Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электр. Электродвижущая сила Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
E l B l инд d d d dt l l т т или согласно выражению (*) E l инд d d dt l т = - Этот вывод был сделан в предположении, что контур abcda движется во внешнем магнитном полете. движется по отношению к источникам этого магнитного поля — постоянным магнитам или проводникам стоком, создающим это поле. Однако в контуре abcda индуцируется ЭДС ив том случае, когда контур неподвижен и поток F изменяется вследствие движения источников магнитного поля — постоянных магнитов или проводников стоками или же вследствие изменения токов в проводниках, создающих это поле. Важно лишь, чтобы было относительное движение контура и внешнего магнитного поля, приводящее к изменению потока В § 1.8 было высказано общее положение, что если линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура неравен нулю, тов контуре действует ЭДС, равная этому интегралу. Таким образом, последнее равенство свидетельствует, что во всех случаях, когда магнитный поток проходящий сквозь поверхность, ограниченную некоторым контуром, изменяется во времени, в этом контуре индуцируется ЭДС, равная взятой со знаком минус скорости изменения этого потока - т E l инд F. (**) Это уравнение и выражает закон электромагнитной индукции в формулировке, данной Максвеллом. В общем случае поток F является функцией геометрических координат контура и времени, и можно написать - = -т т инд ] где составляющая -¶ ¶ F t определяется изменением магнитного поля во времени, те. изменением потока F в неподвижном контуре, а составляющая [ ] vB т определяется движением контура в магнитном поле. Соответственно, и величина представляет собой только одну составляющую напряженности инд индуцированного электрического поля, определяемую движением элемента во внешнем поле со скоростью v. Можно было бы определить всю величину инд из аналогичной формулы инд но величина vў здесь уже должна представлять не скорость v элемента dl в рассматриваемой системе координата его скорость относительно магнитного поля. 56 Часть 1. Основные понятия и законы теории Мы предполагали, что контур abcda образован тонким проводником. Максвелл обобщил равенство (**) на контур, расположенный в любой среде. Мы также считаем это равенство справедливым для любого замкнутого контура, необязательно образованного проводником. В общем случае этот контур может быть и воображаемым контуром, расположенным целиком в диэлектрике или частично в проводящей среде и частично в диэлектрике. Во всех без исключения случаях при изменении во времени магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную любым контуром, в последнем возникает ЭДС. В проводящей среде ЭДС может вызвать токи проводимости, в диэлектрике переменная ЭДС вызывает токи электрического смещения. При таком обобщении равенство (**) свидетельствует, что при изменении во времени магнитного поля появляется в том же пространстве связанное с ним электрическое поле, причем электрическое напряжение вдоль любого замкнутого контура равно ЭДС, индуцируемой в этом контуре. По сути дела, оба эти поля — магнитное и электрическое — являются при этом двумя сторонами единого электромагнитного поля. Понимаемое в таком широком смысле уравнение (**) является одним из основных уравнений электромагнитного поля. В случае, когда контур образован проводником, в нем под действием ЭДС возникает ток проводимости, и этот ток создает вокруг контура свое магнитное поле. При этом F в выражении (**) является потоком, созданным внешними источниками и током i в самом контуре. Если в контуре нет других источников ЭДС, а именно сторонних ЭДС, рассмотренных в § 1.8, то и для напряженности результирующего поля E имеем E l инд d d dt т = - Величина E l инд d т есть сумма падений напряжения вдоль всего замкнутого контура, равная току i в контуре, умноженному на электрическое сопротивление контура. Следовательно, в этом случае - или i dt r = – dF, r dq = – dF, те Для конечного изменения потока на величину DF получаем -В этой форме закон электромагнитной индукции и был установлен экспериментально Фарадеем. Приведенные формулировки предполагают изменение потока F сквозь поверхность, ограниченную контуром, в котором индуцируется ЭДС. Так как конечная незамкнутая поверхность ограничивается всегда замкнутым контуром, то только по отношению к замкнутым контурам, но отнюдь неких отрезкам, применимы вышеприведенные формулировки. Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля Линии магнитной индукции всюду непрерывны. Поэтому линия магнитной индукции может войти внутрь контура индуцированного тока или выйти из него, только пересекая где-либо контур. Таким образом, изменение DF потока, охватываемого контуром, должно равняться числу единичных линий магнитной индукции DN, пересеченных контуром DF = DN и также dF = Закон электромагнитной индукции может быть представлен теперь в формах - и e dN dt = -те. электродвижущая сила, индуцируемая в контуре, равна скорости пересечения контура единичными линиями магнитной индукции, взятой с обратным зна- ком. Эту формулировку закона электромагнитной индукции будем называть фа- радеевой формулировкой, так как она связана с основной идеей Фарадея опере- сечении проводника магнитными линиями. В применении к замкнутым контурам формулировки Максвелла и Фарадея тождественны, и для ЭДС, возникающей в замкнутом контуре, всегда можно написать -Однако, если максвеллово выражение для индуцированной ЭДС по своему существу может быть применено только к замкнутым контурам, то фарадеево выражение для ЭДС, в котором все внимание обращается на акт пересечения контура единичными линиями магнитной индукции, может быть применено и к отрезкам контура. В этом отношении последнее выражение оказывается более универсальным. Пусть отрезок проводника dl движется с произвольно направленной скоростью в общем случаев неоднородном, неизменном во времени магнитном поле. Пусть B есть вектор магнитной индукции вместе расположения отрезка dl в данный момент времени (рис. 1.30). ЭДС, индуцируемая на отрезке dl, de d d = = E l vB инд ] В данном частном случае, когда прямолинейный проводник длиной l движется со скоростью v в однородном магнитном поле так, что направления величин l, B и v взаимно перпендикулярны, получаем для индуцируемой в отрезке l ЭДС выражение e = Направление ЭДС можно определить, пользуясь правилом правой руки. Если большой, указательный и средний пальцы правой руки расположить взаимно перпендикулярно итак, чтобы большой палец был направлен в сторону движения, а указательный в сторону поля, то средний палец будет указывать направление ЭДС. Это правило легко запоминается, если обратить внимание на то, что порядок пальцев на руке — большой, указательный, средний соответствует порядку по алфавиту начальных букв слов движение, поле, ЭДС или движение, поле, ток. 58 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 1.30 1.11. Потокосцепление. ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Принцип электромагнитной инерции Магнитный поток F сквозь поверхность s, ограниченную контуром, например контуром проводящей цепи, равен поверхностному интегралу вектора магнитной индукции, распространенному по поверхности s: F т s d s . Это выражение справедливо для любой поверхности, ограниченной сколь угодно сложным контуром. В общем случае такая поверхность может иметь весьма сложную форму. Так, на рис. 1.31 штриховкой показана поверхность, натянутая на контур, расположенный по винтовой линии и образующий катушку из трех витков. Отдельные линии магнитной индукции пронизывают эту поверхность несколько раз: линии 4, 5, 6, 7 и 8 — три раза, линия 3 — два раза. Целесообразно в таких сложных случаях ввести понятие оп ото косце плени и Y. Термин «потокосцепление» необходимо ввести в связи стем, что отдельные линии магнитной индукции несколько раз сцепляются совсем контуром. Значение Y можно получить, умножая поток каждой единичной линии магнитной индукции на число витков цепи, с которыми она сцепляется, и складывая полученные результаты. Сложение следует производить алгебраически, причем положительными следует считать линии магнитной индукции, направление которых связано с положительным направлением тока в контуре электрической цепи правилом правого винта. Ясно, что ЭДС, индуцируемая во всей цепи, определяется потокосцеплени- ем Y. Действительно, приуменьшении потока до нуля каждая линия магнитной индукции столько раз пересечет контур тока, сколько раз она с ним сцепляется. Поэтому должно быть равенство - = - Y Потоки, сцепляющиеся с отдельными витками катушки, различны. Поэтому различны и