Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 13 из 29

3.129.
Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций
1)
2 2
x
x
y
−
+
=
;
2)
9 12 4
3
+
+
=
x
x
y
;
3)
3 3
x
x
y
−
=
;
4)
y
x
x
=
+
+
4 3
8 5
;
5) y
x
=
−
1 5
2
(
)
;
6)
2 1
2
x
x
y
+
=
;
7)
y
x x
=
−
(
)
3
;
8)
x
x
y
+
=
100
;
9)
x
x
y
ln
2
−
=
;
10)
arctgx
x
y
−
=
ln
;
11)
x
y
π
cos
=
;
12)
2 2
ln x
x
y
−
=
;
13)
x
x
y
cos sin
+
=
на отрезке
[
]
π
2
,
0
;
14)
x
e
y
x
cos
⋅
=
3.130.
Определить при каких значениях коэффициента a функция возрастает на всей числовой прямой при каких значениях коэффициентов
b
и c функция
c
bx
x
y
+
−
=
sin убывает на всей числовой прямой.
3.131.
Доказать следующие неравенства
-1 0 1 Рис. 3.2
( )
( )
x
f
x
f
′

86 1)
x
e
x
+
>
1
при
0
≠
x
;
2)
(
)
x
x
x
x
<
+
<
−
1
ln
2 2
при
0
>
x
;
3)
x
x
x
x
<
<
−
sin
6 3
при
0
>
x
;
4)
3 3
x
x
tgx
+
>
при
2 0
π
<
<
x
;
5)
2 1
2 2
x
e
e
x
x
+
>
+
−
при Дать геометрическую иллюстрацию неравенств.
3.132.
Доказать следующее утверждение для функции экономического анализа
( )
x
f
( )
(
)
0
,
0
>
>
x
f
x
. Если приданном значении
x между средней
( )
x
Af
и предельной
( )
x
Mf
величинами выполняется неравенство
( )
>
x
Mf
( )
x
Af
( )
<
x
Mf
(
( )
)
x
Af
, то
−
x точка возрастания (убывания) средней величины
( )
x
Af
3.133.
Доказать следующее обобщение достаточного условия экстремума.
Пусть функция
( )
x
f
имеет в некоторой окрестности критической точки
0
x производные до го порядка включительно и производную го порядка в самой точке
0
x , причём
( )
( )
0 0
=
x
f
k
(
)
1
,
,
1
−
=
n
k
,
( )
( )
0 Тогда 1) если
−
n
число чётное, тов точке
0
x функция
( )
x
f
имеет экстремума именно максимум, при
( )
( )
0 0
<
x
f
n
и минимум при
( )
( )
0 0
>
x
f
n
;
2) если
−
n
число нечётное, тов точке
0
x функция
( )
x
f
экстремума не имеет.
3.134.
Найти экстремумы следующих функций
1)
7 5
2
+
+
=
x
x
y
;
2)
3 4
3
x
x
y
−
=
;
3)
y
x
x
x
=
−
−
+
3 2
3 24 7
;
4)
y
x
x
x
=
+
+
−
10 15 6
2 3
;
5)
2 12 4
3 2
3 4
+
−
−
=
x
x
x
y
;
6)
2 2
3 3
2 4
1 2
3 4
+
−
−
=
x
x
x
y
;
7)
3 4
4
x
x
y
+
=
;
8)
3 4
5 5
1
x
x
x
y
+
−
=
;
9)
(
)
3 1
−
=
x
x
y
;
10)
(
)
2 2
2
−
=
x
x
y
;
11)
(
) (
)
2 2
1 1
−
+
=
x
x
y
;
12)
(
)
2 3
2
+
=
x
x
y
;
13) y
x
x
= +
2 2
;
14)
x
x
y
1 2
2
+
=
;
15)
3 13 6
2
−
+
−
=
x
x
x
y
;
16)
4 2
1 2
x
x
y
−
=
;
17)
3 2
2
+
−
−
=
x
x
x
x
y
;
18)
2 3
1
x
x
y
+
=
;
19)
1 5
2 3
2 3
5
+
−
=
x
x
y
; 20)
5 2
x
x
y
+
=
;

87 21)
2 1 x
x
y
−
=
;
22)
3 2
2 3
x
y
−
=
;
23)
3 2
2 1
x
x
y
−
−
=
;
24)
x
x
y
ln
=
;
25)
x
x
y
ln
2
−
=
;
26)
1
ln
2
−
=
x
y
27)
x
x
y
2
ln
=
28)
x
x
y
sin
2
−
=
29)
(
)
x
y
cos
2
ln
+
=
30)
x
x
y
2
cos
+
=
на интервале
( )
π
;
0
;
31)
tgx
x
y
−
=
4
на интервале





−
2
;
2
π
π
;
32)
x
e
y
x
=
;
33)
x
e
x
y
−
⋅
=
2
;
34)
x
arctg
x
y
2
−
=
3.135.
Найти экстремумы функций, заданных параметрически
1)




