Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
226 Часть 2. Теория линейных электрических цепей В виде примера рассмотрим уравнение Кирхгофа для цепи с последовательно соединенными участками r, L и C, к зажимам которой приложено напряжение = U m sin (wt + y u ). Оно имеет вид L di dt C i dt й л к к щ ы ъ ъ = т 1 0 0 + ( Изобразив напряжение u, ток i, его производную di/dt и интеграл i тих комплексными выражениями, & , & & , U e I e j I e I j e m j t m j t m j t m j t w w w w w и где & U U e m m j u = y и &I I e m m j i = y , получим алгебраическое уравнение в комплексной форме e j LI e j C I e U e m j t m j t m j t m j t & & & & w w w w w Сократив его на e jwt , найдем r j L j ж и зз ц ш чч = w или j L j C m m = + + w Из последнего уравнения легко определяется комплексная амплитуда тока e m m j i = y , найдя которую, сразу можно написать разыскиваемое частное решение, те. выражение для мгновенного тока установившегося режима, а именно e I t m j t m i = = + Im ( & ) (sin ). w w Нас обычно интересуют действующие токи и напряжения. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд враз, то обычно вместо комплексных амплитуд рассматривают комплексные действующие величины В дальнейшем комплексные действующие ток, напряжение или ЭДС будем для краткости именовать комплексными током, напряжением или ЭДС. Интересуясь только действующими токами и напряжениями и их начальными фазами, а соответственно, и сдвигами фаз, будем опускать множитель Установим соответствие изображений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными действующими значениями сих изображениями с помощью векторов. Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах Будем откладывать векторы в комплексной плоскости. По вертикальной оси, называемой осью вещественных, откладываем вещественные числа. По горизонтальной оси, называемой осью мнимых, откладываем мнимые числа. Положительные направления осей будем отмечать знаками «+1» ирис. Показанная на рис. 5.1 ориентация осей обычно принимается при построении векторных диаграмм. Условимся начала векторов совмещать с началом координат, длины векторов в соответствующем масштабе брать равными действующим току, напряжению или ЭДС и углы между осью вещественных и векторами принимать равными начальным фазам соответствующих величин. При этих условиях каждой комплексной величине соответствует определенный вектор. Сопряженным комплексным числам соответствуют векторы, являющиеся зеркальными изображениями друг друга относительно оси вещественных. На рис. 5.1 изображены на комплексной плоскости векторы напряжения и тока, комплексные выражения которых имеют вид & U Ue I Ie j j u i = = y Если u — напряжение на зажимах цепи, а i — ток в этой цепи, то между их действующими значениями имеется связь U = Iz и они сдвинуты по фазе на угол j = y u – y i . При этом для перехода от вектора тока к вектору напряжения надо первый повернуть на угол j и изменить длину вектора враз, где a — масштаб для вектора тока и v — масштаб для вектора напряжения. Соответственно, для перехода от комплексного тока к комплексному напряжению необходимо аргумент первого увеличить на j, так как y u = y i + j, и умножить его модуль на z, так как U = Iz, те. необходимо умножить комплексный ток на комплексное число Таким образом, умножение комплексной величины на e jj соответствует повороту вектора на угол j. Умножение комплексной величины на j соответствует повороту вектора на угол Геометрическое суммирование векторов, изображающих напряжения или токи, соответствует алгебраическому суммированию соответствующих им комплексных величин. Действительно, при геометрическом сложении векторов складываются алгебраически их проекции отдельно по одной и отдельно подругой взаимно перпендикулярным осям, а при алгебраическом сложении комплексных чисел складываются алгебраически отдельно их вещественные и отдельно их мнимые составляющие. Комплексные сопротивление и проводимость Отношение комплексного напряжения & U к комплексному току &I называют комплексным сопротивлением цепи и обозначают Z. В соответствии сиз- ложенным в предыдущем параграфе имеем 228 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.1 Z U I ze z jz r jx j = = = + = + & & cos sin , j j j где r, x и z — активное, реактивное и полное сопротивления цепи, аи модуль и аргумент комплексного сопротивления. Отношение комплексного тока &I к комплексному напряжению & U называют комплексной проводимостью цепи и обозначают Y. Имеем jb j j = = = = - = - - & & cos sin , 1 j j j где g, b и y — активная, реактивная и полная проводимости цепи. Очевидно, существует связь jx g jb = + - = 1 или (Направления векторов, соответствующих комплексным величинами являются зеркальным изображением друг друга относительно оси вещественных, так как аргументы комплексных величин Z и Y равны и противоположны по знаку. Выражения законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме Выражения закона Ома в комплексной форме имеют вид & & ; & & ; & & . I U Z U IZ U I Y I Достоинство этих выражений заключается в том, что в них учитывается как связь между действующими током I и напряжением U, таки сдвиг фаз j между ними. Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи, для мгновенных токов имеющий виде 0, в комплексной форме записывается в виде & I k k n = е = 1 Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи, для мгновенных ЭДС и падений напряжений имеющий виде е 1 , в комплексной форме записывается в виде ее е где & , & , & E U и Z k — комплексные ЭДС, падение напряжения, токи сопротивление в й ветви, входящей в контур. Если в ветвь входят последовательно соединенные участок с сопротивлением, катушка с индуктивностью и конденсатор с емкостью C k , то согласно полученной в § 5.1 связи Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах & & & & I r j L j C U I r j L j ж и зз ц ш чч ж и зз ц ш чч = w w w w 1 1 или U для этой ветви имеем L j C r j L C r jx k k k k k k k k k = + + = + - ж и зз ц ш чч = + w w w w 1 Как было указано выше, необходимо перед составлением уравнений по законам Кирхгофа задать положительные направления ЭДС, токов и напряжений во всех ветвях цепи, обозначив эти направления на схеме стрелками. В этом отношении, как было в общем виде сказано в § 3.7, т. I, весьма полезным может оказаться обозначение ЭДС, токов и напряжений двойными индексами, соответствующими обозначению узлов, между которыми находится данная ветвь цепи. Достаточно условиться, что положительное направление принимается от узла, соответствующего первому индексу, к узлу, соответствующему второму индексу, и тогда уже нет необходимости ставить стрелки на схеме, а сама аналитическая запись величин указывает принятое их положительное направление. При изменении порядка расположения индексов меняется знак ЭДС, тока или напряжения. Так как сопротивления ветвей цепи и проводимости являются параметрами, не имеющими направления, то порядок индексов у них безразличен. Очевидно, все эти правила действуют и при использовании комплексного метода, те. имеют место соотношения ; & & ; & & ; ; E E I I U U Z Z Y Y ab ba ab ba ab ba ab ba ab ba = - = - = -В дальнейшем всегда при обозначении указанных величин с двойными индексами будем придерживаться этих правил. Расчет мощности по комплексным напряжению и току Для вычислений активной и реактивной мощностей необходимо знать действующие напряжение U и токи разность фаз j между ними. Величина j равна разности начальных фаз напряжения и тока (j = y u – Поэтому необходимо перемножить не комплексные величины & U итак как при этом аргумент произведения && UI будет равен сумме y u + y i , а взять произведение одной из этих величин на сопряженную комплексную другую величину. Получаем в результате такого перемножения комплексную мощность или, соответственно Ue UIe UI jUI P jQ j j j i u * * - - = = = = - = - & cos sin y y j j Вещественная часть в обоих случаях равна активной мощности P. Реактивная мощность Q равна коэффициенту в первом случае при (+j), а во втором при (– j) в мнимой части комплексной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S = Часть 2. Теория линейных электрических цепей 5.5. Расчет при последовательном соединении участков цепи При последовательном соединении участков цепи (рис. 5.2) напряжение на зажимах всей цепи равняется сумме падений напряжений на отдельных участках u u k k n = = е 1 . При синусоидальном процессе, пользуясь комплексным методом и учитывая, что ток является одними тем же во всех участках, можем написать , U U I ее е где Z k = r k + jx k — комплексное сопротивление го участка Таким образом, при последовательном соединении комплексное сопротивление всей цепи равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений отдельных участков цепи x r jx k k n k k n k k n = = + = +ее е Вычислив комплексное сопротивление Z всей цепи, легко рассчитать комплексный ток &I при заданном напряжении Из равенстве е и следует, что необходимо алгебраически складывать отдельно активные и отдельно реактивные сопротивления последовательно соединенных участков. Пользуясь этим результатом, получаем r I r I r P P I x I x k k n k k n k k n k k n 2 2 1 2 1 1 2 ее ее илиiI x Q Q k k n k k n 2 ее или,т. е. активная P и реактивная Q мощности всей цепи равны алгебраическим суммам соответственно активных и реактивных мощностей всех последовательно соединенных участков. Расчет при параллельном соединении участков цепи При параллельном соединении участков цепи (рис. общий ток на входе цепи равен сумме токов в отдельных участках е. Пользуясь при синусоидальном процессе комплексным методом и учитывая, что напряжение на всех участках одно и тоже, можем написать Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 231 Рис. Рисе ее где Y k = g k – jb k — комплексная проводимость го участка. Таким образом, при параллельном соединении комплексная