Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

• Название: Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
• Дата: 26.11.2020
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр.pdf
• Тип: Закон; #154237
• страница: 14 из 21

4.7. Мгновенная мощность и колебания энергии
в цепи синусоидального тока
Мгновенная мощность p = ui цепи переменного тока является функцией времени.
Рассмотрим энергетические процессы вцепи, состоящей из последовательно соединенных участков r, L ирис. Уравнение для напряжений в этой цепи имеет вид u
u
u
ri L di
dt
q
C
r
L
C
=
+
+
= +
+ Соответственно, для мгновенных мощностей на зажимах цепи и на отдельных участках цепи получим уравнение ui p
p
p
u i u i u i i r Li di
dt
q
C
dq
dt
i r d
r
L
C
r
L
C
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
+
2 2
( )
( )
dt
Li
d
dt
q
C
i r d
dt
W
d
dt
W
2 2
2 ж и
зз ц
ш чч +ж и
зз ц
ш чч = +м э
Из последнего выражения видим, что мощность p
r
= i
2
r на участке с сопротивлением является величиной всегда положительной и характеризует необратимый процесс поглощения энергии. Мощность p
L
= d
dt
(W
м
)
определяет при p
L
> 0 скорость поступления энергии в магнитное поле катушки и при p
L
< 0 — скорость возвращения энергии из этого поля. Мощность p
C
= э) определяет при p
C
> 0 скорость поступления энергии в электрическое поле конденсатора,
а при p
C
< 0 — скорость возвращения энергии из этого поля.
Пусть напряжение u и ток i являются синусоидальными функциями времени U
t
i I
t
m
m
=
+
=
sin
;
sin .
w Здесь, также как ив, начальная фаза тока принята равной нулю (y
i
= что удобно, так как ток является общим для всех участков цепи. При этом начальная фаза напряжения u оказывается равной j (y
u
= j). Мгновенные напряжения на отдельных участках при этом равны (см. § 4.4):
u
ri rI
t u
LI
t u
I
C
t
r
m
L
m
C
m
= =
=
= - sin ;
cos ;
cos .
w w
w Соответственно, для мгновенных мощностей на отдельных участках цепи получаем выражения
192
Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Рис. 4.17

p
u i rI
t r
I
t
UI
r
r
m
=
=
=
- ж
и з
ц ш
ч =
-
2 2
2 2
1 2
2 1
sin
(
)
cos cos ( c w
w j
os
);
cos sin
(
)
sin s
2 2
1 2
2 2
2
w w
w w
w w
t
p
u i
LI
t
t
L
I
t U I
L
L
m
L
=
=
=
=
in
;
cos sin
(
)
sin
2 2
1 2
2 2
2
w w
w w
w w
t
p
u i
I
C
t
t
I
C
t
U
C
C
m
C
=
= -
= -
= - Суммарная мощность на конденсаторе и катушке I
t
L
C
I
t
xI
x
L
C
L
C
=
+
=
-
=
- ж
и з
ц ш
ч
=
=
(
) sin sin s
2 1
2 2
2
w w
w w
in sin sin
2 2
w j
w
t Мощность на зажимах всей цепи выражается в виде p
p
p
p
p
UI
UI
t
r
L
C
r
x
=
+
+
=
+
=
-
+
cos cos(
).
j Из полученных выражений видно, что средняя за период мощность на катушке и конденсаторе равна нулю. Средняя за период мощность, те. активная мощность, на зажимах всей цепи равна средней за период мощности на участке с сопротивлением т т 1
0 0
cos Амплитуда колебания мощности равна абсолютному значению реактивной мощности = UI sin Весьма важно заметить, что все мгновенные мощности изменяются с частотой 2w, в два раза превышающей частоту w тока и напряжения.
На рис. 4.18 одна под другой даны диаграммы тока i, напряжений u
r
, u
L
, u
C
, u
x
= u
L
– u
C
, u и мощностей, На диаграмме риса изображены величины на участке r. Мы видим, что в любой момент времени p
r
> 0 и среднее значение величины равно P = UI cos На диаграмме рис. 4.18, б изображены величины, относящиеся к катушке. Здесь среднее значение величины равно нулю. Энергия запасается в магнитном поле катушки, когда ток по абсолютному значению возрастает. При этом p
L
> 0. Энергия возвращается из магнитного поля катушки,
когда ток по абсолютному значению убывает. При этом p
L
< На рис. 4.18, в даны величины, относящиеся к конденсатору. Здесь также, как и на катушке,
Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах
193
Рис. 4.18

среднее значение мощности равно нулю. Энергия запасается в электрическом поле конденсатора, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению возрастает. При этом p
C
> 0. Энергия возвращается из электрического поля конденсатора, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению убывает. При этом p
C
< Из сопоставления диаграмм рис. 4.18, б ив видим, что в частном случае, для которого построены эти диаграммы, амплитуда напряжения на катушке больше амплитуды напряжения на конденсаторе, те. Это соответствует соотношению. На рис. 4.18, г для этого случая даны кривые тока, напряжения и мощности на участке цепи, состоящем из катушки и конденсатора.
Характер кривых здесь такой же, как и на зажимах катушки, так как в данном случае wL > 1/(wC). Однако амплитуды напряжения и мгновенной мощности меньше амплитуд величин и p
L
. Это последнее является результатом того, что напряжения и противоположны по фазе.
На диаграмме рис. 4.18, д приведены величины на зажимах всей цепи, которые получаются суммированием величин на диаграммах риса, б ив или
а и г. Среднее значение мощности p равно P = UI cos j. Колебания около этого среднего значения происходят с амплитудой UI, что видно из аналитического выражения для p. Ток i отстает от напряжения u на угол j. В интервале времени от 0 до мгновенная мощность на зажимах цепи положительна (p > 0) и энергия поступает от источника в цепь. В интервале времени от до мгновенная мощность на зажимах цепи отрицательна (p < 0) и энергия возвращается источнику.
Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи положительна, то такая мощность называется мгновенной потребляемой мощностью. Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи отрицательна, то такая мощность называется мгновенной выдаваемой мощностью.
Понятие мгновенной мощности позволяет в более формализованном виде определить понятие реактивных и активных элементов электрической цепи.
Так, реактивными элементами можно называть такие, для которых интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени равен нулю.
В активных элементах электрической цепи интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени является отрицательной величиной — этот элемент является источником энергии — он выдает энергию. В пассивных элементах цепей интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени положителен — этот элемент потребляет энергию.
Так как j < p/2 и, следовательно, cos j > 0, то поступающая в цепь энергия,
определяемая положительной площадью кривой p(t), больше возвращаемой источнику энергии, определяемой отрицательной площадью кривой На рис. 4.19 для различных интервалов времени показаны штриховой стрелкой действительное направление тока и знаками плюс (+) и минус (–) действительные направления напряжений на зажимах цепи и на всех участках.
Стрелками с хвостовым оперением указаны направления потоков энергии в соответствующие интервалы времени.
Схема на риса соответствует интервалу времени от 0 до t
1
, в течение которого ток возрастает от нуля до максимального значения. В это время энергия
194
Часть 2. Теория линейных электрических цепей

запасается в катушке. Так как напряжение на конденсаторе по своему абсолютному значению падает, то энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, возвращается и переходит в энергию магнитного поля катушки. В данном случае wL > 1/(wC) и p
L
> p
C
, поэтому в катушку поступает дополнительная энергия из источника,
питающего цепь. Питающий цепь источник покрывает также энергию, поглощаемую сопротивлением Схема на рис. 4.19, б соответствует интервалу времени от до t
2
. Ток i в этом интервале времени убывает, и энергия возвращается из магнитного поля катушки, частично поступая в конденсатор, который при этом заряжается, и частично превращаясь в теплоту на участке с сопротивлением В этом интервале времени ток имеет еще достаточно большое значение и, соответственно, значительна мощность Поэтому источник, также как ив предыдущем интервале времени, посылает энергию в цепь, частично компенсирующую потери в участке с сопротивлением r. Момент характерен тем, что величина i
2
r уменьшилась настолько, что скорость уменьшения энергии в катушке обусловливает скорость поступления энергии в конденсатор и на участок с сопротивлением r. В этот момент мощность на зажимах всей цепи равна нулю (p = Схема на рис. 4.19, в соответствует следующему интервалу времени от до в течение которого ток уменьшается от значения при t = до нуля. В этот промежуток времени энергия продолжает возвращаться из катушки, поступая в конденсатор, на участок с сопротивлением r ив источник, подключенный к зажимам цепи. В этот интервал времени p < Весь рассмотренный интервал 0 Ј t Ј соответствует половине периода тока. В нем полностью завершается один цикл колебания энергии, так как период мгновенной мощности в два раза меньше периода тока. В следующую половину периода изменения тока энергетический процесс повторяется и только действительные направления тока и всех напряжений меняются на противоположные. Эквивалентные параметры сложной цепи переменного тока,
рассматриваемой в целом как двухполюсник
В § 4.4 и 4.5 рассмотрены простейшие цепи переменного тока. Для любой сложной цепи с постоянными параметрами при синусоидальном напряжении на ее входных зажимах общий входной ток цепи будет также синусоидальными в общем случае сдвинут по отношению к напряжению на угол Рассматривая всю цепь в целом как двухпо- люсник и не интересуясь ее внутренним строением, можно характеризовать ее некоторыми эквивалентными параметрами. На рис. 4.20 эта двухполюсная цепь изображена в виде прямо- угольника.
Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах
195
Рис. Рис. 4.19

Глава пятая
Методы расчета электрических цепей
при установившихся синусоидальном
и постоянном токах. Комплексный метод
В настоящей главе рассмотрим методы расчета установившихся режимов в линейной электрической цепи, когда ЭДС, токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Как было отмечено ранее, определение токов и напряжений в таких цепях связано с нахождением частных решений неоднородных дифференциальных уравнений, записанных на основе законов Кирхгофа.
Вычисление непосредственно по первому закону Кирхгофа некоторого тока по другим уже найденным токам, сходящимся к данному узлу цепи, или вычисление по второму закону Кирхгофа падения напряжения на некотором участке контура цепи поуже найденным падениям напряжения на других участках контура и ЭДС, входящим в данный контур цепи, требуют суммирования синусоидальных токов или напряжений и ЭДС. Однако эта операция связана с громоздкими и трудоемкими вычислениями.
Громоздкость подобных вычислений является следствием того, что синусоидальная величина — ток, напряжение, ЭДС — при заданной частоте w определяется двумя величинами — амплитудой и начальной фаз о й.
Существенное упрощение достигается изображением синусоидальных функций времени комплексными числами &A, так как каждое комплексное число содержит в себе две величины — модуль и аргумент при показательной форме записи Ae
j
A
=
y или вещественную им ним у ю ja
2
= jA sin составляющие при алгебраической и тригонометрической формах записи sin
,
A a
ja
A
jA
A
A
=
+
=
+
1 2
y где j = -1 и e — основание натуральных логарифмов.
Метод, основанный на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом, а затем в широкое употребление в России академиком В. Ф. Миткевичем, будем называть комплексным методом. Его называют также символическим методом, так как он основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами.
Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употребляют также обозначения a
1
= Re ( &A), a
2
= Im ( Существуют следующие очевидные связи 2
1 2
2 2
=
=
=
=
=
+
=
Re( &)
cos
;
Im ( &)
sin
;
;
y y
y arctg a
a
2 1

Заметим также, что e
j
j e
j
j
j
=
= - =
= -
- p
p
2 2
2 Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными. Если имеем комплексное число &A Ae
j
A
=
y
= a
1
+ ja
2
, то сопряженное ему комплексное число запишется в форме A
Ae
j
A
*
-
=
y
= a
1
– ja
2
. Важно отметить следующие свойства сопряженных комплексных чисел ( &)
( &
);
Im ( &)
( &
AA
Ae Ae
A
A
A A
A
j
A
j
j
A
A
*
-
*
=
=
=
+
=
y y
2 1
2 Пусть имеется синусоидально изменяющийся ток i = I
m
sin (wt + y
i
). Его можно представить в форме I
t
j
I e
I e
I
m
i
m
j t
m
j t
i
z
z
i
=
+
=
- й
лк щ
ыъ
=
+
-
+
sin(
)
Im w y w y w y
1 2
(
)
m
j t
e
i
w й лк щ
ыъ
,
что видно также из соотношения e
I
t
jI
t
m
j t
m
i
m
i
i
w y w y w Комплексное число e
I e e
I e
m
j t
m
j
j t
m
j t
i
i
w y y
w w
+
=
= и будем рассматривать как символическое изображение действительного синусоидального тока i = I
m
sin (wt + y
i
); оно, также как и величина i, определяется при заданной частоте w двумя величинами — амплитудой и начальной фазой. Комплексное число I e
m
j
i
y называют комплексной амплитудой тока. Вводя знак изображения Ю, будем писать I
t
I e
I e
m
i
m
j t
m
j Ю (
)
&
w y w y Таким образом, для перехода от действительной синусоидальной функции,
назовем ее оригиналом, к ее изображающей комплексной величине необходимо модуль последней взять равным амплитуде синусоидальной функции и аргумент взять равным аргументу синусоидальной функции.
Для обратного перехода от комплексного числа, изображающего действительную функцию, к самой действительной функции, тек оригиналу, необходимо взять коэффициент при j мнимой части комплексного числа.
Рассмотрим теперь выражение для производной повремени от синусоидального тока
di
dt
I
t
I
t
m
i
m
i
=
+
=
+
+
ж из ц
ш ч w y w
w y p
cos (Из только что сказанного вытекает, что ее изображение будет иметь вид
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

(
)
(
)
w w
w w y p p
w y w y
I e
I e e
j I e
j
m
j t
m
j
j t
m
j t
i
i
i
+ +ж и
зз ц
ш чч
+
+
=
=
=
2 2
w w
&
I e
m
j Таким образом I e
m
j Юте. операция взятия производной от действительной функции заменяется умножением на jw ее комплексного изображения. Соответственно, для производной
n-го порядка имеем i
dt
j
I e
n
n
n
m
j Ю (Рассмотрим выражение для заряда, равного интегралу от синусоидального токай лк щ
ы т 0
0
+
w w y w
y ъ.
Так как мы рассматриваем только случаи, когда приложенное к зажимам цепи напряжение и ЭДС, действующие вцепи, синусоидальны и не содержат постоянных составляющих, то, как уже было получено в § 4.4, напряжения на конденсаторах, а следовательно, и заряды на конденсаторах также не содержат постоянных составляющих и, соответственной лк щ
ыъ
=
0 Таким образом dt q
I
t
I
t
t
m
i
m
i
0 т -
+
=
+
- ж
и з
ц ш
ч
+
w w y w
w y p
( Искомое изображение будет иметь вид dt q
I e
I e e
t
m
j t
m
j
j t
i
i
0 2
2 0
т
Ю
=
=
+ - ж
и зз ц
ш чч
-
+
+
w w
w y p p
w y
( )
I
j
e e
I
j
e
m
j
j t
m
j t
i
w w
y те. операция интегрирования действительной функции заменяется делением на ее комплексного изображения.
Таким образом, комплексный метод является методом алгебраизации дифференциальных уравнений. Сущность его заключается в том, что сначала все заданные функции времени заменяем их комплексными изображениями и все дифференциальные и алгебраические уравнения, составленные по законам
Кирхгофа, заменяем алгебраическими уравнениями в комплексной форме, содержащими комплексные величины заданных и искомых функций и их производных и интегралов. Решая эти алгебраические уравнения, находим комплексные выражения искомых функций и от них переходим к оригиналам этих функций.