Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
I = см. § 3.15), записанного на основе первого закона Кирхгофа применительно к сечениям графа схемы.
равенством .
II |
1
— матрица-столбец порядка (q – 1) ґ 1, элементами которой являются токи &
I
I
q
1 1
K
- в обобщенных ветвях дерева
&
I C Токи в связях, записанные в матричной форме буквой
U = матрица-столбец порядка р ґ элементами которой являются напряжения обобщенных ветвей U — матрица-столбец порядка р ґ 1, элементами которой являются напряжения пассивных элементов обобщенных ветвей (рис. 5.9). Для пассивных элементов можно записать закон Ома в матричной форме, а именно ZI
= где Z — квадратная матрица порядка р ґ сопротивлений ветвей цепи (см. § Кроме того, справедливо соотношение- Били в матричной форме I
= - ББ
Подставим эти соотношения в контурное уравнение, получим CZI CZ I
CZI CZ
CE
=
=
- ББ =
-
ББ или C E Z
(
).
=
+ ББ
Но
I C I
=
t
2
, поэтому окончательно имеем ) (
) ( ) ( ) ( )
(
) ( )
C
Z
C I
C
E
Z
n p
p p
p n
n
n p
p
p p
p
ґ ґ
ґ ґ
ґ ґ ґ
ґ
ґ
ґ ґ ґ
=
ББ
t
(
) .
2 1
1 Система уравнений в матричной форме для контурных токов состоит из уравнений и содержит следующие члены квадратную матрицу контурных сопротивлений порядка n ґ n. Эта матрица связывает падения напряжений в контурах с контурными токами. Она имеет вид 12 1
21 22 2
1 2
K
K
K
;
CE — матрицу-столбец порядка n ґ 1, состоящую из элементов, представляющих собой суммы ЭДС ветвей, входящих в контуры, образованные связями, номера которых определяют номера элементов Z
ББ
ББ
= ( ) — матрицу-столбец порядка n ґ 1, состоящую из элементов, представляющих собой суммы ЭДС эквивалентных источников ЭДС, образованных за счет преобразования источников токов ББ в ветвях в источники ЭДС ZББ.
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах
243
Рис. 5.9
Правая сторона матричного равенства, таким образом, определяет суммы ЭДС,
которые впредь будем писать в виде E Z
(
)
&
&
&
+ ББ =
E
E
E
nn
11 Решив систему уравнений, найдем контурные токи (матрицу-столбец Зная I
2
, можно определить токи во всех обобщенных ветвях из выражения
I C I
=
t
2
, токи во всех пассивных элементах цепи — из формулы I I
= - ББ
,
а также напряжения на пассивных элементах U = и напряжения обобщенных ветвей (между парами узлов)
U = U – Рассмотрим цепь, изображенную на рис. аналогичную риса. Выделим ветви 1, 2, 3 в качестве дерева графа. Тогда ветви 4, 5 и 6 определят связи этого графа. Матрицы C, E, Б
Б и Z можно записать в виде =
ББ Б 3
5 6
0 0
0 0
0 0
0 0
1 2
3 4
5 6
4 –1 С = 5 1 1
–1 1
;
6 1 1
1
Z
1
Z
2
Z Рис. 5.10
245
Матрицы CZ, CZC
t
, ZББ и C E Z
(
)
+ ББ можно получить, выполнив соответствующие матричные операции умножения 2
3 4
5 6
4 –Z
1
Z
3
Z
4
CZ = 5 Z
1
Z
2
–Z
3
Z
5
;
6 Z
1
Z
2
Z
6
;
&
Z Б
Б Б 0
0 0
0 6
6
Z
;
CZC
t
=
Z
1
+Z
3
+Z
4
–Z
1
–Z
3
–Z
1
Z
11
Z
12
Z
13
–Z
1
–Z
3
Z
1
+Z
2
+Z
3
+Z
5
Z
1
+Z
2
= Z
21
Z
22
Z
23
–Z
1
Z
1
+Z
2
Z
1
+Z
2
+Z
6
Z
31
Z
32
Z
33
C E Z
(
)
&
&
&
&
&
&
&
&
&
;
+ ББ Б 3
1 3
5 1
6 6
11 22 33
&
&
&
&
&
&
I
2 4
5 Окончательно система уравнений примет вид I
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z I
11 12 13 11 21 22 23
&
&
&
& ;
&
&
&
I
II
III
I
II
I
+
+
=
+
+
II
I
II
III
=
+
+
=
& ;
&
&
&
& .
