20-Билет
№
|
|
1
|
Ответьте на вопрос о том, что изучает математическая физика. Назовите основные задачи математической физики. Сформулируйте основные задачи математической физики.
Математическая физика является интегративной дисциплиной, которая обьединяет математику и физику в обьеме, необходимом для изучения разделов теоретической физики.
Математическая физика представляет собой теорию математических модолей физических явлений.
В математической физике рассматриваются две задачи- прямая и обратная.
Прямая задача состоит в следующем. Задано правило определения рассматриваемой физической велечины в любой точке пространства, т.е. характер поля. Изучением дифференциальных свойств различных полей занимается математическая теория поля.
Обратная задача состоит в определении конкретного вида математического поля, если извесны условия, в которых находится физическое тело.
|
2
|
Напишите уравнение Бесселя. Изложите методику решения уравнения Бесселя. Назовите цилиндрические функции.
Цилиндрические функции: функция Бесселя, функция Грина
Это уравнение называется уравнением Бесселя.
 
|
21-Билет
№
|
|
1
|
Дайте определение производной скалярного поля. Найдите зависимость производной скалярного поля от направления дифференцирования.
Вектор, направленный в данной точке  по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания скалярного поля и численно равный производной скалярного поля в точке по нормали, называется градиентом скалярного поля:
Градиент поля имеет следующие дифференциальные свойства
 , или  ;
 , или  ;
 , или  ;
 , или  ,
которые легко доказываются применением обычных правил дифференцирования.
|
2
|
Напишите уравнение Лежандра. Изложите методику решения уравнения Лежандра. Запишите формулы Родриго для полиномов Лежандра и присоединенных полиномов Лежандра.
Обобщенное уравнение Лежандра .
 - присоединенные полиномы Лежандра, вычисляемые по формуле Родриго
 - полиномы Лежандра..
 
|
22-Билет
№
|
|
1
|
Запишите оператор Гамильтона. Найдите результат действия оператора Гамильтона на произведения скалярных и векторных полей. Используя аналитический метод, определить результат действия оператора Гамильтона на произведение скалярного и векторного полей 
Оператор Гамильтона
Результат действия оператора Гамильтона на произведения скалярных и векторных полей следующий:
 ; (1)
; (2)
 . (3)
|
2
|
Дайте определение уравнения гиперболического типа. Приведите примеры уравнений гиперболического типа. Покажите как уравнение гиперболического типа приводится к каноническому виду.
 (1)
 (2)  (3)
В зависимости от значения коэффициентов, стоящих при старших производных, уравнения подразделяются на несколько типов.Если  , то дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением гиперболического типа.
Если уравнение (3.1) гиперболического типа, то интегралы  уравнений (3.3) и (3.4) вещественны и различны. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик уравнения (3.1). С помощью замены переменных  уравнение (3.1) приводят к каноническому виду уравнения гиперболического типа:
 .
К уравнениям гиперболического типа относятся:
трехмерное волновое уравнение  , где  ,
одномерное волновое уравнение (уравнение колебаний струны)  , где  ,
неоднородное волновое уравнение (уравнение Даламбера)  .
|
23-Билет
№
|
|
1
|
Назовите дифференциальные операции второго порядка. Произведите доказательство одного из результатов дифференциальных операций второго порядка непосредственным вычислением.
Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора Гамильтона к скалярному и векторному полю.
Дифференциальные операции второго порядка можно представить в виде таблицы:
|
2
|
Дайте определение уравнения параболического типа. Приведите примеры уравнений параболического типа. Покажите как уравнение параболического типа приводится к каноническому виду.
(1)
(2) (3)
В зависимости от значения коэффициентов, стоящих при старших производных, уравнения подразделяются на несколько типов.Если  , то – уравнением параболического типа.
Если же уравнение (1) параболического типа, то уравнения (2) и (3) совпадают, и мы получаем один общий интеграл характеристического уравнения :  , определяющий одно семейство вещественных характеристик уравнения (1). Произведя замену переменных по формулам , где  — такая функция, что  в рассматриваемой области, приведем уравнение (1) к виду
называемому каноническим видом уравнения параболического типа.
Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости. К уравнениям параболического типа относятся уравнения теплопроводности, уравнения диффузии. Они могут быть одномерными, двумерными или трехмерными, однородными или неоднородными.
Одномерная задача о распределении температуры в стержне приводится к исследованию уравнения теплопроводности, которое в общем виде может быть представлено в виде: 
где  - коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств материала,  - удельная теплоемкость и плотность вещества,  - функция плотности тепловых источников.
Если стержень однородный, это уравнение примет вид: 
где  - коэффициент температуропроводности,  .
Если объемные источники тепла отсутствуют, то получим
| |
Скачать 3.75 Mb.
