Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 14 из 29

3.155.
Оценить возможность использования следующих функций в качестве функций полезности, те. проверить выполнение для этих функций а) основных неоклассических гипотез, б) их ослабленных аналогов
1)
b
Q
a
U
+
⋅
=
;
2)
(
)
b
Q
a
U
+
⋅
=
ln
;
3)
2
Q
a
U
⋅
=
;
4)
Q
k
e
a
U
⋅
⋅
=
, здесь
0
≠
k
,
0
>
a
, параметры.
2. Экономическая область и закон убывающей предельной производительности труда производственной функции. Пусть
( производственная функция, где количество затраченного единственного переменного) ресурса
0
≥
x
,
−
Q количество произведённой при этом продукции. Множество значений затрат ресурса
x
, на котором функция
( )
x
f
является возрастающей, называют экономической областью. Закон убывающей предельной производительности труда гласит с ростом объёма затрат единственного переменного ресурса предельный продукт данного ресурса снижается. Обычно данный закон начинает действовать после достижения объёма затрат данного ресурса некоторого уровня.
3.156.
Определить а) экономические области и б) множества, на которых действует закон убывающей предельной производительности труда для следующих производственных функций
1)
( )
x
a
x
f
⋅
=
,
−
>
0
a
параметр
2)
( )
(
)
x
x
x
f
−
⋅
=
300 2
3.157.
Пусть,
( производственная функция, изображённая на рис.
3.6 (здесь переменный ресурс переменные затраты производства.
1) Определить а) экономическую область производственной функции б) промежуток, на котором действует закон убывающей предельной производительности труда.
2) Найти, при каких значениях С определена обратная к производственной функция затрат
( )
Q
С
С
=
и изобразить её график.

92 3) Выделить на графике функции затрат промежутки, на которых происходит а) одновременное снижение предельных и средних затрат б) снижение средних при повышении предельных затрат в) одновременное повышение средних и предельных затрат.
4) Считая, что
( )
−
=
Q
С
С
дважды дифференцируемая функция, определить знак второй производной
( С. Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции и чистой монополии
1. Формальное решение задача максимизация прибыли фирмы. Напомним, чтоприбыль фирмы определяют как разность между выручкой от реализации продукции в объёме Q и издержками (затратами) её производства
( ) ( ) ( С. Необходимым условием максимизации прибыли является выполнение равенства
⇒
=
Π
0
dQ
d
( )
( С) а достаточным для локального максимума дважды дифференцируемой функции
( )
Q
Π
−
отрицательное значение второй производной функции прибыли в критической точке
*
Q
, удовлетворяющей равенству (3.11):
( )
⇒
<
Π
0
*
2 2
dQ
Q
d
( )
2 2
*
dQ
Q
R
d
( )
0
*
2 2
<
−
dQ
Q
C
d
(3.12) Можно, естественно, вместо проверки условия (3.12) исследовать смену знака первой производной функции прибыли при переходе через критическую точку *
Q .
2. Максимизация прибыли совершенно конкурентной фирмы. Совершенная конкуренция - идеализированное состояние товарного рынка, характеризующееся следующими условиями
•
имеется много покупателей и продавцов данного товара, причём каждый из них производит и, соответственно, покупает малую часть общего рыночного объёма;
•
товар совершенно однороден сточки зрения покупателей, и все покупатели одинаковы сточки зрения продавцов
•
отсутствуют входные барьеры для вступления в отрасль нового производителя и возможности свободного выхода из отрасли
•
полная информированность всех участников рынка
A
0 C
B
A
C
C
Q=f(C) Рис.
Q