E
Z I
Z I
Z I
E
22 31 32 33 33
CZC I
t
2
= Z
21
Z
22
Z
23
ґ &I
II
= &E
22
или
Z
31
Z
32
Z
33
&I
III
&E
33
Если внимательно рассмотреть матрицу CZ, то можно заметить весьма простое ее отличие от матрицы C. Там, где в столбце матрицы C имеются ненулевые элементы, в матрице CZ появляются комплексные сопротивления, номера которых совпадают с номерами столбца. Поэтому заполнение этой матрицы как вручную, таки при помощи ЭВМ можно осуществить простым перебором элементов матрицы C, не прибегая для этой целик матричному умножению. Произведение также просто получить, рассматривая матрицу C. Пусть нас интересует, й элемент CZC
t
. Для этого должно быть выполнено умножение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы C
t
. Ной столбец матрицы C
t
есть
s-я строка матрицы C. Поэтому j, й элемент матрицы есть сумма сопротивлений тех столбцов матрицы CZ, где в й и й строках матрицы C одновременно будут содержаться ненулевые элементы, причем знак сопротивления
в сумме определится по сочетанию знаков ненулевых элементов (знак «плюс»
если знаки одинаковы, и минус — если они разные. Так, например, есть произведение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы или на ю строку матрицы C, рассмотренную как столбец (по номерам й строке соответствует число 5, ай строке — число 6 в матрице C). В этих строках одновременно неравны нулю элементы в столбцах 1 (знаки совпадают) и 2 (знаки совпадают. Поэтому Z
23
= Z
1
+ Z
2
. Разумеется, такой закономерности не будет при отсутствии совпадения ненулевых элементов у матриц CZ и C
t
, что может быть,
если Z — несимметричная матрица (диагональная матрица симметрична).
Строка матрицы C определяет ветви, входящие в данный контур, поэтому элемент Z
kk
, вычисляемый как произведение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы C
t
, определит собственное сопротивление го контура,
равное сумме всех комплексных сопротивлений ветвей, входящих в й контур.
Точно также произведение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы определит общее сопротивление контуров и m, равное сумме комплексных сопротивлений тех ветвей дерева, которые входят в й ив й контуры. При этом сопротивления тех ветвей, контурные токи в которых совпадают по направлению, войдут в сумму со знаком плюс, в противном случае — со знаком «минус».
Уравнения относительно контурных токов для не очень сложных цепей можно составить непосредственно, рассматривая схему цепи. Для этого следует выделить контуры, по которым проходят эти токи. Выделим в качестве таковых токи, &I
II
, &I
III
, показанные на рис. 5.10. Для них можно составить систему из трех уравнений. Для составления системы уравнений относительно n контурных токов пронумеруем контурные токи от 1 дои выберем контуры таким образом, чтобы в них обязательно входила какая-либо новая ветвь (проще всего в качестве контурных токов выбирать токи в связях и нумеровать связи от 1 до n). Выберем произвольно положительные направления обходов контуров и будем считать эти направления также положительными направлениями контурных токов. Обозначим через сумму ЭДС, входящих в контур k. ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода, следует брать со знаком плюса несовпадающие — со знаком минус. Обозначим через сумму сопротивлений, входящих в контур и назовем величину собственным сопротивлением контура. Сумму сопротивлений в общей для контуров k и m ветви обозначим через или и назовем общим сопротивлением контуров k и m. Согласно второму закону Кирхгофа, получаем для независимых контуров следующую систему из n линейных уравнений I
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z I
n
n n
11 12 1
11 21 22 2
&
&
&
& ;
&
&
&
1 2
1 2
+
+ +
=
+
+ +
K
K
n
=
+
+ +
=
& ;
&
&
&
& .
E
Z I
Z I
Z I
E
n
n
nn
nn
22 1
2 Составление таких уравнений, содержащих n контурных токов, и решение их относительно этих токов и является содержанием метода контурных токов.