+
−
−
=
+
−
−
=
,
3 18 3
4
,
7 20 5
2 3
3 5
t
t
t
y
t
t
t
x
2 2
<
<
−
t
;
2)




=
=
,
ln
,
ln
t
t
y
t
t
x
e
t
1
>
3.136.
Пусть
( )



=
≠
=
−
,
0
,
0
,
0
,
2 1
x
x
e
x
f
x
( )




=
≠
⋅
=
−
0
,
0
,
0
,
2 Доказать, что функция
( )
x
f
имеет в точке
0 0
=
x
минимума функция
( )
x
g
не имеет в точке
0 0
=
x
экстремума, хотя
( )
=
′
0
x
f
( )
0 0
=
′
x
g
3.137.
Найти наибольшие и наименьшие значения функций на указанных отрезках
1)
2 4
6 3
x
x
y
+
−
=
,
[
]
2
,
2
−
∈
x
;
2)
x
x
y
ln
2
=
,
[ ]
e
x
,
1
∈
;
3)
x
x
y
2
+
=
,
[ ]
4
,
0
∈
x
;
4)
x
x
y
2
sin sin
2
+
=
,




∈
2 3
,
0
π
x
;
5)
3 3
1 1
−
−
+
=
x
x
y
,
[
]
1
,
2
−
∈
x
;
6)
1 1
+
−
=
x
x
y
,
[ ]
4
,
0
∈
x
;
7)
x
x
y
ln
−
=
,




∈
e
e
x
,
1
;
8)
2 3
2
+
−
=
x
x
y
,
[
]
10
,
10
−
∈
x
3.138.
Повседневная практика свидетельствует, что при неизменных прочих условиях с увеличением цены товара P объём спроса на него уменьшается, а объём предложения увеличивается. Оценить в связи с этим возможность использования функций
( )
Q
f P
=
в качестве а) функций спроса б) функций предложения от цены
1)
1 5
+
=
P
Q
;
2)
3 3
3
P
P
Q
+
=
;
3)
1 3
2
−
=
P
Q
;
4)
2 10
P
e
Q
−
=
3.139.
Кривая рыночного спроса задана уравнением
20 600
+
=
Q
P
, где
−
=
D
Q
Q
объём спроса. Исследовать, как изменится выручка
Q
P
R
⋅
=
в зависимости от спроса.

88
3.140.
Объём выпуска продукции фирмы Q в краткосрочном периоде зависит только от одного переменного фактора - численности персонала фирмы L :
3 2
2
,
0 6
L
L
Q
−
=
. Определить численность персонала, при которой выпуск Q достигает максимального значения.
3.141.
Задана кривая полных издержек
2 1
,
0 2
30
Q
Q
C
⋅
+
⋅
+
=
(здесь
Q - объём производства. Найти значение объёма Q
*
, при котором средние издержки минимальны.
3.142.
Задана функция цены от спроса на некоторый товар
( )
P
P Q
=
. При какой цене P (дед) и каком объёме продаж Q ед) выручка R
P Q
= ⋅
будет максимальной, и какова она Решить задачу для перечисленных ниже вариантов функции цены от спроса 1) P
Q
=
−
32 2 ;
2) P
Q
=
+
−
36 1
1.
3.143.
Предположим, что известны функция спроса
( )
2 8
80
Q
Q
Q
P
−
+
=
на некоторый товар и совокупные издержки
( )
2 8
5 Сна производство и продажу Q единиц товара. При каких объёме продажи цене P прибыль П будет максимальной, и какова она
3.144.
Известно, что доход от продажи 10 единиц товара равен 600 деда от продажи 30 единиц товара равен 1500 дед. Считая, что функция спроса от цены товара линейна, найти, при каком объеме продаж доход будет максимальными по какой цене в этом случае следует продавать товар
3.145.
Исследование рынка показали, что ежедневно будет продаваться
200 единиц товара, если цена его равна 16 дед. и 300 единиц товара, если цена будет 14 дед. за штуку. Постоянные затраты составят 1400 дед. вдень, а переменные – 4 дед. за единицу товара. Считая, что спрос изменяется линейно, найти, при какой цене получим максимальную прибыль, и какова она.
3.146.
Статистическим путем установили, что зависимость прибыли y от расходов на рекламу x (в тыс. дед) выражается функцией
x
x
x
y
3125 100 2
3
+
−
=
. Какие затраты на рекламу дадут максимальную прибыль и какова она, если мы можем позволить себе расходы не более а) 20 тыс. дед, б) 30 тыс. дед Решёткой длиной 120 м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры площадки.
3.148.
Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть

89 размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м, а длина забора была наименьшая
3.149.
Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом 32 м так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
3.150.
Закрытый резервуар для перевозки жидкостей имеет форму цилиндра объёмом V. Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы стоимость материала, использованного для его изготовления, была минимальной
3.151.
Вблизи завода
С
проводится по намеченной прямой ВА к городу A железная дорога. Под каким углом
α
к проектируемой железной дороге нужно провести шоссе с завода С , чтобы доставка грузов из Св А была наиболее дешёвой, если стоимость перевозки 1 тонны-километра по шоссе в т раз дороже, чем по железной дороге.
3.12. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба Функцию
( )
x
f
называют выпуклой (вогнутой на интервале
( )
b
a,
, если
( )
b
a
x
x
,
,
2 1
∈
∀
и
( )
1
,
0
∈
α
(
)
(
)
( ) (
) ( )
2 1
2 1
1 1
x
f
x
f
x
x
f
⋅
−
+
⋅
≤
⋅
−
+
⋅
α
α
α
α
(
)
(
)
( ) (
) ( )
(
)
2 1
2 1
1 Пусть функция
( дифференцируема на интервале
( Функция является выпуклой (вогнутой) на этом интервале тогда и только тогда, когда ее график расположен не ниже не выше) касательной, проведенной к графику функции в любой точке с абсциссой
( )
b
a
x
,
∈
, см. рис. 3.4 (3.5). Пусть функция
( )
x
f
дважды дифференцируема на интервале
( Функция )
x
f
выпукла (вогнута) на этом интервале тогда и только тогда, когда )
0
≥
′′
x
f
( )
(
)
0
≤
′′
x
f
( )
b
a
x
,
∈
∀
y
0 a b x
Рис.3.4
Выпуклая функция Рис. Вогнутая функция
y
0 a b
x Рис. 3.3
B A С
α

90 Пусть
( )
x
f
непрерывна в точке
0
x . Точку
0
x называют точкой перегиба функции
( )
x
f
, если она разделяет два интервала, на одном из которых функция выпукла, на другом
−
вогнута. (При этом точку
( )
0 0
,
(
x
f
x
) называют точкой перегиба кривой
( )
x
f
y
=
).
•
Если
−
0
x
точка перегиба функции
( )
x
f
, тогда или
( )
0 0
=
′′
x
f
, или
( )
0
x
f
′′
не существует. Пусть
( )
0 0
=
′′
x
f
или
( )
0
x
f
′′
не существует. Если найдётся такая окрестность
( точки
0
x , что функция
( дважды дифференцируема во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки
0
x , ив точках из
( )
0
x
O
ε
вторая производная принимает слева и справа от
0
x значения различных знаков, то
−
0
x
точка перегиба функции
( Исследование на выпуклость и вогнутость и нахождение точек перегиба дважды дифференцируемой функции (или функции, дважды дифференцируемой на промежутке всюду, кроме конечного числа точек) аналогично исследованию на монотонность и нахождению точек экстремума функции при помощи первой производной. Только в данном случае следует использовать вторую производную функции.
3.152.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций
1)
4 5
3 4
5
+
−
=
x
x
y
;
2)
4 3
2 2
36
x
x
x
x
y
−
−
+
=
;
3)
(
)
5 7
2 3
+
−
=
x
y
;
4)
3 3
1 1
−
−
+
=
x
x
y
;
5)
(
)
(
)
3 5
1 20 1
4
−
+
−
=
x
x
y
;
6)
(
)
3 1
1
+
=
x
y
;
7)
x
x
y
ln
=
;
8)
(
)
4
ln
−
⋅
=
x
x
y
;
9)
1
ln
3
+
=
x
x
y
;
10)
1 2
+
=
x
xe
y
;
11)*
1 2
5
−
−
=
x
y
;
12)*
2 1
x
x
y
−
=
3.153.
Определить
1) при каких значениях параметров a и
b
точка
)
3
;
1
(
является точкой перегиба кривой
2 3
bx
ax
y
+
=
;
2) при каком выборе параметра
h
кривая вероятности
2 2
x
h
e
h
y
−
⋅
=
π
)
0
(
>
y
имеет точки перегиба с абсциссами
6
±
=
x
3.13. О некоторых свойствах функций экономического анализа
1. Функция полезности и её свойства. В неоклассической теории потребления обычно в качестве функций полезности
( )
Q
U
U
=
, где
−
Q объём потребления, выбирают функции, удовлетворяющие при
0
>
Q

91 основным гипотезам 1)
( )
Q
U
(строго) возрастают и 2) являются строго вогнутыми. В прикладных задачах допускается использование функций полезности, удовлетворяющих ослабленным аналогам гипотез неубывающих и вогнутых (необязательно строго.
3.154.
1) Пояснить содержательный смысл основных гипотез и их ослабленных аналогов для функций полезности.
2) Какими свойствами обладает функция предельной полезности, если функция полезности удовлетворяет а) основным гипотезам б) их ослабленным аналогам