проводимость всей цепи равна алгебраической сумме комплексных проводимостей отдельных участков цепи b g jb k k n k k n k k n = = - = -ее е Вычислив комплексную проводимость всей цепи, легко рассчитать комплексный ток &I при заданном напряжении & U. Из равенстве е и следует, что необходимо алгебраически складывать отдельно активные и отдельно реактивные проводимости параллельно соединенных участков. Пользуясь этим результатом, получаем g U g U g P P U b U b k k n k k n k k n k k n 2 2 1 2 1 1 2 ее ее илиiU b Q Q k k n k k n 2 ее или,т. е. активная P и реактивная Q мощности всей цепи равны алгебраическим суммам, соответственно, активных и реактивных мощностей всех параллельно соединенных участков. Расчет при смешанном соединении участков цепи Под смешанным соединением будем понимать соединение, представляющее собой сочетание последовательных и параллельных соединений участков цепи. Соответственно, для расчета таких цепей можно использовать методы, изложенные в двух предыдущих параграфах. Продемонстрируем это на примере цепи, изображенной на рис. 5.4. Предположим, что задано напряжение на зажимах цепи и требуется отыскать все токи. Воспользуемся комплексным методом. Второй и третий участки соединены параллельно, и, следовательно, необходимо сложить их комплексные проводимости и для получения комплексной проводимости обоих параллельно соединенных участков. Имеем b b 23 2 3 2 3 Здесь 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.4 Чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменательна сопряженную знаменателю комплексную величину. Например Здесь интересно отметить, что, пользуясь комплексным методом, автоматически получаем соотношения между эквивалентными проводимостями g и b и сопротивлениями r и x цепи или ее участка, выведенные в § Первый участок соединен последовательно со взятыми вместе вторыми третьим участками. Следовательно, комплексное сопротивление всей цепи Z Z = + 1 где Z Y g jb g g b j b g 1 1 1 23 23 23 23 23 23 2 23 2 23 23 2 1 1 = + = = - = + + ; + b 23 Комплексный ток в неразветвленной части цепи & & , I U Z 1 = причем & U можно принять вещественным, те. Это значит, что вектор приложенного напряжения U направляем по оси вещественных. Комплексное напряжение на втором и третьем участках находим из равенств & & & , U U I Z U I Z 23 1 1 23 1 23 = -или после чего легко определяются комплексные токи в этих участках & & I U Y I U Y 2 23 2 3 23 Зная комплексное сопротивление Z = r + jx всей цепи, определяем угол сдвига j между напряжением U и током I из соотношения j = arctg Пользуясь выражениями для активной и реактивной мощностей при последовательном и параллельном соединениях, нетрудно усмотреть, что ив случае смешанного соединения активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей, расходуемых на отдельных ее участках, а реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме соответствующих реактивных мощностей. О расчете сложных электрических цепей Электрические цепи, схема которых не является простым сочетанием последовательного и параллельного соединений участков цепи, будем называть сложными цепями. Как уже было указано, можно произвести расчет любой сложной цепи, составив на основе законов Кирхгофа систему уравнений и решив ее. В общем случае применение законов Кирхгофа в сочетании с заданными зависимостями между напряжениями на отдельных элементах и токами в них приводит к системе дифференциальных уравнений. Применение комплексного метода Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах позволяет найти частное решение системы дифференциальных уравнений в установившемся режиме при протекании синусоидальных токов в линейной электрической цепи. При этом дифференциальные уравнения для мгновенных искомых токов заменяются алгебраическими уравнениями для комплексных токов, напряжений и ЭДС. Число независимых уравнений должно быть равно числу неизвестных. Если отыскиваются токи во всех ветвях, то число уравнений должно быть равно числу ветвей вцепи. Такое равенство имеет место вцепив которой отсутствуют идеальные источники тока. При наличии идеальных источников тока в s ветвях число уравнений будет меньше общего числа ветвей на эту величину s, так как в таких ветвях токи заданы независимо от режима в остальной цепи. Таким образом, в самом общем случае максимальное число уравнений определяется числом ветвей p, не содержащих только идеальные источники тока. Источники тока, содержащиеся в обобщенных ветвях, не входят в это число. В § 3.17 была получена полная система уравнений электрической цепи, в которую входили q – 1 уравнений, составленных для токов (в узлах или в сечениях) согласно первому закону Кирхгофа, и n = p – q + 1 уравнений, составленных для напряжений (в контурах) согласно второму закону Кирхгофа. В матричной форме с учетом перехода от мгновенных токов и напряжений к комплексным токами напряжениям можно записать q – 1 уравнений Кирхгофа для узлов |