246
Часть 2. Теория линейных электрических цепей
если знаки одинаковы, и минус — если они разные. Так, например, есть произведение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы или на ю строку матрицы C, рассмотренную как столбец (по номерам й строке соответствует число 5, ай строке — число 6 в матрице C). В этих строках одновременно неравны нулю элементы в столбцах 1 (знаки совпадают) и 2 (знаки совпадают. Поэтому Z
23
= Z
1
+ Z
2
. Разумеется, такой закономерности не будет при отсутствии совпадения ненулевых элементов у матриц CZ и C
t
, что может быть,
если Z — несимметричная матрица (диагональная матрица симметрична).
Строка матрицы C определяет ветви, входящие в данный контур, поэтому элемент Z
kk
, вычисляемый как произведение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы C
t
, определит собственное сопротивление го контура,
равное сумме всех комплексных сопротивлений ветвей, входящих в й контур.
Точно также произведение й строки матрицы CZ на й столбец матрицы определит общее сопротивление контуров и m, равное сумме комплексных сопротивлений тех ветвей дерева, которые входят в й ив й контуры. При этом сопротивления тех ветвей, контурные токи в которых совпадают по направлению, войдут в сумму со знаком плюс, в противном случае — со знаком «минус».
Уравнения относительно контурных токов для не очень сложных цепей можно составить непосредственно, рассматривая схему цепи. Для этого следует выделить контуры, по которым проходят эти токи. Выделим в качестве таковых токи, &I
II
, &I
III
, показанные на рис. 5.10. Для них можно составить систему из трех уравнений. Для составления системы уравнений относительно n контурных токов пронумеруем контурные токи от 1 дои выберем контуры таким образом, чтобы в них обязательно входила какая-либо новая ветвь (проще всего в качестве контурных токов выбирать токи в связях и нумеровать связи от 1 до n). Выберем произвольно положительные направления обходов контуров и будем считать эти направления также положительными направлениями контурных токов. Обозначим через сумму ЭДС, входящих в контур k. ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода, следует брать со знаком плюса несовпадающие — со знаком минус. Обозначим через сумму сопротивлений, входящих в контур и назовем величину собственным сопротивлением контура. Сумму сопротивлений в общей для контуров k и m ветви обозначим через или и назовем общим сопротивлением контуров k и m. Согласно второму закону Кирхгофа, получаем для независимых контуров следующую систему из n линейных уравнений I
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z I
n
n n
11 12 1
11 21 22 2
&
&
&
& ;
&
&
&
1 2
1 2
+
+ +
=
+
+ +
K
K
n
=
+
+ +
=
& ;
&
&
&
& .
E
Z I
Z I
Z I
E
n
n
nn
nn
22 1
2 Составление таких уравнений, содержащих n контурных токов, и решение их относительно этих токов и является содержанием метода контурных токов.
246
Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Для соблюдения единообразия в написании уравнений перед всеми членами,
содержащими общие сопротивления Z
km
, ставим знак плюс. При этом следует считать Z
km
= Z
mk
= r
km
+ jx
km
, если условные положительные направления контурных токов в общей ветви контуров k и m совпадают, и Z
km
= Z
mk
= – r
km
– если они противоположны. В этих выражениях и x
km
— алгебраические суммы активных и реактивных сопротивлений в общей ветви.
Упрощение, достигаемое введением понятия контурных токов, не ограничивается уменьшением числа уравнений, оно определяется еще и тем, что достигается некоторый автоматизм в записи системы уравнений. Так, приведенная выше система из n уравнений записана даже без рассмотрения конкретных контуров цепи — выяснено лишь число независимых контуров. Естественно, для определения величин, и необходимо учесть входящие в контуры конкретные сопротивления и
ЭДС, а также выбранные положительные направления токов и ЭДС.
Решая приведенную выше систему уравнений для контурного тока в контуре, найдем+ +
+ +
11 1
22 где D — главный определитель системы, причем =
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
n
n
n
n
11 12 1
1 21 22 23 2
31 32 33 3
K
K
K
,
Z
Z
Z
Z
n
n
n
nn
1 а D
k1
, D
k2
, . . ., D
km
, . . ., D
kn
— алгебраические дополнения, получаемые из определителя путем вычеркивания в нем й строки иго столбца и умножения вновь полученного определителя на (–1)
k+m
. Весьма существенно заметить, что для линейных цепей без зависимых источников энергии D
km
= D
mk.
. Действительно, получается из D путем вычеркивания й строки иго столбца, а D
mk
— путем вычеркивания й строки иго столбца. Так как при отсутствии зависимых источников энергии Z
km
= Z
mk
, тов результате вычеркивания получаются два определителя, в которых элементы строк одного равны элементам соответствующих столбцов другого, а такие определители, как известно, равны друг другу.
В матричной форме решение для контурных токов записывается в виде E Z
2 1
=
+ Б
Б
-
t
где (CZC
t
)
–1
(CZC
t
) = 1, те обратная матрица контурных сопротивлений.
В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на рис. 5.11. Положительные направления контурных токов и направим так, как указано стрелками. Контурные токи
&I
1
и в данном частном случае равны действительным токам впервой и во второй ветвях. Действительный же ток в третьей ветви равен
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах
247
Рис. 5.11
содержащими общие сопротивления Z
km
, ставим знак плюс. При этом следует считать Z
km
= Z
mk
= r
km
+ jx
km
, если условные положительные направления контурных токов в общей ветви контуров k и m совпадают, и Z
km
= Z
mk
= – r
km
– если они противоположны. В этих выражениях и x
km
— алгебраические суммы активных и реактивных сопротивлений в общей ветви.
Упрощение, достигаемое введением понятия контурных токов, не ограничивается уменьшением числа уравнений, оно определяется еще и тем, что достигается некоторый автоматизм в записи системы уравнений. Так, приведенная выше система из n уравнений записана даже без рассмотрения конкретных контуров цепи — выяснено лишь число независимых контуров. Естественно, для определения величин, и необходимо учесть входящие в контуры конкретные сопротивления и
ЭДС, а также выбранные положительные направления токов и ЭДС.
Решая приведенную выше систему уравнений для контурного тока в контуре, найдем+ +
+ +
11 1
22 где D — главный определитель системы, причем =
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
n
n
n
n
11 12 1
1 21 22 23 2
31 32 33 3
K
K
K
,
Z
Z
Z
Z
n
n
n
nn
1 а D
k1
, D
k2
, . . ., D
km
, . . ., D
kn
— алгебраические дополнения, получаемые из определителя путем вычеркивания в нем й строки иго столбца и умножения вновь полученного определителя на (–1)
k+m
. Весьма существенно заметить, что для линейных цепей без зависимых источников энергии D
km
= D
mk.
. Действительно, получается из D путем вычеркивания й строки иго столбца, а D
mk
— путем вычеркивания й строки иго столбца. Так как при отсутствии зависимых источников энергии Z
km
= Z
mk
, тов результате вычеркивания получаются два определителя, в которых элементы строк одного равны элементам соответствующих столбцов другого, а такие определители, как известно, равны друг другу.
В матричной форме решение для контурных токов записывается в виде E Z
2 1
=
+ Б
Б
-
t
где (CZC
t
)
–1
(CZC
t
) = 1, те обратная матрица контурных сопротивлений.
