Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 17 из 29

4.73.
∫
⋅
+
⋅
x
tgx
dx
2
cos
2 3
4.74.
dx
x
x
∫
−
2
sin
3 2
2
cos
4.75.
dx
e
e
x
x
∫
+
1
4.76.
dx
e
e
x
x
∫
−
3 1
2 2
4.77.
dx
x
e
x
∫
−
−
1 2
1 2
4.78.
dx
x
e
x
∫
4.79.
dx
x
e
arctgx
∫
+
2 1
4.80.
dx
x
e
ctgx
∫
⋅
−
2
sin
4.81.
dx
x
x
∫
+
1 2
4.82.
dx
x
tgx
∫
2
cos
2
4.83.
dx
x
x
⋅
∫
ln
4.84.
1 2
+
∫
ln x
x
dx
4.85.
(
)
∫
+
⋅
2
ln x
x
dx
4.86.
∫
x
x
dx
2
ln
4.87.
dx
x
arctgx
∫
+
2 1
4.88.
∫
−
⋅
2 5
1
arccos
x
x
dx
4.89.
∫
−
⋅
+
2 3
1 2
arcsin
x
dx
x
4.90.
(
)
dx
x
arcctgx
∫
+
−
2 100 1
7
4.91.
(
)
∫
+
x
x
dx
9
4.92.
∫
⋅
⋅
x
x
x
dx
ln ln ln
4.93.
dx
x
x
x
∫
+
+
+
3 3
2 1
3 1
4.94.
dx
x
x
x
∫
+
+
4 3
1
4.95.
dx
x
x
arctg
x
∫
+
+
2 2
1 2
4.96.
dx
x
x
x
⋅
−
+
∫
2 1
arcsin
4.97.
(
)
x
dx
x
x
arctg
+
⋅
∫
1
4.98.
dx
e
e
x
x
∫
−
16 2
4.99.
dx
x
x
∫
+
4 2
cos
4
sin
4
4.100.
dx
x
x
x
∫
−
+
⋅
−
1 1
ln
1 1
2

114
4.2. Метод подстановки или замены переменной Пусть функция
( )
x
f
интегрируема на промежутке
X
, а функция
( )
t
x
ϕ
=
определена и дифференцируема на промежутке
T
и множество её значений совпадает с
X
, тогда верно равенство
( )
( )
=
⋅
=
∫
t
x
dx
x
f
ϕ
|
( )
( ) ( )
dt
t
t
f
ϕ
ϕ
′
⋅
∫
(4.1) Равенство (4.1) называют формулой замены переменной в неопреде-
лённом интеграле. После вычисления неопределённого интеграла при помощи замены переменной необходимо вернуться к исходной переменной. Формулу (4.1) часто используют "в обратном направлении )
( ) ( )
=
′
⋅
∫
dt
t
t
f
ϕ
ϕ
( )
dx
x
f
∫
, где
( )
t
x
ϕ
=
, или, в других обозначениях,
( )
(
) ( )
=
′
⋅
∫
dx
x
g
x
g
f
( )
dt
t
f
∫
, где
( )
x
g
t
=
Пример 4.3. Найти Решение. Обозначим
5
−
=
x
t
, отсюда
2 5
t
x
=
−
,
5 2
+
=
t
x
, Осуществляя замену переменных, получим
5 2
|
5
+
=
∫
−
t
x
dx
x
x
=
(
)
=
⋅
⋅
+
∫
tdt
t
t
2 5
2
(
)
=
+
∫
dt
t
t
2 4
5 2
C
t
t
+
+
3 10 5
2 3
5
=
=
(
)
(
)
=
+
−
+
−
C
x
x
3 5
10 5
5 2
2 3
2 5
(
) (
)
C
x
x
+
+
−
10 3
15 5
2 3
4.101. Применяя указанные подстановки, найтиинтегралы:
1)
(
)
∫
−
⋅
12 3
1
x
dx
x
,
1
−
=
x
t
;
2)
(
)
dx
x
x
10 2
3 5
1
∫
−
,
2 5
1
x
t
−
=
;
3)
∫
+
x
e
dx
3
,
x
e
t
+
=
3
;
4)
∫
−
−
⋅
1 2
2
x
x
x
dx
,
x
t
1
=
4.102. Применяя подходящие подстановки, найтиинтегралы:
1)
(
)
dx
x
x
19 1
5
∫
−
;
2)
dx
x
x
⋅
+
+
∫
1 2
;
3)
(
)
∫
−
⋅
7 3
x
dx
x
;
4)
∫
−
⋅
x
dx
x
2 2
,
5)
dx
x
x
2 3
1
−
⋅
∫
;
6)
(
)
∫
+
⋅
3 2
5 2
x
dx
x
;
7)
∫
−
1 2
x
x
e
dx
e
;
8)
∫
+
x
x
e
dx
e
2 3

