Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
, L и Дифференциальное уравнение для цепи с последовательно соединенными участками ирис, как было получено в § 3.12, имеет вид Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах 183 Рис. Рис. Рис. 4.7 u u u u ri L di dt C i dt u r L C t C = + + = +т 0 0 ( Общее решение i(t) этого уравнения, как всякого линейного дифференциального уравнения, складывается из частного решения iў(t), определяемого видом функции u(t), и полного интеграла І) однородного дифференциального уравнения, получаемого, если принять u(t) = 0. Как будет показано в гл. 9, после включения цепи под действие напряжения) составляющая тока І) быстро затухает, уменьшаясь до нуля практически за доли секунды или за несколько секунд. Действительно, при u = 0, r № 0 процесс вцепи может существовать только за счет запасов энергии в полях цепи и будет затухать вследствие рассеяния энергии на участке с сопротивлением Таким образом, спустя небольшой промежуток времени после включения вцепи устанавливается ток i(t), определяемый частным решением iў(t) уравнения цепи. Величина iў(t) является током установившегося режима вцепи. Первые пять глав настоящей части посвящены исследованию установившихся режимов. Пусть приложенное к цепи напряжение изменяется по синусоидальному закону. При этом ток установившегося режима также будет синусоидальным стой же частотой w и, следовательно, может быть выражен в виде = I m sin (wt + y i ) = I m sin (wt + y u – j). Задача заключается в отыскании величин I m и j при заданных величинах U m , w и Как было сказано раньше, при исследовании установившегося синусоидального процесса начальная фаза приложенного напряжения может быть выбрана произвольно. Так как в данном случае общим для всех участков является ток, то целесообразно выбрать y u = j, чтобы начальная фаза тока была равна нулю, т. е. y i = 0. Тогда U t U t i I t m u m m = + = + = sin sin sin . w y w j w и Подставляя эти значения i ив уравнение L di dt C i dt т 0 0 ( найдем cos cos ( ) sin w w w w w w w + - + + = + 1 1 0 ( ) j Так как все члены, кроме двух последних в левой части уравнения, не содержат постоянных составляющих, то 1 wC I m + u C (0) = Это уравнение должно быть справедливо для любого момента времени t. Полагая, в частности, wt = p/2 и wt = 0, получаем- ж и з ц ш ч = cos ; sin . j w w Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 4.10 Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, будем иметь 2 2 2 1 + - ж и з ц ш ч й л к к щ ы ъ ъ = w откуда находим связь между амплитудами тока и напряжения- ж и з ц ш ч 2 2 1 w Поделив обе части этого выражения на 2, получим аналогичную связь между действующими током и напряжением- ж и з ц ш ч 2 2 1 w Корень следует брать всегда со знаком плюс, так как амплитуды и действующие значения напряжения и тока считаем положительными величинами. Поделив второе равенство на первое, находим ) tg j В выражениях, связывающих амплитуды и или действующие значения и I напряжения и тока, в знаменателе стоит величина, имеющая размерность электрического сопротивления. Ее обозначают через z и называют полным сопротивлением цепи. Для рассмотренной цепи U I U I r L C m m = = = + - ж и з ц ш ч 2 2 1 w В общем случаев цепи переменного тока полное сопротивление z больше сопротивления и может быть ему равно только в частном случае. Причина этого состоит в том, что в рассматриваемой цепи приложенное напряжение имеет не только составляющую ir, но также составляющую L di dt , преодолевающую ЭДС самоиндукции, и составляющую q/C, равную напряжению на конденсаторе. Сопротивление r называют активным сопротивлением цепи, так как только им определяются необратимые активные процессы вцепив данном случае преобразование электромагнитной энергии в тепловую. Величину wL – 1/(wC), учитывающую реакцию самоиндукции и емкости и имеющую размерность сопротивления, называют реактивным сопротивлением цепи и обозначают x. При этом член wL, учитывающий реакцию самоиндукции, называют индуктивным сопротивлением цепи и обозначают а член 1/(wC), учитывающий реакцию емкости, называют емкостным сопротивлением цепи