Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
266 Часть 2. Теория линейных электрических цепей 5.17. Метод эквивалентного генератора Задача отыскания тока водной выделенной ветви, рассмотренная в предыдущем параграфе, может быть решена также с помощью метода эквивалентного генератора, или, как иногда говорят, с помощью теоремы об эквивалентном генераторе. Сущность этого метода заключается в том, что по отношению к выделенной ветви ab с сопротивлением вся остальная часть сложной цепи, содержащая источники ЭДС, может быть заменена одним эквивалентным генератором с ЭДС &E г и внутренним сопротивлением Z г Пусть ветвь с сопротивлением входит в контур 1 и является связью в методе контурных токов. Собственное сопротивление этого контура запишем в виде Z Z Z ab 11 11 0 = + , имея ввиду, что Z 11 есть собственное сопротивление контура, когда Z ab = 0. Поскольку выделенная ветвь является связью, тоне войдет нив какие другие элементы матрицы контурных сопротивлений. Согласно методу контурных токов, имеем & & & & & I I E I E ab kk k k n ab kk k k n = = = = = е е I или D D D D 1 1 1 Разложим D по элементам первой строки. Тогда 11 12 12 1 1 11 0 11 12 12 K K ( 1 1 11 11 0 11 12 12 1 1 11 Здесь D 0 — определитель матрицы контурных сопротивлений при условии, что Z ab = 0. Учитывая это, предыдущее равенство можно записать в виде I I E E ab е 11 1 11 или) & & . Z Z I E ab ab + = г 0 Последнему равенству соответствует схема, изображенная на рис. 5.17. Эта схема и свидетельствует о возможности замены активного двухполюсника A эквивалентным генератором с ЭДС г и сопротивлением г. Следовательно, искомый ток в ветви г что представляет математическую формулировку теоремы Тевенена. Выше по существу, был изложен метод замены сложной активной цепи по отношению к выделенной паре зажимов двухполюсником, содержащим неидеальный источник энергии. В данном случае такой источник был представлен источником ЭДС с внутренним ненулевым сопротивлением г. Заменим источник ЭДС источником тока Б = = 0 0 0 E Z E г г и параллельно присоединенной к источнику тока проводимостью г г. Тогда напряжение на зажимах выделенной ветви ab может быть определено при помощи выражения Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 267 Рис. 5.17 & & , U Y Y ab ab = Б + 0 г что представляет математическую формулировку теоремы Нортона. Нетрудно заметить, что ток Б = 0 0 E г равен току в ветви ab при Z ab = Таким образом, для определения тока в интересующей нас ветви необходимо экспериментально или расчетным путем найти напряжение при разрыве ветви ab и сопротивление г всей прочей части цепи при замкнутых накоротко содержащихся в ней источниках ЭДС. В реальных электрических цепях величина г может быть определена также и экспериментально. Обозначим ток в ветви ab прите. при замыкании этой ветви накоротко, через &I k . Тогда из выражения для получим г & & U тег можно определить экспериментально как отношение напряжения на зажимах ab цепи при холостом ходе к току при ее коротком замыкании. Применим теорему об эквивалентном генераторе для определения токов вцепи, изображенной на рис. 5.11. Для определения тока разомкнем первую ветвь и найдем напряжение на ее зажимах (рис. 5.18), причем положительное направление примем совпадающим с принятым на рисунке положительным направлением искомого тока &I 1 . Имеем ; & & & & & & ( U IZ E U E IZ E E Z Z Z E Z Z 0 3 1 0 1 3 1 2 2 3 3 1 2 3 + = = - = - + = + ) & - + E Z Z Z 2 3 2 Сопротивление г найдем как сопротивление всей прочей цепи между зажимами при замкнутых накоротко источниках ЭДС (рис. 5.19): Z Z г 3 2 Следовательно, искомый ток ( ) & I U Z Z E Z Z E Z D 1 0 1 1 2 3 2 3 = + = + - г Для определения этим методом тока разомкнем третью ветвь (рис. Напряжение на ее зажимах при этом имеет значение Z E Z Z Z 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. Рис. Рис. 5.20 Величина г в этом случае равна г 2 Следовательно Z E Z D 3 0 3 1 2 2 1 = + = + г В качестве еще одного примера применения теоремы об эквивалентном генераторе рассмотрим задачу об определении тока в ветви ab измерительного прибора неуравновешенной мостовой схемы (рис. 5.21) в случае, когда можно пренебречь внутренним сопротивлением источника ЭДС, питающего мост. Предположив, что ветвь ab разомкнута (рис. 5.22), найдем напряжение на ее зажимах ж и зз ц ш чч Для сопротивления г цепи между точками a и b при разомкнутой ветви измерительного прибора и при замыкании накоротко точек c ирис) будем иметь выражение Z Z Z Z г 2 1 2 3 4 Следовательно, искомый ток Z Z Z Z Z Z ab 0 3 3 4 1 1 2 1 2 1 2 3 4 ж и зз ц ш чч + + + + ж и зз ц ш чч, где Z ab — сопротивление измерительного прибора. В заключение рассмотрим еще один пример