Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
26 Часть 1. Основные понятия и законы теории тов поверхности на составляющие вектора, нормальные к этим элементам, распространенный по всей поверхности s, носит название потока вектора сквозь эту поверхность. Поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность s, который обозначим через Y E , равен Y E s E ds = т cos Обозначив через ds вектор, длина которого численно равна площади поверхности элемента ds, а направление совпадает с направлением положительной нормали к этому же элементу, напишем выражение потока сокращенно в векторной форме: Y E s d = т E где E ds = E cos b ds есть скалярное произведение векторов E и ds. Поток вектора величина скалярная. Пусть точечный заряд q расположен в пустоте. Из опытного закона Кулона q q r r 1 2 0 2 4pe следует выражение для напряженности электрического поля точечного заряженного тела (рис. 1.6): E r = 1 4 0 2 e q r Величина e 0 , называемая электрической постоянной, является характеристикой пустоты и равна величине, обратной произведению постоянной 4pЧ10 –7 Гн/м на квадрат скорости света в пустоте p -7 0 2 1 4 10 = Ч c , где вычисляется в фарадах на метр. Если принять, что c = Ч 8 » Ч мс — числовое значение скорости света в пустоте, то e p 0 9 12 1 4 9 10 8 85 Ч Ч » Ч - , Ф м Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 27 Рис. Рис. 1.6 Рассмотрим замкнутую поверхность s, ограничивающую часть пространства, в которой находится точечный заряд q. Замкнутая кривая, изображенная на рис. 1.7 штриховой линией, представляет собой след такой поверхности в плоскости рисунка. Выражение для потока вектора E сквозь замкнутую поверхность s в рассматриваемом случае имеет вид s r т т q r d s 4 Подынтегральное выражение определяет телесный угол, под которым видна площадка ds от точки, где расположен заряд. Поскольку вся поверхность замкнута, то суммарный угол равен 4p, и поэтому для точечного заряда имеем т Полученное соотношение является математическим выражением теоремы Гаусса, которая гласит поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в пустоте равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности, к электрической постоянной. То существенное обстоятельство, что результат получается независящим от места расположения заряженного точечного тела внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью s, позволяет обобщить это выражение для любого числа точечных заряженных тела следовательно, и для любого числа заряженных тел произвольной формы. Таким образом, теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора сквозь замкнутую поверхность и суммарным зарядом тел, заключенных внутри объема, ограниченного поверхностью Применяя теорему Гаусса к поверхности, ограничивающей отрезок трубки напряженности поля (рис. 1.8), имеем s E s E s E s s d d + d +т т т т 2 0 Нот, так как вектор E касателен к боковой поверхности s 0 трубки. Следовательно, E s E s s s 1 т т - d d , те. поток сквозь различные поперечные сечения трубки напряженности поля имеет одно и тоже значение. 28 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. Рис. 1.8 Из теоремы Гаусса вытекает важное следствие, что электрический заряд на заряженном проводящем теле любой формы распределяется на его поверхности, или, точнее, в весьма тонком слое вблизи поверхности. Напряженность поля внутри проводника при статическом состоянии зарядов должна быть равна нулю. Действительно, при наличии электрического поля в проводящей среде свободные электрически заряженные частицы придут в движение и, следовательно, статическое состояние установится только тогда, когда напряженность поля внутри проводника во всем его объеме станет равной нулю. Поэтому, проводя любую замкнутую поверхность внутри проводящего тела, получим поток Y E s = т E s d сквозь эту поверхность равным нулю. Таким образом, согласно теореме Гаусса, заряд внутри такой поверхности также равен нулю. Отсюда следует, что внутри тела суммарный заряд равен нулю и заряд тела распределен только на его поверхности. Поляризация веществ. Электрическое смещение. Постулат Максвелла Рассмотрим процессы, которые происходят в веществе под воздействием электрического поля при условии отсутствия в веществе свободных носителей заряда. Заряженные частицы, входящие в состав молекул вещества, испытывают со стороны поля механические силы. Эти силы вызывают внутри молекул смещение частиц с положительными зарядами в сторону поля и частиц с отрицательными зарядами — в противоположном направлении. Если напряженность поля нечрезмерно велика, то частицы с положительными и отрицательными зарядами совершенно разойтись не могут, так как они удерживаются внутриатомными, внутримолекулярными или межмолекулярными силами. Существует ряд веществ, молекулы которых при отсутствии внешнего поля электрически нейтральны, те. заряды, входящие в состав такой молекулы, в среднем не создают электрического поля во внешнем по отношению к молекуле пространстве, иными словами, центр электрического действия всех электронов в молекуле совпадает с центром действия положительных ядер. В результате смещения под действием внешнего поля положительно и отрицательно заряженных частиц, входящих в состав молекулы, в противоположных направлениях центры электрического действия первых и вторых уже не будут совпадать и во внешнем пространстве молекула будет восприниматься как электрический диполь, те. как система двух равных, противоположных по знаку точечных зарядов q и –q, смещенных друг относительно друга на некоторое расстояние d. Произведение qd называют электрическим моментом диполя. Электрический момент диполя рассматривают как векторную величину, направленную в сторону смещения положительного заряда, и обозначают Под действием внешнего электрического поля каждая молекула обращается в диполь, и вещество оказывается в поляризованном состоянии. Рассмотренные диполи именуют квазиупругими диполями. К веществам, молекулы которых обладают такими свойствами, относятся, например, газы водород, кислород, азот. Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля Существует другой класс изолирующих веществ, молекулы которых обладают отличным от нуля электрическим моментом даже при отсутствии внешнего поля. Такие молекулы называют полярными. В качестве примера назовем газ хлористый водород (НС, молекулы которого состоят из положительного иона водорода и отрицательного иона хлора, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, те. являющихся диполями. Тепловое движение приводит диполи в хаотическое расположение, и электрические поля отдельных диполей взаимно нейтрализуются во внешнем пространстве. Если внести такое вещество во внешнее поле, то диполи будут стремиться расположиться своими осями вдоль линий поля. Однако этому упорядоченному расположению препятствует тепловое движение. В результате происходит лишь некоторый поворот диполей в направлении поля, и вещество оказывается в определенной мере поляризованным. При этом к эффекту ориентации осей диполей обычно добавляется рассмотренный выше эффект деформации молекул. Электрическим моментом некоторого объема поляризованного вещества называют векторную величину, равную геометрической сумме электрических моментов всех диполей, заключенных в этом объеме. Степень электрической поляризации вещества в данной точке характеризуют векторной величиной, называемой поляризованностью или интенсивностью поляризации, и обозначают буквой Поляризованность равна пределу отношения электрического момента некоторого объема вещества, содержащего данную точку, к этому объему, когда последний стремится к нулю. В веществах с квазиупругими диполями при наличии электрического поля оси всех диполей имеют одинаковое направление, и можно написать = N 1 p = где N 1 = dN/dV — число диполей (молекул, отнесенное к единице объема вещества, причем dN число диполей в объеме dV. Опыт показывает, что в полях, с которыми мы имеем дело на практике, для всех таких веществ поляризованность пропорциональна напряженности поля, те Эта пропорциональность характерна и для веществ с полярными молекулами. При этом она нарушается лишь при очень сильных полях, когда почти все диполи ориентируются вдоль внешнего поля. Коэффициент c называют абсолютной диэлектрической восприимчивостью вещества. Отношение c r = называют относительной диэлектрической восприимчивостью, или просто диэлектрической восприимчивость ю. Вещество, основным электрическим свойством которого является способность поляризоваться под воздействием электрического поля, называется ди- электриком. Существует особая группа диэлектриков, так называемые сегнетоэлектрики, у которых величина c сильно зависит от напряженности поля и при некоторых значениях напряженности поля и температуры достигает весьма больших значе- ний. 30 Часть 1. Основные понятия и законы теории Поляризованность диэлектрика можно охарактеризовать также несколько иначе, связав определение поляризованности с фактом смещения в диэлектрике положительно и отрицательно заряженных частиц под действием поля. Пусть изолирующее вещество помещено в однородное электрическое поле между двумя заряженными металлическими пластинами. При установлении поля частицы с положительными зарядами в диэлектрике смещаются по направлению к отрицательно заряженной пластине в среднем на расстояние x. Частицы с отрицательными зарядами при этом перемещаются по направлению к положительно заряженной пластине на расстояние d – x, где d — среднее расстояние, отсчитываемое по линии напряженности поляна которое расходятся по отношению друг к другу частицы с положительными и отрицательными зарядами. Для квазиупругих диполей d есть расстояние между центрами зарядов диполя, те. длина оси диполя. Для полярных молекул d — среднее значение проекций осей диполей на направление напряженности поля. Рассечем мысленно диэлектрик плоскостью, нормальной к линиям напряженности поля, и рассмотрим поверхность s, являющуюся частью этой плоскости. На рис. 1.9 след a – b поверхности показан жирными штрихами. За время изменения напряженности поля от нуля до конечного значения сквозь поверхность s проходят в направлении сил поля все положительные заряды, которые до начала установления поля были заключены в объеме xs, и против сил поля — все отрицательные заряды, которые до установления поля были заключены в объеме (d – x)s рис. 1.9). Если q положительный заряд диполя и N 1 — число диполей в единице объема, тов процессе установления поля сквозь поверхность s смещается в направлении вектора E положительный зарядив противоположном направлении — отрицательный заряд –qN 1 (d – Так как смещение отрицательного заряда против сил поля эквивалентно смещению положительного в направлении сил поля, то общий заряд, сместившийся сквозь поверхность s, равен = qN 1 xs + qN 1 (d – x)s = N 1 qds = так как N 1 qd = P. Стало быть Q s = ' В общем случае для неоднородного поля следует записать P Q s dQ ds s = = ® lim , D D D 0 ' ' т. е. поляризованность равна пределу отношения электрического заряда, переносимого заряженными