Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
Jў, можно высказать чрезвычайно важное предположение, а именно следует ожидать, что важнейшее проявление электрического тока — появление связанного с ним магнитного поля — будет одинаковым для обеих составляющих. Опыт полностью подтверждает такое предположение. Эти идеи впервые были высказаны Максвеллом и привели к созданию им теории электромагнитного поля. Действительно, согласно этим идеям, при всяком изменении электрического поля, даже в предположении отсутствия в нем частиц вещества (P = 0), должно возникать в том же пространстве связанное с электрическим полем магнитное полете. образуется единое электромагнитное поле. Эти важные представления будут нами развиты подробнее в дальнейшем. В свете сказанного ранее количественно полный электрический ток, или полный ток, есть скалярная величина, равная сумме тока проводимости и тока смещения сквозь рассматриваемую поверхность, тет В этом выражении в q входят и заряды свободных носителей, и суммарный связанный заряд, проходящий сквозь поверхность при поляризации вещества. Второй член в выражении для тока представляет собой ток смещения в пустоте, Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 41 Рис. Рис. Рис. 1.16 являющийся скалярной величиной и равный производной повремени от потока электрического смещения сквозь рассматриваемую поверхность. Принцип непрерывности электрического тока Вообразим в диэлектрике замкнутую поверхность s рис. 1.17) и представим, что заряжается тело A, расположенное внутри этой поверхности. При увеличении заряда q тела усиливается окружающее его электрическое поле и возрастает электрическое смещение в диэлектрике. Поэтому сквозь поверхность s изнутри наружу протекает ток смещения. Поток вектора смещения сквозь поверхность равен свободному заряду q, заключенному внутри поверхности т Возьмем производную от этого равенства повремени. Получим s т = . Величина d dt d d i s s D т т = = J см см есть ток смещения сквозь поверхность s изнутри наружу. Величина dq/dt есть скорость нарастания свободного заряда, заключенного внутри поверхности s. Увеличение свободного положительного заряда в объеме пространства, ограниченного поверхностью s, возможно только путем переноса положительных зарядов из внешнего пространства внутрь объема или отрицательных зарядов — в обратном направлении. Этот перенос может быть осуществлен либо притоке проводимости пр в проводниках, пересекающих поверхность, либо притоке переноса пер, когда заряды переносятся сквозь поверхность на заряженных телах или движущимися в пространстве заряженными частицами. Если dq/dt > 0, то положительные заряды переносятся из внешнего пространства внутрь объема, ограниченного поверхностью, а следовательно, сумма токов (пр+ пер) будет отрицательна, так как положительной считаем внешнюю нормаль. Таким образом -пр пер Равенство d dt d dq dt s D s т = теперь может быть переписано в виде i i i см пр пер - + ( ) или i + i + i см пр пер 0. Следовательно, сумма токов всех родов — проводимости, переноса и смещения — сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю. 42 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 1.17 Если обозначить через dd без индекса плотность полного тока (dd = J J + см ) и через i — весь ток сквозь поверхность, то для любой замкнутой поверхности будем иметь i d s = = т dd s что и является общим выражением принципа непрерывности электрического тока. Этот важный принцип гласит полный электрический ток сквозь взятую в какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю. При этом выходящий из поверхности ток считается положительным, входящий — отрицательным. Таким образом, линии тока нигде не имеют ни начала, ни конца, они принципиально являются замкнутыми линиями. Электрический ток протекает всегда по замкнутым путям. Из всего сказанного ясно, что принцип непрерывности, или, что тоже, принцип замкнутости тока, приобретает всеобщее значение только с введением понятия о токе смещения в диэлектрике и именно с учетом тока смещения в пустоте. В качестве примера рассмотрим, как осуществляется замкнутость линий тока переноса, те. движущихся заряженных тел или частиц. Этот случай имеет глубокое принципиальное значение, так как всякий электрический ток, кроме тока смещения в пустоте, представляет собой движение большого числа отдельных заряженных элементарных частиц. Рассмотрим уединенный точечный заряд q, движущийся в пустоте со скоростью рис. 1.18). В каждый момент времени вектор D в любой точке пространства направлен по радиальной прямой, исходящей из центра заряда, и имеет величину, равную D = e 0 E = q/(4pr 2 ) (предполагаем, что v значительно меньше скорости света и, следовательно, поле имеет такой же характер, как и для неподвижного заряда). За промежуток времени Dt заряд проходит путь Dz = vDt. Соответственно новому положению заряда вектор смещения в каждой точке пространства получает новое значение D + DD. Вектор плотности тока смещения см dD/dt всюду имеет направление, к которому стремится вектор DD при Dt ® 0. На рис. 1.18 построены векторы плотности тока в некоторых точках пространства A 1 – A 5 . Если бы мы произвели это построение в достаточно большом числе точек простран- Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 43 Рис. 1.18 ства, то получили бы возможность провести линии тока смещения. Они имели бы вид линий, изображенных на рисунке. Мы видим, что ток смещения является продолжением тока переноса и линии тока оказываются замкнутыми. При большом числе движущихся элементарных заряженных частиц картина линий тока смещения усложняется, но по-прежнему линии тока оказываются замкнутыми, так как эта