и обозначают Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах Итак, имеем x C x L C x x z r L C r L C L C = = = - = - = + - ж и з ц ш ч = + w w w w w w ; ; ; 1 1 1 2 2 Заметим, что возрастание при увеличении частоты объясняется тем, что ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока, и следовательно, ее амплитуда растет с увеличением частоты при неизменной амплитуде тока. Убывание величины при увеличении частоты является результатом того, что ток смещения в конденсаторе пропорционален скорости изменения напряжения на зажимах конденсатора и, следовательно, его амплитуда растет с увеличением частоты при неизменной амплитуде напряжения. Структура выражения для z может быть уяснена, если рассмотреть сдвиги фаз напряжений на отдельных участках цепи по отношению к току. С целью наглядности построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи. Здесь ив последующем диаграмму будем строить для действующих величин. Для краткости векторы, изображающие ток, напряжение и ЭДС, будем называть просто вектором тока, вектором напряжения и вектором ЭДС Направим вектор тока I по вертикальной оси (рис. Напряжение на участке с сопротивлением r u ri rI t r m = совпадает по фазе стоком, и поэтому вектор этого напряжения направлен вдоль вектора тока. Напряжение на участке с индуктивностью L u L ж из ц ш ч w w w p cos опережает ток на угол p/2, и вектор этого напряжения должен быть повернут относительно вектора тока на угол p/2 в положительном направлении. Напряжение на участке с емкостью С C i dt u C I t C I t C t C m m = = + = - = - ж и з ц т 0 1 1 2 0 ( ) cos sin w w w w ш ч отстает оттока на угол p/2, и вектор этого напряженияU C должен быть повернут относительно вектора тока на угол p/2 в отрицательном направлении. Складывая геометрически векторы напряжений на участках цепиU r ,U L иU C , получаем вектор напряжения на зажимах всей цепи, который сдвинут по отношению к вектору тока I на угол j. То обстоятельство, что величины x L = и x C = 1/(wC) входят в выражение для реактивного сопротивления с разными знаками, объясняется тем, что напряжения и сдвинуты друг относительно 186 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 4.11 друга на угол p и, следовательно, в любой момент времени противоположны друг другу, что, в частности, видно из векторной диаграммы. Напряжения и (u L + u C ) сдвинуты друг относительно друга на угол p/2. Поэтому полное сопротивление цепи z нельзя определять путем арифметического сложения r и x, а следует вычислять по формуле z r x = + 2 Зафиксируем особо внимание наследующих весьма важных результатах на участке с активным сопротивлением ток совпадает по фазе с напряжением на этом участке в индуктивной катушке ток отстает по фазе на угол p/2 от напряжения на катушке в конденсаторе ток опережает по фазе на угол p/2 напряжение на зажимах конденсатора. Рассмотрим теперь сдвиг фаз j между током и напряжением на зажимах всей цепи. Ток совпадает по фазе с приложенным напряжением только при x = 0, т. е. или при отсутствии вцепи реактивных сопротивлений, или при их взаимной компенсации. Последнее имеет место при резонансе, явление которого будет рассмотрено в гл. 6. Действительно, из векторной диаграммы (рис. 4.12) видно, что при x = wL – 1/wC = 0 сумма векторов и будет равна нулю и вектор приложенного напряжения совпадет по направлению с вектором I тока, те. угол j будет равен нулю. Кривые тока и напряжения для этого случая изображены также на рис. 4.12. Если wL > 1/(wC), то x > 0, p/2 і j > 0 и ток отстает по фазе от напряжения на зажимах цепи. Этот случай изображен на рис. 4.13. Если же) > wL, то x < 0, –p/2 Ј j < 0 и ток опережает по фазе напряжение на зажимах цепи. Этот случай изображен на рис. Таким образом, пределами, между которыми лежит j, являются +p/2 и –p/2. 