Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
137 Рис. 3.5 вдоль всей цепи за ничтожную долю периода. В таких случаях можно не считаться с волновыми процессами, характеризующими переменное электромагнитное поле, и интересоваться в конденсаторах только изменением электрического поля, а в катушках — только изменением магнитного поля. Далее в этой главе будут рассматриваться цепи с сосредоточенными параметрами. В первых двенадцати главах второй части, а также во всех главах третьей части также будут рассматриваться цепи с сосредоточенными параметрами. Цепям с распределенными параметрами будут посвящены семнадцатая и восемнадцатая главы второй части. Параметры электрических цепей. Линейные и нелинейные электрические и магнитные цепи Из изложенного в предыдущих параграфах ясно, что основными параметрами электрических цепей являются сопротивление r, емкость Си индуктивность Если имеет место электромагнитное воздействие на данную цепь со стороны других цепей или даже если внутри данной цепи наблюдается такое воздействие со стороны одного ее участка на другой, тов число параметров цепи войдет еще взаимная индуктивность М. Строго говоря, параметры цепи почти всегда в какой-то мере зависят оттока и напряжения. Сопротивление r меняется с изменением тока хотя бы потому, что в этом случае изменяется температура проводников. Емкость конденсатора может зависеть от напряжения, если диэлектрическая проницаемость вещества диэлектрика в конденсаторе зависит от напряженности электрического поля. Индуктивность катушки зависит оттока, если магнитная проницаемость вещества сердечника катушки зависит от напряженности магнитного поля. В общем случае зависимости параметров r, L и Сот значений токов, напряжений или их направлений приводят к тому, что характеристики элементов электрической цепи оказываются нелинейными (кривые 1 на рис. Зависимость напряжения на зажимах элемента электрической цепи оттока в нем называют вольтам пер ной характеристикой (ВАХ) (рис. 3.6, а). Зависимость заряда конденсатора от приложенного к нему напряжения называют ку л о н-в о ль т ной характеристикой (рис. 3.6, б). Зависимость потокосцепления элемента или участка электрической цепи оттока в ней называют веберам пер ной характеристикой (рис. 3.6, в). Однако во многих случаях, когда нелинейности характеристик выражены весьма слабо, ими можно пренебречь и полагать параметры цепи независящими ни оттока, ни от напряжения. В этих случаях характеристики элементов элек- 138 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 3.6 трической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями (кривые 2 на рис. 3.6). Такие элементы цепи называют линейными. Процессы в цепях, содержащих только линейные элементы, описываются при постоянных токах линейными алгебраическими уравнениями, а при изменяющихся во времени токах — линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Соответственно, такие цепи называют линейными электрическими цепями. Вся вторая часть будет посвящена теории линейных электрических цепей. Когда параметры элементов электрической цепи существенно зависят оттока или напряжения и, соответственно, характеристики этих элементов имеют на диаграммах криволинейный характер, такие элементы называют нелинейными. Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, то она является нелинейной электрической цепь ю. Магнитные цепи, содержащие участки из ферромагнитных материалов, как правило, нелинейны, так как магнитная проницаемость этих материалов зависит от напряженности магнитного поля. Изучение нелинейных электрических и магнитных цепей имеет большое практическое значение в связи с широким использованием особых свойств таких цепей в современных электротехнических устройствах, особенно в устройствах автоматического управления и регулирования, в электроизмерительной технике, в радиотехнике и т. д. Явления в нелинейных цепях более сложны, чем в линейных, а поэтому более сложны и методы анализа явлений в нелинейных цепях. Основные положения теории нелинейных электрических и магнитных цепей будут рассмотрены в третьей части. В дальнейшем в настоящей главе и во второй части будем предполагать, что параметры цепи не зависят оттока и напряжения, а также, если это не будет оговорено особо, и от времени, те. что они постоянны. В виде примеров расчета величин