Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
5.2. Вычисление определённого интеграла 1. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция ( ) x f непрерывна на отрезке [ ] b a, и ( ) − x F её первообразная, то верна формула Ньютона- Лейбница ( ) ( ) ( ) = − = ∫ a F b F dx x f b a ( Пример. 5.2. Вычислить ( ) ∫ − e x x dx 1 Решение. ( ) = − ∫ e x x dx 1 2 ln 1 ( ) ( ) = − ∫ e x x d 1 2 ln 1 ln ( ) = e x 1 | ln arcsin ( ) − e ln arcsin ( ) = 1 ln arcsin − 2 1 arcsin 6 Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы 1) ( ) dx x x ∫ + − 2 1 2 1 2 3 ; 2) ( ) dx x x ∫ + 1 0 3 2 ; 3) dx x ∫ 3 0 2 ; 4) ∫ − 2 1 1 2x dx ; 5) ∫ + 4 1 2 1 dx x x ; 6) ( ) ∫ + e x x dx 1 ln 1 ; 7) ∫ + 1 0 6 2 1 dx x x ; 8) ∫ − + 4 3 2 2 3 dx x x ; 9) ( ) dx x x e ∫ 1 ln cos ; 139 10) ∫ − + 1 0 2 2 3 x x dx ; 11) dx x 2 sin 2 ∫ − π π ; 12) ∫ + 1 0 2 1 dx e e x x ; 13) ∫ + + 1 0 2 5 4 4 x x dx ; 14) dx x e x ∫ 2 1 3 Найти 1) ( ) , 2 0 dx x f ∫ если ( ) ≤ < − ≤ ≤ = ; 2 1 , 2 , 1 0 , 2 x x x x x f 2) dx x ∫ − 2 Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона- Лейбница приводит к неверным результатам, если а) ∫ − 1 1 x dx ; б ∫ − x arctg dx d 1 1 1 ; в 0 2 2 2 cos x tg x dx 2. Замена переменной в определённом интеграле. Если 1) функция ( ) x f непрерывна на отрезке [ ] b a, ; 2) функция ( ) t ϕ дифференцируема, а её производная ( ) t ϕ′ непрерывна на [ ] β α , , ( ) a = α ϕ , ( ) b = β ϕ , тогда справедлива формула ( ) = ∫ dx x f b a ( ) ( ) ( Пример. Применяя подходящую замену переменной, найти ∫ − − 1 1 4 Решение. Функция ( ) x x x f 4 5 − = определена и непрерывна на отрезке [ ] 1 , 1 − . Положим 0 , 4 5 ≥ = − t t x , отсюда 2 4 5 t x = − , 4 5 2 t x − = , При 1 − = x имеем 3 = t ; при 1 = x имеем 1 = t . Функция ( ) 4 5 2 t t + = ϕ удовлетворяет на отрезке с концами 3; 1 условиям замены переменной (заметьте, мы получили 1 3 = > = β α , что не изменяет предусмотренный в формуле порядок замены пределов интегрирования, вычислим ( ) ( ) 6 1 3 1 5 9 15 8 1 | 3 5 8 1 5 8 1 2 4 5 4 5 3 1 3 3 1 2 1 3 2 1 1 = + − − = − = ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − − = − ∫ ∫ ∫ − t t dt t t tdt t x xdx 140 5.14. Применяя подходящую замену переменной, вычислить 1) ∫ + 4 0 1 x dx ; 2) dx x x ∫ − ⋅ 9 1 3 1 ; 3) ∫ − 2 ln 0 1dx e x ; 4) ∫ + 2 0 cos 2 3 π x dx ; 5) ∫ − + 6 1 2 3 1 x dx ; 6) ∫ + 1 0 1 x e dx ; 7) ( ) ∫ − + + + 0 2 3 3 3 x x dx ; 8) ∫ − 2 0 2 4 dx x ; 9) dx x x ∫ + 1 0 2 2 ; 10) ∫ − + 1 0 x x e e dx 5.15. Объяснить, почему формальная замена x через ( ) t ϕ приводит к неверным результатам, если а) ∫ − 1 1 dx , 3 2 x t = ; б) ∫ − + 1 1 2 1 x dx , t x 1 = ; в) ∫ + π 0 2 sin 1 x dx , tgx t = 5.16. Можно ли в интеграле ∫ − 3 0 3 2 1 dx x x положить t x sin = ? 3. Интегрирование по частям. Если функции ( ) x u и ( ) x v имеют непрерывные производные на отрезке [ ] b a, , то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( или, в более короткой записи, du v uv dv u b a b a b a ∫ ∫ − = | Пример 5.4. Вычислить ∫ − 1 0 dx xe x Решение. Положим dx e dv x u x − = = , , тогда x e v dx du − − = = , . Функции x e v x u − − = = , непрерывны и имеют непрерывные частные производные на отрезке, применим формулу интегрирования по частям, получим + ⋅ − = − − ∫ 1 0 1 0 | x x e x dx xe = ∫ − 1 0 dx e x 1 2 | 1 0 1 + − = − − − − e e e x 141 5.17. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегралы 0 2 2 cos π xdx x ; 9) ∫ 2 0 2 cos π xdx e x ; 10) ∫ 4 0 2 sin π dx x ; Найти среднее значение функции на указанном отрезке а) ( б) ( ) ; 1 0 , 4 в) ( ) ; 4 г) ( ) ; 1 д) ( ) 2 Определить дневную выработку Q рабочего за семичасовой рабочий день, если производительность труда u (у. ед./ч) в течение дня описывается функцией ( ) 6 , 0 2 , 0 025 , 0 2 0 + + − ⋅ = t t u u , где t − время в часах от начала смены производительность вначале смены. Функция 2 у. ед./ч) определяет интенсивность поступления продукции на склад в любой момент времени t, отсчитываемый в часах от начала поступления продукции на склад. Определить количество продукции, поступившей на склад за первые три часа приёма. 5.21. Зависимость нагрузки на трансформаторную подстанцию (в киловаттах) от времени суток (в часах от начала суток) выражается формулой + ⋅ + = 3 2 12 cos t b a y π , здесь a, b − параметры. Определить 1) расход электроэнергии потребителями за сутки (за время от 0 до 24 часов 2) провести расчёт при следующих числовых значениях параметров a = 25 тыс. квт., b = 15 тыс. квт. Мощность y потребляемой городом электроэнергии выражается формулой ( ) ≤ ≤ − ⋅ + < ≤ = , 24 6 , 6 18 sin ; 6 где t (ч) − текущее время суток, a, b − постоянные. Найти суточное потребление электроэнергии 1) при любых значениях a и b; 2) при a =15000 квт , b = 12000 квт. Определить суммарные издержки производства за прошедший период, если объём производства изменялся в пределах 27 3 ≤ ≤ q , предельные издержки определялись равенством ( Найти средний прирост издержек, если объём продукции q изменяется от 1 q до 2 q единица предельные издержки зависят от объёма произ- ведённой продукции ( ) q f MC = . Указать объём продукции из отрезка [ ] 2 1 ; q q , при котором издержки принимают среднее значение. Решить задачу для случаев, когда 1) 1 4 3 2 + + = q q MC , [ ] 2 1 ; q q [ ] 3 ; 0 = ; 2) 4 6 2 + = q MC , [ ] 2 1 ; q q [ По заданным чистым инвестициям ( ) 3 6000 t t I = (тыс. руб./год): 1) вычислить приращение капитала за восемь лет, начиная с 0 1 = t ; 2) определить, за сколько лет приращение капитала составит 63 000 (тыс. руб. Напомним, чистыми называют инвестиции, идущие на прирост капитала. 5.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Восстановление функции по её производной Если ( ) − x f непрерывная на отрезке [ ] b a, функция, то [ ] b a x , ∈ ∀ существует производная ( ) ( ) x f dt t f x a = ′ ∫ . Если ( ) ( ) ( ) x f x F = ′ и известно значение функции ( ) a F , тогда [ ] b a x , ∈ ∀ верна формула ( ) ( ) ( Найти а) ∫ b a dx x dx d 2 sin ; б) ∫ b a dx x da d 2 sin ; в) Найти производные следующих функций 143 1) ∫ = x dt t t y 2 sin 2 ; 2) ∫ = x x dt t y 2 2 sin 2 ; 3) ∫ = x x dt t y 1 2 cos ; 4) ∫ + = 0 4 1 x dt t y ; 5) zdz z x t ln 2 1 3 ∫ = ; 6) ∫ = 3 Найти пределы 1) x tdt x x ∫ → 0 2 0 cos lim ; 2) 3 0 0 2 sin lim x dx x x x ∫ → ; 3) 2 0 2 0 2 Найти точки экстремума функций 1) dt e t t y x t ∫ + + − = 0 2 2 4 5 ; 2) ( ) dt t e y x t ∫ − = − 1 2 2 1 2 ; 3)* dt t t y x ∫ = 0 sin в области Известна функция ( ) Q f MC = , описывающая зависимость предельных издержек фирмы MC от объёма выпущенной продукции Q. Определить функцию полных (или суммарных) издержек фирмы при условии, что постоянные издержки фирмы равны С дед. Решить задачу 1) в общем виде 2) при 5 3 2 + + = Q Q MC , 90 0 = C ; 3) , 3 1 6 Q MC + = 2 С определить суммарные издержки производства за прошедший период, если 27 0 ≤ ≤ Q ; 4) 3 2 2 3 8 22 Q Q Q MC ⋅ + ⋅ + ⋅ − = , 55 С рассчитать общие затраты при выпуске 3 первых единиц продукции. Кривая предельных издержек задаётся уравнением ( ) 2 5 1 1 q MC + = , 0 ≥ q . Определить а) кривую полных издержек, если известно, что ( ) 2 тыс. руб б) прирост суммарных и средний прирост суммарных издержек, если известно, что 7 Определить зависимость суммарного дохода ( ) Q R R = предприятия от объёма реализованной продукции Q , если известен предельный доход. Решить задачу 144 1) в общем виде 2) при 6 9 − = Q MR ; 3) при 3 5 1 Определить зависимость потребления C от национального дохода Y , если предельная склонность к потреблению задаётся формулой Y MC 10 1 5 , 0 + = . Кроме того известно, что потребление составляет 85 (у. ед, когда национальный доход равен 100 (у. ед. По заданным чистым инвестициям ( ) 1 3 70 + ⋅ = t t I спрогнозировать динамику основного капитала во времени, если в начальный момент времени 0 = t основной капитал составлял 1000 дед. Некоторые геометрические приложения определённого интеграла 1. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление площади любой плоской фигуры следует свести к вычислению суммы или разности площадей криволинейных трапеций и далее воспользоваться геометрическим смыслом определённого интеграла. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями 1) 0 = x , 2 = x , x y 2 = , 2 2 x x y − = ; 2) 2 4 x y − = , 0 = y ; 3) x y ln = , e x = , 1 = x ; 4) 2 x y = , 2 2 x y − = ; 5) 2 x y = , 0 2 = − + y x ; 6) 2 2 y x − = , 2 3 1 y x − = ; 7) x y 4 2 = , 2 4 x y = ; 8) 2 4x y = , 9 2 x y = , 4 = y ; 9) x x y 2 2 sin cos − = , 0 = y , 0 = x , 4 π = x ; 10) x y sin = , x x y ⋅ − = π 2 ; 11) 6 = xy , x y − = 7 ; 12) 1 + = x y , 0 = y , 2 − = x , Найти площадь фигуры, заключённой между параболой 2 2 2 + − = x x y , касательной к ней в точке ( ) 5 ; 3 и осью ординат. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой 3 4 2 − + − = x x y и касательными к ней в точках ( ) 3 ; 0 − и ) 0 ; 3 145 2. Решение некоторых экономических задач. • Кривая Лоренца устанавливает зависимость процента доходов от процента имеющих их населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в биссектрису ОА (см. рис. 5.2), в противном случае кривая Лоренца представляет из себя некоторую кривую ОВА. Коэффициентом Джини или коэффициентом концентрации называется показатель, который равен отношению площади замкнутой фигуры ОАВ к площади треугольника ОАС, 1 0 ≤ ≤ G . Коэффициент Джини характеризует степень неравенства в распределении доходов населения чем больше коэффициент, тем менее равномерно распределены доходы. Излишек (избыток, выигрыш, рента) потребителя - это разница между максимальной суммой, которую потребитель готов уплатить заданное количество товара и его фактическими затратами на приобретение, иначе - выигрыш потребителя при покупке, обусловленный превышением полезности приобретаемых единиц товара над его ценой (напомним, что кривая спроса совпадает с кривой предельной полезности товара. Рассмотрим кривую индивидуального спроса некоторого товара, заданную уравнением ( ) Q f P = и изображённую на рис. 5.3 . Если покупатель приобрёл товар по цене 0 P в количестве 0 Q то излишек потребителя составил величину, численно равную площади заштрихованной на рисунке фигуры. В описанной ситуации потребитель действовал рационально приобрёл товар в таком количестве, что предельная полезность последней купленной единицы, выраженная в денежной форме, равна цене товара. Излишек (рента, выигрыш) производителя (предпринимателя, продавца) - это разница между суммой, за которую производитель реализовал товар и минимальной суммой, за которую он был готов продать этот товар. Рассмотрим кривую индивидуального предложения некоторого товара, заданную уравнением ( ) Q g P = и изображённую на рис. 5.4. Если производитель реализует товар по цене 0 P в количестве 0 Q , то излишек продавца составит величину, численно равную площади заштрихованной на рисунке фигуры. Аналогично определяются суммарные излишки потребителей и производителей для них используются функции совокупного спроса и потребления на рынке рассматриваемого товара. Если на рынке товара установилось равновесие (см. рис, то суммарный излишек (рента) покупателей равен площади фигуры E P P * 0 , а продавцов площади фигуры Найти коэффициент Джини, если кривая Лоренца задается одним из следующих уравнений 1) 3 x y = ; 2) 1 2 − = x y ; Пусть ( уравнение кривой спроса данного потребителя. Определить излишек потребителя, если он приобрёл 0 Q ед. товара по цене ( ) 0 0 Q f P = . Решить задачу для следующих вариантов кривой спроса и объёма покупок 1) ( ) Q P 5 , 0 1000 ⋅ = , 6 0 = Q ; 2) Q P − = 80 , 64 Пусть ( ) − = Q g P уравнение кривой предложения данного продавца. Определить излишек продавца, если известно, что ему удалось реализовать ед. товара по цене ( ) 0 0 Q g P = . Решить задачу для следующих вариантов функции предложения и объёма продаж 1) Q P 3 2 1 ⋅ = , 4 0 = Q ; 2) ( ) 2 1 + = Q P , 8 Функции цены спроса и предложения заданы соответственно формулами 1 200 + = Q P d , ( ) 1 2 5 1 2 + + = Q Q P s 1) Предполагая свободную конкуренцию на рынке, определить ренты суммарные) потребителей и продавцов V. 2) Пусть рынок стал более либеральным за счёт внедрения на него новых продавцов. Функция цены спроса осталась прежней, а функция предложения приняла вид ( ) 1 2 216 25 2 + + = Q Q P s . Определить каким образом при этом изменились ренты потребителей и продавцов. 3) Пусть структура рынка полностью изменилась он стал полностью монополизирован. Монополист установил цену на рынке 25 = d P деда функция цены спроса осталась прежней. Как новая ситуация повлияла на потребительскую ренту |