Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
A = - ББ или для сечений DI D = - ББ и n = p – q + 1 уравнений Кирхгофа для контуров CU CE = , где I U E = ББ = Б Б = = & & ; & & ; & & ; & & I I U U E E p p p p 1 1 1 1 M M M M — матрицы-векторы (матрицы-столбцы) порядка p ґ 1; A — матрица узловых соединений порядка (q – 1) ґ p; D — матрица сечений порядка (q – 1) ґ p; C — матрица контуров порядка n ґ p. Напомним, что первое число определяет число строк матрицы, а второе — число столбцов. Все матрицы упорядочены, тесна- чала пронумерованы ветви дерева (от 1 до q – 1), а затем уже связи (от q до Применение комплексного метода требует записи в комплексной форме всех заданных ЭДС, токов источников и зависимостей между токами и напряжениями. Учитывая особенности линейных цепей и перехода от дифференциальных уравнений к их алгебраическим изображениям, для пассивных элементов обобщенной ветви можем записать . U r I j L I j C I Z I I Y U k k k k k k k k k k k k = + + = = w w 1 или Такие уравнения могут быть записаны для p ветвей электрической цепи. Введем в рассмотрением ат р и ц ус оп рот ив лени й им ат р и ц упр овод и -Часть 2. Теория линейных электрических цепей мосте й, представляющие собой квадратные матрицы порядка p ґ p, состоящие из диагональных ненулевых элементов и соответственно 1 1 0 0 1 2 p p p Z Z Z = Z Z p Y Y p p - = 1 1 2 0 0 1 0 0 ; Y Y Y p p -1 Имеют место очевидные равенства Y Y Z = = – – 1 1 и Уравнения, связывающие токи и напряжения пассивных частей ветвей, представляют собой законы Ома в комплексной форме. В матричной форме закон Ома будет иметь вид ZI I Z U YU = = = или –1 С учетом последних равенств можем составить систему из p уравнений для искомых p напряжений AYU A = = - ББ (или DYU D = - ББ) и CU или составить систему из p уравнений для искомых p токов CZI CE AI A = = = - ББ и (или DU D = - ББ). В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на риса. На рис. 5.5, б эта цепь представлена в виде двухполюсников с комплексными параметрами. Граф схемы (рис. 5.5, б, изображенный на рис. 5.5, в, совпадает с гра- Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 235 Рис. 5.5 фом схемы (риса, для которой в § 3.17 мы записали систему дифференциальных уравнений. Пусть заданы ЭДС и ток источника тока 1 1 3 3 3 5 5 5 = + = + = + (sin ); (sin ); (sin ) w y w y w y Б = Б 6 6 m t w y а также параметры r, L, C в ветвях цепи. Для расчета с помощью комплексного метода мы должны записать исходные данные цепи (рис. 5.5, б) в виде & ; & E E e E e E E e E e E E e m j j m j j m j 1 1 1 3 3 3 5 5 2 2 2 1 1 3 3 = = = = = y y y y y y y y w w 5 5 6 6 5 6 6 6 1 1 1 2 2 Б = Б Б + = E e e e Z r j L Z j C j m j j ; & ; ; ; Z r r j L L j C Z r j L 3 3 3 3 3 3 4 4 4 1 = ў + ўў + ў + ўў + = + ( ) ( ) ; ; w w w Z j L Z r j C 5 5 6 6 6 1 = = + w Для графа схемы (рис. 5.5, в) согласно § 3.13 и 3.14 имеем 2 3 4 5 6 1 1 1 –1 A = 2 –1 1 –1 ; 3 –1 1 –1 1 2 3 4 5 6 4 –1 1 1 C = 5 1 1 –1 1 = F 1 . 6 1 Запишем в матричной форме все исходные данные 2 3 4 5 6 6 1 1 2 3 4 5 6 6 1 & & & ; & ; E E E 1 3 5 6 1 6 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ґ ґ Б Б = Б 236 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Z 1 Z 2 Z = Z 3 = diag (Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 6 ). Z 4 Z 5 Z 6 Символ diag означает, что матрица Z — квадратная, диагональная и ее диагональными элементами являются записанные в скобках величины. Тогда система узловых уравнений Кирхгофа для токов может быть представлена в матричной форме = - ґ ґ ґ [( ) ] ( ) q p p 1 1 1 & & & I I I 1 Б- + - & & & I I I 1 2 4 = 0 ; 3 - + - & & & I I I 3 4 5 Падения напряжений в ветвях можно представить в виде вектора U ZI = , который ввиду диагональности матрицы Z будет иметь вид I Z I 1 1 2 2 & & Падение напряжений и ЭДС в контурах можно представить в виде CU и Тогда система контурных уравнений согласно второму закону Кирхгофа будет иметь вид I Z I Z I 1 1 3 3 4 4 & & & - + & & E E 1 3 CU CZI ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n p p n p p p p ґ ґ ґ ґ ґ ґ ґ ґ = = 1 1 5 Z I Z I Z I Z I 1 1 2 2 3 3 5 5 & & & & + - + = & & & E E E 1 3 5 - + = CE . 