Си получим их выражения для некоторых простых элементов цепи. Емкость плоского конденсатора определим, пренебрегая искажением поля у его краев. Применим постулат Максвелла к замкнутой поверхности, охватывающей заряд одной пластины. След этой замкнутой поверхности изображен на рис. 3.7 штриховой линией. Часть поверхности внутри конденсатора проведем нормально к линиям напряженности поля. Линии поля пересекают только эту часть замкнутой поверхности, равную поверхности пластины. Таким образом s d Ds q E D q s т = = = = и Разность потенциалов пластина и b конденсатора равна линейному интегралу вектора Е вдоль некоторого пути между пластинами. Пусть d — расстояние между пластинами. Избирая путь интегрирования вдоль линии напряженности поля и замечая, что в однородном поле Е = const, получим Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей 139 Рис. 3.7 u d E dl E dl т т т E Следовательно Определим еще емкость отрезка концентрического кабеля длиной l, с радиусом внутреннего провода и внутренним радиусом наружного провода рис. 3.8). Окружим внутренний провод замкнутой поверхностью, образованной цилиндрической поверхностью с радиусом r и двумя плоскими торцевыми поверхностями на концах отрезка кабеля. Поток вектора D сквозь торцевые поверхности равен нулю. Применяя к этой замкнутой поверхности постулат Максвелла, получаем s d D rl т 2 p e e p и rl , причем q — заряд рассматриваемого отрезка кабеля. Разность потенциалов между внутренними наружным проводами определяется интегралом: u d q dr r q r r C r r r r = = = т т r 1 2 1 2 2 1 2 2 1 e e p pl l ln и, следовательно 2 Найдем выражение для индуктивности того же концентрического кабеля, - полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. На рис. 3.9 изображены линии напряженности магнитного поля в таком кабеле. Магнитным потоком в теле обратного провода пренебрегаем ввиду малой толщины этого провода. Магнитное поле вне кабеля отсутствует, так как сумма 140 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. Рис. 3.9 токов в прямом и обратном проводах равна нулю, и следовательно, равен нулю линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому контуру, охватывающему весь кабель. Таким образом, остается учесть поток в изолирующем веществе и поток в теле внутреннего провода. Оба эти потока определяются только током i во внутреннем проводе. Рассматриваемый пример особенно интересен тем, что здесь необходимо рассчитать потокосцепление, которое определяется линиями магнитной индукции, проходящими в теле самого провода. Напряженность поля в изолирующем слое найдем из закона полного тока l d H r i т 2 p Напряженность поля в теле внутреннего провода получаем из этого закона, учитывая, что магнитные линии здесь охватывают только часть тока, равную r r p p 2 1 2 : H l d H r i т 2 2 1 2 1 2 p причем r — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Н. Последняя формула справедлива только при условии равномерного распределения тока по сечению провода, те, строго говоря, как увидим дальше, только при постоянном токе. Разделим поток на кольцевые трубки, имеющие прямоугольное поперечное сечение ds = ldr, где l — длина отрезка кабеля. Поток сквозь сечение такой трубки = B ds = mHl Трубки магнитной индукции, расположенные в слое изоляции, сцепляются один раз совсем током i, и, следовательно, приняв для вещества изоляции m = для этих трубок имеем dr Y F = = m p 0 2 Потокосцепление Yў, определяемое линиями магнитной индукции, расположенными в изолирующем слое, равно т p m p 0 0 2 1 2 2 1 2 i l dr r il r r r r ln Трубки магнитной индукции, расположенные в теле внутреннего провода, сцепляются только счастью тока, равной i r r i r 2 1 2 = . Если весь провод рассматривать как один виток, то отношение i r /i представляет собой часть витка, охватываемую данной трубкой магнитной индукции. Поэтому поток dF в трубке дает потокосцепление d Y совсем током i, равное dr il r r dr r Y F = = = 2 1 2 1 2 1 4 3 2 2 m p m Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей где m — абсолютная магнитная проницаемость материала провода. Потокосцеп- ление І, определяемое линиями магнитной индукции, замыкающимися в теле провода, имеет значение т p m p 2 8 1 4 0 3 1 il r r Искомая индуктивность выражается формулой ў + ўў ж и зз ц ш чч Y Y 2 4 0 2 1 p m m Из приведенных примеров