В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на рис. 5.11. Положительные направления контурных токов и направим так, как указано стрелками. Контурные токи
&I
1
и в данном частном случае равны действительным токам впервой и во второй ветвях. Действительный же ток в третьей ветви равен
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах
247
Рис. 5.11
сумме контурных токов и &I
2
. Пользуясь методом контурных токов, имеем только два уравнения I
Z I
E
Z I
Z I
E
11 12 11 21 22 22
&
&
& ;
&
&
& ,
1 2
1 причем собственные сопротивления контуров 1
3 22 и и общее сопротивление 21 кроме того, &
& ; &
&
E
E
E
E
11 1
22 Определитель системы =
=
-
=
+
+
-
=
=
+
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
11 12 21 22 11 22 12 2
1 3
2 3
3 2
1 2 2
Z
Z Z
D
3 3 1
+
= Соответственно 22 2
3 22 11 1
3 12 21 12 3
=
=
+
=
=
+
=
= -
= -Получаем &
&
&
I
E Z
Z
D
E Z
D
I
E Z
D
E Z
Z
D
1 1
2 3
2 3
2 1
3 2
1 3
=
+
-
= -Ток получается алгебраическим суммированием токов и &I
2
:
&
&
&
&
&
I
I
I
E Z
D
E Z
D
3 1
2 1
2 Составим уравнения по методу контурных токов для цепи, изображенной на рис. 5.12, причем изберем независимые контуры и положительные направления контурных токов в них согласно рис. 5.12. Этих уравнений будет только три, и они имеют вид I
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z I
E
11 12 13 11 21 22 23 2
&
&
&
& ;
&
&
&
&
1 2
3 1
2 3
+
+
=
+
+
=
2 31 32 33 33
;
&
&
&
& ,
Z I
Z I
Z I
E
1 причем 4
6 1
22 2
5 6
33 3
5 4
12 21 6
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
;
;
;
; Z
Z
Z
Z
Z
Z
E
E
E
E
E
E
23 32 5
13 31 4
11 4
22 2
33 3
=
=
=
= -
=
=
=
-
;
;
&
& ; &
& ; &
&
& Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Рис. 5.12
2
. Пользуясь методом контурных токов, имеем только два уравнения I
Z I
E
Z I
Z I
E
11 12 11 21 22 22
&
&
& ;
&
&
& ,
1 2
1 причем собственные сопротивления контуров 1
3 22 и и общее сопротивление 21 кроме того, &
& ; &
&
E
E
E
E
11 1
22 Определитель системы =
=
-
=
+
+
-
=
=
+
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
11 12 21 22 11 22 12 2
1 3
2 3
3 2
1 2 2
Z
Z Z
D
3 3 1
+
= Соответственно 22 2
3 22 11 1
3 12 21 12 3
=
=
+
=
=
+
=
= -
= -Получаем &
&
&
I
E Z
Z
D
E Z
D
I
E Z
D
E Z
Z
D
1 1
2 3
2 3
2 1
3 2
1 3
=
+
-
= -Ток получается алгебраическим суммированием токов и &I
2
:
&
&
&
&
&
I
I
I
E Z
D
E Z
D
3 1
2 1
2 Составим уравнения по методу контурных токов для цепи, изображенной на рис. 5.12, причем изберем независимые контуры и положительные направления контурных токов в них согласно рис. 5.12. Этих уравнений будет только три, и они имеют вид I
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z I
E
11 12 13 11 21 22 23 2
&
&
&
& ;
&
&
&
&
1 2
3 1
2 3
+
+
=
+
+
=
2 31 32 33 33
;
&
&
&
& ,
Z I
Z I
Z I
E
1 причем 4
6 1
22 2
5 6
33 3
5 4
12 21 6
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
;
;
;
; Z
Z
Z
Z
Z
Z
E
E
E
E
E
E
23 32 5
13 31 4
11 4
22 2
33 3
=
=
=
= -
=
=
=
-
;
;
&
& ; &
& ; &
&
& Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Рис. 5.12
Здесь получаем определитель третьего порядка, выражение для которого уже достаточно громоздко. С увеличением числа уравнений решение становится все более трудоемким.
Если вцепи действует лишь одна ЭДС &
&
E
E
kk
k
=
, то для токов имеем ; &
& ; ; &
& ; ; &
&
I
E
I
E
I
E
I
E
k
k
k
k
kk
k
mk
1 2
=
=
=
=
D
D
D
D
D
D
D
D
1 2
K
K
k
m
k
nk
k
I
E
; ; &
& .
K
n
= Здесь величину D/D
kk
, имеющую размерность сопротивления и определяющую ток в м контуре от ЭДС, содержащейся в этом же контуре, назовем входным сопротивлением го контура.
Величину D/D
mk
, определяющую ток в м контуре от ЭДС, действующей в м контуре, назовем взаимным сопротивлением от го контура к m-му контуру. Входное и взаимное сопротивления определены здесь для контуров цепи. Однако их всегда можно определять и для ветвей цепи. Это ясно из того, что всегда можно выбрать независимые контуры так, чтобы две ветви, например ветви ab и cd, вошли каждая только в один контур, скажем, ветвь ab в й контура ветвь cd — в й контур.