115
4.3. Метод интегрирования по частям Пусть функции )
x
u
и
( )
x
v
определены и дифференцируемы, а функция интегрируема на промежутке
X
. Тогда на этом промежутке интегрируема функция
( ) ( )
x
v
x
u
′
⋅
, причём справедлива формула
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dx
x
u
x
v
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
∫
∫
′
⋅
−
⋅
=
′
⋅
(4.2) Формулу (4.2) называют формулой интегрирования по частям в неоп-
ределённом интеграле. Е можно переписать в виде
du
v
v
u
dv
u
⋅
−
⋅
=
⋅
∫
∫
(4.3) В формулах (4.2) и (4.3) функция
( любая из первообразных для Метод интегрирования по частям применяется, в частности, в следующих случаях.
1) Для вычисления интегралов вида
( )
dx
e
x
P
b
ax
n
∫
+
⋅
,
( )
(
)
dx
b
ax
x
P
n
∫
+
⋅
cos
,
( ) (
)
dx
b
ax
x
P
n
∫
+
⋅
sin
, здесь
N
n
∈
, действительные числа,
( )
P многочлен степени относительно переменной
x
. В качестве функции
( )
x
u
следует взять полином. Если
1
>
n
, то интеграл
du
v
⋅
∫
будет принадлежать к тому же типу, что и исходный, нов нём степень многочлена будет на единицу меньше. Выбирая этот многочлен в качестве
( )
x
u
, применим формулу интегрирования по частям вновь и т. д. до тех пор, пока не получим табличный интеграл. Входе вычисления перечисленных интегралов формула интегрирования по частям применяется число раз, равное степени многочлена.
2) Если подынтегральное выражение содержит логарифмическую или одну из обратных тригонометрических функций (за исключением табличных интегралов и интегралов, которые легко находятся при помощи замены переменных, в качестве
( )
x
u
следует выбрать указанные функции.
3) Для вычисления интегралов вида
dx
bx
e
ax
∫
⋅
sin
,
dx
bx
e
ax
∫
⋅
cos
,
( )
dx
x
ln sin
∫
,
( )
dx
x
ln cos
∫
, здесь
a действительные числа. Выбор
u
ив первых двух интегралах произволен, в двух последних - очевиден. При вычислении каждого из перечисленных интегралов метод интегрирования по частям применяется дважды, в результате получается выражение, содержащее исходный интеграл. Следует приравнять интеграл найденному выражению и из составленного уравнения найти интеграл (см. пр. 4.3.4)). Пример 4.3. Найти интегралы 1)
dx
x
x
∫
⋅
cos
;

