Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
1.34. n n n 3 1 lim − ∞ → 1.35. n n n n 5 2 1 7 3 lim 2 − + − ∞ → 1.36. 1 3 2 lim 2 + − ∞ → n n n 1.37. ( ) 3 3 1 2 lim + ∞ → n n n 1.38. ( ) ( ) n n n n n 39 95 2 2 lim 3 3 3 + − − + ∞ → 1.39. + + − + − ∞ → 3 3 5 2 2 1 7 5 1 2 lim n n n n n 1.40. 1 2 2 lim 1 + + ∞ → n n n 1.41. 2 3 3 5 lim − ⋅ ∞ → n n n 1.42. n n n n n 2 3 3 5 3 2 lim ⋅ − ⋅ + ∞ → 1.43. 1 lim 2 + ∞ → n n n 1.44. 1 2 3 lim 2 3 4 + + + ∞ → n n n n 1.45. 5 1 1 lim 4 3 2 + + + + ∞ → n n n n 1.46. 5 1 16 3 1 9 lim 4 4 3 3 2 + + ⋅ + + + ∞ → n n n n 1.47. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 5 9 2 1 3 lim 3 2 3 3 2 2 + + − + − + ∞ → n n n n n n n 1.48. 3 2 2 7 2 4 2 3 lim + + − + ∞ → n n n n n 1.49. ( ) ! ! 1 ! lim n n n n − + ∞ → 1.50. ( ) ( ) ( ) ! ! 1 ! 2 ! 1 lim n n n n n − + + − + ∞ → 1.51. 4 cos 1 3 lim n n n n π ⋅ + ⋅ ∞ → 1.52. 1 sin lim 2 + ⋅ ∞ → n n n n 1.53. + + ∞ → n n n n n 10 ! cos 11 5 lim 1.54. n n n n n − − ∞ → 2 lim 1.55. ( ) 1 3 lim − − + ∞ → n n n 1.56. ( ) 1 3 2 lim − − + ∞ → n n n 1.57. ( ) 1 lim 2 2 + − ∞ → n n n n 1.58. ( ) 1 1 lim 2 2 + − − − + ∞ → n n n n n 1.59. ( ) 2 1 lim 3 3 2 / 3 − − + ∞ → n n n n 1.60. ( ) 3 3 3 3 5 2 lim + − + ∞ → n n n 1.61. ( ) n n n n + − ∞ → 3 3 2 lim 1.62. − − + ∞ → 1 3 3 1 lim 2 2 3 n n n n n 1.63. ( ) 1 sin lim 2 3 2 − ⋅ ∞ → n n n n 1.64. − + + + ∞ → 2 2 2 1 2 1 lim n n n n n 1.65. ( ) − + − + + + + ∞ → n n n n 2 1 3 4 9 5 1 lim 18 1.66. 1 4 8 6 4 2 lim 2 + − + − + − ∞ → n n n 1.67. 3 2 2 2 2 1 lim n n n + + + ∞ → 1.68. ( ) ⋅ − + + − − ∞ → n n n 5 1 1 25 1 5 1 lim 1 1.69. 1 2 1 2 1 1 lim − − ∞ → + + + + + + + + n n n b b b a a a , 1 > > b a 1.70. ( ) + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ∞ → 1 1 3 2 1 2 1 Исследовать последовательность { } n x на сходимость в зависимости от значений параметров γ β α , , , если 1) 3 1 + + = β α n n x n ; 2) n n n n n x n − + − + ⋅ = 1 1 3 3 γ 1.6. Монотонные последовательности. Число e Последовательность { } n x называют возрастающей, если для всех n N ∈ , неубывающей, если для всех n N ∈ , убывающей, если для всех n N ∈ , невозрастающей, если для всех n N ∈ . Все эти последовательности называют монотонными. Монотонные ограниченные последовательности являются сходящимися. Последовательность + n n 1 1 − возрастающая ограниченная, e n n n = + ∞ → 1 1 lim , где e − число, e ≈ 2,7. Доказать, что последовательности 1) + 1 2n n , 2) { } n , 3) { } 2 n − монотонно возрастающие 4) n n 5 , 5) − 3 4n n , 6) + n 2 монотонно убывающие. Выяснить, монотонна ли последовательность { } n x и есть ли у неё наибольший и наименьший элементы, если 1) ! 10 n n ; 2) { } n 2 ; 3) + n n 3 1 3 19 Доказать существование пределов последовательностей 1) + + + + + + + + 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 2 n ; 2) + + + + + + + + n n 3 1 3 3 1 2 3 1 1 3 1 3 2 ; 3) + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ! 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 n ; 4) + + + + 2 2 2 1 3 1 2 Доказать, что последовательность { } n x сходится, и найти её предел, если 1) ! 2 n x n n = ; 2) Доказать сходимость и вычислить предел последовательности { } n x , если она задана рекуррентным соотношением 1) 3 1 = x , n n x x + = + 3 1 ; 2) 2 1 = x , n n x x ⋅ = + 2 1 ; 3) 3 1 = x , + = + n n n x x x 3 2 1 Доказать, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой. Найти пределы 1) 1 1 1 lim + ∞ → + n n n ; 2) n n n + ∞ → 3 1 1 lim ; 3) n n n n − ∞ → 1 lim 1.7. Числовые последовательности в экономике 1. Простые и сложные проценты На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в любой форме выдачи ссуды, помещения денег на сберегательный счёт, покупки акций, облигаций и т.д. Получаемый доход называют процентными деньгами (или просто процентами. Предоставление денег в долг как правило связано с одной из двух операций - наращения или дисконтирования денежной суммы. Пусть P − первоначальная величина долга, − % i кредитная (процентная) ставка,под которую одалживаются деньги.