ЭДС, индуцируемые в отдельных витках. В ряде случаев приближенно можно считать, что все линии магнитной индукции сцепляются со всеми витками катушки. Тогда потокосцепление катушки связывается с потоком водном витке простым соотношением Y = wF. В таком случае ЭДС, индуцируемая в катушке d dt = - = -Таким упрощенным расчетом обычно можно пользоваться при вычислении ЭДС, индуцируемых в катушках с замкнутыми сердечниками из ферромагнитных материалов. В простейшем случае для одного контура с электрическим током магнитный поток, сцепляющийся с этим контуром, определяется током i, протекающим Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 59 Рис. 1.31 в этом же контуре. Такой поток называют потоком самоиндукции. Поток ос цеп лени е самоиндукции некоторого электрического контура или, что тоже, некоторой неразветвленной электрической цепи, обозначают Y L . Можно представить его в виде Величину L называют собственной индуктивностью или простои н д у к т ив нос т ь ю контура. Индуктивность зависит от геометрических величин, определяющих размеры и форму контура, а также от абсолютной магнитной проницаемости m среды, в которой существует магнитное поле L = F (g, Для однородной среды с m = const имеем L = При изменении потока самоиндукции в контуре возникает электродвижущая сила самоиндукции. Изменение потока может происходить как вследствие изменения тока, таки вследствие изменения индуктивности. Поэтому в общем случае ЭДС самоиндукции может быть представлена в виде суммы двух членов ) e d dt d Li dt L di dt i dL dt L L = - = - = -При L = const e L di dt L = -Для двух или нескольких контуров стоками магнитный поток, сцепляющийся с одним из этих контуров, определяется токами во всех контурах. Рассмотрим два контура и предположим, что ток протекает только в первом из них (рис. 1.32). Может оказаться, что часть линий магнитной индукции потока самоиндукции первого контура сцепляется также и со вторым контуром. При этом поток, сцепляющийся со вторым контуром и определяемый током в первом контуре, называют потоком взаимной индукции. Поток ос цеп лени е взаимной индукции со вторым контуром будем обозначать или. Первый индекс всегда будет указывать, с какой цепью рассматривается сцепление потока. Второй индекс или 1) указывает, что поток определяется током, протекающим в другой, в данном случаев первой, цепи. Можно написать Величину называют взаимной индуктивностью контуров. Она зависит от геометрических величин g, определяющих размеры и формы контуров и их взаимное расположение, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды M = f(g, m). Если m = const, то M = Единицей индуктивности и взаимной индуктивности является генри (Гн). При изменении потока взаимной индукции, сцепляющегося со вторым контуром, в этом контуре возникает электродвижущая сила взаимной b60bЧасть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 1.32 индукции. Поток может изменяться либо вследствие изменения тока либо вследствие изменения взаимной индуктивности M 21 . Соответственно, ЭДС взаимной индукции, возникающая во втором контуре, может быть представлена в виде M i dt M di dt i dM dt M M 2 2 21 1 21 1 1 21 = - = - = -Если M 21 = const, то e M di dt M 2 21 1 = -Остановимся еще на общем характере индуцированных ЭДС. Знак «минус» в выражении для индуцированной ЭДС свидетельствует о том, что эта ЭДС стремится вызвать токи, направленные таким образом, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока. Это положение выражает сформулированный Ленцем принцип электромагнитной инерции. В самом деле, предположим, что поток, сцепляющийся с контуром, убывает, те. В таком случае e = – d Y/dt > 0, и следовательно, возникающая в контуре ЭДС стремится вызвать ток в положительном направлении и тем самым воспрепятствовать убыванию потока. Наоборот, если поток возрастает, то d Y > 0 и e < 0. В этом случае ЭДС в контуре стремится вызвать ток в отрицательном направлении и этим воспрепятствовать увеличению потока. Мы видим, что индуцированные ЭДС имеют характер сил инерции. На основании сказанного можно сформулировать принцип электромагнитной инерции в отношении электромагнитных процессов, совершающихся в системе контуров с электрическими токами, а именно в системе контуров с электрическими токами существует тенденция к сохранению неизменными магнитных потоков, сцепляющихся