сложная картина получается наложением простых построений, изображенных на рис. В качестве другого примера рассмотрим линию передачи (рис. 1.19). При переменном напряжении между проводами в диэлектрике возникают токи смещения. Проведем замкнутую поверхность s так, чтобы она охватила часть одного провода линии. Токи в проводе входящий в поверхность и выходящий из нее — различаются между собой назначение тока смещения в диэлектрике, проходящего сквозь поверхность s. Поэтому переменный ток в проводе в один и тот же момент времени различен в разных поперечных сечениях провода. С этим обстоятельством приходится считаться при быстрых изменениях напряжения между проводами и для очень длинных линий. Электрическое напряжение. Разность электрических потенциалов. Электродвижущая сила Перейдем к рассмотрению весьма важных величин, связанных с электрическим полем, а именно электрического напряжения, разности электрических потенциалов и электродвижущей силы. Если частица с зарядом q переносится в электрическом поле вдоль некоторого пути, то действующие на нее силы поля совершают работу. Отношение этой работы к переносимому заряду представляет собой физическую величину, называемую электрическим напряжением. При перемещении частицы по пути dl рис. силы поля совершают работу = f cos a dl = qE cos a dl = Через dl обозначен вектор, равный по величине элементу пути dl и направленный по касательной T к пути в сторону перемещения заряженной частицы. Угол a есть угол между векторами E и Работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы вдоль всего пути от точки A до точки B рис. 1.20), равна q E dl т т т cos cos a a E Она пропорциональна линейному интегралу E dl A B cosa т напряженности поля вдоль заданного пути. Этот линейный интеграл равен электрическому напряжению вдоль заданного пути от A к B. Принято обозначать напряжение буквой u. Таким образом, 44 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. Рис. 1.20 u E dl d A B A B АВ = = т т a E Следовательно qu = АВ В общем случае рассматриваемый путь может проходить в любой среде, в частности он может быть взят целиком в проводнике, целиком в диэлектрике или может проходить частично в проводнике и частично в диэлектрике. В соответствии с изложенным электрическое напряжение представляет собой физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемого пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого пути. Нередко, говоря о напряжении вдоль некоторого участка пути, употребляют термин падение напряжения вдоль этого участка. Соответственно линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль некоторого замкнутого контура E т представляет собой сумму падений напряжений вдоль всех участков этого контура. Единицей напряжения является вольт (В). Из сказанного вытекает, что значение напряженности электрического поля равно падению напряжения, отнесенного к единице длины линии напряженности поля. В самом деле, падение напряжения на пути dl равно du = E dl, если путь совпадает с линией напряженности поля, и, следовательно, E = du/dl. Поэтому единицей напряженности электрического поля является вольт на метр (1 В/м). Как было отмечено в § 1.6, в проводящей среде напряженность электрического поля E связана с плотностью тока J соотношением E = rJ, где r — удельное сопротивление среды. В простейшем случае для прямолинейного отрезка проводника с постоянным током i, длиной l и сечением s падение напряжения в нема ток = Js. Таким образом, u = rJl = rli/s = ri. Величина r = u/i является электрическим сопротивлением рассматриваемого отрезка проводника. Электрическое сопротивление измеряется в омах (Ом). Соотношение u = ri представляет собой закон Ома для этого участка проводника. Мощность, определяющая количество энергии, выделяемой в проводнике в виде теплоты в единицу времени, имеет выражение p = A/t = uq/t = ui = Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца. Единицей мощности является ватт (Вт). Рассмотрим теперь величины, именуемые электрическим потенциалом и разностью электрических потенциал о в. Пусть имеется электростатическое полете. поле покоящихся заряженных тел (рис. 1.21). В электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру равен нулю E т 0. Это важное свойство электростатического поля вытекает из принципа сохранения энергии. Предположим, что по замкнутому пути AmBnA рис. 1.21) перемещается Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 45 Рис. 1.21 точечное тело с зарядом q. На части замкнутого пути движение будет происходить в направлении сил поля и работа, совершенная силами поля, будет положительной. На другой части замкнутого пути движение будет происходить против сил поля и, соответственно, работа сил поля будет отрицательной. Работа, совершенная силами поляна перемещение тела с зарядом q по всему замкнутому пути, должна быть равна нулю т 0, тет Действительно, при отсутствии этого условия всегда можно было бы выбрать такое направление обхода контура AmBnA, чтобы работа оказалась положительной. Однако после обхода по замкнутому пути система, включая и тело с зарядом, возвращается в точности в исходное состояние, а это значит, что можно было бы повторять обход контура телом с зарядом q любое число рази получать при каждом обходе конечную положительную работу. Возможность существования подобного неисчерпаемого источника энергии противоречит принципу сохранения энергии. Таким образом, в электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю. Отсюда непосредственно вытекает независимость линейного интеграла напряженности поля от выбора пути интегрирования при заданных начальной и конечной точках Аи В пути. Действительно l E l E т т т = + = откуда