6 Z I Z I Z I 1 1 2 2 6 Итак, произведение диагональной матрицы Z на столбцовую матрицу I определяет также столбцовую матрицу, строками которой являются произведения диагональных элементов (в данном случае комплексные сопротивления ветвей) Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах на токи соответствующих ветвей. Это обстоятельство облегчает выполнение такого матричного перемножения. Перемножение прямоугольных матриц A и на столбцовые матрицы сводится к суммированию тех элементов строк столбцо- вой матрицы, номера которых соответствуют номерам ненулевых элементов столбцов прямоугольных матриц. По этой причине можно, рассматривая только матрицу A, или C, или D, записать соответствующее уравнение для данного контура, или узла, или сечения. Например, в контурное уравнение, записанное для контура 5, образованного связью 5 см. строку 5 матрицы C), должны входить напряжения (а следовательно, и Z &I) ветвей 1, 2, 5 со знаком плюс (в строке эти столбцы имеют положительные ненулевые элементы) и ветви 3 со знаком «минус (в строке 5 столбец 3 имеет отрицательный ненулевой элемент. Соответственно, для этого контура имеем . U U U U Z I Z I Z I Z I 1 2 3 5 1 1 2 2 3 3 5 В контур 5 входят ЭДС именно этих же ветвей. Поскольку &E 2 = 0, то I Z I Z I Z I E E E 1 1 2 2 3 3 5 5 1 3 5 & & & & & & & Если расписать всю систему уравнений, получим для узлов 1, 2, 3, соответственно Б - + - = - + - = и для контуров 4, 5 и 6, соответственно - + + - + Z I Z I Z I E E Z I Z I Z I Z I 1 1 3 3 4 4 1 3 1 1 2 2 3 3 5 & & & & & ; & & & & 5 1 3 5 1 1 2 2 6 6 1 = = - + + + = & & & ; & & & & . E E E Z I Z I Z Для расчета данной цепи, следовательно, необходимо решить систему из шести уравнений. Трудность расчета сложных линейных цепей заключается в необходимости решать совместно p линейных алгебраических уравнений. В связи с этим представляют ценность методы, позволяющие тем или иным путем упростить задачу. Эти методы дают возможность или преобразовать цепь так, что расчет упрощается, или уменьшить число уравнений, или, наконец, расчленить сложную задачу наряд более простых. В следующих параграфах будет рассмотрен ряд основных таких методов. Расчет цепи, основанный на преобразовании соединения треугольником в эквивалентное соединение звездой Для упрощения расчета сложной цепи в ряде случаев целесообразно осуществить преобразование некоторой части цепи. Эта часть цепи до ее преобразования должна быть эквивалентна этой же части цепи после ее преобразования при условии, что режим в остальной, не преобразованной части остается неизмен- ным. К числу таких преобразований относится, например, преобразование соединения треугольником в эквивалентное соединение звездой, которое рассмотрим в настоящем параграфе, а также преобразование нескольких параллельно соеди- 238 Часть 2. Теория линейных электрических цепей ненных ветвей с источниками ЭДС в одну эквивалентную им ветвь с одним источником ЭДС, что будет рассмотрено в следующем параграфе. На риса между точками 1, 2 и 3 некоторой сложной цепи включены три участка с сопротивлениями Z 1 , и Z 3 , соединенные звездой. На рис. 5.6, б между этими же точками включены три участка, и Z 31 , соединенные треугольником. Остальная, не подвергающаяся преобразованию, часть сложной цепи на рисунке не показана. Соединения звездой и треугольником эквивалентны друг другу при условии, что при одинаковых в обоих случаях напряжениях, и между точками 1, 2 и 3 и токи &I 1 , и &I 3 , подходящие к этим точкам от остальной части цепи, одинаковы в обоих случаях. Составим уравнения для соединения звездой Z U I Z I Z I I Z I Z 1 1 2 3 2 23 2 2 3 3 1 3 2 3 ( ) & ; & & & ( & & ) & + + = - = - + - 3 1 2 3 2 3 = - - + & & ( ). I Z I Решая эти уравнения относительно токов и &I 3 , получим & & & , I U Z Z D U Z D I U Z D U Z Z D 1 12 2 3 23 2 3 12 2 23 1 2 = + + = -где Z Z Z Z Z Z = + + 1 2 2 3 3 Для соединения треугольником имеем уравнения 23 31 1 12 31 12 12 31 31 0 1 1 + + = = - = - = U Z Z U Z I I I U Z 12 12 31 23 31 3 31 23 31 1 1 ж и зз ц ш чч + = - = & ; & & & & 31 23 23 12 31 23 31 23 1 1 1 1 - = -ж и зз ц ш чч & & & U Z U Z U Z Z Токи и &I 3 , а следовательно, и ток & & & I I I 2 1 3 = - - должны быть одинаковыми в обеих схемах при одинаковых в обоих случаях напряжениях и & U 23 , причем это должно быть справедливо при любых соотношениях между и & U 23 . Следовательно, коэффициенты в выражениях для токов и должны быть одинаковыми в случаях соединения звездой и треугольником. Получаем 3 12 31 2 31 1 2 31 23 1 1 1 1 Из этих уравнений определяются сопротивления искомого