Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни. Барри Дж. НейлбаффАвинаш ДикситТеория игр. Искусство
 Скачать 3.58 Mb.
|
|
Решения Задача для тренировки мышления № 1 Вы выиграете, если оставите соперника с 1 флажком, ко- торый тот вынужден будет взять. Это означает, что вы ока- жетесь в выигрышной позиции, если начнете раунд с 2, 3 или 4 флажков. Проиграет тот, кто останется с 5 флажками, по- скольку, что бы этот человек ни сделал, он оставит сопер- ника с 2, 3 или 4 флажками. Проиграет и тот, кто останет- ся с 9 флажками. Придерживаясь этой же логики и дальше, можно сделать вывод о том, что игрок, начинающий игру с 21 флажка, находится в проигрышной позиции (при усло- вии, что соперник использует правильную стратегию и на каждом ходе сокращает общее число оставшихся флажков на четыре). Еще один способ решить эту задачу сводится к тому, что- бы считать победителем человека, забравшего предпослед- ний флажок, поскольку в таком случае соперник остается с одним флажком, который ему придется взять. Забрать пред- последний флажок – все равно что взять последний флажок в игре, в которой задействовано на один флажок меньше. Ес- ли в игре 21 флажок, вы должны действовать так, будто в ней всего 20 флажков, и попытаться забрать последний фла- жок из 20. К сожалению, это тоже проигрышная позиция, по крайней мере если соперник понимает логику игры. Этот пример подтверждает тот факт, что игрок, делающий первый ход, не всегда имеет преимущество в игре (о чем мы уже го- ворили в главе 2 ). Задача для тренировки мышления № 2 Если вы хотите сами выполнить все эти расчеты, исполь- зуйте следующую формулу для вычисления количества то- варов, которые может продать компания RE: количество товаров, проданных RE, = 2800 – 100 × цена RE + 80 × цена BB. Формула расчета количества товаров, которые может про- дать компания BB, представляет собой зеркальное отобра- жение данной формулы. Для того чтобы рассчитать при- быль обеих компаний, вспомните, что себестоимость едини- цы продукции каждой из них составляет 20 долларов. Сле- довательно, формула расчета прибыли выглядит так: прибыль RE = (цена RE – 20) × количество товаров, приданных RE. Формула расчета прибыли BB аналогична. Эти же формулы можно ввести в электронную таблицу Excel. В первом столбце (столбце A) напечатайте цены RE, по которым вы хотите сделать расчеты в строках 2, 3, …. Поскольку в нашем диапазоне цен всего пять значений, это будут строки 2–6. В верхней строке (строке 1) напечатайте цены BB, соответствующие столбцам B, C, … – в данном случае это столбцы B – F. В ячейке B2 введите формулу: =МАХ(2800–100*$A2+80*B$1,0). Обязательно указывайте знаки доллара: согласно приня- тым в Excel обозначениям, они создают необходимые абсо- лютные и относительные ссылки на ячейки, когда формула копируется и вставляется в другие ячейки, соответствующие другим сочетаниям цен. Приведенная формула гарантирует, что в случае слишком большой разницы между ценами, уста- новленными двумя компаниями, количество товаров, кото- рые может продать компания, назначившая более высокую цену, не будет выражено отрицательным числом. Так выгля- дит таблица расчета количества товаров, которые может про- дать компания RE. Для того чтобы рассчитать прибыль RE от продажи со- ответствующего количества товаров, запишите в какой-либо пустой ячейке таблицы себестоимость единицы товара в RE, а именно 20 долларов (мы использовали для этого ячейку J 2). В той же таблице, скажем в строках 8–12 (опустив стро- ку 7 для ясности), скопируйте цены RE, указанные в столб- це А. В ячейку B8 введите формулу: =B2*($A8–$J$2). Это позволяет рассчитать прибыль RE, если компания на- значит на свой товар первую цену (42 доллара), а BB тоже на- значит свою первую цену (42 доллара). Скопируйте эту фор- мулу и вставьте ее во все остальные ячейки, для того чтобы получить полную таблицу прибылей компании RE. Формулы расчета количества товаров и прибыли компа- нии BB можно ввести в строках 14–18 и 20–24. Форму- ла расчета количества товаров, которые может продать BB, выглядит так: =МАХ(2800–100*B$1+80*$A14,0). Если ука- зать себестоимость единицы товара BB (20 долларов) в ячей- ке J3, формула расчета прибыли BB будет выглядеть так: =B14*(B$1–$J$3). В итоге у вас должна получиться таблица, подобная той, которая здесь представлена. Разумеется, если вы хотите рас- считать все эти формулы для другого количества проданных товаров или для другой себестоимости, вам необходимо из- менить соответствующие цифры. Задача для тренировки мышления № 3 Таблицу Excel можно легко модифицировать, изменив це- ну RE в ячейке J2 с 20 на 11,6: Теперь внесем данные о прибыли компаний в таблицу вы- игрышей. Обратите внимание: нам пришлось использовать более низкие цены, чтобы найти оптимальное равновесие. В новом равновесии Нэша ВВ назначает на свой продукт цену 38 дол- ларов, а RE – 35 долларов. Компания RE получает двойную выгоду за счет более низкой себестоимости, а также за счет того, что снижение цен позволяет ей переманить к себе поку- пателей ВВ. В итоге прибыль ВВ существенно сокращается (с 40 тысяч до 32,4 тысячи долларов), тогда как прибыль RE существенно увеличивается (с 40 тысяч до 54,756 тысяч дол- ларов). Хотя преимущество компании RE по себестоимости составляет всего 42 процента (11,6 доллара – это 58 процен- тов от 20 долларов), ее преимущество по прибыли – 69 про- центов (54 756 долларов в 1,69 раза больше 32 400 долла- ров). Теперь вы видите, почему компании так заинтересо- ваны в увеличении, на первый взгляд, незначительного пре- имущества по себестоимости, а также почему они часто пе- реводят свои производственные мощности в те регионы и страны, где могут обеспечить более низкую себестоимость своей продукции. Задача для тренировки мышления № 4 Если США не предпримут стратегический ход, дерево иг- ры будет выглядеть так: Если бы Советский Союз оккупировал Западную Европу, репутация Соединенных Штатов пострадала бы, если бы они приняли это как свершившийся факт, не предприняв ниче- го в ответ. Однако США потерпели бы военное поражение, понесли большие потери и, возможно, в еще большей степе- ни подорвали свой авторитет, если бы попытались ответить, применив обычное оружие, поскольку советская армия бы- ла многочисленнее и меньше заботилась о потерях. Еще бо- лее серьезное поражение США потерпели бы и в случае при- менения ядерного оружия, поскольку в ответ на это Совет- ский Союз атаковал бы Соединенные Штаты своими ядер- ными бомбами. Следовательно, для США наименее небла- гоприятный ответный ход сводится к тому, чтобы оставить Западную Европу на произвол судьбы. Если вам кажется, что это маловероятный сценарий, подумайте о том, что европей- ские члены НАТО считали его вполне вероятным и настаива- ли на том, чтобы США взяли на себя достоверное обязатель- ство как-то отреагировать на происходящее. Угроза США: «Мы применим ядерное оружие, если вы атакуете Западную Европу», – отсекает первые две ветви дерева игры, начиная от того узла, в котором США выбирают свои действия. В ито- ге дерево игры будет таким: Теперь, если Советский Союз пойдет на оккупацию За- падной Европы, его ждет ответный ядерный удар с выигры- шем –100. Следовательно, Советскому Союзу целесообразно принять статус-кво, который даст ему менее неблагоприят- ный выигрыш – 0. В главах 6 и 7 говорится о том, как США могут сделать свою угрозу достоверной. Задача для тренировки мышления № 5 Стоимость билетов первого класса (215 долларов) ниже той цены, которую готовы заплатить пассажиры, совершаю- щие деловые поездки (300 долларов). Следовательно, огра- ничение участия выполнено. Туристы получают нулевой вы- игрыш потребителя (140–140 = 0) от покупки билетов пер- вого класса. Следовательно, они не захотят воспользоваться другим тарифом, а значит, ограничение совместимости сти- мулов тоже выполнено. Задача для тренировки мышления № 6 На аукционе Викри вы вообще не захотите платить за то, чтобы узнать цену, которую предлагают другие участники торгов. Помните: предложение цены, соответствующей той ценности, которую представляет для вас предмет торгов, – доминирующая стратегия в аукционе Викри. Следовательно, вам необходимо предлагать одну и ту же цену независимо от того, что вы выясните о цене других участниках торгов. Од- нако здесь есть одно предостережение. Мы исходим из пред- положения, что ценность предмета торгов носит для вас лич- ный