становятся ясны высказанные в §1.8 и 1.11 общие положения, что емкость С определяется параметром e среды, где существует электрическое поле, и геометрическими размерами, а индуктивность L определяется абсолютными магнитными проницаемостями m сред, в которых существует магнитное поле, и геометрическими размерами. Для емкости и индуктивности кабеля характерна также прямая зависимость их от длины l отрезка кабеля. Возможность представления кабеля сосредоточенной емкостью или индуктивностью, как было отмечено в § 3.4, зависит от того, насколько в кабеле меньше произведение скорости света на промежуток времени, за который процесс повторяется (период Т для периодических процессов), его длины. Пусть частота f рассматриваемого процесса равна 50 кГц. Тогда период процесса равен T f = = Ч 2 10 с. Следовательно, если l << 2Ч10 –5 Ч3Ч10 8 = Ч 3 м, то такой кабель может быть рассмотрен как участок цепи, имеющий сосредоточенные параметры. Связи между напряжением и током в основных элементах электрической цепи Обратимся вновь к простой электрической цепи, изображенной на рис. Первый участок цепи ab мы охарактеризовали сопротивлением r. Зная r, при заданном токе i можно, пользуясь законом Ома, найти напряжение u r , необходимое для преодоления сопротивления этого участка цепи, а именно Второй участок цепи bc представляет собой конденсатор. Зная емкость конденсатора С, можно при заданном значении его заряда q найти напряжение из соотношения u C = С. Между током i и зарядом q существует связь dq dt C du dt C = = . Следовательно dt т 0 ( где q(0) — заряд конденсатора в момент t = 0, те. в момент, от которого начинаем отсчет времени. Соответственно, 142 Часть 1. Основные понятия и законы теории u C i dt q C C i dt т т 0 1 0 0 0 ( ) ( где u C (0) — напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t = Третий участок цепи cd представляет собой индуктивную катушку. Зная индуктивность катушки L, можно при заданном токе определить потокосцепле- ние самоиндукции Y L = Li и при заданной скорости изменения тока di/dt найти возникающую вцепи ЭДС самоиндукции e L di dt L = - , а также напряжение на зажимах катушки u e L di dt L L = - = +Выражая ток i в катушке и поток в ней через напряжение на ее зажимах, получим i L u dt i Li u т т 0 0 0 0 ( ) ( и где i(0) и Y L (0) = Li(0) — токи поток в начальный момент времени t = При наличии взаимной индуктивности соответственно будем иметь 2 1 2 1 1 2 M M Mi e M di dt = = - = - = +и u e M Выражая токи поток Y 1 через напряжение u 1M , найдем dt i Mi u dt M t M M t M 2 1 0 2 1 2 1 0 1 1 0 т т ) ( и Напряжение на любом участке цепи равно линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого участка. Так как мы полностью пренебрегли электродвижущими силами, индуцируемыми переменными магнитными потоками в первом и во втором участках, то электрическое поле около этих участков является потенциальным. Следовательно, в выражениях u d u d r a b C b c = = т т l E и пути интегрирования между точками a и b и между точками b и c могут быть заданы произвольно. Эти пути только не должны проходить через область магнитного поля катушки. В частности, они могут проходить вдоль проволоки реостата и внутри диэлектрика конденсатора. Но они могут пролегать и около реостата или около конденсатора, где также существует электрическое поле. В выражении u d L c d = т E интеграл должен быть взят также вдоль путине проходящего в магнитном поле катушки, но отнюдь не вдоль проволоки катушки. Поясним это положение. Для простоты предположим, что катушка имеет один виток, совмещенный с плоско- Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей стью рисунка (рис. 3.10). Магнитный поток F, сцепляющийся свитком, проходит сквозь площадь, охватываемую витком (заштрихована на рисунке. Линейный интеграл напряженности электрического поля, взятый по пути cnd внутри проволоки витка, равен нулю, так как мы полностью пренебрегли сопротивлением витка, а следовательно, напряженность электрического поля внутри материала проволоки равна нулю. Согласно закону электромагнитной индукции, имеем т - Так как E т 0, тот т - = + = + = = F F и При сделанных допущениях и оговорках можно, согласно сказанному в § и 1.12, применять для величин u r , и наряду с термином напряжение также и термин разность потенциалов. Условные положительные направления тока