116 2)
dx
arctgx
⋅
∫
;
3)
(
)
dx
e
x
x
∫
⋅
+
2 2
1
; 4)
(
)
dx
x
e
x
∫
+
⋅
1 Решение. 1) Положим
x
u
=
,
xdx
dv
cos
=
, тогда
dx
du
=
,
x
v
sin
=
. По формуле интегрирования по частям получим
∫
∫
+
+
=
−
⋅
=
⋅
C
x
x
x
xdx
x
x
dx
x
x
cos sin sin sin cos
2) Положим
arctgx
u
=
,
dx
dv
=
, тогда
2 1
x
dx
du
+
=
,
x
v
=
. По формуле интегрирования по частям получим
=
+
−
⋅
=
∫
∫
dx
x
x
arctgx
x
dx
arctgx
2 1
(
)
=
+
+
−
⋅
∫
2 2
1 1
2 1
x
x
d
arctgx
x
(
)
C
x
arctgx
x
+
+
−
⋅
2 1
ln
2 1
3) Положим
1 2
+
=
x
u
,
dx
e
dv
x
2
=
, тогда
xdx
du
2
=
,
x
e
v
2 2
1
=
. Применим формулу интегрирования по частям
(
)
dx
e
x
x
∫
+
2 2
1
=
(
)
dx
xe
e
x
x
x
∫
−
+
2 2
2 1
2 К последнему интегралу вновь применим формулу (4.3), полагая
x
u
=
,
dx
e
dv
x
2
=
. Тогда
dx
du
=
,
x
e
v
2 2
1
=
, следовательно,
dx
xe
x
∫
2
=
dx
e
xe
x
x
∫
−
2 2
2 1
2 1
=
(
)
x
x
x
e
x
e
xe
2 2
2 1
2 4
1 4
1 В итоге
(
)
x
e dx
x
2 2
1
+
∫
=
(
)
1 2
1 2
2
x
e
x
+
−
(
)
(
)
1 4
2 1
1 4
2 2
3 2
2 2
x
e
C
x
x
e
C
x
x
−
+ =
−
+
+
4) Положим
x
e
u
3
=
,
(
)
dx
x
dv
1 2
cos
+
=
, тогда
dx
e
du
x
3 3
=
,
(
)
1 2
sin
2 1
+
=
x
v
. Применим формулу интегрирования по частям
(
)
dx
x
e
x
∫
+
⋅
1 2
cos
3
=
(
)
(
)
∫
+
⋅
−
+
⋅
dx
x
e
x
e
x
x
1 2
sin
2 3
1 2
sin
2 1
3 Для нахождения последнего интеграла положим
x
e
u
3
=
,
(
)
dx
x
dv
1 2
sin
+
=
, тогда
dx
e
du
x
3 3
=
,
(
)
1 2
cos
2 1
+
−
=
x
v
и, значит,
(
)
dx
x
e
x
∫
+
⋅
1 2
cos
3
=
=
(
)
(
)
(
)
1 3
3 3
1 2
cos
2 3
1 2
cos
2 1
2 3
1 2
sin
2 Разрешим последнее равенство относительно искомого интеграла, получим или
(
)
dx
x
e
x
∫
+
⋅
1 2
cos
3
=
(
)
(
)
(
)
13 1
2
cos
3 1
2
sin
2 Пример 4.4.* Показать, что для интеграла
(
)
,
2 постоянная,
,
0
≠
a
1) верна рекуррентная формула
(
)
(
)
(
)








⋅
−
+
+
−
=
−
−
1 1
2 2
2 3
2 1
2 1
n
n
n
J
n
a
x
x
n
a
J
;
(4.4)
2)
N
n
∈
∀
интеграл
n
J
вычисляется в элементарных функциях. Решение. Преобразуем интеграл
n
J
следующим образом
(
)
(
)
=
+
−
+
=
+
=
∫
∫
dx
a
x
x
x
a
a
a
x
dx
J
n
n
n
2 2
2 2
2 2
2 2
1
(
)
(
)
=
+
−
+
∫
∫
−
dx
a
x
x
a
a
x
dx
a
n
n
2 2
2 2
1 2
2 2
1 1
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
n
n
x К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая
x
u
=
,
(
)
(
)
(
)
n
n
a
x
a
x
d
a
x
xdx
dv
2 2
2 2
2 2
2 Тогда
dx
du
=
,
(
)
(
)
1 2
2 1
1 2
1
−
+
−
=
n
a
x
n
v
и, следовательно,
(
)
(
)
(
)
(
)