4.5. Установившийся синусоидальный ток вцепи с параллельным соединением участков g, L и Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 4.15, состоящую из трех параллельно соединенных участков причем предположим, что первый участок обладает только проводимостью g, второй — только емкостью C и третий — только индуктивностью Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах 187 Рис. Рис. Рис. 4.12 Применяя первый закон Кирхгофа, имеем Токи в ветвях можно выразить через приложенное напряжение. Ток впервой ветви i g = gu, где g — проводимость первого участка. Ток во второй ветви du dt C = = = . Ток в третьей ветви i L L L = Y Но так как u d dt L = Y , тот) и, следовательно т+ i L (0), где i L (0) = Таким образом, дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи имеет вид C du dt L u dt т 0 0 ( Пусть к цепи приложено синусоидальное напряжение u = U m sin wt . При этом ток i также будет синусоидальными может быть представлен в виде = I m sin (wt – j). В данном случае целесообразно принять начальную фазу приложенного напряжения равной нулю (y u = 0), так как напряжение является общим для всех ветвей. Подставив эти выражения в уравнение цепи, получим cos cos ( ) sin w w w w w w w + - + + = - 1 1 0 ( ) j Так как все члены, кроме двух последних в левой части уравнения, не содержат постоянных составляющих, то 1 wL U m + i L (0) = Уравнение цепи справедливо для любого момента времени t. Полагая wt = и wt = 0, находим ж из ц ш ч ; sin . j w - w Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, получим+ ж из ц ш ч 2 1 w - Поделив обе части этого выражения на 2, получим связь между действующими током и напряжением U g L C Uy = + ж из ц ш ч = 2 2 1 w - Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 4.15 Поделив второе равенство на первое, найдем ) tgj Величину+ ж из ц ш ч 2 1 w - w называют полной проводимостью цепи. Проводимость g называют активной проводимостью. Величину- ж из ц ш ч, имеющую также размерность проводимости, называют реактивной проводимостью цепи и обозначают b. При этом член 1/(wL) называют индуктивной проводимостью и обозначают b L , а член wC называют емкостной проводимостью и обозначают b C . Имеем b b y g b L C = = - = + 1 2 2 w - На рис. 4.16 изображена векторная диаграмма для этой цепи для случая) > wC. Ток в первом участке совпадает по фазе с напряжением, ток в конденсаторе опережает по фазе на угол p/2 напряжение, а ток в катушке отстает по фазе на угол p/2 от напряжения. То обстоятельство, что b образуется как разность и b C , объясняется тем, что токи в конденсаторе ив катушке сдвинуты друг относительно друга на угол p, те. в любой момент времени направлены по отношению к общим зажимам второй и третьей ветвей в противоположные стороны. Эти токи сдвинуты относительно тока впервой ветви на угол p/2, вследствие чего полная проводимость определяется не арифметическим сложением g и b, а формулой При b L = имеет место резонанс вцепи и ток i равен току впервой ветви. При 1/(wL) > wC ток через катушку больше тока через конденсатор (рис. 4.16) и общий ток i отстает по фазе на угол j от напряжения, причем 0 < j Ј p/2. Приток через конденсатор больше тока через катушку и общий ток опережает по фазе напряжение, причем –p/2 Ј j < 0. 4.6. Активная, реактивная и полная мощности А к т ив ной мощностью в электрической цепи при периодических процессах называют среднее значение мощности за полный период т т 1 0 где p = ui — мгновенная мощно ст ь. Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах 189 Рис. 4.16 Если напряжение u на зажимах цепи и ток i вцепи являются синусоидальными функциями времени u = U m sin wt; i = I m sin (wt – j), тот j T dt т Учитывая, что cos( ) 2 0 0 w т, получаем выражение для активной мощности при синусоидальном процессе UI = cos Множитель называют коэффициентом мощности. Так как cos j Ј 1, то P Ј UI. Только в предельном случае, когда j = 0 и cos j = 1, имеем = UI. В другом предельном случае, когда j = ±p/2 и cos j = 0, имеем P = Электрические машины, трансформаторы и другие электротехнические устройства рассчитывают на определенное номинальное напряжение U, обусловленное изоляцией этих устройств, и на определенный номинальный ток I, обусловленный нагревом проводников этих устройств. Соответственно, наивысшее использование генерирующих и преобразующих электромагнитную энергию устройств будет в случае, когда коэффициент мощности приемников, на которые они работают, равен единице. Максимальное