l E l E т т т = -атак как пути m и n взяты произвольно, то, следовательно, интеграл т в электростатическом полене зависит от выбора пути интегрирования и является только функцией координат точек A и Величину, равную этому интегралу, называют разностью электрических потенциалов точек Аи В и обозначают U A – U B . Имеем U A – U B = E l d A B т С другой стороны, этот интеграл равен напряжению вдоль некоторого пути от точки A к точке B. Следовательно, в применении к электростатическому полю термины напряжение и разность потенциалов относятся к одной и той же величине. В дальнейшем разность потенциалов будем обозначать буквой u, как и напряжение, в соответствии с чем будем применять обозначение U A — U B = Из сказанного выше ясно, что разность электрических потенциалов двух точек электростатического поля численно равна работе сил поля при перемещении точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице, из одной данной точки в другую. 46 Часть 1. Основные понятия и законы теории Изберем в качестве конечной точки заданную в пространстве точку P. Тогда значение интеграла E т явится функцией только координат x, y, z точки Обозначая эту функцию через или U (x, y, z), можем написать l d U U x y т, , Величина U называется электрическим потенциалом рассматриваемой точки поля. Потенциал заданной точки P равен нулю, так как U d P P P = = т E l Электрический потенциал, характеризующий данное поле, может быть определен лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от произвольного выбора точки P, в которой потенциал принимается равным нулю. Электрическое поле, которое может быть в каждой точке охарактеризовано с точностью до произвольной постоянной скалярной величины, именуемой электрическим потенциалом, носит название потенциального электрического пол я. Таковыми, в частности, являются электростатическое поле, а также электрическое поле постоянных токов, протекающих по неподвижным проводникам, при условии, что поле рассматривается вне области действия источников электродвижущих сил. Действительно, распределение зарядов на проводниках при этом остается, как ив электростатике, неизменным во времени. Электрическое поле около неподвижных проводников с постоянными токами и внутри этих проводников будем называть стационарным электрическим полем (E стац ). Оговорка о необходимости ограничения областью вне источников ЭДС для того, чтобы поле было потенциальным, будет рассмотрена в конце этого пара- графа. В реальных практических задачах электростатики обычно принимают равным нулю потенциал поверхности земли. При теоретическом исследовании задач, в которых рассматриваются заряженные тела, расположенные в ограниченной области пространства и окруженные бесконечной диэлектрической средой, обычно принимают равным нулю потенциал точек, бесконечно удаленных от заряженных тел, те. определяют потенциал как интеграл: U d A = Ґ т E Поверхности, которые пересекаются линиями напряженности электрического поля под прямым углом, являются поверхностями равного электрического потенциала. Действительно, вдоль любой линии на этой поверхности имеем т, так как cos a = 0. Следовательно, разность потенциалов любых двух точек A и B, лежащих на этой поверхности, равна нулю. Уравнение U(x, y, z) = const определяет совокупность точек, лежащих на поверх- Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля ности равного потенциала, те. является уравнением этой поверхности. Следы поверхности равного потенциала на плоскости чертежа называют линиями равного потенциала. Очевидно, линии равного потенциала пересекаются с линиями напряженности поля всюду под прямым углом. Напряженность электрического поля внутри проводников при статическом состоянии зарядов должна быть равна нулю, так как при отсутствии тока (J = имеем E = rJ = 0. Поэтому в электростатическом состоянии каждое проводящее тело имеет во всем объеме одинаковый потенциал поверхности этих тел суть поверхности равного потенциала, и линии напряженности поля в диэлектрике нормальны к ним. Если диэлектрическая проницаемость изолирующей среды, окружающей заряженное проводящее тело, не зависит от напряженности электрического поля, то величина E всюду в диэлектрике, а следовательно, и потенциал U тела будут пропорциональны заряду q тела. Отношение q к U называется электрической емкостью тела причем равным нулю принимается потенциал в бесконечности. Электрическая емкость уединенного тела зависит от геометрических параметров g, определяющих форму и размеры тела, и от абсолютной диэлектрической проницаемости e окружающего его диэлектрика C = F(g, e). Если диэлектрик однороден, то = ef(g). При указанной оговорке, что e не зависит от E, величина C не зависит от q и Для двух проводящих тел, окруженных диэлектриком, при условии, что их заряды равны и противоположны по знаку, те, разность потенциалов этих тел будет пропорциональна заряду одного из них. При этом величина 1 2 2 2 называется электрической емкостью между этими телами. Она зависит от геометрических величин g, определяющих форму, размеры и взаимное расположение тела также от абсолютной диэлектрической проницаемости e диэлектрика. Для однородного диэлектрика C = e f Система из двух таких тел, специально созданная для использования ее электрической емкости, называется конденсатор о мВ формуле для емкости между телами берется заряд того тела, от которого отсчитывается разность потенциалов. При этом всегда C > Единицей электрической емкости служит фарад (Ф). Единицей абсолютной диэлектрической проницаемости, как было отмечено в § 1.4, является фарад на метр (Ф/м). Действительно, из выражения e = следует, что единицей величины e будет 1 1 Кл м В м Кл В мм Ч Ф |