с отдельными контурами системы. При всякой попытке изменить потоки, сцепляющиеся с контурами, в контурах возникают электродвижущие силы, стремящиеся воспрепятствовать этому изменению. В простейшем случае для одного контура стоком возникает ЭДС самоиндукции, равная ) e d Li dt L di dt = - = -В простейшем случае, который рассматривается в динамике, а именно, при движении свободной материальной точки, принцип инерции заключается в том, что свободной материальной точке свойственно сохранять свое количество движения. Если под действием внешних сил изменяется количество движения точки, то, вводя в рассмотрение силы инерции, равные и противоположные внешним силам, можно рассматривать эти силы инерции как препятствующие изменению количества движения. Если направление силы совпадает с направлением скорости v, то сила инерции имеет выражение ) f d mv dt mdv dt = - = -где m — масса материальной точки. Мы видим, что магнитный поток можно рассматривать как количество движения в электромагнитном процессе, индуктивность контура — как коэффици- Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля ент электромагнитной инерции, ток — как электрическую скорость. Электрической координатой системы при этом является электрический заряд q, перенесенный через поперечное сечение контура от некоторого начального момента времени, так как i = Силы инерции наиболее полно проявляются в системе, не имеющей трения. Соответственно, и электромагнитная инерция выявляется наиболее полно в контурах, электрическое сопротивление которых равно нулю. Такую сверхпроводящую цепь можно осуществить на опыте. Явление сверхпроводимости заключается в том, что некоторые металлы, например свинец, олово, ртуть, и сплавы — ниобий—титан, ниобий—олово при весьма низких температурах (порядка нескольких Кельвинов) имеют удельное сопротивление, практически равное нулю. Положим, что кольцо из одного из перечисленных материалов внесено во внешнее магнитное поле (рис. 1.33) и заморожено, те. сделано сверхпроводящим. Пусть при этом с кольцом сцепляется внешний поток Y M = линии 1– Будем теперь выносить кольцо из внешнего поля. В кольце возникает внешняя ЭДС e M = – d Y M /dt, под действием которой в контуре кольца появляется токи образуется поток самоиндукции Y L . Сумма внешней ЭДС и ЭДС самоиндукции должна быть равна падению напряжения ir в контуре. Так как r = 0, то получаем - - = d dt d dt M L Y Y 0, откуда следует, что+ Y L = В начальном положении контура Y M = ириса. Следовательно. Когда контур будет вынесен за пределы внешнего поля (рис. 1.33, б, будем иметь Y M = 0 и Y L = Li = Мы видим, что при r = 0 электромагнитная инерция проявляется в полной мере — результирующее потокосцепление остается постоянными лишь совершается преобразование внешнего потока в поток самоиндукции. Потенциальное и вихревое электрические поля Вернемся к основным определениям терминов электродвижущая сила», «электрическое напряжение и разность электрических потенциалов, чтобы ясно себе представить, в каких случаях можно пользоваться тем или иным из них. 62 Часть 1. Основные понятия и законы теории Рис. 1.33 ЭДС, действующая вдоль некоторого пути, равна линейному интегралу вдоль этого пути напряженности стороннего электрического поля, а также электрического поля, индуцированного изменяющимся магнитным полем. Появление ЭДС может быть обусловлено различными причинами. Если в электрической цепи содержатся участки с электролитической проводимостью, то ЭДС может возникать вследствие электрохимических процессов. Вместе контакта двух проводников из различных металлов возникает контактная ЭДС. При изменении магнитного потока в контурах, расположенных в любой среде, возникают ЭДС индукции. Понятие электрическое напряжение, или падение напряжения, связано с результирующим электрическим полем. Электрическое напряжение вдоль некоторого пути от точки A до точки B равно линейному интегралу напряженности результирующего электрического поля (электростатического, стационарного, стороннего, индуцированного) вдоль этого пути. Необходимо подчеркнуть, что напряжение между двумя точками A ирис. при переменном магнитном поле зависит от выбора пути, по которому составляем линейный интеграл напряженности электрического поля от точки A к точке. Действительно, для замкнутого контура AmBnA в переменном магнитном поле имеем l |