93
•
рациональность поведения всех участников рынка, невозможность сговора. Для фирмы, работающей в условиях совершенной конкуренции, кривая спроса d задается равенством p=p
0
, где p
0
– цена товара на рассматриваемом рынке. Заметим, что экзогенная постоянная для фирм цена товара есть равновесная цена отраслевых совокупных рыночных) объёмов спроса и предложения Кривая спроса фирмы представляет собой горизонтальную прямую, изображенную на рис. 3.7 Составим функцию прибыли фирмы П = П) = p·Q– TC(Q), здесь p – цена товара (постоянная, Q – объем производства, TC(Q) – общие издержки фирмы при производстве Q единиц товара. Функцию
TC(Q) будем считать дифференцируемой любое количество раз. Необходимое условие экстремума П
′
(Q) = 0 → p – MC(Q) = 0 → p = MC(Q), здесь MC(Q)= C
′
(Q) - предельные издержки.
Q
P
d
P=MC(Q)
Q
1
Q
2
0 Рис. Кривые предельных издержек и спроса
Q
P
P
0
d Рис. 3.7. Кривая спроса совершенно конкурентной фирмы
Q
1
Q
2
0 П (
Q)
− + − П) ↓ ↑ ↓ Рис. 3.9. Проверка смены знака производной функции прибыли

94 Достаточные условия экстремума функции прибыли выполнены в точке пересечения кривой спроса участка возрастания кривой предельных издержек (см. рис. 3.8, 3.9).
2.1. Поведение фирмы в коротком периоде. Совокупные (общие) издержки фирмы TC(Q) в коротком периоде делятся на постоянные FC и переменные VC(Q):
TC(Q) = FC + VC(Q). Средние издержки
ATC(Q) = AFC + AVC(Q). Предельные издержки
MC(Q)=MTC(Q) = MVC(Q). Вид и взаимное расположение кривых предельных и средних издержек определены экономическим содержанием соответствующих функций (см. рис. 3.10).
Критические точки функций
AVC(Q) и ATC(Q) являются точками их глобального минимума, удовлетворяют необходимому условию экстремума. Найдем производные
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
;
2
Q
Q
AVC
Q
MC
Q
Q
C
V
Q
Q
MC
Q
Q
VC
Q
AVC
−
=
−
⋅
=
′




=
′
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
Q
Q
ATC
Q
MC
Q
Q
C
V
Q
Q
MC
Q
FC
Q
Q
VC
Q
FC
Q
ATC
−
=
−
⋅
+
−
=
′




+
=
′
2 приравняем производные к нулю
( )
(
)
( )
( )
Q
AVC
Q
MC
Q
AVC
=
⇒
=
′
0
,
( )
(
)
( )
( То, минимумы функций средних переменных и средних совокупных издержек достигаются в точках пресечения их графиков с кривой предельных издержек. Ставя задачу максимизации функции прибыли, при цене p
0 фирма производит Q
0
единиц продукции. При этом фирма может иметь положительную прибыль (рис, нести убытки, но при этом покрывать переменные и часть постоянных издержек (рис. 3.12), нести убытки, превышающие переменные издержки (рис)
ATC(Q)
Q
P
MC(Q)
AVC(Q) Рис. Взаимное расположение кривых предельных и средних издержек

95 В случае, изображенном на рис. 3. 13 выполняется неравенство
AVC(Q
0
) > p
0
фирма вынуждена уйти с рынка товара в коротком периоде.
ATC(Q)
ATC(Q
0
)
ATC(Q)
Q
P
MC(Q)
AVC(Q
)
P
0
Q
0 Рис. 3.11. Фирма имеет положительную прибыль, равную площади заштрихованного прямоугольника
Q
P
MC(Q
)
AVC(Q)
p
0
Q
0
ATC(Q
0
) Рис. 3.12. Фирма несет убытки, равные площади заштрихованного прямоугольника. В коротком периоде фирма остается на рынке товара, поскольку за счет производства фирма покрывает переменные и часть постоянных издержек p
0
>AVC(Q
0
).
ATC(Q)
Q
P
MC(Q)
AVC(Q)
P
0
Q
0
ATC(Q
0
)
AVC(Q
0
) Рис. Фирма несет убытки, равные площади заштрихованного прямоугольника, превышающие переменные издержки.

96 Краткосрочная кривая предложения совершенно конкурентной фирмы определяется условиями
p = MC(Q) при MC(Q) ≥ AVC(Q) и представляет собой часть кривой предельных издержек, расположенной выше кривой средних переменных издержек. Таким образом кривая предложения фирмы совпадает с ее кривой предельных издержек для цен, превышающих минимальный уровень средних переменных издержек (AVC(Q)). Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в коротком периоде изображена на рис. 3.14. жирной линией. Если цена товара будет меньше минимального уровня средних переменных издержек (AVC), который называют цена прекращения производства (краткосрочная цена ликвидации, то фирма закроется и объем ее производства будет нулевым. Цена безубыточности равна минимальному уровню средних совокупных издержек. Если рыночная цена равна цене безубыточности, то фирма безубыточна не имеет ни прибыли, ни убытков в экономическом смысле.
2.2. Поведение фирмы в долгосрочном периоде. В долгосрочном периоде все издержки фирмы являются переменными LTC(Q)= LVC(Q), здесь и далее буква «L» означает, что переменная рассматривается в долгосрочном периоде. Долгосрочная кривая предложения совершенно конкурентной фирмы представляет собой часть ее кривой LMC(Q), расположенную выше точки минимального уровня LAC(Q). Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в долгосрочном периоде изображена на рис. 3.15. жирной линией.
ATC(Q)
Q
P
MC(Q
)
AVC(Q
) Рис. 3.14 Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в коротком периоде Цена безубыточности Цена прекращения производства краткосрочная цена ликвидации)

97
3. Максимизация прибыли монополии. Монополией (чистой монополией) называют рыночную структуру, характеризующуюся тем, что в отрасли, производящей данный товар, имеется только один производитель, который полностью контролирует объём предложения товара и очень сильно влияет на его цену. Для максимизации своей прибыли монополист, как и совершенный конкурент, придерживается двухшаговой процедуры. На первом этапе фирмы обоих типов решают задачу максимизации прибыли и рассчитывают соответствующие объемы положительного оптимального выпуска, если таковой существует. На втором шаге фирмы решают продолжать продолжить или прекратить производство товара в зависимости оттого обеспечивает ли оптимальный выпуск положительную прибыль или фирма будет нести убыток . Действия монополиста на втором шаге сходны аналогичным действиям совершенного конкурента.
Монополист устанавливает не только объём производимой продукции, но и цену на товар, определяя её как цену спроса
( Прибыль монополиста определяется формулой
( ) ( )
( С, необходимое условие (3.11) её максимума принимает вид
( С) Поскольку
0
<
dQ
dP
, то
( )
P
Q
dQ
dP
P
Q
MD
<
⋅
+
=
, кривая предельного дохода расположена ниже кривой спроса при Q > 0 . Кривая предельного
Q
P
LMC(Q
)
LAVC(Q
) Рис. 3.15. Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в долгосрочном периоде

98 дохода может пересекать кривую предельных издержек водной или двух точках (см. рис. 3. 16 и 3.17). Нетрудно убедиться, что максимум функции прибыли достигается в точках Q
*
. Для найденного оптимального значения объема выпуска Q
* находится на кривой спроса соответствующая точка (Q
*
, P
*
) и определяется значение цены P
*
=D
-1
(Q
*
),
( С, те. монополист устанавливает цену, превышающую предельные затраты (см. рис. 3.16).
3.158.
Фирма, находится в условиях совершенной конкуренции. Функция затрат фирмы имеет вид
( С. Определить 1) функцию предложения фирмы 2) объём производства, если цена продукции на рынке равна
P
дед, и фирма стремится максимизировать прибыль. Решить задачу при условии, что
1)
( )
2 1
,
0 15 10
Q
Q
Q
C
⋅
+
+
=
,
P
=25;
2)
( )
3 2
Q
Q
Q
C
+
⋅
=
,
P
=14.
3.159.
Технология производства фирмы, работающей в условиях совершенной конкуренции, представлена производственной функцией
3 3
L
Q
⋅
=
. Ставка заработной платы равна 1 дед, постоянные издержки составляют 12 дед. Определить 1) функцию предложения фирмы
2) объём производства, если цена продукции на рынке равна 64 дед, и фирма стремится максимизировать прибыль.
3.160.
Средние издержки конкурентной фирмы описываются формулой
40 2
+
⋅
=
Q
AC
. Как изменится объём выпуска фирмы, максимизирующей прибыль, если цена на продукцию сруб. за штуку упадёт до 100 руб. за штуку
Q
*
Q
P Кривая спроса
0
MR(Q)
MC(Q)
(Q
*
,P
*
) Кривая спроса
0
Q
P
Q
*
MR(Q)
MC(Q)
(Q
*
, P
*
)
P
*
3.16. Ценообразование на монополизированном рынке

99
3.161.
Спрос на продукцию конкурентной отрасли
P
Q
D
−
=
55
, а предложение
5 2
−
⋅
=
P
Q
S
. На рынке отрасли установилось рыночное равновесие. Определить, при каком объёме производства фирма отрасли максимизирует прибыль, если кривая ее предельных издержек
5 3
+
⋅
=
Q
MC
3.162.
В конкурентной отрасли действуют 200 одинаковых фирм. Общие затраты каждой из них в коротком периоде выражаются функцией
( )
2 2
16
Q
Q
Q
C
+
+
=
. Известна функция рыночного спроса
( )
P
P
D
2400
=
1) Найти функцию предложения каждой из фирм и функцию рыночного предложения.
2) Определить равновесную цену .
3) Определить объём выпуска каждой из фирм и получаемую ею прибыль, если каждая из фирм стремится масимизировать свою прибыль.
3.163.
Общие затраты конкурентной фирмы в краткосрочном периоде описываются функцией
( С,
*
0
Q
Q
≤
≤
, где a>0, параметры, величина
*
Q
характеризует производственные возможности фирмы. Построить функцию предложения фирмы. Определить, при каких значениях цены фирма прибыльна, а при каких убыточна.
3.164.
Рыночная функция спроса на картофель имеет вид
P
D
3 27
−
=
. Картофель на рынке продают три фермера, имеющих следующие функции общих затрат С С 2
=
; С 3
=
. Из-за ограниченности земельных участков каждый фермер не может предложить больше 6 у. ед. картофеля.
1) По какой цене будет продаваться картофель, если каждый фермер самостоятельно будет стремиться к максимуму прибыли
2) По какой цене будет продаваться картофель, если образуется картель
3) Как должна распределяться прибыль между участниками картеля, чтобы им было выгодно придерживаться единой монопольной цены
3.165.
Фирма-монополист имеет функцию предельных затрат
( )
Q
Q
MC
2 10
+
=
. Найти цену, максимизирующую прибыль фирмы, и соответствующий объём выпуска для следующих вариантов спроса
1)
( )
Q
Q
P
D
−
=
50
;
2)
( )
Q
Q
P
D
4 60
−
=
;
3)
( )
Q
Q
P
D
2 70
−
=
;
4)
( )
Q
Q
P
D
6 80
−
=
3.166.
Определить выпуск, максимизирующий прибыль монополиста, цену и размер прибыли, если функция спроса на продукцию монополиста
P
Q
−
=
12
, а функция общих затрат
Q
C
⋅
+
=
6 2

100
3.167.
Спрос на продукцию фирмы-монополиста, максимизирующей прибыль, отображается функцией
3 13
P
D
−
=
. Фирма установила цену
20
=
P
. Каковы предельные затраты фирмы
3.168.
Заданы функция совокупного спроса на монополизированном рынке )
P
D
D
=
, функция общих затрат монополии
( )
Q
C
C
=
и функция, характеризующая капиталоёмкость производства
( )
Q
K
K
=
. Определить, по какой цене будет продаваться продукция при стремлении монополии к максимуму а) прибыли
( )
Q
Π
; б) выручки
( )
Q
R
; в) нормы прибыли
( )
Q
K
Π
. Решить задачу при условии, что
1)
( )
P
P
D
−
=
301
,
( )
2 120
Q
Q
Q
C
+
+
=
,
( )
Q
Q
K
500
=
;
2)
( )
P
P
D
−
=
200
,
( )
2 50
Q
Q
Q
C
+
+
=
,
( )
Q
Q
K
2
=