Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

• Название: Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
• Дата: 26.11.2020
• Размер: 1.65 Mb.
• Имя файла: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр.pdf
• Тип: Закон; #154237
• страница: 18 из 21

U через параметры пассивных и активных элементов обобщенной ветви, так как в общем случае такие ветви содержат и источники ЭДС, и источники тока. Получим

U U E I I
I YU
=
-
= + ББ
=
и
Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа схемы имеем AI A
0
AYU
A

=
+ ББ =
= - ББ
или
250
Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Рис. 5.13

Но U =
U + E = A
t
U
0
+ E, поэтому U
A
YE
t
0
= - Б
Б +Мы получили в матричной форме уравнение для узловых напряжений (q – скалярных уравнений, содержащее следующие члены квадратная матрица узловых проводимостей порядка (q – 1) ґ (q – Эту матрицу запишем в виде 12 1
1 21 22 2
1 1 1
K
K
,
,
,
q
q
q
Y
-
-
-
1 2 где Y
kk
— собственная проводимость го узла Y
km
— общая проводимость узлов k и m;
AББ — матрица-столбец порядка (q – 1) ґ 1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов источников токов ветвей, соединенных сданным узлом, номер которого определяет номер элемента (YE) — матрица-столбец порядка (q – 1) ґ 1, элементы которой представляют собой суммы токов эквивалентных источников тока, образованных за счет преобразования источников ЭДС (E) в ветвях в источники тока (Правая часть матричного равенства, таким образом, определяет сумму токов источников токов, которую запишем в виде- ББ +
=
Б
Б
Б
-
-
A
YE
(
)
&
&
&
,
11 22 Решив тем или иным способом систему уравнений относительно узловых напряжений, получим возможность определить напряжения всех ветвей графа схемы из выражения
U = A
t
U
0
, напряжения на пассивных элементах цепи из формулы U= E +
U, токи в этих элементах I = YU и токи в обобщенных ветвях графа схемы
I I
= + ББ
Здесь, также как ив методе контурных токов, произведение AY при условии диагональности матрицы Y) определит матрицу, отличающуюся от A тем, что вместо единиц в столбцах будут комплексные проводимости, номера которых совпадают с номерами столбцов (номерами ветвей) матрицы A. Произведение на определяет элементы матрицы узловых проводимостей. Произведение
k-й строки матрицы AY на й столбец матрицы определит собственную проводимость го узла, равную сумме комплексных проводимостей ветвей, соединенных см узлом. Произведение й строки матрицы AY на й столбец матрицы определит общую проводимость узлов k и m и будет всегда равно сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятой с обратным знаком.
В развернутой форме совокупность уравнений по методу узловых напряжений имеет вид
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