и ЭДС в элементах цепи и напряжения на их зажимах При анализе процессов в электрической цепи необходимо обязательно задать условные положительные направления токов и ЭДС в элементах цепи и напряжений на их зажимах, обозначив такие направления на рисунке стрелками. Эти условные положительные направления можно задать произвольно. Действительные мгновенные ток i, напряжение u и ЭДС e будут положительны, если действительные направления тока, напряжения и ЭДС в данный момент времени совпадают с условно заданными положительными их направлениями. В дальнейшем для краткости часто вместо условное положительное направление будем говорить положительное направление, всегда понимая под этим, если не оговорено особо, именно условное положительное, а недействительное направление соответствующей величины. Иногда удобно выражать условное положительное направление токов, напряжений или ЭДС не стрелками, а двойными индексами у их буквенного обозначения, е, i ab , u ab , e ab ). Эти индексы должны соответствовать обозначениям точек на графическом изображении цепи, причем положительным считается направление от точки цепи, отвечающей первому индексу, к точке цепи, отвечающей второму индексу. Например, u ab > 0, когда действительное напряжение направлено от точки а к точке Приняв приведенные в предыдущем параграфе связи между и i, между и и между и di/dt, мы должны считать условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС в каждом отдельном элементе цепи ориентированными в одну и туже сторону, что показано стрелками на рис. В самом деле, согласно связи u ab = ri ab , величины u r = и i = должны быть при r > 0 одного знака, те. одновременно положительны (знаки «+» и Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 3.10 на рис. 3.11) или одновременно отрицательны, что и соответствует одинаковому выбору их условных положительных направлений, те. одинаковому направлению стрелок. Это соответствует также тому, что всегда мощность p u i r r = > Для конденсатора имеем связь u ab = С, так как для того чтобы было С > 0, как сказано в § 1.8, необходимо брать заряд той пластины, от которой отсчитывается напряжение, т. е. С q u u q u u a a b b b a = - = - Согласно этой связи, величины и q a — одного знака. Пусть в некоторый момент времени ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму, те. Пусть конденсатор заряжается, те (знаки «+» и на риса следовательно, и u C = u ab > 0, что соответствует выбору условных положительных направлений i и u C , те. выбору стрелок, водном направлении. Это соответствует также тому, что при зарядке конденсатора энергия поступает в него и мощность на его зажимах положительна p C = u C i > Для катушки имеем связь u L di dt L = + , причем всегда L > 0, так как L = а поток самоиндукции и ток в катушке i всегда одного знака — направление тока и направление линий потока самоиндукции связаны между собой правилом правого винта. Если ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму b, то i ab > 0. Пусть при этом ток возрастает, те, тогда u ab > 0 (знаки «+» и «–» на рис. Таким образом, и для катушки, выбрав связь u L di dt L = + , мы тем самым выбираем условные положительные направления тока i и напряжения u L , те. направления их стрелок, в одну сторону. Все это соответствует также тому, что привоз- растании положительного тока, те. при возрастании абсолютного значения тока, увеличивается энергия магнитного поля в катушке и мощность на ее зажимах положительна p L = u L i > Условное положительное направление для ЭДС следует принимать таким же, как и для u L , так как при этом в соответствии со связью e u L di dt L L = - = - всегда действительные направления и будут противоположны, те. если, например, действительное направление величины на зажимах катушки будет по ее стрелке (от «+» к «–» на рис. 3.11), то действительное направление величины e L в катушке в тот же момент времени окажется против ее стрелки (от «–» к на рис. 3.11). Напряжение u L , как было разъяснено в предыдущем параграфе, следует брать по пути между зажимами катушки вне ее магнитного поля, например от зажима с к зажиму d по путина рис. Рассмотрим теперь взаимную индуктивность М между двумя контурами. Важно иметь ввиду, что если для всякого электрического контура L > 0, то вза- Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей |