Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
U = При отсутствии ЭДС взаимной индукции матрица Z диагональна, и поэтому имеем & & U Z I k k и & & U Z I m m m = . При наличии ЭДС взаимной индукции мы должны учесть дополнительные падения напряжения в й ветви в виде M I Z I km m km ив т-й ветви в виде I Z I mk k mk При этом I Z I k k k km и & & & U Z I Z I m m m mk Дополнительные члены написаны со знаком плюс, так как токи ив ветвях и m направлены от точек. Эти дополнительные члены можно учесть в матрице, если элементы на пересечении й строки см столбцом и т-й строки см столбцом принять равными Z km = и Z mk = Матрица Z при наличии взаимной индукции между ветвями k и m будет иметь вид Наличие индуктивных связей, следовательно, приводит к тому, что матрица перестает быть диагональной. Однако она остается симметричной, так как и поэтому Z km = jwM km = jwM mk = Z mk . Индуктивные связи никак не отражаются в графе схемы, поэтому матрицы A, C, D составляются обычным образом. Если произвести матричную операцию обращения матрицы сопротивлений можно получить матрицу проводимостей Y, где также учитываются индуктивные связи. По этой причине все методы расчета, а именно метод контурных токов, метод узловых напряжений и метод сечений в матричной форме, могут быть в равной мере применены для расчета цепей с взаимной индукцией. Для цепи (см. рис. 5.25) матрицы Z и Y = при наличии взаимной индукции между ветвями З и 4, 5 и 3, 5 и 4 и при условии направления токов в ветвях, 4 и 5 от точек будут иметь вид 274 Часть 2. Теория линейных электрических цепей 1 2 3 4 5 6 1 Z 1 2 Z 2 Z 34 = Z 43 = jwM 34 ; Z = 3 Z 3 Z 34 Z 35 ; Z 35 = Z 53 = jwM 35 ; 4 Z 43 Z 4 Z 45 Z 45 = Z 54 = jwM 45 5 Z 53 Z 54 Z 5 6 Z 6 1 2 3 4 5 6 m 1 Y 1 Z 3 Z 34 Z 35 2 Y 2 Z 43 Z 4 Z 45 k Y = 3 Y 3 Y 34 Y 35 ; Y km = (–1) k+m Z 53 Z 54 Z 5 , 4 Y 43 Y 4 Y 45 Z 3 Z 34 Z 35 5 Y 53 Y 54 Y 5 Z 43 Z 4 Z 45 где Y 1 = 1/Z 1 ; Y 2 = 1/Z 2 ; . . .; Y 6 = 1/Z 6. 5.19. Трансформаторы с линейными характеристиками. Идеальный трансформатор Одним из важнейших элементов электрических цепей, в котором специально используются свойства магнитно-связанных контуров, является статическое устройство для преобразования значений тока и напряжения, называемое трансформатором. В простейшем случае трансформатор состоит из двух электрически не соединенных и неподвижных друг относительно друга катушек, называемых обмотками трансформатора, связанных между собой потоком взаимной индукции. Если обмотки трансформатора намотаны на ферромагнитный сердечник, то свойства такого трансформатора будут нелинейными. Процессы в трансформаторах с ферромагнитными сердечниками будут рассмотрены в т. Здесь будем предполагать, что ферромагнитные сердечники отсутствуют. Условно назовем такой трансформатор линейным, так как процессы в нем описываются линейными уравнениями, те. он обладает линейными характеристиками. Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах Пусть к зажимам одной обмотки трансформатора, которую назовем первичной, приложена ЭДС e 1 , а к зажимам другой обмотки — вторичной — присоединен приемник (рис. 5.26). Как и прежде, будем считать, что коэффициент взаимной индукции M задан по величине и знаку для приведенной на рис. 5.26 системы точек. Обозначим активные сопротивления обмоток и r 2 , а их индуктивности и По второму закону Кирхгофа имеем i L di dt M di dt M di dt r i L di dt u 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 Если напряжение u 1 синусоидально, то при установившемся режиме синусоидальными функциями времени будут также i 1 , и u 2 , и уравнения трансформатора можно записать в комплексной форме ; & & & & U r I j L I j MI j MI r I j L I U 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 = + + - = + + w w w Если известны & U 1 , параметры трансформатора и приемника пр & & U I 2 2 , то, решая эту систему, можно найти токи &I 1 , и напряжение & U 2 . Можно также по заданным значениями и параметрам трансформатора найти и При известном пр пр+ при заданном найдем ток &I 1 . Приняв w w L x r r r L x x 1 1 2 пр пр II II имеем & ( ) & & ; & ( ) & , U r jx I j MI j MI r jx I 1 1 1 1 2 1 2 = + + - = + w откуда) & & U r jx I M r jx I 1 1 1 1 2 и, следовательно x M r x 1 1 1 2 2 1 2 ж и зз ц ш чч + - + w w II 2 II 2 ж и зз ц ш чч = & 1 вх Величина Z вх = r + jx представляет собой комплексное входное (эквивалентное) сопротивление всей цепи, состоящей из трансформатора и приемника. Из его выражения следует, что при пр Ґ эквивалентное активное сопротивление больше r 1 . Увеличение эквивалентного активного сопротивления связано стем обстоятельством, что необратимые преобразования энергии во вторичном контуре происходят за счет энергии, передаваемой от первого контура, где имеется источник энергии, во второй контур, где нет такого источника. Поскольку для заданного значения тока активная мощность, определяющая необратимые преобразования энергии, прямо пропорциональна активному сопротивлению, то поглощение энергии во втором контуре приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления всей цепи. 276 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.26 Эквивалентное реактивное сопротивление x может быть больше x 1 , если x II < и меньше x 1 , если x II > 0. ЭДС взаимной индукции во вторичном контуре отстает по фазе от потока взаимной индукции, а следовательно, при M > 0 и оттока на угол p/2. При индуктивном характере цепи второго контура (x II > 0) ток в предельном случае будет отставать от этой ЭДС на угол p/2 и, следовательно, окажется в противофазе стоком. Это означает, что магнитный поток, обусловленный током &I 2 , направлен против магнитного потока, обусловленного током что приводит к уменьшению магнитного потока в первом контуре, и это эквивалентно уменьшению реактивного сопротивления первого контура. Другая картина наблюдается, если x II < 0. При этом ток во вторичной обмотке имеет емкостный характер ив предельном случае может опережать ЭДС взаимной индукции на угол p/2, те. совпадать по фазе стоком. При этом магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции будут также совпадающими, что равносильно увеличению эквивалентного реактивного сопротивления. Полагая r r r x x x = + = + 1 имеем - + w w 2 2 2 2 II 2 II 2 причем Dr и Dx называют, соответственно, вносимыми активными реактивным сопротивлениям и. Представим уравнения трансформатора в виде) & ( & & ); & ( U r I j L M I j M I I r I j L M 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 = + - + + = + - w w w ) & ( & & ) & . I j M I I Z I 2 1 2 2 + + + w пр Схема цепи, для которой данная система уравнений справедлива, показана на рис. 5.27. Поскольку в этой цепи токи &I 1 , и напряжения & U 1 , равны таковым в трансформаторе, эта схема является эквивалентной схемой трансформатора. Если лежит между и L 1 , то или L 1 – M, или L 2 – M будет отрицательно. Это обстоятельство представляет интерес, так как при некоторых задачах, связанных с синтезом электрических цепей, возникает необходимость реализации отрицательной индуктивности в сочетании с положительными индуктивностями, соединенными, как показано на схеме (рис. Метод замены действительной электрической цепи, в которой отдельные контуры связаны друг с другом через взаимную индуктивность, эквивалентной ей электрической цепью, в которой все контуры электрически связаны друг с другом, а взаимная индуктивность между контурами учтена в параметрах отдельных цепей (например, рис. 5.27), находит применение в практике расчета цепей. Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 277 Рис. 5.27 Степень магнитной связи контуров характеризуется величиной k M L L = 1 которая носит название коэффициента связи. Покажем, что во всех реальных случаях k меньше единицы. Пусть активное сопротивление вторичного контура равно нулю и этот контур замкнут накоротко, те и пр 0. При этом 0; x II = wL 2 ; Dx = – wM L 2 и = wL 1 – w M L 2 2 = wL M L L 1 2 1 2 1 - ж и зз ц ш чч = wL 1 (1 — k 2 ) = wL э Величина э должна быть положительной, так как энергия магнитного полям 2 1 2 i э положительна. Следовательно, только в предельном случае, когда первичный и вторичный контуры расположены столь близко, что поток взаимной индукции и поток самоиндукции в первичной цепи взаимно компенсируются, величина k приближается к единице. Рассмотрим некоторые особенные свойства трансформаторов в предельных идеализированных случаях. Предположим, что L 1 2 1 2 0 1 = = = = и При этом уравнения трансформатора запишутся в виде ; & & & & U j L I j MI j MI Z I j L I U j L 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 = + - = + = + w w w w w пр Выразим и через и &I 2 . Получим L U j M L M I j MI L M U j M 1 1 2 2 2 2 1 2 = - - ж и зз ц ш чч + = - + - w w w w L L M I I U j M L M I 1 2 2 1 2 2 ж из ц ш ч - - & ; & & & Легко заметить, что при k = 1 имеем M – L 1 L 2 /M = 0 (M = L 1 L 2 /M), и тогда, обозначая c = L 1 /M, получим ; & & & & & . U cU I cU j L c I U j L c I 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 = - = - - = - Трансформатор, для которого соблюдается условие U 1 / U 2 = c при любой нагрузке, назовем совершенным трансформатор о м. Если, кроме вышеуказанных условий, принять, что L 1 = Ґ (практически должно иметь достаточно большое значение, чтобы можно было