Обратим внимание на то, что взаимное и общее сопротивления — величины существенно различные. Общее сопротивление есть сопротивление ветви,
входящей как в й, таки в й контур. Для него, как и для сопротивления любой ветви, имеет место соотношение Z
km
= Z
mk
. Взаимное же сопротивление может относиться к двум любым контурам цепи, в общем случае и не имеющим общей ветви. Поэтому если обозначать взаимные сопротивления & &
E и &
&
E также через и Z
mk
, то для них связь Z
km
= будет иметь место только при дополнительном условии, что положительные направления для ЭДС и тока в м контуре согласованы между собой, также как и для ЭДС и тока в м контуре, те. в обоих контурах положительные направления ЭДС и тока приняты водном направлении или же в обоих контурах положительные направления ЭДС
и тока друг другу противоположны. В противном случае для взаимных сопротивлений будет Z
km
= – Z
mk
. Это важное обстоятельство более детально будет обосновано в § 5.16 при рассмотрении принципа взаимности.
Существенно различный смысл имеют также входное и собственное сопротивления контура. Собственное сопротивление есть сумма всех сопротивлений,
входящих только в данный контур. Входное же сопротивление есть сопротивление всей цепи, определенное по отношению к источнику ЭДС в данном контуре при условии, что ЭДС всех других источников приняты равными нулю.
Заметим еще, что при определении входного и взаимного сопротивлений можно исходить не из ЭДС в контуре или в ветви, а из напряжения между двумя точками контура или ветви, например напряжения на входных или выходных зажимах в какой-нибудь части цепи. При этом, естественно, в собственном сопротивлении этого контура необходимо учесть только сопротивления участков контура между этими зажимами, входящих в рассматриваемую цепь. Метод узловых напряжений
При расчете сложных электрических цепей, когда уменьшенное на единицу число узлов меньше числа независимых контуров, целесообразно воспользоваться
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах
Если вцепи действует лишь одна ЭДС &
&
E
E
kk
k
=
, то для токов имеем ; &
& ; ; &
& ; ; &
&
I
E
I
E
I
E
I
E
k
k
k
k
kk
k
mk
1 2
=
=
=
=
D
D
D
D
D
D
D
D
1 2
K
K
k
m
k
nk
k
I
E
; ; &
& .
K
n
= Здесь величину D/D
kk
, имеющую размерность сопротивления и определяющую ток в м контуре от ЭДС, содержащейся в этом же контуре, назовем входным сопротивлением го контура.
Величину D/D
mk
, определяющую ток в м контуре от ЭДС, действующей в м контуре, назовем взаимным сопротивлением от го контура к m-му контуру. Входное и взаимное сопротивления определены здесь для контуров цепи. Однако их всегда можно определять и для ветвей цепи. Это ясно из того, что всегда можно выбрать независимые контуры так, чтобы две ветви, например ветви ab и cd, вошли каждая только в один контур, скажем, ветвь ab в й контура ветвь cd — в й контур.
Обратим внимание на то, что взаимное и общее сопротивления — величины существенно различные. Общее сопротивление есть сопротивление ветви,
входящей как в й, таки в й контур. Для него, как и для сопротивления любой ветви, имеет место соотношение Z
km
= Z
mk
. Взаимное же сопротивление может относиться к двум любым контурам цепи, в общем случае и не имеющим общей ветви. Поэтому если обозначать взаимные сопротивления & &
E и &
&
E также через и Z
mk
, то для них связь Z
km
= будет иметь место только при дополнительном условии, что положительные направления для ЭДС и тока в м контуре согласованы между собой, также как и для ЭДС и тока в м контуре, те. в обоих контурах положительные направления ЭДС и тока приняты водном направлении или же в обоих контурах положительные направления ЭДС
и тока друг другу противоположны. В противном случае для взаимных сопротивлений будет Z
km
= – Z
mk
. Это важное обстоятельство более детально будет обосновано в § 5.16 при рассмотрении принципа взаимности.
Существенно различный смысл имеют также входное и собственное сопротивления контура. Собственное сопротивление есть сумма всех сопротивлений,
входящих только в данный контур. Входное же сопротивление есть сопротивление всей цепи, определенное по отношению к источнику ЭДС в данном контуре при условии, что ЭДС всех других источников приняты равными нулю.