использования теоремы об эквивалентном генераторе, а именно задачу подбора параметров в данной ветви, подключенной к сложной цепи с целью получения максимальной активной мощности. Применив теорему об эквивалентном генераторе, можно определить ток в приемнике пр г пр г пр г пр = + = + + + 0 Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 269 Рис. Рис. Рис. 5.23 Активная мощность I r U пр пр пр г пр г пр 2 0 2 ( ) ( ) 2 Из выражения для P при пр 0 следует, что максимум мощности можно обеспечить приуменьшении знаменателя, добиваясь равенства пр+ г 0 (при г могут быть разного характера — индуктивного или емкостного. При этом r r r = + 0 пр г пр ( ) 2 Учитывая, что г величина заданная, можно найти P max , изменяя пр. Условием обеспечения абсолютного максимума будет равенство г пр. При этом r I r r r max ( ) = = Ч = Ч + = 0 2 2 2 4 100 100 г пр пр пр г пр при Ч г пр %, где h — коэффициент полезного действия рассматриваемого устройства. Режим максимальной мощности представляет интерес в маломощных передаточных устройствах, применяемых в электроизмерительной технике, в радиотехнике, радиоэлектронике и автоматике. В этих случаях получение как можно большей мощности нередко является более важным, чем достижение большого значения коэффициента полезного действия. Расчет цепей при наличии взаимной индукции Правило составления дифференциальных уравнений цепи при наличии взаимной индукции, рассмотренное в § 3.7, положим в основу для расчета цепей с взаимной индукцией при протекании синусоидальных токов. Применив комплексный метод, алгебраизируем эти уравнения. Напомним правило, определяющее знак ЭДС взаимной индукции или падения напряжения, компенсирующего эту ЭДС. Точки, поставленные на одном из зажимов каждой катушки, означают следующее если положительное направление тока впервой катушке принято от точки, то положительное направление ЭДС взаимной индукции, возникающей в другой катушке, также должно быть принято то точки. Будем считать, что для данной системы точек, отмеченных на зажимах всех индуктивносвязанных катушек, известны коэффициенты взаимной индукции по величине и знаку. Для расчета цепей, содержащих индуктивно-связанные ветви, непосредственно применимы все изложенные ранее методы, за исключением метода узловых напряжений и формул преобразования соединения треугольника в эквивалентное соединение звездой и обратно. Применение этих последних требует введения некоторых дополнительных правил. Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 5.24. Катушки и L 2 индуктивно связаны, причем для данной системы точек задан коэффициент взаимной индукции Часть 2. Теория линейных электрических цепей Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, обход которого производим почасовой стрелке. Пусть положительные направления тока и обхода контура совпадают. В контур входят пять ЭДС ЭДС &E внешнего источника, ЭДС самоиндукции &E 1L = – jwL 1 &I и &E 2L = – и ЭДС взаимной индукции &E 1M = – jwM &I и &E 2M = – jwM &I. Положительные направления ЭДС самоиндукции и совпадают с положительным направлением тока в цепи. Так как положительное направление тока в обеих катушках взято от точки, тов обеих катушках положительное направление ЭДС взаимной индукции и также будет от точек. Поэтому все ЭДС войдут в уравнение с одинаковым положительным знаком E E E E I r r + + + + = + 1 2 1 2 1 Вспомним, что все сказанное можно относить к падениям напряжения, для которых имеем & & U E L L = - и & & U E M M = - , и, следовательно U U U U I r r = + + + + + 1 1 2 2 1 или &( ), E j L I j MI j L I j MI I r r = + + + + + w w w w 1 2 1 откуда) & ( ) &( ) & . E I r r Ij L L M I r j L IZ = + + + + = + = 1 2 w w 1 э э э Величина э L 1 + L 2 + 2M представляет собой эквивалентную индуктивность всей цепи. Эквивалентная индуктивность всегда положительна, что вытекает из равенствам этак как энергия магнитного поля всей цепи всегда положи- тельна. Эквивалентная индуктивность зависит от знака взаимной индуктивности. В зависимости от знака M различают два способа включения катушек согласное включение, когда M > 0 (M = |M|), и встречное включение, когда M < 0 (M = При согласном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению, что приводит к увеличению эквивалентной индуктивности всей цепи э L 1 + L 2 + 2|M |. При встречном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены встречно, что приводит к уменьшению эквивалентной индуктивности всей цепи э L 1 + L 2 – 2|M Определив измерением эквивалентные индуктивности э и э при согласном и встречном включениях катушек, можно вычислить абсолютное значение их взаимной индуктивности из соотношения - ўў = = ў - э э э э или 4 Переход от согласного включения к встречному при