+
−
−
+
⋅
−
−
=
∫
−
−
−
1 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 2
1 Отсюда получаем
(
)
(
)
(
)








⋅
−
+
+
−
=
−
−
1 1
2 2
2 3
2 1
2 1
n
n
n
J
n
a
x
x
n
a
J
, что и требовалось показать.
2) При
1
=
n
имеем

118
=
+












=
+
=
∫
∫
1 1
2 2
2 те.
=
1
J
C
a
x
arctg
a
+
1
(4.5) Зная
1
J
, можно последовательно при помощи рекуррентной формулы
(4.4 ) вычислить
2
J
,
J
3
и т.д. То, используя формулы (4.4), (4.5), можно вычислить интеграл
J
n
N
n
∈
∀
в элементарных функциях.
4.103.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы
1)
∫
⋅
xdx
x sin
;
2)
(
)
∫
⋅
+
xdx
x
cos
1 2
;
3)
(
)
∫
⋅
+
dx
e
x
x
3
;
4)
∫
⋅
dx
x
x
3
;
5)
∫
xdx
ln
;
6)
∫
xdx
5
log
;
7)
∫
xdx
arcsin
;
8)
∫
⋅
arcctgxdx
x
,
9)
∫
⋅
xdx
x
cos
2
;
10)
∫
⋅
xdx
x
sin
2
;
11)
(
)
∫
⋅
+
dx
x
x
x
2 2
;
12)
∫
⋅
dx
e
x
x
2
;
13)
(
)
∫
⋅
+
xdx
x
2
sin
1
;
14)
∫
⋅
xdx
x
6
cos
;
15)
(
) (
)
∫
−
+
dx
x
x
7 5
cos
1
;
16)
(
)
(
)
∫
+
⋅
−
dx
x
x
1 5
sin
3 2
; 17)
∫
−
⋅
dx
e
x
x
;
18)
∫
⋅
dx
e
x
x
7
;
19)
(
)
∫
⋅
−
dx
e
x
x
3 3
4
;
20)
(
)
∫
⋅
+
dx
e
x
x
2 3
5
;
21)
∫
⋅
xdx
x ln
;
22)
(
)
∫
+
−
xdx
x
x
ln
1 2
;
23)
(
)
∫
+
dx
x
1 4
ln
2 24)
(
)
∫
⋅
+
dx
x
4
ln
2 25)
∫
xdx
2
ln
;
26)
∫
dx
x
x
2 2
ln
;
27)
∫
dx
x
x
3
ln
;
28)
∫
dx
x
x
3 2
2
ln
;
29)
(
)
∫
+
+
dx
x
x
2 1
ln
;
30)
(
)
∫
+
+
−
dx
x
x
1 1
ln
31)
∫
−
dx
x
arctg
1 4
;
32)
∫
−
dx
x
arctg
1 5
;
33)
∫
dx
x
x
arcsin
;
34)
∫
dx
x
x
arctg
;
35)
∫
+
dx
x
x
1
arcsin
;
36)
∫
−
dx
x
x
1
arccos
;
37)
∫
dx
x
x
x
3
cos sin
;
38)
∫
⋅
xdx
x
2
sin
;
39)
∫
dx
x
x
2
sin
;
40)
∫
dx
x
x
2
cos
;
41)
∫
−
⋅
dx
e
x
x
2 3
;
42)
∫
dx
e
x
;
43)
∫
−
dx
x
x
x
2 1
arccos
;
44)
∫
xdx
2
arcsin
;
45)
( )
∫
dx
x
ln cos
;

119 46)
(
)
∫
dx
x
2
ln sin
;
47)
∫
⋅
xdx
e
x
sin
;
48)
∫
⋅
xdx
e
x
cos
;
49)
∫
⋅
xdx
e
x
3
cos
2
;
50)
∫






−
⋅
dx
x
e
x
4 2
sin
3
π
;
51) 16)
∫
⋅
bxdx
e
ax
sin
) параметры
52)*
∫
−
dx
x
a
2 2
(параметр 53)*
∫
dx
x
x
2
sin sin ln