эквивалентного треугольника через заданные сопротивления звезды Z Z D Z Z D Z 12 3 23 1 31 Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 239 Рис. 5.6 где Z Z Z Z Z Z = + + 1 2 2 3 3 Если заданы сопротивления треугольника и отыскиваются сопротивления эквивалентной ему звезды, то следует пользоваться формулами Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1 12 31 12 23 31 2 23 12 12 23 31 3 31 2 = + + = + + = ; ; 3 12 23 Например, формула для легко получается, если заметить, что Z D Z Z Z Z Z D Z Z Z 12 31 2 2 3 12 23 31 2 1 2 3 = + + = и При эквивалентном преобразовании треугольника в звезду и наоборот возможны случаи, когда это преобразование теряет смысл, что имеет место при равенстве нулю сумм сопротивлений или проводимостей. Возможны и случаи, когда эквивалентное преобразование приводит к появлению отрицательных активных сопротивлений в отдельных лучах звезды или сторонах треугольника, означающему невозможность реализации таких схем при помощи одних элементов. На ход расчета последнее обстоятельство не влияет. В окончательном выражении комплексное сопротивление всей пассивной цепи содержит положительную вещественную часть. Упрощение расчета сложной цепи при помощи эквивалентного преобразования конфигурации цепи можно проследить на примере расчета цепи, изображенной на риса. В этой цепи упрощение достигается преобразованием треугольника, риса) в эквивалентную звезду Z 1 , Z 2 , рис. 5.7, б. После такого преобразования получаем простую цепь с последовательно-параллельным соединением участков. Преобразование источников ЭДС и тока Для удобства расчета электрических цепей иногда полезно производить замену источника ЭДС эквивалентным источником тока или выполнять обратную замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Источники ЭДС и тока являются эквивалентными, если они обладают одной и той же внешней характеристикой u = f (i) (или i = j (u)). При присоединении к ним приемника с некоторым сопротивлением пр 1/g пр (или пр пр) напряжение или & U) и ток i или &I) в приемнике будут в обоих случаях одинаковы. Уравнение внешней характеристики источника ЭДС имеет вид u = e – r вн i (или & & & U E Z I = - вн ). Запишем это уравнение иначе, а именно i = e/r вн – u/r вн (или & & & I E Z U Z = - вн вн ). Уравнение внешней характеристики источника тока имеет вид i = Б – ug вн (или & & & I Y U = Б - вн ). Эти внешние характеристики совпадут, если соблюдать условия 240 Часть 2. Теория линейных электрических цепей Рис. 5.7 Б Б = = e r g r E Z Y Z вн вн вн вн вн вн и и или По этим равенствам можно вычислить параметры Б и g вн ( Б и Y вн ) источника - тока, эквивалентного заданному источнику ЭДС, имеющему параметры e и r вн ( и Z вн ). Соответственно, из соотношений Б Б = вн вн вн вн вн вн и и или можно получить параметры источника ЭДС, эквивалентного источнику тока. Эквивалентные замены могут бытъ произведены и для зависимых источников. Пусть в некоторой ветви p с проводимостью имеется зависимый, управляемый током ветви q источник тока Б b &I q . Согласно вышеприведенным формулам, можно преобразовать управляемый током источник тока в управляемый током источник ЭДС. Значение ЭДС будет равно &E p = b &I q /Y p , и внутреннее сопротивление Z вн = Z p = 1/ Преобразуем две параллельно соединенные ветви, содержащие источники ЭДС и и сопротивления Z 1 = 1/ ирис, в одну эквивалентную ветвь. Рассматривая параллельно соединенные на рис. 5.8 ветви как источники ЭДС &E 1 и с внутренними сопротивлениями и Z 2 , заменим их эквивалентными источниками тока Б = 1 1 E и Б = 2 2 E с внутренними проводимостями Y 1 = 1/ ирис. Объединив эти два источника тока в один Б = Б + Б с внутренней проводимостью Y = Y 1 + Y 2 , перейдем от него к источнику ЭДС Y E Y Y Y 1 1 1 1 2 1 2 = Б с внутренним сопротивлением Z = 1 1 2 Y Распространяя полученный результат на n параллельно соединенных ветвей, найдем, что заменяющая их эквивалентная ветвь содержит источник ЭДС Y E Y E Y Y Y Y E Y Y n n n k ее Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 241 Рис. 5.8 и сопротивление Y Y n = + + + 1 1 2 K 5.11. Метод контурных токов То обстоятельство, что контур, образованный данной связью графа схемы, проходит только по ветвям дерева, дает возможность выразить токи в ветвях дерева через токи в связях. Такая связь в матричном виде записывается следующим образом (см. § 3.16): . |