тогда если число испытаний неограниченно возрастает, а вероятность стремится к 0 причем n=p=const , то вероятность того, что событие А появится к раз , в n независимых испытаниях находится по формуле:

– формула Пуассона

Доказательство: По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях

, где q=1-p.

Отсюда



По условию a=np =>

Подставляя, получим



Перейдем к пределу при n->∞, т.е.



– формула Пуассона

Теоремой удобно использовать, когда p->0, a=np≤10. Существует специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных а и k.

Формулой Бернулли удобно пользоваться, когда значение n не очень велико. Если же n достаточно велико, то удобнее пользоваться приближенными формулами, одна из которых содержится в следующей теореме.

12. Локальная и интегральная теоремы Муавра Лапласа.

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность p появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит ровно m раз, приближённо равна:

, где

При этом, чем больше n, тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению , полученное по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность p ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях p, близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы является выполнение неравенства

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p появления случайного события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит не менее и не более раз (от до раз включительно), приближённо равна:

где

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность p не слишком мала/велика (ориентировочно ), иначе приближение будет неважным либо плохим.

Начиная с x=4, можно считать, что Ф(x)=0,5, или, если записать строже:

Кроме того, функция Лапласа нечётна: Ф(-х)=-Ф(х), и данное свойство активно эксплуатируется в задачах.
13. Случайные величины. Функция распределения и её свойства.

Случайной величиной Х наз. ф-ция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.

Пример. Пусть дважды подбрасывается монета. Тогда .Рассмотрим случ. величину Х–число выпадений герба на пространстве элементарных исходов Ω. Множество возможных значений случайной величины:2,1,0.

w	(г,г)	(г,р)	(р,г)	(р,р)
X(w)	2	1	1	0

Множество значений случ. величины обознач. Ω_х. Одной из важных характер. случ. величины является функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х наз. функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случ. величина Х примет значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.

.

.

Если рассматривать Х как случ. точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.

Свойства функции распределения.

1)Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x₁2 .Пусть х₁ и х₂ принадлежат множеству Ω_х и х₁<х₂.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х₂, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий

.

Тогда по теореме сложения вероятностей получим , т.е.. Поскольку , то .

2)Для любых

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

3), .

, .

4)Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).

5)Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.

.

Достоверное событие {-∞. Найдем их вероятно.Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то . Отсюда .

14. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.

Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (х_i, р_i), где x_i—возможные значения случайной величины, а p_i—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. , причем . Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

X	x1	x2	…	xn	…
P	p1	p2	…	pn	…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями

X	0	1	…	K	…	n
P			…		…	pn

Пример. µ—число успехов в n испытаниях. µ имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p). Обозначают XB (n,p), т.е. случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p).



Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ (λ>0), если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями .

X	0	1	…	k	…
P			…		…

Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения с вероятностями , где q=1-p.

X	1	2	3	…	k	…
P	p	qp	q2p	…	qk-1p	…

15. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то .

Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Свойства математического ожидания:

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, . Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.