По истечении каждого из равных, заранее оговорённых, периодов времени долг увеличивается. Обозначим через n S наращённую сумму долга по истечении n периодов после предоставления денег в долг. Множество наращённых сумм долга образует соответствующую последовательность Кроме перечисленных выше величин наращённая сумма n S зависит от способа начисления процентов (вида процентных ставок. Существует два основных способа начисления процентов. 20 В случае простой процентной ставки в конце любого периода сумма долга увеличивается на величину i ⋅ P, i − доля единицы, соответствующая процентная ставка применяется к первоначальной сумме долга, тогда В случае сложной процентной ставки в конце любого периода сумма долга увеличивается на величину i ⋅ 1 − n S , процентная ставка применяется ко всей имеющейся к данному моменту времени сумме долга, с учётом ранее начисленных процентов, тогда ( Процентная ставка i равнаотношению дохода за один первый период к сумме вложенных средств i = Годовая процентная ставка i (m) называется номинальной, если для начисления сложных процентов за m 1 часть года применяется ставка Таким образом, если сложные проценты начисляются через равные промежутки времени m разв году, тов конце каждого периода длиной проценты начисляются поставке. Если срок долга n лет, то mn - число периодов применения ставки m i m) ( в сроке долга. Из формулы для наращенной суммы в случае сложных процентов получаем Начисление процентов при неограниченном уменьшении длины периодов времени начисления процентов (теза бесконечно малые периоды времени) называют непрерывным. При непрерывном начислении сложных процентов годовую номинальную процентную ставку обозначают через δ и называют силой роста или интенсивностью процентов, а также непрерывной процентной ставкой. Формула для наращенной суммы в этом случае S n = P e n δ Процентные ставки различного вида, приводящие к одному и тому же финансовому результату за один и тот же срок, называют эквивалентными Операция дисконтирования применяется тогда, когда задана сумма погашаемого долга S n , которую следует уплатить по истечении n периодов после предоставления денег в долг, при этом требуется найти сумму первоначального долга P. В этом случае говорят, что сумма S n дисконтируется или учитывается. 21 Процесс уменьшения суммы погашаемого долга в связи с начислением и удержанием процентов называется дисконтированием или учетом погашаемого долга, асами начисленные и удержанные проценты называются дисконтом. В зависимости от способа применения процентной ставки i (простые, сложные проценты, сложные проценты, начисляемые через равные промежутки времени m разв году, непрерывные проценты) получаем соответствующие формулы дисконтирования суммы долга in S P n + = 1 , ( ) n n i S P − + ⋅ = 1 , ( ) nm m n m i S P − + ⋅ = 1 , Найденную дисконтированием сумму первоначального долга P называют современной или приведенной к начальному моменту величиной погашаемого долга Учетная ставка d - это отношение дохода за один период к сумме погашаемого долга d = 1 1 S P S − . Выписать формулы дисконтирования суммы погашаемого долга S n при применении простой, сложной учетных ставок d, номинальной годовой учетной ставки ( ) m d , применяемой m разв году, а также для непрерывной учетной ставки Найти наращённую сумму банковского вклада через три года, если первоначальный вклад составил 5 тыс. руб, а начисления процентных денег проводились в конце каждого года хранения по простой ставке 3% годовых. Изменится ли наращенная сумма, если начисления будут производиться ежегодно по сложной ставке процентов Банк начисляет проценты на вклад, исходя из номинальной ставки 12% годовых. Определить ставку процентов а) при ежемесячном начислении процентов б) при начислении процентов ежеквартально. Известна первоначальная сумма ссуды 10 тыс. руб, сложные проценты по которой начисляются в конце каждого квартала при номинальной годовой ставке 5%. Найти наращённую сумму по истечении 5 лет. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, равен 6 тыс. руб. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов а) поставке простых процентов б) поставке сложных процентов, начисляемых ежегодно в) поставке сложных процентов, начисляемых ежеквартально. Определить величину первоначального вклада, если наращён- ная сумма через 5 лет сбережения составила 50 тыс. руб, а начисления проводились а) по простой ставке 5% годовых б) ежегодно по сложной ставке 5% годовых. 22 За какой срок сумма, равная 75 тыс. руб. достигнет 110 тыс. руб. при условии, что на неё начисляются проценты по сложной ставке 7,5 % годовых а) разв году б) поквартально. В конце третьего квартала сумма вклада стала равной 175 де. Найти величину годовой процентной ставки, по которой начислялись проценты в сумме 5 де. за каждый квартал. Сравнить сроки удвоения суммы 1000 де. при начислении сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 0,1 а) по полугодиям б) ежеквартально в) непрерывно. Вексель, погашаемый 1 января 2009 года, учтен за 10 месяцев до его погашения на сумму 180 де. Какова величина годовой учетной ставки, если ежемесячный дисконт составляет 2 де Государственная облигация учтена за пять лет до погашения. Какова сумма, погашаемая по облигации, если дисконты за последний и предпоследний годы до погашения составили соответственно 1600 и 2000 де 1.90. 10 тыс. де. должны быть возвращены через 5 лет. Сравнить современные величины этого долга при его дисконтировании по годовой номинальной сложной учетной ставке 0,12 а) по полугодиям б) ежеквартально в) непрерывно. Срок погашения долга – 10 лет. При выдаче кредита была использована сложная учетная ставка 4 % годовых. Величина дисконта за й год срока долга составила 339,738624 де. Какова величина дисконта за й и й годы в сроке долга Какова сумма кредита На вклад начисляются сложные проценты 8 % годовых. Проценты за й год вклада составили 117,546246 де. Какова величина процентов за й и й годы вклада Какова сумма вклада к концу го года де. должны быть возвращены через 4 года. Определить современную величину погашаемого долга и величину дисконта, если дисконтирование долга осуществляется по номинальной сложной учетной ставке 6 % годовых а) ежеквартально б) каждые полгода. Рассчитать соответствующие эффективные учетные ставки. 2. Темп роста и темп прироста функции натурального аргумента. Для функции натурального аргумента (последовательности) ( ) n f x n = , N n ∈ темп роста определяется отношением ( ) ( ) n f n f x x n n 1 1 + = + , а темп прироста – отношением ( ) ( ) ( ) n f n f n f x x x n n n − + = − + 1 В экономических исследованиях часто рассматриваются функции зависящие от дискретного времени, а именно, времени, разбитого на последовательные равные промежутки с номерами , 1 , 0 = t .. Для них 23 ( ) ( ) − + = + t f t f x x t t 1 темп роста, = − + t t t x x x 1 ( ) ( ) ( темп прироста в промежутке времени с номером t+1, t = 0, 1,…. Доказать, что 1) если зависящая от дискретного времени функция ( ) t f x t = имеет постоянный темп прироста b%, то её изменение происходит по геометрической прогрессии 2) постоянный темп роста b% в дискретном времени имеют только переменные ( ) t f x t = , изменяющиеся в геометрической прогрессии. При каких значениях b эта последовательность сходится и расходится Определить 1) годовой темп роста переменной ( ) t f x t = , если а) она имеет ежемесячный темп роста b%; б) ежеквартальный темп роста b%; 2) годовой темп прироста переменной ( ) t f x t = , если а) она имеет ежемесячный темп прироста b%; б) ежеквартальный темп прироста b%. |