Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию Байкальский государственный университет экономики и права И.А. Никифорова МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ Сборник задач Часть Ι Введение в анализ Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Издание второе, исправленное и дополненное Иркутск Издательство БГУЭП 2008 2 УДК 517(075.8) ББК я Н 62 Печатается по решению редакционно-издательского совета Байкальский государственный университет экономики и права Рецензент канд. физмат. наук, доц. ЗА. Дулатова Никифорова И.А. Н 62 Математика в экономике сб. задач. Ч. Ι: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. / И.А. Никифорова. – е изд, испр. и доп. – Иркутск Изд-во БГУЭП, 2008 – 190 с. ISBN 978-5-7253-1823-4 Содержит задачи по первой части курса Математика ”, который читается на экономических факультетах БГУЭП, и охватывает разделы Числовые последовательности, Предел, непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Написан на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий у студентов-экономистов. Для студентов экономических специальностей вузов. ББК я ISBN 978-5-7253-1823-4 © Никифорова И.А., 2008 © Издательство БГУЭП, 2008 3 Оглавление ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. 1.1. Множества основные понятия и простейшие операции над ними. Логическая символика ...................................................................................................... 1. Множества и операции над ними (5). 2. Ограниченные множества. Нижние и верхние грани (8). 1.2. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Понятие числовой последовательности. Способы задания (9). 2. Ограниченные и неограниченные последовательности (10). 1. 3. Метод математической индукции. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности. 1.6. Монотонные последовательности. Число e ……………………………………... 1.7. Числовые последовательности в экономике. 1. Простые и сложные проценты) 2. Темп роста и темп прироста функции натурального аргумента (22). 3. Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения (23) ГЛАВА 2 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 2.1. Понятие функции одной переменной. Экономические переменные. Функции экономического анализа. Понятие функции одной переменной) 2. Экономические переменные. Функции экономического анализа) 2.2. Предел функции. Непрерывность функции. 1. Предел функции, основные определения. (35). 2. Предел функции, основные свойства. Непрерывные функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Неопределенности (36). 3. Замечательные пределы (40). 4. Разные примеры на вычисление пределов (42). Темп роста и мгновенный темп роста функции (44) 2.3. Сравнение бесконечно малых. Точки разрыва функции и их классификация. ГЛАВА 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Понятие производной. 3.2. Производная явной функции. Таблица производных основных элементарных функций (52). 2. Основные правила дифференцирования (53). 3. Логарифмическая производная (59). 3. 3. Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно (62). 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически (63). 3.5. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков. Дифференциал функции (64). 2. Формулы для приближенных вычислений (65). 3. Дифференциалы высших порядков (67). 3.6. Геометрические приложения производной. 3.7. Элементы предельного или маргинального анализа. 3.8. Теоремы Ролля и Лагранжа. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя…………………………………. 1. Неопределенности 0 0 и ∞ ∞ . Правило Лопиталя (78). 2. Неопределенности 0 ⋅∞ , ∞ − ∞ , 1 ∞ , 0 ∞ , 0 ∞ (78). 5 5 9 11 11 13 18 19 25 25 35 45 47 50 50 52 60 62 64 68 69 76 78 4 3.10. Формулы Тейлора и Маклорена…………………………………………………….. 3.11. Монотонные функции. Экстремум. 1. Монотонные функции (83). 2. Исследование функции на экстремум (83). 3.12. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба. 3.13. О некоторых свойствах функций экономического анализа. 1. Функция полезности и ее свойства (90). 2. Экономическая область и закон убывающей производительности труда производственной функции (91). 3.14. Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции и чистой монополии. 1. Максимизация прибыли (92). 2. Монополия с несколькими заводами (101). 3. Ценовая дискриминация монополиста на сегментированных рынках (102). 3.15. Асимптоты. 3.16. Исследование функций. Построение графиков. ГЛАВА 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл. Метод подстановки или замены переменной. 4.3. Метод интегрирования по частям. 4.4. Интегрирование рациональных функций 1. Определение рациональной функции. Способы разложения рациональных дробей. Интегрируемость рациональных функций (121). 4.5. Интегрирование тригонометрических функций. 1. Интегралы вида ( ) sin , cos R x x dx ∫ (126). 2. Интегралы вида sin cos m n x xdx ∫ (128). 4.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций 1. Интеграл вида 1 , , , k m m ax b ax b R x dx cx d cx d + + + + ∫ K (129). 2. Тригонометрические подстановки. Смешанные примеры на интегрирование. ГЛАВА 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 5.1. Понятие определённого интеграла. Основные свойства. Понятие определённого интеграла (134). 2. Основные свойства определённого интеграла (136). 5.2. Вычисление определённого интеграла. 1. Формула Ньютона-Лейбница (138). 2. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям (140). 5.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Восстановление функции по её производной. Некоторые геометрические приложения определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур (144). 2. Решение некоторых экономических задач (145). 5.5. Несобственные интегралы. 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (147). 2. Интегралы от неограниченных функций (148). ОТВЕТЫ. ГЛАВА 1…………………………………………………………………………………….. ГЛАВА 2……………………………………………………………………………………. ГЛАВА 3……………………………………………………………………………………. ГЛАВА 4…………………………………………………………………………………….. ГЛАВА 5…………………………………………………………………………………….. 81 83 89 90 92 104 105 108 108 114 115 119 126 129 132 134 134 138 142 144 147 150 150 154 158 177 188 5 Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1.1. Множества основные понятия и простейшие операции над ними. Логическая символика 1. Множества и операции над ними. Понятие множества является первичным, неопределяемым. Подмножеством понимают совокупность различных объектов, рассматриваемых как единое целое. Множества обозначают большими, а их элементы − малыми буквами запись означает элемент x принадлежит множеству X », запись X x ∉ − элемент x не принадлежит множеству X ». По числу содержащихся в них элементов множества делят наконечные и бесконечные. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустыми обозначают символом Множество можно задать 1) либо перечислением всех элементов, принадлежащих данному множеству (возможно лишь для конечных множеств) либо определением правила, которое позволяет судить о принадлежности элементов множеству. Запись { } n x x x X , , , 2 1 = означает, что множество состоит из n элементов n x x x , , , 2 1 ; запись ( ) { } x P x X = − что состоит из элементов x , для которых выполняется правило ( ) x P . Например, множество { } 0 2 3 2 3 = + − = x x x x X состоит из чисел x , удовлетворяющих уравнению 0 2 3 2 3 = + − x x x . Решив уравнение, зададим множество перечислением элементов Если множество X не содержит ни одного элемента, не принадлежащего множеству Y , тов этом случае говорят, что множество X является подмножеством множества Y , и пишут Y X ⊆ . Если одновременно Y X ⊆ и X Y ⊆ , то множества X и Y называют равными и пишут Объединением множеств X и Y называют множество Y X U , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств X или Y . Пересечением множеств X и Y называют множество Y X I , которое состоит из элементов, принадлежащих обоим множествами одновременно. Разностью Y X называют множество, которое состоит из элементов множества X , не принадлежащих множеству Y . Числовые множества. Напомним некоторые числовые множества • множество натуральных чисел { } ;... 2 ; 1 = N ; • множество целых чисел { } ;... 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 − − = Z ; • множество действительных чисел I Q R U = , где множество рациональных чисел ∈ ∈ = = N n Z m n m q q Q , , ; − I множество иррациональных чисел. Иррациональными называют числа, представимые в виде десятичных непериодических дробей. В частности, иррациональными являются числа 4 , 1 2 ≈ , ≈ e 2,8, Логические символы. Для сокращения записи математических текстов удобно использовать логические символы. Наиболее часто встречаются следующие из них. • Символ существования " ∃ " используют вместо слов "существует, "найдётся". • Символ общности " ∀ " используют вместо слов "любой, "каждый, всякий. • Символ следования " ⇒ " или " ⇐ " используют вместо слови словосочетаний "влечёт", "отсюда следует, "из ... следует" и т.д. • Символ эквивалентности " ⇔ " заменяет словосочетания "тогда и только тогда, "в томи только том случае, если, "эквивалентно, равносильно Двоеточие ":" и вертикальную черту "|" используют для замены словосочетаний "такая, что, "такой, что" и т.д. Пример 1. Выражение "для любого 0 > ε существует 0 > δ такое, что для всех x , неравных и удовлетворяющих неравенству δ < − 0 x x , выполняется неравенство ( ) ε < − a x f " записать при помощи логических символов. Решение. Данное выражение содержит в себе следующие высказывания для любого " 0 > ε ", которое с помощью логических символов записывается" существует 0 > δ " − с помощью логических символов записывается 0 > ∃δ ; для всех x , неравных и удовлетворяющих неравенству δ < − 0 x x " − краткая запись δ < − ≠ ∀ 0 И, наконец, в данном выражении имеется утверждение "выполняется неравенство ( ) ε < − a x f ". Запись всего приведённого предложения в логических символах будет иметь вид 0 > ∀ε 0 > ∃δ ( ) ( ) ε δ < − ⇒ < − ≠ ∀ a x f x x x x 0 0 , Скобки здесь используются для того, чтобы показать, что действие высказываний распространяется на всё предложение, заклю- чённое