Заметим еще, что при определении входного и взаимного сопротивлений можно исходить не из ЭДС в контуре или в ветви, а из напряжения между двумя точками контура или ветви, например напряжения на входных или выходных зажимах в какой-нибудь части цепи. При этом, естественно, в собственном сопротивлении этого контура необходимо учесть только сопротивления участков контура между этими зажимами, входящих в рассматриваемую цепь. Метод узловых напряжений
При расчете сложных электрических цепей, когда уменьшенное на единицу число узлов меньше числа независимых контуров, целесообразно воспользоваться
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах
методом узловых напряжений. Узловыми напряжениями, которые являются искомыми величинами при этом методе, называют напряжения между каждым из q – 1 узлов и одним определенным, но произвольно выбранным опорным узлом, который обозначим индексом 0. Узловое напряжение &
U
k имеет положительное направление от го узла (k = 1, 2, . . ., q – 1) к опорному узлу.
Определив q – 1 искомых узловых напряжений, нетрудно найти напряжения между любыми парами узлов и токи в ветвях цепи. Поскольку по первому закону Кирхгофа можно записать – 1 независимых уравнений, то выразим все токи в ветвях через искомые узловые напряжения для получения системы уравнений, записанных относительно q – 1 искомых величин.
Условимся направлять узловое напряжение от го узла к опорному, или базисному, узлу. Обозначим узловое напряжение между ми базисным узлами через &
U
k рис. 5.13). Тогда напряжение некоторой обобщенной ветви s, присоединенной к узлами, будет равно .
U
U
U
U
a U
a U
s
km
k
m
sk
k
sm
m
=
=
-
=
+
0 0
0 Заметим, что номера узловых напряжений совпадают с номерами узлов графа схемы и эти напряжения входят в выражение для напряжения й ветви обязательно с разными знаками. Примем a
sk
= 1, если напряжение й ветви направлено от го узла, и a
sk
= –1, если напряжение й ветви направлено к m-му узлу.
Если сопоставить эти правила с правилами заполнения матрицы узловых соединений, то можно заметить, что матрица-столбец напряжений ветвей графа схемы представляется через матрицу-столбец узловых напряжений как произведение Действительно, строки матрицы определяются ветвями графа схемы,
а столбцы — узлами, и поэтому, если данная ветвь не соединена с опорным (или базисным) узлом, тов данной строке будут только два ненулевых (единичных)
элемента обязательно с противоположными знаками. Произведение данной мат- рицы-строки на матрицу-столбец узловых напряжений равно разности двух узловых напряжений, которая и определяет напряжение данной обобщенной ветви.
Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим
U
k имеет положительное направление от го узла (k = 1, 2, . . ., q – 1) к опорному узлу.
Определив q – 1 искомых узловых напряжений, нетрудно найти напряжения между любыми парами узлов и токи в ветвях цепи. Поскольку по первому закону Кирхгофа можно записать – 1 независимых уравнений, то выразим все токи в ветвях через искомые узловые напряжения для получения системы уравнений, записанных относительно q – 1 искомых величин.
Условимся направлять узловое напряжение от го узла к опорному, или базисному, узлу. Обозначим узловое напряжение между ми базисным узлами через &
U
k рис. 5.13). Тогда напряжение некоторой обобщенной ветви s, присоединенной к узлами, будет равно .
U
U
U
U
a U
a U
s
km
k
m
sk
k
sm
m
=
=
-
=
+
0 0
0 Заметим, что номера узловых напряжений совпадают с номерами узлов графа схемы и эти напряжения входят в выражение для напряжения й ветви обязательно с разными знаками. Примем a
sk
= 1, если напряжение й ветви направлено от го узла, и a
sk
= –1, если напряжение й ветви направлено к m-му узлу.
Если сопоставить эти правила с правилами заполнения матрицы узловых соединений, то можно заметить, что матрица-столбец напряжений ветвей графа схемы представляется через матрицу-столбец узловых напряжений как произведение Действительно, строки матрицы определяются ветвями графа схемы,
а столбцы — узлами, и поэтому, если данная ветвь не соединена с опорным (или базисным) узлом, тов данной строке будут только два ненулевых (единичных)
элемента обязательно с противоположными знаками. Произведение данной мат- рицы-строки на матрицу-столбец узловых напряжений равно разности двух узловых напряжений, которая и определяет напряжение данной обобщенной ветви.
Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим