Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
F через подматрицы и Поэтому в вычислительном отношении метод узловых напряжений более экономичен. Однако методы сечений и контурных токов позволяют выделить те напряжения и токи, которые могут представлять непосредственный интереса поэтому данные методы даже в отношении использования вычислительной техники имеют свои области применения. Метод смешанных величинВспомним, что матрица определяет контуры (номера которых совпадают с номерами ветвей, отнесенных к связями входящие в эти контуры ветви дерева. При составлении дерева графа сначала только из ветвей, а затем уже дополнением дерева до конца связями (если не хватает для этого ветвей) структура матрицы будет следующей: F-матрица разбивается на блоки, у которых первый нижний индекс показывает характер связи, образующей контура второй индекс — характер ветви дерева или z), входящей в данный контур. В контурах, образованных из y-связей, не могут находиться ветви дерева, так как ветвь становится связью при условии образования контура только из ветвей поэтому F yz = 0 всегда. Индекс согласно правилам индексации, показывает, что контуры образованы связями и ветвями дерева. Столбцы контурной матрицы C разделим на четыре группы и пронумеруем столбцы последовательно для группы ветвей дерева, затем для связей, после чего для ветвей дерева и завершим нумерацию связями. Соответственно, строки матрицы C определятся сначала связями, а затем уже связями. При условии такого разбиения матрицу можно записать так: При разделении ветвей на четыре группы матрицу сечений D также можно записать в виде Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах где -F yy t = Соответственно такому разделению топологических матриц должно быть проведено разделение матриц Z и Y. Каждая из этих матриц будет состоять из двух диагональных блоков. Согласно приоритету ветвей, в верхней левой части будут расположены ветви, отнесенные к дереву, в нижней правой части — отнесенные к связям. Соответственно, верхним подматрицам параметров ветвей дерева припишем нижний индекс 1, нижним подматрицам параметров связей нижний индекс 2. Эти матрицы будут иметь вид Y y = Y 1 ; Z z = Z 1 Y 2 Z 2 Матрицы-столбцы токов, напряжений, источников ЭДС и тока также разделим поэтому принципу. Имеем I 1y U 1y E 1y ББ 1y I= I 2y = I y ; U = U 2y = U y ; E = E 2y = E y ; ББ = ББ 2y = ББ y , I 1z I z U 1z U z E 1z E z ББ 1z ББ z I 2z U 2z E 2z ББ 2z где и т. д. I 2y I 2z Применим к части графа схемы, составленной из ветвей, метод сечений. Запись уравнений будет аналогична записи системы уравнений для сечений (см. § 5.13) с дополнительным членом, учитывающим токи связей, равным I zy t z 2 . Имеем Y D F I D Y E y y y t y zy t z y y y y ( ). U 1 - = - + ББ 2 260 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Точно также, если применить метод контурных токов к части графа, составленной из ветвей, можно записать матричное уравнение, аналогичное полученному в § 5.11 с добавлением напряжений ветвей дерева, которые равны Имеем Z C I F U C Z E z z z z zy y z z z z t ( ). 2 1 + = ББ +Эти уравнения можно записать вместе Y D F F C Z C U I D Y E C Z y y y t zy t zy z z z t y z y y y y z z - = - + ББ Б ( ) ( 1 Б +Эта система матричных уравнений и составляет систему уравнений для смешанных величин. Нетрудно заметить, что если все ветви схемы отнести или к ветвям, или к ветвям, то получим, соответственно, уравнение метода сечений или метода контурных токов. Для графа схемы (рис. 5.15) имеем 2 3 4 5 6 7 8 4 –1 1 1 ¬ связь = 6 –1 –1 ь э п ю п z-связь 7 1 –1 –1 1 8 –1 1 –1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 –1 ь э п ю п y-дерево D = 2 1 –1 1 1 3 1 1 –1 5 1 1 1 ¬ z-дерево Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 261 Рис. 5.15 1 2 3 6 7 8 F yy = 4 –1 1 ; -F zz t = 5 1 1 ; 1 2 3 6 7 8 6 –1 1 –1 1 F zy = 7 1 –1 –1 ; -F zy t = 2 1 1 ; 8 –1 1 3 1 –1 5 6 7 8 1 2 3 4 6 –1 1 1 1 1 C z = 7 1 ; D y = 2 1 –1 ; 8 –1 1 3 1 Y 1 Z 5 Y 2 Z 6 Y y = Y 3 ; Z z = Z 7 ; Y 4 Z 8 U 1y = U 1 ; I 2z = I 6 U 2 I 7 ; U 3 I 8 &E 1 &E 5 &Б 1 &Б 5 E y = &E 2 ; E z = &E 6 ; ББ y = &Б 2 ; ББ z = &Б 6 &E 3 &E 7 &Б 3 &Б 7 &E 4 &E 8 &Б 4 &Б 8 262 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Матрицы параметров Z z , в данном частном случае записаны в форме симметричных диагональных матриц. Это означает, что вцепи отсутствуют индук- тивно связанные катушки и зависимые источники. При наличии индуктивно связанных катушек ветви, содержащие эти катушки, должны быть отнесены к z-ветвям, и тогда взаимная индуктивность может быть учтена добавлением недиагональных симметрично расположенных элементов в матрице см 5.18). Наличие зависимых источников также может быть учтено в этом случае добавлением членов в Z- и Y-матрицах. Допустим, имеется зависимый источник тока в й ветви, управляемый напряжением й ветви Б Y 42 & U 2 . Ток этого источника тока можно перенести в левую часть равенства и учитывать его добавлением в матрице ненулевого элемента Y 42 . Заметим, что элемент Y 24 № 0, и поэтому матрица становится несимметричной. Точно также, если в некоторой ветви (например, 7) имеется управляемый током (например, током ветви 5) источник ЭДС &E 75 = Z 75 &I 5 , то его можно учесть в виде дополнительного падения напряжения в контуре 7 оттока добавлением в матрице недиагонального элемента Метод смешанных величин дает возможность без эквивалентных преобразований учесть управляемые напряжением источники тока и управляемые током источники ЭДС, если их раздельно расположить, соответственно, в y-подграфе схемы и z-подграфе схемы, те. разделение графа производить с учетом и этого обстоятельства. Заметим, что число иеизвестных, а следовательно, и порядок системы уравнений неминимальны. В рассматриваемом случае число неизвестных равно шести, в то время как по методу контурных токов и по методу сечений (и узловых напряжений) оно равно четырем. В этом отношении метод смешанных переменных уступает другим методам. Принцип наложения и основанный на нем метод расчета цепи В выражении для тока &I k , полученном по методу контурных токов, величины , & , , & E E E nn 11 представляют собой каждая сумму ЭДС всех источников, входящих в соответствующие контуры. Точно также в выражении для узлового напряжения, полученном по методу узловых напряжений, величины & , & , , Б Б Б - 1 представляют собой каждая сумму токов всех источников токов, подключенных к соответствующим узлам. Выписав эти суммы явно и сгруппировав в выражениях для и & U k члены, содержащие ЭДС или токи отдельных источников, получим выражения для ив виде слагаемых, каждое из которых будет иметь множителем ЭДС или ток того или иного источника. Из этого следует, что контурный ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из ЭДС в отдельности, и, соответственно, узловое напряжение между любым узлом и опорным равно сумме узловых напряжений, созданных между этим узлом и опорным каждым в отдельности источником тока (или источником ЭДС ветви, приключенной к данному узлу. Это весьма важное положение о независимости действия источников ЭДС или тока, известное под наименованием принципа наложения, вытекает из линейности уравнений, получаемых на основании законов Кирхгофа для линейных цепей, те. цепей с параметрами, независящими от токов и напряжений. Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах Принцип наложения справедлив не только для любого контурного тока, но и для тока в любой ветви, так как всегда можно выбрать совокупность контуров так, что интересующая нас ветвь войдет только в один контур. Это непосредственно вытекает также из линейности системы уравнений, записанных в отношении истинных токов в ветвях по законам Кирхгофа. Следует иметь ввиду, что принцип наложения неприменим для квадратичных форм, каковыми являются выражения для мощностей. Принцип наложения позволяет расчленить сложную задачу наряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна ЭДС или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими. При этом все другие источники ЭДС должны быть замкнуты накоротко с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений, а все другие источники тока должны быть разомкнуты, нов соответствующих ветвях должны быть сохранены их внутренние проводимости. Применяя, например, принцип наложения для решения задачи расчета цепи, изображенной на рис. 5.11, получаем две более простые задачи (рис. 5.16), токи в которых находятся просто ( ) & ( ў = + + = + + + = I E Z Z Z Z Z E Z Z Z Z Z Z Z Z E 1 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 Z Z D I I Z Z Z E Z D I I Z Z Z 2 3 2 1 3 2 3 1 3 3 1 2 2 3 + ў = ў + = ў = ў + = ) ; & & & ; & & &E Z D I E Z Z Z Z Z E Z Z D I I 1 2 2 2 2 1 3 1 3 2 1 3 1 ; & & & ( ) ; & & ўў = + + = + ўў = ўў 2 3 1 3 2 3 3 2 2 1 3 2 1 Z Z Z E Z D I I Z Z Z E Z D + = ўў = ўў + = & ; Следовательно, действительные токи в ветвях при действии обоих источников ЭДС с учетом направления стрелок на рис. 5.16 равны ( ) & ; & & & & I I I E Z Z E Z D I I I E 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 = ў - ўў = + - = ўў - ў = 2 1 3 1 3 3 3 3 1 2 2 1 ( ) & ; & & & & & Z Z E Z D I I I E Z E Z D + - = ў + ўў Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.16 Задача расчета цепи, изображенной на рис. 5.12, с помощью принципа наложения соответственно может быть расчленена натри более простые задачи расчета той же цепи при действии одной ЭДС &E 2 , или &E 4 5.16. Принцип взаимности и основанный на нем метод расчета цепи Для линейных цепей справедлив важный принцип взаимности, установленный Максвеллом, который гласит если ЭДС & & E E ab = , действуя в ветви сколь угодно сложной цепи, при отсутствии вцепи прочих ЭДС вызывает в другой ветви cd этой цепи ток & & I I cd = , то такая же ЭДС & & E E cd = , действуя в ветви при отсутствии прочих ЭДС вызовет в ветви ab такой же ток & & I I ab = Это положение вытекает из выражения для тока по методу контурных токов. Выберем независимые контуры так, чтобы ветвь ab входила только в контура ветвь cd — только в контур m, что по отношению к двум ветвям, как уже отмечалось ранее, всегда можно сделать. Тогда из равенств & & & & & & I I E I I E ab k km cd m mk = = = = D D D D и следует, что & & & I I I ab cd = = , так как D mk = D km . При этом отношение & & & & E I E есть взаимное сопротивление от го контура к m-му контуру, а отношение & E I E есть взаимное сопротивление от го контура к k-му контуру. Таким образом, сформулированный указанным образом принцип взаимности приводит к равенству этих взаимных сопротивлений Z km = Z mk . Обратим внимание, что здесь, переставляя ЭДС &E из одной ветви в другую, мы одинаково согласовывали положительные направления ЭДС и токов в каждой из этих ветвей, а именно мы приняли & & E и & & I I ab = , а также & & E и & & I Если бы при перестановке ЭДС &E из ветви ab в ветвь cd мы изменили ее положительное направление, те. приняли & & E и & & & E E E dc cd = = - , а положительные направления токов оставили прежними, те. приняли по-прежнему & & I и I cd = , то, очевидно, получили бы - = - & & & & & & & & & & и те. получили бы соотношение Z km = –Z mk , на что было уже указано в § В дальнейшем, пользуясь принципом взаимности, будем предполагать, что положительные направления ЭДС и токов во всех ветвях приняты согласованными одинаково, те. будем при этом иметь Z km = Принцип взаимности в сочетании с принципом наложения дает возможность существенно снизить трудоемкость расчета сложной цепи, в которой действует одновременно несколько ЭДС, особенно в случае, когда требуется определить ток водной ветви этой цепи. Пусть сложная цепь, состоящая из p ветвей, содержит s источников ЭДС &E 1 , &E 2 , . . ., в s первых по порядку номеров ветвях. Предположим, что вцепи действует только одна ЭДС в й ветви (1 Ј k Ј s), а остальные источники ЭДС Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах закорочены с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений. Назовем эту сравнительно простую задачу основной. Вычислим в этой задаче токи во всех ветвях ) &I k 1 , ( ) &I k 2 , ( ) &I k 3 , . . ., ( ) &I m k , . . ., ( ) &I p k . Здесь верхний индекс в скобках показывает, под действием какой ЭДС возникает тока нижний — в какой ветви рассматривается ток. Если единственный источник с ЭДС переставить в ю ветвь, то, согласно принципу взаимности, в й ветви пойдет такой же ток, как в й ветви в основной задаче, те. при этом ток в й ветви будет равен току ) &I m k , вычисленному в основной задаче. В действительности в й ветви действует источник ЭДС &E m . Очевидно, ток в й ветви, возникающий под действием единственного источника ЭДС включенного в ю ветвь, равен ) ( ) & & & & Переставляя последовательно единственный источник ЭДС вовсе ветви, в которых в исследуемой реальной цепи действуют источники ЭДС, теизме- няя индекс m от единицы до s, включая и значение m = k, и осуществляя пропорциональный пересчет значений токов от ЭДС к действительным значениям ЭДС &E m , вычислим таким методом токи в й ветви, возникающие в ней при действии всех действительных ЭДС поодиночке. Согласно принципу наложения, ток в й ветви, возникающий при действии всех заданных ЭДС одновременно, равен ) ( ) & & & & & ее Таким образом, достаточно решить только сравнительно простую основную задачу, те. рассчитать токи во всех ветвях, когда действует только одна ЭДС &E k в той ветви (й, в которой хотим найти ток &I k , после чего искомый ток вычисляется по последней формуле. Эта формула непосредственно пригодна для вычисления тока в ветви, содержащей источник ЭДС (1 Ј k Ј s), те. если Для вычисления же тока в ветви, в которой нет источника ЭДС (s < k Ј можно воспользоваться этой же формулой, если предположить, что в эту ветвь включен фиктивный источник ЭДС &E k фикт № 0; тогда е фикт фикт 1 Поскольку суммирование идет только до m = s, k > s, то ток в й ветви от действия фиктивного источника, когда он включен в эту же ю ветвь, не учитыва- ется. |