приближение к единице коэффициента мощности предприятий, являющихся приемниками энергии, может быть осуществлено путем рационального конструирования оборудования этих предприятий, а также рациональной организацией их работы, например максимальной загрузкой двигателей, так как при холостом ходе cos j двигателей обычно низок. Так как обычно для предприятий j > 0 и, следовательно, ток имеет индуктивный характер, то радикальной мерой повышения cos j может быть установка на этих предприятиях конденсаторов, включаемых параллельно другим устрой- ствам. Из диаграммы на рис. 4.11 имеем U cos j = U r = Ir, и из диаграммы на рис. получаем I cos j = Ug. Следовательно, для активной мощности можем написать следующие выражения UI I r U g = = = cos j 2 Величину S = UI называют полной мощностью. Смысл введения понятия полной мощности ясен из сказанного выше. Если поди понимать номинальные значения, те. допускаемые при номинальном режиме действующие значения напряжения и тока электрической машины, трансформатора или других преобразователей энергий, то произведение S = UI дает наибольшую возможную активную их мощность при наиболее благоприятных условиях, те. при cos j = Имеем следующие выражения для полной мощности UI I z U = = = 2 Вводят в рассмотрение еще так называемую реактивную мощность Часть 2. Теория линейных электрических цепей Практическое значение введения понятия реактивной мощности вытекает, например, из следующего. Обычный счетчик энергии дает значение энергии, отданной приемнику за некоторый промежуток времени t. Эту энергию можно записать в форме dt UI dt 0 0 t t j т т = cos , если заметное изменение P происходит только за большое число периодов T тока и если, соответственно, t во много раз превосходит T. Однако показания такого счетчика не дают возможности судить о том, при каком коэффициенте мощности работает потребитель энергии. Такая оценка возможна, если наряду с обычным счетчиком, показывающим действительную энергию, передаваемую приемнику, включить на зажимы приемника счетчик, показывающий величину интеграла реактивной мощности Q за тот же промежуток времени t: Q dt UI dt 0 0 t t j т т = sin Очевидно, чем больше показание этого счетчика по сравнению с показанием обычного счетчика, тем ниже среднее значение cos j приемника за рассматриваемый промежуток времени. Величину P можно измерить с помощью обычного ваттметра, а величину Q с помощью специально предназначенного для этой цели электроизмерительного прибора. Зная P и Q, можно определить sin j и cos j потребителя энергии в момент измерения. Однако представляет интерес именно знать характер работы потребителя за длительный промежуток времени. С этой целью и используются счетчики, дающие названные интегральные величины. Понятием реактивной мощности Q широко пользуются также при расчете электрических сетей переменного тока. Из диаграммы на рис. 4.11 имеем U sin j = Ix, и из диаграммы рис. 4.16 получаем. Следовательно, для реактивной мощности существуют выражения Для приемников энергии P и S всегда положительны, но реактивная мощность положительна лишь прите. для индуктивных цепей, а прите. для емкостных цепей, она отрицательна. Заметим, что при j = ±p/2, например для конденсаторов или катушек без потерь, абсолютное значение реактивной мощности совпадает с полной мощностью. Обратим внимание, что понятие активной мощности как средней за период мощности справедливо для любых периодических напряжений и токов определенной частоты f = 1/T и необязательно синусоидальных. Понятие же реактивной мощности Q в виде Q = UI sin j, также как и выражение активной мощности в форме P = UI cos j, справедливо лишь при синусоидальном процессе. При выводе всех вышеприведенных соотношений предполагалось, что на зажимах цепи действует напряжение U. Если предположить, что к зажимам цепи Глава 4. Свойства и параметры цепей при синусоидальных токах приключен идеальный источник синусоидальной ЭДС, имеющей действующее значение E, то все соотношения останутся в силе с заменой U на Е, например E z E S EI I z E y P EI I r E g Q EI I x = = = = = = = = = = y; 2 2 2 2 2 ; cos ; sin j j = E b 2 |