этом следует выполнить пересоединением концов обмотки одной из катушек, не изменяя взаимного рас- Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 271 Рис. 5.24 положения катушек. Знак коэффициента взаимной индукции положителен, когда эквивалентная индуктивность имеет большее значение. В качестве примера расчета более сложной цепи рассмотрим составление уравнений поза- конам Кирхгофа и по методу контурных токов для цепи, изображенной на рис. 5.25, при наличии взаимной индукции между индуктивными катушками L 3 , и Положительные направления токов в ветвях показаны стрелками. Согласно сказанному в § 3.7, в индуктивно-связанных катушках положительные направления токов принимаются от зажима катушки, обозначенного точкой. По законам Кирхгофа имеем: для узлов & & & ; I I I I I I I I I 1 6 2 2 3 5 4 1 3 0 0 для контуров 1 1 1 1 1 6 6 6 ж и зз ц ш чч +ж и зз ц ш чч + + r j C I r j C I r j L w w w & & ( ) & & & ; & & & I j M I j M I E E r I r j C 4 45 5 43 3 2 5 2 2 6 6 ж и зз ц w w ш чч + + + + - + = & ( ) & & & ; & & ( I r j L I j M I j M I E E r 6 5 5 5 54 4 53 3 5 3 4 w ж и зз ц ш чч j L I j M I j M I r j L j C w w w w w 4 4 45 5 43 3 3 3 3 1 ) & & & &I j M I j M I r j L I j M I j M 3 34 4 35 5 5 5 5 54 4 53 + + + - + - - w w w w w & & ( ) Величины M 34 = M 43 , M 53 = и M 45 = заданы сих знаками для системы точек, которые указаны на катушках L 3 , и L 5 . В индуктивных катушках L 3 , и L 5 , где имеет место явление взаимной индукции, все токи направлены от точек, поэтому направления ЭДС самоиндукции и взаимной индукции совпадают, а следовательно, совпадают и направления соответствующих этим ЭДС падений напряжений. Поэтому знаки в членах j L I w 5 5 & , j M I w 53 3 & ив последнем уравнении одинаковы. По методу контурных токов в общем виде уравнения записываются в обычной форме, как и при отсутствии взаимной индукции I Z I Z I E Z I Z I Z I E 11 1 12 2 13 3 11 21 1 22 2 23 3 2 & & & & ; & & & & + + = + + = 2 31 1 32 2 33 3 33 ; Z I Z I Z I E нов выражения для собственных и общих сопротивлений контуров войдут добавочные члены, учитывающие явление взаимной индукции. В данном частном случае контурные токи &I 1 , и являются и токами в ветвях 1, 2 и Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.25 Зададимся положительными направлениями контурных токов &I 1 , и &I 3 , как показано на рис. 5.25 стрелками внутри контуров. Для рассматриваемой цепи имеем выражения собственных сопротивлений контуров C r j C r j L Z r r j L r j 11 1 1 6 6 4 4 22 2 5 5 6 1 1 1 = + + + + + = + + + + w w w w ; w w w w w w w C Z r j L j C r j L r j L j M j M 6 33 3 3 3 4 4 5 5 45 5 1 2 2 ; = + + + + + + - - 3 43 2 + j В выражение два раза входит член – jwM 45 , так как контурный ток &I 3 , проходя по катушке от точки, индуцирует ЭДС взаимной индукции в катушке также направленную от точки и, следовательно, против направления обхода контура. Тот же ток &I 3 , проходя по катушке к точке, индуцирует ЭДС взаимной индукции в катушке L 4 , направленную к точке катушки L 4 , а следовательно, опять против направления обхода контура. По этой причине напряжения j L I w 4 и j L I w 5 3 & , уравновешивающие ЭДС самоиндукции, противоположны по знаку напряжению, уравновешивающему ЭДС взаимной индукции, что учитывается знаками членов jwL 4 , ив выражении для Точно также рассуждая, найдем, что ЭДС самоиндукции и взаимной индукции оттока в катушках и противоположны по направлению, и поэтому член имеет знак минус ЭДС самоиндукции и взаимной индукции оттока в катушках и совпадают по направлению, и поэтому член имеет знак «плюс». Общие сопротивления контуров выражаются следующим образом C j M Z Z r j L j M j 12 21 6 6 45 23 32 5 5 45 1 = = + + = = - - + + w w w w ; w w w w M Z Z r j L j M j M 35 31 13 4 4 45 Член входит в выражение со знаком плюс, так как ЭДС взаимной индукции в катушке оттока, направленного от точки на катушке L 5 , направлена от точки на катушке L 4 , а следовательно, и согласно с направлением обхода контура 1. По этой же причине ставим знак плюс перед членами ив выражении Z 23 . В выражении член также имеет знак «плюс», но член jwM 45 — знак минус, так как ток в катушке направлен к точке, а следовательно, к точке на катушке L 4 , те. против направления обхода контура, направлена и ЭДС взаимной индукции. Для ЭДС &E 11 , ив контурах получаем 0; & & & E E E 22 2 5 = + ; & & & E E E 33 Приведенная выше методика расчета цепей при наличии взаимной индуктивности показывает, что ЭДС взаимной индукции можно учесть в виде дополни- Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах тельного падения напряжения в й ветви оттока в й ветви. Падения напряжения в ветвях связываются стоками законом Ома в матричной форме |