Y U
Y U
Y
U
Y U
Y U
q
q
11 10 12 20 1
1 1 0 11 21 10 22
&
&
&
& ;
&
&
,
,
+
+ +
= Б 2
1 1 0 22 1 1 10
+ +
= Б Y
U
Y
U
q
q
q
,
,
,
&
& ;
& +
+ +
= Б 2 20 1
1 1 0 Здесь Y a
Y
a Y a
a
Y
kk
k j j j k
j
p
k m
k j j j m
j
p
k k
k Б = -Б ее ).
=
е
1
Решив эту систему, найдем узловые напряжения, причем для го узла величина будет равна Б+ Б+ + Б 1
22 2
1 где D — главный определитель системы и D
km
— его алгебраическое дополнение.
В матричной форме решение системы узловых уравнений записывается в виде -
Б
Б +
(
)
(
)
t где (AYA
t
)
–1
(AYA
t
) = 1, те обратная матрица узловых проводимо- стей.
Если матрицу узловых проводимостей записать в виде || Y
jk
||, то обратную ей матрицу запишем в форме Y
jk
jk
jk
–
,
1 где D и D
jk
— определитель и его алгебраическое дополнение. По размерности элементы обратной матрицы проводимостей являются комплексными сопротивлениями.
В качестве примера составим уравнения по методу узловых напряжений для цепи, изображенной на риса, в которой имеются источники ЭДС и тока:
Б = Б 1
1 5
5 5
6 6
6
m
m
m
t
e
E
t
e
E
t
sin(
);
sin(
);
sin(
)
w y w y w y ;
sin(
);
sin(
).
e
E
t
e
E
t
m
m
7 7
7 8
8 8
=
+
=
+
w y w Прежде всего запишем в комплексной форме все исходные данные, соответствующие схеме замещения цепи (рис. 5.14, б &
;
&
; Б = Б Б 1
1 5
5 6
6 7
7 2
1 1
5 6
m
j
j
j
j
j
e
e
E
E e
E
E e
E
E e
y y
y y
y y
w w
7 8
8 8
1 1
1 2
2 3
3 4
1 1
1 1
;
&
;
(
);
;
(
);
E
E e
Y
r
j L
Y
r Y
j L
Y
j
=
=
+
=
=
=
r
j L
j C
Y
r
j C
Y
j C
4 4
4 5
5 5
6 6
1 ж и
зз ц
ш чч
=
+
ж и
зз ц
ш чч
=
w w
w w
;
;
;
;
Y
r
Y
j L
j C
7 7
8 8
8 1
1 ж и
зз ц
ш чч Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Матрица соединений для графа схемы (рис. 5.14, в) равна (здесь, как и ранее,
пустые клетки обозначают нулевые элементы 2
3 4
5 6
7 8
1 –1
–1 А = 2
1 1 –1 1 –1
3
1 Кроме того, можем записать ;
&
&
&
& ;
U
E
Y
t
t
U U
U
U
U
U
U
U
E
E
E
E
=
=
1 2
3 4
5 6
7 8
5 6
7 8
0 0 0 0
=
=
diag (
);
&
&
&
&
&
&
&
&
Y Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
I
I
I
I
I
I
I
I
t
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7
I
8 1
0 10 20 30 0 0 0 0 0 0 0
;
&
;
&
&
& .
ББ = Б
=
t
t
U
U
U
U
Здесь для удобства записи вместо матрицы-столбца напряжений обобщенных ветвей U записана ее транспонированная матрица в виде матрицы-строки. Аналогичная запись сделана для остальных матриц-столбцов. Также для удобства
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах
253
Рис. 5.14

и квадратная диагональная матрица проводимостей цепи Y записана в краткой форме.
Имея ввиду особенности матричного произведения AY и диагональный характер матрицы, элементы матрицы AY можно записать непосредственно по матрице A см. § 5.11). Имеем 2
3 4
5 6
7 8
1 –Y
1
–Y
6
Y
7
Y
8
AY = 2
Y
2
Y
3
–Y
4
Y
6
–Y
7
3
Y
4
–Y
5
–Y
8
1 Y
1
+ Y
6
+ Y
7
+ Y
8
– Y
6
– Y
7
– и AYA
t
= 2 – Y
6
– Y
7
Y
2
+ Y
3
+ Y
4
+ Y
6
+ Y
7
– Y
4
3 – Y
8
– Y
4
Y
4
+ Y
5
+ Произведение AY на можно, конечно, получить по формальным правилам матричного умножения. Но этот же результат можно получить простым сопоставлением строк матрицы A или AY), как это сделано в § 5.11 с матрицей кон- туров.
Произведение YE есть матрица-столбец, которая в транспонированном виде равна E
Y E
Y E
Y E
= 0 0 0 0 5
5 6
6 7
7 8
8
&
&
&
& что очень просто записать непосредственно по матрице Так как (
)
&
&
&
&
& ,
ББ +
= Б E
Y E
Y E
Y E
1 5
5 6
6 7
7 8
8 0 0 то – Б Y E
6 6
& + Y E
7 7
& + Y E
8 Б + YE)
ББ
= 2 Y E
6 6
& – Y E
7 7
&
= – Б – Y E
5 5
& – Y E
8 8
&
&Б
33
определяет матрицу-столбец, элементы которой являются суммой тех элементов матрицы (
)
Б
Б + YE , номера которых совпадают с номерами столбцов матрицы с ненулевыми элементами. Например, во второй строке матрицы A имеются лишь следующие ненулевые элементы a
22
= 1, a
23
= 1, a
24
= –1, a
26
= 1, a
27
= Следовательно, имеем сумму Y
6
E
6
– В результате всех операций получаем
254
Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Y
11
Y
12
Y
13
&
U
10
&Б
11
AYA
t
U
0
=
Y
21
Y
22
Y
23
ґ
&
U
20
=
&Б
22
Y
31
Y
32
Y
33
&
U
30
&Б
33
или
Y U
Y U
Y U
Y U
Y U
Y U
11 10 12 20 13 30 11 21 10 22 20 23
&
&
&
& ;
&
&
&
+
+
= Б 22 31 10 32 20 33 30 33
= Б Б ;
&
&
&
& ,
Y U
Y U
Y где Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
11 1
6 7
8 22 2
3 4
6 7
=
+
+
+
=
+
+
+
+
;
;
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
12 21 6
7 13 31 8
=
= - -
=
= -
;
;
&
&
&
&
& ; &
&
& Б = Б +Б = -
+
11 1
6 6
7 7
8 8
22 6
6 7
7
Y E
Y E
Y E
Y E
Y E
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y E
Y E
33 4
5 8
23 32 4
33 5
5 8
8
=
+
+
=
= -Б =
+
;
;
&
&
& Таким образом, собственная проводимость узлов есть сумма проводимостей,
присоединенных к данному узлу, а общая проводимость узлов есть сумма прово- димостей ветвей, соединяющих данную пару узлов, взятая с обратным знаком.
При наличии вцепи только одного источника тока Б, подключенного между опорными м узлом, имеем ; &
&
; ; &
&
U
U
U
k
k
k
k
kk
m
k
mk
10 0
1 0
0 0
0
= Б Б Б
D
D
D
D
D
D
K
K
Величину D/D
kk
, имеющую размерность проводимости, назовем входной проводимостью между опорными м узлами, а величину D/D
mk
— взаимной проводимостью между мим узлами. Метод сечений
Аналогично методу узловых напряжений, можно уменьшить число искомых величин до q – 1 выбором в качестве неизвестных — напряжений ветвей дерева , , ,
U U
U
q
1 2
1
K
- или матрицы-столбца
U
1
, имея ввиду, что произведена упорядоченная нумерация ветвей графа схемы, а именно сначала пронумерованы ветви дерева, а затем связи. Обратим внимание на то обстоятельство, что для метода узловых напряжений нет такой необходимости. Согласно второму закону Кирхгофа, имеем 1
K(
),
q -
q p
K
C
U =
q
p
M
F
1
ґ

U
1
= 0 или
U
2
= –F Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

Тогда напряжения всех обобщенных ветвей графа схемы можно выразить через напряжения ветвей дерева в следующем виде:
Запишем также следующие соотношения для активных и пассивных элементов цепи
U U E I I
=
-
= + ББ
Для сечений цепи имеем 0
DI
D

=
= - ББ
или
Учитывая, что I = YU и U =
U + E, можно записать - ББ +С учетом того, что

U=
t
D U
1
, получим U
D
YE
t

(
).
1
= - ББ +Мы получили в матричной форме уравнение относительно напряжений ветвей дерева (q – 1 скалярных уравнений, куда входят квадратная матрица проводимостей сечений порядка (q – 1) ґ (q – Эту матрицу запишем в виде, аналогичном матрице узловых проводимостей,
а именно 12 1
1 21 22 2
1 1 1
K
K
,
,
,
q
q
q
Y
-
-
-
1 2 где Y
kk
— собственная проводимость го сечения Y
km
— общая проводимость сечений и m;
DББ — матрица-столбец порядка (q – 1) ґ 1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов источников тока ветвей, пересекаемых данным сечением, номер которого определяет номер ветви дерева (YE) — матрица-столбец порядка (q – 1) ґ 1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов эквивалентных источников тока, образованных за счет преобразования источников ЭДС в ветвях в источники тока (В развернутой форме совокупность уравнений, полученных по методу сечений, имеет вид U
Y U
Y
U
q
q
11 1 12 2
1 1
1 11



& ;
,
+
+ +
= Б+ +
1 1 1 1 2 2
1 1
1
K
= Б Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Здесь Y d
Y
d Y d
d
Y
kk
kj j
jk
j
p
km
kj Б = -Б ее ).
=
е
1
Решение этой системы в матричной форме можно записать в виде 1
= -
ББ +
t Для напряжения й ветви дерева можно записать Б+ +Б 1
1 где D — главный определитель матрицы проводимостей сечений и D
mk
— его алгебраическое дополнение.
В качестве примера составим уравнение по методу сечений для цепи, изображенной на риса и б, графы которой представлены на рис. 5.5, в, гид. Имеем следующие исходные данные U
U
U
U
=
ББ Б ;







1 3
5 6
1 2
3 4
5 0
0 0
0 0 0 0 0
U
Y Y Y Y Y Y
6 1 2 3 4 5 6
;
(
).
Y = Для графа схемы (см. рис. 5.5) имеем три сечения 1, 2, 3 согласно трем номерам ветвей дерева. Тогда 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
1 1 1 –1 –1 1 Y
1
Y
4
–Y
5
–Y
6
D = 2 1
–1 –1 ;
DY = 2
Y
2
–Y
5
–Y
6
;
3 1 –1 1
3
Y
3
–Y
4
Y
5 1 Y
1
+ Y
4
+ Y
5
+ Y
6
Y
5
+ Y
6
– Y
4
– Y
5
DYD
t
= 2 Y
5
+ Y
6
Y
2
+ Y
5
+ Y
6
– Y
5
;
3 – Y
4
– Y
5
– Y
5
Y
3
+ Y
4
+ Y
5
(
)
&
&
&
;
YE
t
Y E
Y E
Y E
=
1 1 3
3 5
5 0
0 0
1 Y E
1 1
& – Y E
5 5
& – &Б
6
&Б
11
D(ББ+YE) = 2 – Y E
5 5
& – Б – Б 3 Y E
3 3
& + Y E
5 5
&
&Б
33
Следовательно, имеем следующую систему уравнений:
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

Y U
Y U
Y U
Y U
Y U
Y U
11 1 12 2
13 3
11 21 1 22 2
23 3
2



& ;



&
+
+
= Б Б 31 1 32 2
33 3
33
;



& ,
Y U
Y U
Y U
+
+
= Б
где
Y
Y Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
11 1
4 5
6 22 2
5 6
21 12 5
6 13 31
=
+
+
+
=
+
+
=
=
+
=
;
;
;
= - -Б = Б -Б = Б +
Y
Y
Y E
Y E
Y E
4 5
11 6
1 1 5
5 22 6
5 5
;
&
&
&
& ; &
&
& ;
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y E
Y E
33 3
4 5
23 32 5
33 3
3 5
5
=
+
+
=
= -Б = -
-
;
;
&
&
& Все эти величины могут быть получены путем формальных матричных операций и анализа элементов матрицы D точно так, как это делалось в § и Метод сечений и метод узловых напряжений сводятся к формированию и решению системы, состоящей из q – 1 уравнений, ив этом отношении они равноценны. Однако в методе узловых напряжений используется матрица соединений, составление которой во всех случаях является обязательным, если речь идет не о непосредственной записи уравнений при помощи визуального способа составления матриц контуров и сечений. При использовании вычислительных машин процедура составления матриц C и D должна быть формализована. Одним из таких методов является расчет матрицы