Асват ДамодаранИнвестиционная оценка. Инструментыи методы оценки любых активов
 Скачать 4.17 Mb.
|
|
Глава 5. ТЕОРИЯ И МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ Как правило, стоимость любого актива определяется как приведенная стоимость ожи- даемых денежных потоков, приходящихся на этот актив. В данном разделе обсуждается исключение из этого правила, когда речь идет об активе с двумя специфическими характе- ристиками: 1. Стоимость актива есть производная от стоимости других активов. 2. Денежные потоки, создаваемые данным активом, обусловлены наступлением опре- деленных событий. Активы подобного рода называют опционами (options), причем приведенная стои- мость ожидаемых денежных потоков от этих активов занижает их действительную сто- имость. В этом разделе описываются характеристики денежных потоков, создаваемых опционами, рассматриваются факторы, определяющие их стоимость, а также исследуются оптимальные способы оценки. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 121 ОСНОВЫ ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ Опцион дает держателю (владельцу) право на покупку или продажу базового актива в определенном объеме по фиксированной цене (называемой ценой исполнения, или ценой использования) на дату истечения опциона или до ее наступления. Поскольку речь идет о праве, а не об обязательстве, владелец опциона может не воспользоваться своим правом и дать возможность опциону истечь без последствий. Существуют два класса опционов – колл-опционы, или опционы покупателя (call options), и пут-опционы, или опционы про- давца (put options). Колл-опционы и пут-опционы: описание и диаграммы выплат Колл-опцион дает покупателю опциона право купить базовый актив (underlying asset) по цене исполнения, или цене использования (strike price, exercise price), в любой момент времени до даты истечения (expiration date). За это право покупатель платит определенную цену. Если в момент истечения срока жизни опциона стоимость актива меньше цены испол- нения, то опцион не исполняется и истекает без всяких последствий. Однако если стоимость актива оказывается выше цены исполнения, то опцион исполняется, и покупатель опци- она приобретает базовый актив по цене исполнения. При этом разница между стоимостью актива и ценой исполнения составляет валовую прибыль инвестиции. Чистая прибыль инве- стиции – это разница между валовой прибылью и ценой колл-опциона, уплаченной при его приобретении. Диаграмма выплат иллюстрирует денежные выплаты за опцион при его истечении. Для колл-опциона чистая выплата отрицательна (и равна цене, заплаченной за опцион), если стоимость базового актива меньше цены исполнения. Если стоимость базового актива пре- вышает цену исполнения, то валовая выплата равна разнице между стоимостью базового актива и ценой исполнения, а чистая выплата равна разнице между валовой выплатой и ценой колл-опциона (рисунок 5.1). Пут-опцион дает покупателю опциона право продать базовый актив по фиксированной цене, которая называется ценой исполнения, или ценой использования, в любое время при А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 122 или до наступления даты истечения опциона. За это право покупатель платит определен- ную цену. Если стоимость базового актива выше цены исполнения опциона, то он не будет исполнен и истечет без последствий. Однако если стоимость базового актива окажется ниже цены исполнения, то владелец пут-опциона исполнит его и продаст ценную бумагу по цене исполнения, приобретая разницу между ценой исполнения и рыночной стоимостью актива в качестве валовой прибыли. Как и в случае с колл-опционом, вычитание из полученной выручки первоначальной стоимости, заплаченной при покупке пут-опциона, даст чистую прибыль от сделки. Пут-опцион произведет отрицательную выплату, если стоимость базового актива пре- вышает цену исполнения, и создаст валовую выплату, которая будет равна разнице между ценой исполнения и стоимостью базового актива, если она меньше цены исполнения (рису- нок 5.2). А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 123 ДЕТЕРМИНАНТЫ СТОИМОСТИ ОПЦИОНА Стоимость опциона определяется шестью переменными, связанными с базовым акти- вом и финансовыми рынками: 1. Текущая стоимость базового актива (current value of the underlying asset). Опционы – это активы, стоимость которых является производной от базового актива. Следовательно, изменения стоимости базового актива влияют на стоимость опционов как актива. Поскольку колл-опционы обеспечивают право купить базовый актив по фиксированной цене, то повы- шение стоимости актива приведет к увеличению стоимости опционов на покупку. Пут-опци- оны, напротив, становятся дешевле по мере повышения стоимости актива. 2. Дисперсия стоимости базового актива (variance in value of the underlying asset). Поку- патель опциона приобретает право купить или продать базовый актив по фиксированной цене. Чем выше дисперсия стоимости базового актива, тем выше стоимость опциона 30 . Это справедливо в отношении как колл-опционов, так и пут-опционов. Кажется противореча- щим интуиции тот факт, что рост показателя риска (дисперсии) повышает стоимость опци- онов, но эти инструменты отличаются от других ценных бумаг, поскольку покупатели опци- онов не могут потерять больше, чем ту цену, которую они за них заплатили. При этом они обладают высоким потенциалом заработка значительных доходов на крупных движениях стоимости базового актива. 3. Дивиденды, выплачиваемые по базовому активу (dividends paid on the underlying asset). Можно ожидать снижения стоимости базового актива, если на протяжении жизни опциона производятся выплаты дивидендов на актив. Следовательно, стоимость колл-опци- она на актив является убывающей функцией размера ожидаемых выплат дивидендов, а стои- мость пут-опциона является возрастающей функцией ожидаемых выплат дивидендов. Легче всего представить дивидендные выплаты, рассматривая стоимость задержки исполнения колл-опциона «в-деньгах» (in-the-money option), когда стоимость базового актива выше цены исполнения опциона. Предположим, базовый актив опциона – это торгуемая на рынке акция. Поскольку это колл-опцион «в-деньгах» (т. е. держатель получает валовую прибыль, испол- нив опцион), то исполнение опциона обеспечит передачу во владение акции, предоставив тем самым возможность в последующем получать дивиденды, приходящиеся на эту акцию. В случае неисполнения опциона эти дивиденды окажутся потерянными. 4. Цена исполнения опциона (strike price of the option). Ключевая характеристика, используемая для описания опциона, – это цена исполнения. Если речь идет о колл-опцио- нах, где владелец приобретает право купить базовый актив по фиксированной цене, то сто- имость опциона понижается при росте цены исполнения. Что касается пут-опциона, когда покупатель приобретает право продать базовый актив по фиксированной цене, его стои- мость будет повышаться при повышении цены исполнения. 5. Срок до истечения времени действия опциона (time to expiration on the option). Как колл-опцион, так и пут-опцион оказываются более ценными при большем сроке жизни опци- она. Это связано с тем, что более длительный срок действия опциона дает больше возмож- ностей для изменения стоимости базового актива, повышая тем самым стоимость обоих классов опционов. Кроме того, в случае колл-опциона, где покупатель должен заплатить фиксированную цену по истечении срока жизни опциона, приведенная стоимость этой фик- 30 Из этого правила существует исключение, которое касается опционов «глубоко-в-деньгах». В этом состоянии чем дальше цена базового актива удаляется от цены исполнения опциона, тем сильнее опционы становятся похожи на базовый актив. Данное обстоятельство ведет к ослаблению влияния дисперсии базового актива на стоимость опциона. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 124 сированной цены понижается при увеличении срока жизни опциона, увеличивая стоимость колл-опциона. 6. Безрисковая процентная ставка, соответствующая продолжительности жизни опци- она (riskless interest rate corresponding to the life of the option). Поскольку покупатель опциона платит цену опциона вперед, возникают скрытые издержки. Эти издержки зависят от уровня процентных ставок и срока до истечения опциона. Безрисковая процентная ставка также должна учитываться при оценке опциона, когда вычисляется приведенная стоимость цены исполнения, поскольку покупатель опциона не обязан платить (получать) цену исполнения ранее срока истечения опциона колл или пут. Рост процентной ставки повышает стоимость колл-опционов (на покупку) и понижает стоимость пут-опционов (на продажу). В таблице 5.1 представлены переменные, оказывающие влияние на стоимость опци- она, а также их предсказываемое воздействие на цены опционов колл и пут. Американский и европейский опционы: переменные, связанные с ранним испол- нением Основное отличие между европейским и американским опционами состоит в том, что американский опцион можно исполнить в любой момент до срока истечения, в то время как европейский опцион можно исполнить только в момент истечения (или в непосредствен- ной близости от него). Возможность более раннего исполнения повышает стоимость аме- риканских опционов по сравнению с аналогичными европейскими опционами. Кроме того, данный аспект создает дополнительные трудности при оценке опционов. Существует ком- пенсирующий фактор, позволяющий проводить оценку американского опциона, используя модели, предназначенные для оценки европейских опционов. В большинстве случаев вре- менная премия (time premium), связанная с оставшимся сроком жизни опциона, и транзак- ционные издержки делают ранее исполнение опциона условно оптимальным. Другими сло- вами, владельцы опциона «в-деньгах» (с выигрышем) обычно выигрывают гораздо больше, продавая опционы третьей стороне, а не исполняя их. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 125 МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ Прорыв в теории оценки опционов начался в 1972 г., когда Фишер Блэк и Майрон Шоулз (Fischer Black, Myron Scholes) опубликовали свою революционную работу, где опи- сывалась модель, позволяющая проводить оценку стоимости европейских опционов на фон- довые активы (акции), по которым дивиденды не выплачиваются. Блэк и Шоулз использо- вали имитирующий портфель (replication portfolio), т. е. портфель, составленный из базового актива и безрискового актива, который создает те же денежные потоки, что и оценивае- мый опцион. Для получения результирующей формулировки был задействован механизм арбитража. Вывод модели с математической точки зрения является достаточно сложным, но существует более простая биномиальная модель для оценки опционов, использующая ту же логику. Биномиальная модель В основе биномиальной модели оценки опционов (binomial option pricing model) лежит элементарная формулировка процесса установления цены опциона, в котором актив в любой период времени может двигаться к одной из двух возможных цен. Общая формулировка процесса установления цены акции по биномиальной схеме показана на рисунке 5.3. На этом рисунке S – это текущая цена акции. Цена движется вверх к цене Su с вероятностью p и вниз к цене Sd с вероятностью 1 – p в любой период времени. Создание имитирующего портфеля. Цель создания имитирующего портфеля – это использование комбинации безрискового заимствования/ссуды и базового актива для созда- ния денежного потока, аналогичного денежному потоку, создаваемому оцениваемым опцио- А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 126 ном. В данном случае применяются принципы арбитража, и стоимость опциона должна быть равна стоимости портфеля-имитатора. В общей формулировке, представленной на рисунке 5.3, где цена акции может двигаться вверх к Su или вниз к Sd в любой период времени, порт- фель-имитатор для колл-опциона с ценой исполнения К включает заимствование В (долл.) и приобретение Δ базового актива, где В биномиальном процессе со многими периодами оценка должна производиться на дискретной основе (т. е. начиная с заключительного временного периода и двигаясь назад во времени к текущему моменту). Портфели, воспроизводящие опцион, создаются для каж- дого шага и каждый раз оцениваются, это позволяет выяснить стоимость опциона в данный период времени. Заключительный результат биномиальной модели оценки опциона – это определение стоимости опциона в единицах имитирующего портфеля, составленного из Δ акций (дельты опциона) базового актива и безрискового заимствования или ссуды. Стоимость колл-опциона = текущая стоимость базового актива × дельта опциона – заимствование, необходимое для имитации опциона. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 127 А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 128 Детерминанты стоимости. Биномиальная модель дает представление о детерминан- тах стоимости опциона. Она определяется не ожидаемой ценой актива, а его текущей ценой, которая, естественно, отражает ожидания, связанные с будущим. Это прямое следствие арбитража. Если стоимость опциона отклоняется от стоимости имитирующего портфеля, инвесторы могут создать арбитражную позицию (т. е. позицию, которая не требует никаких инвестиций, не связана с риском и обеспечивает положительный доход). Например, если портфель, воспроизводящий колл-опцион, стоит больше по сравнению с его рыночной сто- имостью, то инвестор может купить колл-опцион, продать имитирующий портфель и полу- чить гарантированную разницу, заработав прибыль. Денежные потоки по двум позициям компенсируют друг друга, и это приведет к отсутствию денежных потоков в последующие периоды. Стоимость колл-опциона также повышается при увеличении срока до его истече- ния (поскольку совершает больше движений вверх и вниз), а также при росте процентной ставки. Хотя биномиальная модель на интуитивном уровне обеспечивает понимание принципа ценообразования опциона, она требует значительного числа исходных данных (если гово- рить с позиции ожидаемых в будущем цен на каждом узле). Если сократить периоды времени в биномиальной модели, то появляется возможность выбрать один из двух вариантов изме- нения цены актива, поскольку можно предположить, что колебания цен становятся меньше по мере сокращения периода. В пределе при стремлении временного периода к нулю изме- нения цен становятся бесконечно малыми (таким образом, процесс оценки стоимости стано- вится непрерывным). С другой стороны, можно предположить, что изменения цен остаются значительными даже в случае сокращения периода. Это приводит к модели со скачкооб- разным процессом установления цен, когда цены могут скачкообразно изменяться в любой период времени. В данном разделе мы обсудим модели оценки опционов, вытекающие из каждого из этих предположений. Модель Блэка-Шоулза А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 129 Когда процесс оценки является непрерывным (т. е. изменение цены становится меньше при сокращении временного периода), биномиальная модель оценки опциона сходится с моделью Блэка-Шоулза. Модель, названная в честь ее создателей (Фишера Блэка и Майрона Шоулза), позволяет нам оценивать стоимость любого опциона, используя небольшое число данных на входе. Данная модель доказала свою состоятельность для оценки многочислен- ных опционов, в том числе входящих в биржевые листинги. Модель. Вывод модели Блэка-Шоулза слишком сложен, чтобы его здесь приводить. Тем не менее центральная идея модели состоит в создании портфеля на основе базового актива и безрискового актива с теми же денежными потоками, а потому с той же стоимо- стью, что и оцениваемый опцион. Стоимость колл-опциона в модели Блэка-Шоулза можно записать как функцию пяти переменных: S = текущая стоимость базового актива; K = цена исполнения опциона; t = срок жизни опциона – период времени, оставшийся до момента его истечения (как доля года); r = безрисковая процентная ставка, соответствующая сроку жизни опциона (в годовом исчислении); σ2 = дисперсия натурального логарифма коэффициента, показывающего изменение стоимости базового актива, который можно определить как «коэффициент доходности базо- вого актива» 31 Стоимость колл-опциона равна: Заметим, что e-rt представляет собой фактор приведенной (текущей) стоимости и отра- жает тот факт, что цена исполнения колл-опциона необязательно выплачивается до его исте- чения. N(d1) и N(d2) – это вероятности, оцененные посредством использования кумулятив- ной функции стандартизированного нормального распределения, а также величин d1 и d2 для данного опциона. Рисунок 5.4 иллюстрирует кумулятивную (интегральную) функцию распределения. 31 Встречаются также определения, в которых говорится, что это – дисперсия доходности базового актива. В данном случае мы придерживаемся авторского текста. Указанная величина вычисляется как стандартное отклонение числового ряда, полученного взятием натурального логарифма коэффициента доходности базового актива в виде отношения цен базового актива в соответствующие периоды. Например, если используются дневные данные, то формула выглядит так: 1n(сегодня/вчера). При этом получаемая величина мало отличается от результата, где применяется другой алгоритм, часто используемый в вычислениях доходности: «сегодня/вчера – 1». – Прим. ред. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 130 Говоря проще, эти вероятности характеризуют способность опциона создавать поло- жительные денежные потоки для его владельца при исполнении опциона (т. е. S > K в случае колл-опциона и K > S для пут-опциона). Портфель, который воспроизводит колл-опцион, создается путем приобретения N(d1) единиц базового актива и заимствования суммы K × e-rt N(d2). Портфель будет иметь те же самые денежные потоки, что и колл-опцион, а сле- довательно, и ту же стоимость, что и опцион. Величина N(d1), которая представляет собой число единиц базового актива, требуемых для создания имитирующего портфеля, называ- ется дельтой опциона. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 131 ОЦЕНКА ВХОДНЫХ ДАННЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА Модель Блэка-Шоулза требует, чтобы в исходных данных корректно учитывался фак- тор времени. Данный фактор влияет на оценки двояким образом. Во-первых, факт непре- рывности, а не дискретности времени приводит к тому, что мы используем вариант приве- денной стоимости с непрерывным временем (e-rt), а не дискретный вариант (1 + r)-t. К тому же это означает, что входные данные, такие как безрисковая ставка, должны быть модифици- рованы для соответствия непрерывному времени. Например, если ставка по одногодичной казначейской облигации равна 6,2 %, то безрисковая ставка, используемая в модели Блэка- Шоулза, составит: Непрерывная безрисковая ставка = ln(1 + дискретная безрисковая ставка) = ln(1,062) = 0,06015 или 6,015 %. Во-вторых, это период, на котором оцениваются входные данные. Предположим, что нам известна исходная ежегодная ставка. Дисперсию, которая используется в модели, также следует привести к годовому уровню. Дисперсию, оцененную на основе величины 1n(коэф- фициента доходности актива), можно легко привести к годовому уровню, поскольку диспер- сия линейно зависит от времени, если автокорреляция равна нулю. Таким образом, если для оценки дисперсии используются месячные или недельные цены, то дисперсия приводится к годовому масштабу путем умножения соответственно на 12 или на 52. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 132 Ограниченность и неоднозначность модели. Модель Блэка-Шоулза предназначена для оценки опционов, которые можно исполнить только по истечении их срока, а по базо- вому активу дивиденды не выплачиваются. Кроме того, опционы оцениваются исходя из предположения об отсутствии влияния исполнения опциона на стоимость базового актива. На практике активы приносят дивиденды, опционы иногда исполняются раньше срока, а исполнение опциона может повлиять на стоимость базового актива. Существуют поправки, хотя и несовершенные, которые призваны частично исправить недостатки модели Блэка- Шоулза. Дивиденды. Выплата дивидендов уменьшает цену акции. Заметим: на экс-дивиденд- ную дату цена акций обычно снижается. Следовательно, опционы колл становятся менее ценными, а пут-опционы – более ценными по мере повышения ожидаемых выплат дивиден- дов. Есть два способа учета дивидендов в модели Блэка-Шоулза: А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 133 ПОДРАЗУМЕВАЕМАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ Единственная входная величина, относительно которой существуют значительные расхождения в оценке, – это дисперсия. Хотя дисперсия зачастую оценивается через ана- лиз исторических ценовых рядов, стоимость опционов, вычисленная на основе прошлых значений дисперсии, может отличаться от рыночных цен. Тем не менее для любого опци- она есть определенное значение дисперсии, при котором полученная при оценке стоимость будет равна рыночной цене. Данная величина дисперсии называется подразумеваемой дис- персией (implied variance). Рассмотрим опцион на акции Cisco, процедура оценки которого показана в иллюстра- ции 5.2. При стандартном отклонении, равном 81 %, стоимость колл-опциона с ценой испол- нения 15 долл. была определена на уровне 1,81 долл. Поскольку рыночная цена выше вычис- ленной нами стоимости, мы попробуем применить более высокое стандартное отклонение, получив следующие результаты: при стандартном отклонении 85,40 % стоимость опциона равна 2 долл. (т. е. рыночной цене). Эта величина и есть подразумеваемое стандартное откло- нение, или подразумеваемая волатильность (implied volatility). 1. Краткосрочные опционы. Первый способ учета дивидендов – это оценка приведен- ной стоимости ожидаемых дивидендов, выплачиваемых по базовому активу в течение срока жизни опциона, а также вычет полученной величины из текущей стоимости актива, что даст оценку величины S для использования в модели. Модифицированная цена акции = текущая цена акции – приведенная стоимость ожи- даемых дивидендов на протяжении жизни опциона. 2. Долгосрочные опционы. Чем продолжительнее срок жизни опциона, тем менее прак- тична оценка приведенной стоимости дивидендов, поэтому можно использовать альтерна- тивный подход. Если на протяжении жизни опциона ожидается неизменность дивидендной доходности (y = дивиденды/текущая стоимость актива), то модель Блэка – Шоулза можно модифицировать следующим образом: Должно быть понятно, что коррекция приводит к двум результатам. Во-первых, стои- мость актива дисконтируется к текущему уровню (принимая во внимание размер дивиден- дов) для учета ожидаемого снижения стоимости актива, следующего за выплатой дивиден- дов. Во-вторых, процентная ставка компенсируется выплатой дивидендов для учета более низких издержек владения активом (в портфеле-имитаторе). Чистым эффектом окажется снижение стоимости опционов колл, оцененных при помощи модели. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 134 А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 135 Досрочное исполнение. Модель Блэка-Шоулза предназначена для оценки опционов, подлежащих исполнению только в момент истечения срока их действия. Такие опционы, как уже указывалось ранее, называются европейскими (European option), или опционами евро- А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 136 пейского стиля. В действительности же большинство опционов, с которыми мы встречаемся на практике, могут быть исполнены в любой момент до истечения их срока. Подобные опци- оны называются американскими (American option), или опционами американского стиля. Как упоминалось ранее, возможность досрочного исполнения делает американские опци- оны более ценными по сравнению с аналогичными европейскими, одновременно затрудняя оценку (опционов американского стиля). Следует отметить, что обращающиеся на рынке опционы обычно почти всегда лучше продать кому-то еще, а не исполнять их, поскольку опционы имеют временную премию (т. е. они продаются за цену, превышающую цену их исполнения). Однако существуют два исключения. Первое связано с тем случаем, когда базо- вый актив приносит большие дивиденды, снижая тем самым ожидаемую стоимость актива. В этом случае колл-опционы могут быть исполнены непосредственно перед «экс-дивиденд- ной» датой, если временная премия (стоимость) опциона меньше, чем ожидаемое снижение стоимости актива, которое последует за выплатой дивидендов. Другое исключение возни- кает, когда инвестор имеет в своем портфеле и базовый актив, и пут-опционы на этот актив, характеризующиеся как «глубоко-в-деньгах» (deep in-the-money) (т. е. пут-опционы с ценой исполнения, значительно более высокой, чем текущая цена базового актива) в момент, когда процентные ставки высоки. В этом случае временная премия пут-опциона может оказаться меньше, чем потенциальный выигрыш от досрочного исполнения пут-опциона и процент- ной доходности на цену исполнения. Существуют два основных способа учесть возможность досрочного исполнения опци- она. Во-первых, можно продолжать использовать нескорректированную модель Блэка- Шоулза и рассматривать получившееся значение стоимости в качестве основы или кон- сервативной оценки истинной стоимости. Кроме того, можно попытаться скорректировать стоимость опциона с поправкой на возможность досрочного исполнения. К решению этой проблемы есть два подхода. Первый – это использовать модель Блэка-Шоулза для оценки опциона на каждую потенциальную дату исполнения. Для случая фондовых опционов потребуется провести оценку для каждой «экс-дивидендной» даты и выбрать наибольшее из полученных значений стоимости опциона. Второй подход основывается на использовании модифицированной версии биномиальной модели, позволяющей рассмотреть возможность досрочного исполнения. В этой версии движения цены актива вверх и вниз в каждом пери- оде можно оценить, отталкиваясь от их продолжительности 32 Подход 1. Оценка псевдоамериканского опциона Шаг 1: Определить, когда будут выплачены дивиденды и в каком количестве. Шаг 2: Оценить опцион на каждую «экс-дивидендную» дату, применяя поправку по дивидендам, описанную выше, когда цена исполнения сокращается на приведенную стои- мость ожидаемых дивидендов. Шаг 3: Выбрать наибольшую стоимость опциона колл, оцененную на каждый день, предшествующий «экс-дивидендной» дате. 32 Например, если σ – это дисперсия в ln(коэффициента доходности акции), то движения вверх и вниз по биномиальной схеме можно оценить следующим образом: А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 137 А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 138 Подход 2. Использование биномиальной модели. Биномиальная модель в гораздо большей степени приспособлена для анализа досрочного исполнения опциона, поскольку в ней учитываются денежные потоки в каждом периоде времени, а не только на момент исте- чения. Самое серьезное ограничение биномиальной модели – это необходимость знать цену в конце каждого периода. Однако его можно преодолеть, используя схему, позволяющую оценивать движения цены на акцию вверх и вниз на основе полученной оценки дисперсии. Реализация данной схемы состоит из четырех этапов. Шаг 1: Если дисперсия была оценена как ln(коэффициента доходности акции) в модели Блэка-Шоулза, то следует использовать ее в качестве входных данных для биномиальной модели: Шаг 2: Определить период, в который будут выплачены дивиденды. При этом дела- ется предположение, что цена снизится на величину, равную дивидендам за данный период времени. Шаг 3: Оценить колл-опцион в каждом узле дерева, допуская возможность досрочного исполнения незадолго до «экс-дивидендной» даты. Произойдет раннее исполнение, если остающаяся временная премия опциона меньше, чем ожидаемое снижение цены опциона вследствие выплаты дивидендов. Шаг 4: Оценить опцион колл в момент 0, используя стандартный биномиальный под- ход. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 139 Влияние исполнения на стоимость базового актива. Модель Блэка-Шоулза осно- вывается на предположении о том, что исполнение опциона не влияет на стоимость базо- вого актива. Это может быть истиной для биржевых фондовых опционов, но для некоторых видов опционов это отнюдь не так. Например, исполнение варрантов повышает число акций компании, находящихся в обращении, и вливает свежую кровь в фирму. При этом оба этих фактора оказывают воздействие на цену акций 33 . Ожидаемое отрицательное влияние (вслед- ствие «разбавления») исполнения опциона понизит стоимость других варрантов, которые аналогичны опционам на покупку. Поправка на разбавление, оказывающее влияние на цену акции, в модели Блэка-Шоулза достаточно проста. Цена акции корректируется с поправкой на ожидаемое разбавление, являющееся следствием исполнения опциона. В случае варран- тов, например: Поправка на разбавление S = (S ns + W nw)/(n + nw), где S = текущая стоимость акции; nw = число варрантов в обращении; W = стоимость варрантов в обращении; ns = количество акций в обращении. При исполнении варрантов число акций в обращении повысится, что приведет к сокращению цены акций. Числитель отражает рыночную стоимость собственного капитала, включая и акции, и варранты в обращении. Сокращение S уменьшит стоимость опциона колл. В этом анализе есть что-то вроде замкнутого круга, поскольку для оценки поправки на разбавление S требуется знать стоимость варранта, а для его оценки необходимо иметь поправку на разбавление S. Данную проблему можно разрешить, начиная процесс расчета с предположения по поводу стоимости варранта (например, цены исполнения или текущей рыночной стоимости варранта). Это даст необходимую нам величину доходности варранта, и полученную величину можно использовать в качестве входного параметра для переоценки его стоимости, откуда можно начинать требуемый процесс расчета. 33 Варранты – опционы колл, выпущенные фирмой либо для выполнения контракта, предусматривающего вознаграж- дение менеджмента, либо для привлечения собственного капитала. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 140 ОТ МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА К БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ Процесс преобразования применяемой в модели Блэка-Шоулза непрерывной диспер- сии в биномиальное дерево довольно прост. Предположим, что у нас есть актив, продаю- щийся в данный момент по цене 30 долл., а оценка стандартного отклонения стоимости актива, приведенного к годовому масштабу, дала значение в 40 %. Безрисковая ставка в годо- вом выражении – 5 %. Для упрощения предположим, что срок жизни опциона, подлежащего оценке, равен 4 годам, а период равен 1 году. Для оценки цен к окончанию каждого года мы сначала оценим движения вверх и вниз по биномиальной схеме: На основе этих оценок мы можем получить цены для оконечности первого узла дерева (завершение первого года): Повышающаяся цена = 30 долл. (1,4477) = 43,43 долл. Понижающаяся цена = 40 долл. (0,6505) = 19,52 долл. Продвигаясь через оставшуюся часть дерева, мы получим следующие цифры: А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 141 А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 142 Модель Блэка-Шоулза для оценки опционов пут. Стоимость пут-опциона можно вывести из колл-опциона с той же самой ценой исполнения и тем же самым сроком действия: С – Р = S – K × e-rt, где С = стоимость опциона колл; Р = стоимость опциона пут. Связь между стоимостью опционов колл и пут называется «пут – колл паритетом», и любое отклонение от него инвесторы могут использовать для получения прибыли без вся- кого для себя риска. Чтобы объяснить, почему возникает пут – колл паритет, рассмотрим продажу колл-опциона и покупку пут-опциона с ценой исполнения К и сроком истечения t; при этом одновременно покупается базовый актив по текущей цене S. Выплаты по этой позиции – безрисковые и всегда приносят К в момент истечения срока t. Чтобы убедиться в этом, предположим, что цена исполнения к моменту срока истечения опциона равна S*. Выплаты на каждую позицию в портфеле представлены ниже: А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 143 Эта позиция со всей определенностью приносит сумму К, а издержки на создание этой позиции должны равняться текущей стоимости К при безрисковой ставке Ke-rt. S + Р – C = Ke-rt, С – Р = S – Ke-rt. Подставив стоимость опциона колл, полученного по модели Блэка-Шоулза, мы полу- чим: Таким образом, создается портфель-имитатор путем продажи без покрытия [1 -N(d1)] акций и инвестирования Ke-rt[1 -N(d2)] в безрисковый актив. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 144 Модель оценки опционов при скачкообразном процессе Если изменения цены остаются большими, когда временные периоды в биномиальной модели сокращаются, то уже нельзя предполагать, что цены меняются непрерывно. Когда изменения цен остаются значительными, процесс ценообразования, допускающий возмож- ность скачков, представляется более реалистичным. Кокс и Росс (Cox and Ross, 1976) оце- нивали опционы в условиях скачкообразного процесса ценообразования, где скачки могут быть только положительными. То есть в очередном интервале цена акции либо совершит скачок в сторону повышения с определенной вероятностью, либо поползет вниз с опреде- ленной скоростью. Мертон (Merton, 1976) рассмотрел распределение, где ценовые скачки накладываются на непрерывный ценовой процесс. Он определил скорость, с которой совершаются скачки (λ), и средний размер скачка (k), выраженный в процентах от цены акции. Модель оценки, основывающейся на данном процессе, называется моделью диффузионных скачков (jump diffusion model). В ней стоимость опциона определяется пятью переменными, установ- ленными в модели Блэка-Шоулза, а также параметрами скачкообразного процесса (λ, k). К сожалению, оценки параметров скачкообразного процесса связаны со столь большими помехами для большинства фирм, что любые преимущества использования более реали- стичной модели перестают в реальности что-либо значить. Это обуславливает ограничен- ность использования этих моделей на практике. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 145 ДОПОЛНИТЕЛЬНО ОБ ОЦЕНКЕ ОПЦИОНОВ Все модели оценки опционов, описанные до сих пор – биномиальная модель, модель Блэка-Шоулза, модель скачкообразного процесса (jump process model), – предназначены для оценки опционов с ясно определенными сроками исполнения и степенью зрелости базовых активов, обращающихся на рынке. Однако опционы, с которыми мы сталкиваемся в инве- стиционном анализе или при оценке, часто основываются на реальных, а не на финансовых активах. Реальные активы могут принимать куда более усложненные формы. В данном раз- деле рассмотрены некоторые из этих вариаций. Опционы колл с верхним пределом и барьерные опционы В случае простого колл-опциона отсутствуют какие-либо предопределенные верхние границы прибыли, которые могут быть созданы покупателем опциона. Цена актива (по край- ней мере, в теории) может свободно расти, пропорционально повышая выплаты. Однако в случае некоторых опционов покупатель имеет право получать прибыль только до опреде- ленной цены, но не выше. Рассмотрим колл-опцион с ценой исполнения К1 по активу. В слу- чае непокрытого колл-опциона выплата по этому опциону будет повышаться по мере роста цен базового актива сверх величины Kj. Предположим, что по достижении цены К2 выплаты урезаются до величины (K2 – Kj). Диаграмма выплат этого опциона показана на рисунке 5.5. Данный вид опциона называют опционом колл с верхним пределом, или опционом кэп (capped option). Следует заметить, что как только цена достигает K2, временная пре- мия опциона исчезает, поэтому опцион будет исполнен. Опционы колл с верхним пределом относятся к семейству опционов, которые называют барьерными опционами (barrier option), отличающимися тем, что выплаты и срок жизни опционов зависят от того, достигла ли цена базового актива определенного уровня в течение определенного периода времени. Стоимость опциона колл с верхним пределом всегда ниже, чем стоимость аналогич- ного колл-опциона, у которого отсутствуют границы выплат. Простое приближение для сто- имости такого опциона можно получить путем оценки колл-опциона дважды: первый раз – при данной цене исполнения, а второй раз – при цене исполнения, соответствующей гра- нице, после чего следует найти разницу между двумя значениями стоимости. В предыдущем примере стоимость колл-опциона с ценой исполнения K и границей на уровне К2 можно записать следующим образом: Стоимость опциона колл с верхним пределом = стоимость колл-опциона (К = К1 – стоимость колл-опциона (К = К2). А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 146 Барьерные опционы могут принимать разнообразные формы. В случае опциона выбы- тия (knockout option) опцион прекращает свое существование, если базовый актив дости- гает определенной цены. В случае колл-опциона цена выбытия устанавливается ниже цены исполнения, и этот опцион называется опционом с нижней границей (down-and-out option). В случае пут-опциона цена выбытия устанавливается выше цены исполнения, и его назы- вают опционом с верхней границей (up-and-out option). Подобно колл-опционам с верхним пределом, эти опционы стоят меньше, чем их собратья, не имеющие подобных ограничений. Многие реальные опционы обладают ограничениями, связанными с потенциалом движения цены актива вверх, или может наблюдаться условие выбытия. Игнорирование таких ограни- чений может привести к завышению стоимости этих опционов. Составные опционы Стоимость некоторых опционов является производной не базовых активов, а дру- гих опционов. Подобные опционы называются составными, или сложными опционами (compound option). Составные опционы могут принять любую из четырех форм: колл- опцион на основе колл-опциона, пут-опцион на основе пут-опциона, колл-опцион на основе пут-опциона или пут-опцион на основе колл-опциона. Геске (Geske, 1979) разработал ана- литическую формулировку для оценки составных опционов, заменив при вычислении стан- дартное нормальное распределение для оценки составных опционов, используемое в про- стых моделях, двумерным нормальным распределением. Рассмотрим опцион для расширения проекта, который будет описан в главе 30. Хотя мы будем оценивать этот опцион с помощью простой модели оценки опционов, на самом деле расширение может происходить в несколько этапов. При этом каждый этап представ- ляет собой опцион для последующего этапа. В этом случае мы недооценим опцион, интер- претируя его как простой, а не как составной опцион. Даже если принять во внимание наши рассуждения, оценка составных опционов усложняется по мере добавления к цепочке новых опционов. В этом случае лучше принять за основу консервативную оценку стоимости, предоставляемую простой моделью оценки, чем потерпеть кораблекрушение, пытаясь преодолеть подводные камни оценки. Радужные опционы В случае простого опциона существует неопределенность относительно цены базо- вого актива. Некоторые опционы подвержены двум или более видам неопределенности, и эти опционы называются радужными опционами (rainbow option). Использование для них простой модели оценки опционов может привести к предвзятым оценкам стоимости. Рас- смотрим для примера опцион, представляющий собой не полностью разработанный запас нефти. При этом фирма, владеющая им, имеет право разрабатывать данный запас. Здесь существуют по меньшей мере два источника неопределенности. Очевидно, что первый – это цена на нефть, а второй – объем нефти, находящейся в запасах. Для их оценки можно сделать упрощающее предположение, что нам точно известен оставшийся объем нефти. Но в дей- ствительности неопределенность относительно количества повлияет на стоимость данного опциона и затруднит решение по поводу его исполнения 34 34 Аналогичной представляется ситуация с фондовым опционом, включенным в биржевой листинг, когда мы не знаем со всей определенностью цену акции в момент исполнения опциона. Чем больше неопределенности существует в отношении цены акции, тем большую маржу за возможную ошибку покупатель опциона должен обеспечить при его исполнении, чтобы гарантировать получение прибыли. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 147 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Опцион – это актив, выплаты по которому зависят от стоимости базового актива. Колл-опцион предоставляет своему владельцу право купить базовый актив по фиксирован- ной цене, в то время как пут-опцион дает покупателю такого опциона право продать базо- вый актив по фиксированной цене в любое время до истечения срока опциона. Стоимость опциона определяется шестью переменными: текущей стоимостью базового актива, диспер- сией его стоимости, ожидаемыми дивидендами на актив, ценой исполнения и сроком жизни опциона, а также безрисковой процентной ставкой. Это демонстрируется и в биномиальной модели, и в модели Блэка-Шоулза, в которой опционы оцениваются через создание имити- рующих портфелей, составленных из базовых активов, а также безрисковых ссуд или зай- мов. Можно использовать эти модели для оценки активов, обладающих чертами опционов. А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 148 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Ниже представлены цены опционов на акции Microsoft Corporation, не приносящие дивидендов. Акции продаются по цене 83 долл., безрисковая ставка в годовом выражении равна 8,2 %. Стандартное отклонение логарифма цен на акцию (полученных на основе историче- ских данных) составляет 30 %. а) Оцените стоимость трехмесячного колл-опциона с ценой исполнения 85 долл. б) Используя входные данные для модели Блэка-Шоулза, определите, как бы вы вос- произвели этот колл-опцион. в) Каково подразумеваемое стандартное отклонение в этом колл-опционе? г) Предположим, вы покупаете колл-опцион с ценой исполнения 85 долл. и продаете колл-опцион с ценой исполнения 90 долл. Выведите диаграмму выплат для этой позиции. д) Используя пут – колл паритет, оцените стоимость трехмесячного пут-опциона с ценой исполнения 85 долл. 2. Вы пытаетесь оценить трехмесячные колл-опционы и пут-опционы на акции Merck с ценой исполнения 30 долл. Акции торгуются по цене 28,75 долл., и компания планирует через два месяца выплатить ежеквартальные дивиденды в размере 0,28 долл. на акцию. Без- рисковая процентная ставка в годовом выражении равна 3,6 %, а стандартное отклонение как логарифм цен на акцию составляет 20 %. а) Оцените стоимость опционов колл и пут, используя модель Блэка-Шоулза. б) Каково влияние ожидаемых выплат дивидендов на стоимость колл-опционов? А на стоимость пут-опционов? Почему? 3. Существует возможность, что опционы на акции Merck, описанные в предыдущем задании, могут быть исполнены досрочно. а) Используйте метод псевдоамериканского опциона, чтобы определить, повлияет ли это на стоимость колл-опциона. б) Почему существует возможность досрочного исполнения? Какие классы опционов с наибольшей вероятностью будут исполняться досрочно? 4. У вас есть следующая информация о трехмесячном колл-опционе: а) Если бы вы хотели имитировать покупку данного колл-опциона, сколько денег вам пришлось бы занять? б) Если бы вы пожелали воспроизвести покупку данного колл-опциона, сколько акций вам пришлось бы приобрести? А. Дамодаран. «Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов» 149 5. Акции производителя видеомагнитофонов Go Video в мае 1994 г. продавались по цене 4 долл. за акцию. В обращении было 11 млн акций. В то же самое время в обраще- нии находились 550 000 варрантов с ценой исполнения 4,25 долл. Акции характеризовались стандартным отклонением 60 %. На акции дивиденды не выплачивались. Безрисковая ставка составляла 5 %. а) Оцените стоимость варрантов, пренебрегая «разбавлением». б) Оцените стоимость варрантов с учетом «разбавления». в) Почему «разбавление» снижает стоимость варрантов? 6. Вы пытаетесь оценить долгосрочный колл-опцион на индекс NYSE Composite, кото- рый истекает через 5 лет и цена исполнения которого 275 пунктов. В настоящее время индекс равен 250 пунктам, а стандартное отклонение стоимости индекса в годовом выражении составило 15 %. Средний дивиденд на индекс равен 3 %, и ожидается, что он останется неиз- менным в последующие пять лет. Пятилетняя ставка на казначейские облигации составляет 5 %. а) Оцените стоимость долгосрочного колл-опциона. б) Оцените стоимость пут-опциона с теми же параметрами. в) Какие неявные предположения следует сделать при использовании модели Блэка- Шоулза для оценки этого опциона? Какие из этих предположений, скорее всего, будут нару- шены? Какие последствия это будет иметь для оценки? 7. Новые ценные бумаги на AT&T дают инвесторам право на все дивиденды АТ&Т в последующие три года. При этом потенциал повышения ограничивается 20 %, обеспечивая помимо всего прочего защиту от падения более чем на 10 %. Акции АТ&Т продаются по цене 50 долл., а трехлетние опционы колл и пут продаются на бирже по следующим ценам: Сколько вы готовы заплатить за такую ценную бумагу? |