частицами, сместившимися в веществе диэлектрика в процессе установления поля сквозь элемент поверхности, нормальный к направлению смещения частиц, к размеру этого элемента при стремлении последнего к нулю. В анизотропных кристаллических телах диэлектрическая восприимчивость по различным главным осям имеет различные значения, и если вектор E не направлен по одной из главных осей кристалла, то вектор P уже не совпадает по Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 31 Рис. 1.9 направлению с вектором E. Физически это объясняется тем, что заряженные элементарные частицы в молекулах кристаллов смещаются не в сторону действия внешнего поля, а несколько уклоняются в том направлении, в котором противодействующие смещению межмолекулярные силы наиболее слабы и диэлектрическая восприимчивость наибольшая. При произвольном, но заданном расположении осей 0X, 0Y и 0Z по отношению к главным осям кристалла связь между составляющими векторов P и E по осями может быть записана в виде c xx E x +c xy E y +c xz E z ; P y = c yx E x +c yy E y +c yz E z ; P z = те. диэлектрическая восприимчивость (как абсолютная, таки относительная) является при этом тензорной величиной. Рассмотрим, как ив, тело любой формы с зарядом q рис. 1.10), ноте- перь будем считать, что тело окружено диэлектриком, в общем случае неоднородными анизотропным. Окружим мысленно тело замкнутой поверхностью s, расположенной в диэлектрике. При увеличении свободного заряда q тела от нуля до его конечного значения в диэлектрике усиливается электрическое поле и увеличивается поляризация диэлектрика. В процессе установления поля происходит смещение элементарных, обладающих электрическим зарядом частиц, входящих в состав вещества диэлектрика, и сквозь поверхность s этими частицами переносится заряд Согласно изложенному выше, этот заряд может быть представлен в виде Q ds d s s ' P = = т т ' , b P где P — вектор поляризованности в точках поверхности s. При этом, если q > то итак как в этом случае положительно заряженные частицы смещаются в направлении положительной внешней нормали к поверхности В объеме пространства, ограниченного поверхностью s, помимо свободного заряда q появится так называемый связанный заряд, те. заряд частиц, связанных внутримолекулярными силами, но уже не компенсирующийся зарядом другого знака. При однородном диэлектрике связанный заряд появляется на границе диэлектрика около поверхности заряженного проводника, где как бы обнажаются заряды диполей одного знака, противоположного знаку заряда проводника. В общем случае у неоднородного диэлектрика связанные заряды появляются также на границах раздела частей диэлектрика, обладающих различными диэлектрическими проницаемостями. Существенно отметить, что независимо оттого, где размещены связанные заряды, должно иметь место очевидное равенство' . = -Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 1.10 Действительно, до образования электрического поля объемная плотность электрического заряда в диэлектрике всюду была равна нулю и связанный заряд также был равен нулю. Поэтому появление избыточного связанного заряда одного знака в объеме, ограниченном поверхностью s, после установления поля возможно только вследствие того, что сквозь поверхность s смещающимися в процессе поляризации заряженными частицами переносится заряд Qў. При этом абсолютные значения |qў| и |Qў| должны быть равны друг другу, носами величины и Qў должны быть противоположны по знаку, так как, если положительный заряд смещается сквозь поверхность s изнутри наружу, тов объеме, ограниченном этой поверхностью, образуется избыток отрицательного заряда. Итак, имеем . = - = - т Учитывая, что в результате поляризации появляется связанный заряд qў, мы должны рассматривать поле как существующее в пустоте, но созданное не только свободным зарядом q тела, но и связанным зарядом qў. Соответственно, можно написать теорему Гаусса в форме s d ' . s q+q т = e 0 Умножив правую и левую части равенства на e 0 , получаем s P s d q q т т + = -Отсюда находим e e 0 + E s P s E P т т т + = = ( ) 0 . Обозначим через D вектор, равный сумме векторов e 0 E и P: D = e 0 E + и назовем его вектором электрического смещения. Имеем s d D ds т т те. поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен свободному электрическому заряду, заключенному в части пространства, ограниченной этой поверхностью. В последнем соотношении b есть угол между вектором D и нормалью к элементу ds поверхности Единицей электрического смещения является кулон на квадратный метр (Кл/м 2 ). Воспользуемся соотношением P = cE, тогда = e 0 E + cE = (e 0 + c)E = eE; e = e 0 + В анизотропных кристаллических телах при произвольном, но заданном расположении осей 0X, 0Y, 0Z по отношению к главным осям кристалла связь меж- Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля ду проекциями на оси координат векторов D и E может быть записана в форме, аналогичной той, в которой была записана выше связь между проекциями векторов и E. При этом диэлектрическая проницаемость является тензорной ве- личиной. Величина e является основной характеристикой диэлектрика и называется абсолютной диэлектрической проницаемостью. Она характеризует диэлектрические свойства вещества, является скалярной величиной для изотропного вещества, равна отношению модуля электрического смещения к модулю напряженности электрического поля и является тензорной величиной для анизотропного вещества. Отношение e r = называют относительной диэлектрической проницаемостью Для однородной изотропной среды имеем s |