в скобки 7 Задать указанные множества перечислением всех своих элементов Найти все подмножества данных множеств 1) { } c b a A , , = ; 2) { Определить, равны ли множества { } 5 | < ∈ = x N x A , ( ) ( ) { } 0 8 6 3 4 | 2 Найти множества A B B A B A B A / , / , , I U : 1) { } 0 20 | 2 = − + ∈ = x x R x A ; { } 0 12 | 2 = − − ∈ = x x R x B ; 2) ( ) { } 4 , , | , 2 2 < + ∈ ∈ = y x R y R x y x A ; ( ) { } 1 , , | , 2 2 > + ∈ ∈ = y x R y R x y x B ; 3) [ ] ( Найти множества решений уравнений 1) 0 3 2 = + x x ; 2) 1 3 2 2 = + + − x x ; Найти множества решений неравенств 1) 3 + > x x ; 2) 1 Изобразить на координатной прямой множества, определяемые неравенствами 1) 3 2 < − x ; 2) 2 2 ≥ + x ; 3) 10 Для заданных семейств множеств , , N n A n ∈ найти и n N n A I ∈ : 1) { } n x n Z x A n ≤ ≤ − ∈ = | ; 2) { } 1 3 , 2 3 − − = n n A n ; 3) ≤ ≤ ∈ = 1 Прочитать приведённые ниже высказывания и записать их отрицания. Ограниченные множества. Нижние и верхние грани Числовое множество X называют ограниченным снизу (ограниченным сверху, если найдётся действительное число m (M) такое, что неравенство m ≤ x (M ≥ x) выполнится ∀ x ∈ X, при этом m (M) называют нижней (верхней) гранью множества X. Множество, ограниченное снизу и сверху, называют ограниченным. Если множество ограничено снизу (сверху, то оно имеет бесконечно много нижних (верхних) граней. Наибольшую из нижних (наименьшую из верхних) граней называют точной нижней (точной верхней) гранью и обозначают Если m = inf X и m ∈ X, то m = min X (число m − минимум или наименьшее число множества X), если M = sup X и M ∈ X, то M= max X (число M − максимум или наибольшее число множества X). Доказать, что приведённое выше определение точной верхней грани эквивалентно следующему. Число M есть точная верхняя грань множества X в томи только том случае, когда 1) для всех X x ∈ ; 2) для всякого 0 > ε найдётся элемент X x ∈ ε такой, что Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для точной нижней грани множества. Определить, являются ли указанные множества ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными, найти для них множества верхних и нижних граней, а также , sup X X inf , X max и X min , если они существуют 1) [ ] 1 , 1 − = X ; 2) ( ) 3 , 4 − = X ; 3) { } 0 5 | < ≤ − ∈ = x Z x X ; 4) { } ; 0 | < ∈ = x R x X 5) = ,... 1 ..., , 3 1 , 2 1 , 1 n X ; Привести примеры числовых множеству которых a) X X ∈ sup ; б) X X ∉ sup ; в) X X ∈ inf ; где, а X X ∉ sup . Имеет ли множество X в случаях аи б) наибольшее, а в случаях в) и г) наименьшее число Пусть X и Y − непустые множества вещественных чисел. Доказать, что если X Y ⊆ , то а) X Y sup sup ≤ ; б) X Y inf Пусть R X ⊆ − произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество { } X x x X ∈ − = − | также ограничено, и справедливы равенства ( ) ( ) X X X X sup inf , inf sup = − − = − 9 1.2. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности 1. Понятие числовой последовательности. Способы задания.Если задано правило, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие действительное число n x , то множество { } n x занумерованных действительных чисел , , , , 2 1 n x x x называют числовой последовательностью или просто последовательностью. Числа , , 2 1 x x называют элементами или членами последовательности, символ − n x общим элементом или общим членом последовательности, а n - его номером. Последовательность задана, если указан способ получения любого её элемента либо приведена 1) явная формула вида ( ) n f x n = , либо 2) рекуррентная формула вида ( ) k n n n n x x x f x − − − = , , , 2 1 , причём 1 x , 2 x , …, k x заданы, k − натуральное число, n>k. Написать первых пять членов каждой из последовательностей, если известны их общие члены 1) 1 2 1 + = n x n ; 2) 1 2 + = n n n x ; 3) ( ) 2 1 1 1 n n x n n + − = − ; 4) ( ) n n x n 2 / sin π = ; 5) ( ) ( ) n n n x 1 1 − − = ; 6) ( ) n x n n π + − = 2 Зная несколько первых членов последовательности, написать формулу общего члена последовательности 1) , 8 1 , 6 1 , 4 1 , 2 1 ; 2) , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 − − ; 3) , 7 9 , 5 7 , 3 5 , 3 − − ; 4) , 7 8 , 5 6 , 3 4 , 2 ; 5) , 2 , 0 , 2 , 0 ; 6) , 0 , 7 , 0 , 5 , 0 , 3 , 0 , 1 − − ; 7) , 25 6 3 , 16 1 3 , 9 7 2 , 4 1 2 , 1 ; 8) ; 0 ; 2 2 ; 1 ; 2 2 ; 0 ; 2 2 ; 1 ; 2 Написать пять первых членов и формулу общего члена каждой из последовательностей, заданной её рекуррентной формулой 1) 1 , 3 1 1 = + = + x x x n n ; 2) 2 , 3 1 1 = = + x x x n n ; 3) ( ) 1 , 1 1 1 = + = + x x n x n n ; 4) 1 , 1 1 2 1 = + + + = − x x x x x n n ; 5) 1 , ! 1 Последовательность { } n x задаётся двумя первыми элементами 1 , 0 2 1 = = x x и рекуррентной формулой n n n x x x − = + + 1 2 для любого Найти 90 x и 885 x 10 Пара кроликов приносит разв месяц приплод из двух крольчат самки и самца, причём новорождённые через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если вначале года была одна пара новорождённых кроликов Найти рекуррентную формулу для задания последовательности { } n x , где количество кроликов по истечении n месяцев. |