пренебречь 278 Часть 2. Теория линейных электрических цепей током U 1 /(wL 1 ) по сравнению стоком, то между токами и напряжениями имели бы место соотношения . U cU I c I 1 2 1 2 1 = - = - и Трансформатор, для которого соблюдаются эти условия, назовем идеальным трансформатором. Такой трансформатор действительно обладает свойством изменять токи и напряжения независимо от значения сопротивления, включенного во вторичный контур, в определенное число раз. Для идеального трансформатора получим Z 1 1 2 2 2 1 = = - - = вх пр откуда видно, что при помощи идеального трансформатора можно произвести также и изменение сопротивления в определенное число раз, независящее от характера этого сопротивления. Это обстоятельство особенно важно для рационального конструирования отдельных элементов электрических цепей, например для согласования отдельных участков цепей по их сопротив- лениям. Совершенный трансформатор можно получить, присоединив к зажимам идеального трансформатора индуктивности по схемам на рис. 5.28. Реальный трансформатор может быть представлен при помощи идеального трансформатора и дополнительных индуктивностей и активных сопротивлений, учитывающих наличие сопротивлений и и обмоток, а также условие k < 1 (рис. Свойствами, близкими к свойствам идеального и совершенного трансформаторов, обладают трансформаторы с ферромагнитными сердечниками, с достаточно большим числом витков и с большой магнитной проницаемостью ферромагнитного материала. Цепи, связанные через электрическое поле Отдельные части электрической цепи могут быть связаны также при помощи электрического поля. Такую связь называют емкостной. Аналогично магнитной связи степень емкостной связи можно охарактеризовать коэффициентом связи, определяемым значениями соответствующих емкостных сопротивлений. Для коэффициента связи в индуктивно-связанных контурах имеем L M L L L L L L = = = | | | | , 1 2 1 2 12 1 2 w w w w w w где L 12 = | M |. Поэтому, определив аналогично и k C , получим Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 279 Рис. 5.28 k C C C C C C C = = 1 1 1 12 1 2 1 2 12 w w Как и магнитносвязанные контуры, контуры, связанные только при помощи общего электрического поля, можно представить в виде эквивалентной схемы (рис. 5.29), расчет токов в которой можно производить по всем изложенным ранее методам. Баланс мощностей в сложной цепи Баланс мощностей в приемниках и источниках энергии электрической цепи доказывается теоремой Ланжевена. Эта теорема решает вопрос о равенстве суммы реактивных мощностей всех источников энергии, имеющихся в сколь угодно сложной электрической цепи, сумме реактивных мощностей приемников в этой цепи. Попутно решается и вопрос о равенстве соответствующих активных мощностей, которое, вообще говоря, вытекает непосредственно из закона сохранения энергии. Для любой цепи при записи уравнений по методу узловых напряжений имеем 12 1 1 1 1 1 2 1 1 10 K K , , , , & - - - - - & & & & , , , U U q j j q q j j q 20 1 0 1 1 1 1 1 1 M M - = - - = - = Б Б е е Перемножая матрицу проводимости на матрицу-столбец узловых напряжений, получим выражение, в котором каждый элемент матрицы-столбца слева от знака равенства представляет собой сумму токов в ветвях (в приемниках, сходящихся к узлу, номер которого соответствует первому индексу у тока. Каждый элемент в матрице справа есть сумма токов соответствующих источников токае е е = Б Б M M 1 1 q- е Помножим эти матрицы на транспонированную матрицу сопряженных комплексных узловых напряжений. Имеем 20 1 1 1 1 1 1 10 2 1 0 * * * , , * , & & K M - = - - = - ее 1 1 1 1 1 1 1 0 * * , , , & & K M U q j j q q j j q - Б Б = - - = - е е После выполнения операции перемножения получим слева и справа члены вида 280 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.29 U I U I U U i ij j ji i ij j ji 0 0 0 0 * * * * & & & & Б + Б и Учитывая, что & & I I ji ij = - и U U U i j ij 0 0 * * * - = , имеем) ( & & * , * , * , * U I U I U U q q q q 12 12 1 0 1 0 12 12 1 Б + +Б Произведение U I S S ij ij ij k * * * & = ў = ў есть комплексная мощность приемника, подключенного между узлами i и j. ПроизведениеU S S ij ij ij k * * * &Б есть комплексная мощность источника, также подключенного к узлами Таким образом, приходим к выводу, что S S P P Q Q k k k k k k * * , е ее ее е = ў = ў = ў или и где P Q k k и ее сумма активных и сумма реактивных мощностей всех источников энергии, имеющихся вцепи, а ў ў е е P Q k k и — сумма активных и сумма реактивных мощностей всех приемников. Последние два равенства и выражают теорему Ланжевена. Для каждого приемника справедливы соотношения = ў = - P I r Q I L I C k k k k k k k k 2 и Поэтому для комплексной мощности всей цепи справедливо соотношение ее ее. Расчет сложных цепей при постоянном токе Расчет сложных электрических цепей при воздействии источников с постоянными во времени ЭДС и токами в установившемся режиме можно производить, используя все изложенные выше методы расчета сложных цепей при синусоидальных ЭДС и токах. Особенность заключается в том, что в реальных индуктивных катушках учитываются только активные сопротивления их обмоток, а в реальных конденсаторах — только их проводимости утечки. Если речь идет о расчете цепи, уже представленной в виде эквивалентной электрической схемы, в которой участки сине обладают потерями, а сопротивления обмоток катушек и проводимости утечки конденсаторов вынесены в отдельные участки, то участки с L следует считать короткозамкнутыми, а участки с C — разомкнутыми. Это вытекает формально из выражений для сопротивлений и при w ® Действительно, при w = 0 имеем x L = wL = 0, С 1/(wC) = Ґ. Физически это связано стем, что при постоянном токе в катушках не индуцируется ЭДС самоиндукции и при постоянном напряжении на зажимах идеальных конденсаторов ток через них не проходит. Аналогично при расчете цепей с индуктивными связями при постоянном токе отсутствуют ЭДС взаимной индукции. Это формально учитывается тем, что члены с множителями wM равны нулю при w = Естественно, расчет цепей при постоянном токе является более простым, чем при синусоидальных токах, так как вместо комплексных величин в уравнения Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах будут входить вещественные величины. Очевидно, что при составлении уравнений надо соблюдать все правила знаков. В особом случае, когда в схеме цепи во всех ветвях включены идеальные конденсаторы, при действии постоянных ЭДС ток в такой цепи равен нулю и может стоять вопрос только об отыскании распределения напряжения по конденсаторам цепи. В таком идеализированном случаев предположении, что до начала действия ЭДС все конденсаторы были разряжены, распределение напряжения под действием постоянных ЭДС будет таким же, как распределение синусоидального напряжения в аналогичной схеме, но содержащей во всех ветвях только идеальные конденсаторы, если в ней действуют синусоидальные ЭДС, равные по действующему значению заданным постоянным ЭДС и находящиеся друг с другом в фазе. В реальных цепях все конденсаторы обладают конечной проводимостью утечки. Поэтому при действии постоянных ЭДС установившиеся напряжения на конденсаторах будут определяться сопротивлениями их утечек и сопротивлениями остальных участков схемы. Значения емкости конденсаторов при этом на распределение напряжения не оказывают никакого влияния. Последнее соответствует сделанному выше указанию, что в эквивалентной схеме участки с идеальными конденсаторами при расчете должны быть разомкнуты. Проблемы расчета установившихся режимов сложных электрических цепей В предыдущих параграфах в основном рассматривались не столько методы, позволяющие получить решение задачи, сколько методы составления системы уравнений цепи. Для выполнения анализа процессов вцепи эта система должна быть решена относительно выделенных искомых величин (иногда говорят — искомых переменных). В математическом плане такое решение сводится к обращению матриц, тек нахождению определителя матрицы узловых проводимостей или матрицы проводимостей сечений и их q – 1 алгебраических дополнений или же к нахождению определителя матрицы контурных сопротивлений и его n алгебраических дополнений. При высоком порядке этих матриц такое обращение связано с большим числом вычислительных операций. Если воспользоваться формулой Крамера, согласно которой записаны выражения для контурных токов и узловых напряжений в § 5.11 и 5.12, те. непосредственно раскрыть определители при решении системы с m неизвестными, то потребуется выполнить порядка mЧm! арифметических операций. Уже для системы уравнений с m = 15 число операций достигает Ч 13 . И даже использование мощной вычислительной машины, которая может выполнить 10 операций в секунду, время решения затянется на 2Ч10 сч. Этими формулами имеет смысл пользоваться, если m < 10. По этой причине систему уравнений решают главным образом методом исключения по Гауссу (или его разновидностями. Этот метод требует выполнения меньшего числа операций — порядка 2m 3 . Однако и такой способ решения имеет смысл применять при m < 10 000, так как уже для m = 10 000 число операций равно Ч 12 , и вычислительная машина с производительностью 10 операций в секунду такие задачи будет решать в течение 33 мин. Метод непосредственного 282 Часть 2. Теория линейных электрических цепей |