характер и не зависит от того, как оценивают его дру- гие. На аукционе Викри, где предмет торгов имеет общую ценность для его участников, вы, возможно, захотели бы из- менить предложенную цену на основании того, что делают другие участники, но только потому, что это меняет ваши представления о ценности данного предмета торгов. Задача для тренировки мышления № 7 Для того чтобы продемонстрировать, как делать ставки во время закрытого аукциона, мы преобразуем аукцион Ви- кри в закрытый аукцион и проанализируем простую ситуа- цию, когда в аукционе принимают участие всего два покупа- теля, для которых ценность предмета торгов составляет от 0 до 100, а все промежуточные значения в равной степени ве- роятны. Начнем с аукциона Викри. Ценность предмета торгов со- ставляет для вас 60 долларов, поэтому вы предлагаете цену 60 долларов. Если бы мы сказали вам, что вы выиграли аук- цион, вы были бы довольны, но не знали, сколько вам при- дется заплатить. Вам известно только, что эта сумма немно- го ниже 60 долларов. Все возможные варианты цены ниже 60 долларов в равной степени вероятны, поэтому вы платите в среднем 30 долларов. Если бы мы предложили вам выбор: заплатить 30 долларов или заплатить сумму, соответствую- щую второй самой высокой цене, эти варианты были бы для вас равнозначны – по вашим оценкам, вы в любом случае должны будете заплатить 30 долларов. Точно так же, если бы ценность предмета торгов составляла для вас 80 долларов, вы были бы рады предложить 40 долларов, если бы узнали, что ваша ставка выиграла аукцион Викри. В более общем случае, если ценность предмета для вас составляет Х долла- ров, вы рассчитываете заплатить Х / 2 доллара (вторая самая высокая ставка), если выиграете аукцион Викри. Вас впол- не устроило бы, если бы вам пришлось сразу же заплатить Х / 2 доллара, когда ваша ставка Х выиграет аукцион. Давайте так и сделаем. Вместо того чтобы платить вторую самую высокую цену, изменим правила таким образом: ко- гда вы предложите Х долларов, вы должны будете заплатить сумму Х / 2 доллара, если ваша ставка Х выиграет аукцион. Поскольку в среднем это тот же результат, что и в аукцио- не Викри, вам не следует менять оптимальную ставку. А те- перь представим себе, что все остальные участники аукцио- на придерживаются того же правила. Они тоже не должны менять свои ставки. На данном этапе мы получили нечто весьма похожее на закрытый аукцион. Каждый участник аукциона записывает свою цену на бумаге, а выигрывает предложение с самой вы- сокой ценой. Единственное отличие состоит в следующем: вместо того чтобы платить предложенную цену, вы должны будете заплатить только половину. Это все равно, что запла- тить в долларах США вместо британских фунтов. Но эта игра не обманет участников аукциона. Если пред- ложение цены 80 долларов означает, что вы должны запла- тить 40 долларов, то ставка 80 долларов означает на самом деле 40 долларов. Если бы мы еще раз изменили правила, чтобы вы платили предложенную цену, а не половину, то- гда все остальные участники аукциона просто сократили бы свои ставки в два раза. В таком случае, если вы готовы за- платить 40 долларов, вы предлагаете цену 40 вместо 80. В итоге мы получили закрытый аукцион. Вероятно, вы обра- тили внимание на следующий факт: равновесная стратегия обоих игроков сводится к тому, чтобы предлагать цену, эк- вивалентную половине ценности, которую представляет для них предмет торгов. Если вы хотите убедиться в том, что это действительно равновесная стратегия, то можете предположить, что другой игрок предлагает цену, равную половине его ценности пред- мета торгов, и представить себе, как отреагировали бы на это вы. Если вы предлагаете цену Х, то выиграете, если цен- ность предмета торгов для другого аукционера меньше 2Х (а значит, он предлагает цену меньше Х). Вероятность такого развития событий равна 2Х / 100 . Таким образом, выигрыш от ставки Х при условии, что V – истинная ценность предмета торгов, составляет: (Вероятность того, что выиграет Х ) × (V – Х) = (2Х / 100) (V – Х). Это уравнение дает максимальное значение при X = V / 2 Если другой игрок предлагает цену, равную половине цен- ности предмета торгов для него, то вам необходимо предло- жить цену, равную половине своей ценности. Если вы пред- лагаете цену, равную половине ценности предмета торгов для вас, то другому игроку необходимо поступить так же. Следовательно, мы имеем равновесие Нэша. Как видите, лег- че проверить, что при определенных условиях достигается равновесие, чем найти это равновесие. Задача для тренировки мышления № 8 Предположим, вы знали, что ваш соперник будет действо- вать при t = 10. В таком случае вы могли бы сделать свой ход на счет 9,99 или подождать и позволить сопернику ис- пользовать свой шанс. Если вы выстрелите при t = 9,99, ваша вероятность выиграть составляет около p(10). В случае ожи- дания вы выиграете, если ваш соперник промахнется. Веро- ятность такого развития событий равна 1 – q(10). Следова- тельно, вы должны сделать свой ход раньше соперника, если p (10) > 1 – q(10). Разумеется, ваш соперник делает такие же расчеты. Если он считает, что вы намерены сделать свой ход первым при t = 9,99, он сделает первый ход при t = 9,98, если q(9,98) > 1 – p (9,98). Следовательно, ни один из игроков не захочет делать свой ход раньше соперника при таком условии: p (t) ≤ 1 – q(t) и q(t) ≤ 1 – p(t). Это условие тождественно следующему условию: p (t) + q(t) ≤ 1. Таким образом, оба игрока готовы ждать до момента p(t) + q (t) = 1, а затем выстрелить. Задача для тренировки мышления № 9 Если ваш дом будет продан за 250 тысяч долларов, комис- сионные в размере 15 тысяч долларов разделят между со- бой поровну ваш агент и агент покупателя. Проблема в том, что такая система оплаты создает слабые стимулы. Если ваш агент работает усердно и продает дом на 20 тысяч долларов дороже, после раздела комиссионных он получит дополни- тельно всего 600 долларов. Более того, ему придется разде- лить эту сумму еще и с агентством, на которое он работа- ет, после чего у него останется всего 300 долларов. Вряд ли эта сумма стоит дополнительных усилий, поэтому агенты по продаже недвижимости заинтересованы в том, чтобы про- дать дом побыстрее, а не получить за него самую высокую цену. Почему бы не предложить агенту нелинейную систему оплаты: 2,5 процента за базовую стоимость дома – 200 тысяч долларов, а затем 20 процентов от любого превышения этой суммы? Если цена продажи составит 250 тысяч долларов, комиссионные останутся такими же, как и прежде: 15 тысяч долларов. Однако если вашему агенту удастся продать дом за 270 тысяч долларов, это увеличит размер его комиссион- ных на 2000 долларов даже после раздела. Разумеется, здесь возникает вопрос о том, каким должен быть предельный размер комиссионных. Если вы считаете, что ваш дом можно продать за 300 тысяч долларов, то вы заинтересованы в том, чтобы размер комиссионных соответ- ствовал цене продажи 250 тысяч долларов. Напротив, агент попытается занизить стоимость вашего дома и будет утвер- ждать, что 250 тысяч долларов – это его рыночная цена, что потребует выплаты более высоких комиссионных, исходя из базовой цены 200 тысяч долларов. Это создает серьезный конфликт между вами и агентом в самом начале вашего со- трудничества. Задача для тренировки мышления № 10 Для того чтобы понять, насколько большим может быть такое несовпадение интересов, необходимо глубже проана- лизировать некоторые экономические показатели. Как пра- вило, издатель получает 50 процентов от прейскурантной це- ны книги. Затраты на издание и доставку книги в твердом переплете составляют в среднем три доллара на книгу. В та- ком случае при цене p, которая обеспечивает объем продаж q (p), издатель заработает (0,5p – 0,15p – 3) × q(p) = 0,35 × (p – 8,6) × q(p). Поскольку издатель получает только половину прейску- рантной цены и должен выплатить автору 15 процентов, у него остается всего около 35 процентов, но он должен взять на себя все затраты на издание книги. В итоге реальные за- траты на издание книги могут составить почти в три раза больше: 8,6 доллара. Возьмем самый простой случай, когда спрос носит линей- ный характер, скажем q(p) = 40 – p, и измеряется в тысячах. Для того чтобы получить максимальный доход, автор выбе- рет прейскурантную цену 20 долларов. С другой стороны, издатель выберет цену 24,3 доллара, для того чтобы полу- чить максимальную прибыль. |