Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
5.5. Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Пусть функция ) x f определена на промежутке [ ) ∞ + , a и интегрируема на любом отрезке [ ] b a, , b a < . Предел ( ) ∫ ⋅ ∞ + → b a b dx x f lim называют несобственным интегралом от функции ( ) x f на промежутке [ ) ∞ + , a и обозначают ( ) ∫ ∞ + ⋅ a dx x f . Таким образом ) = ⋅ ∫ ∞ + a dx x f ( Если предел существует, то несобственный интеграл называют сходящимся, а функцию ( ) x f − интегрируемой на промежутке [ ) ∞ + , a . В противном случае интеграл называют расходящимся. Аналогично определяют ( ) = ⋅ ∫ ∞ − b dx x f ( ) ∫ ⋅ ∞ − → b a a dx x f lim , ( ) = ⋅ ∫ ∞ + ∞ − dx x f ( ) ∫ ⋅ ∞ − → c a a dx x f lim + ( ) ∫ ⋅ ∞ + → b c b dx x f lim ⇒ ( ) = ⋅ ∫ ∞ + ∞ − dx x f ( ) ∫ ∞ − ⋅ c dx x f + ( ) ∫ ∞ + ⋅ c dx x f (5.1) где с любое число. Интеграл ( ) ∫ ∞ + ∞ − ⋅ dx x f сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла, стоящие в правой части формулы (5.1). Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость) ∫ ∞ + ∞ − + ⋅ + 11 6 2 x x dx 9) ∫ ∞ + ⋅ ⋅ 0 cos dx x x ; 10) ( ) dx x x x ∫ ∞ + ⋅ + ⋅ ⋅ + 1 2 1 2 1 ; 11) ∫ ∞ + 1 α x dx , где параметр 12) ∫ ∞ + ⋅ + 1 3 2 Вычислить интегралы ( ) dx x f ⋅ ∫ +∞ ∞ − ; ( ) dx x f x ⋅ ⋅ ∫ +∞ ∞ − ив которых функция ( плотность вероятности случайной величины X , заданная следующим образом 1) ( ) ≥ < = ; 2 , 24 , 2 , 0 4 x x x x f 2) ( ) ( ] ( ] ∉ ∈ − = ; 4 ; 0 , 0 , 4 ; 0 , 4 1 2 1 x x x x f 3) ( ) [ ] [ ] ∉ ∈ − = , ; , 0 , ; , 1 b a x b a x a b x f (равномерное распределение на отрезке [ ] b a; ), здесь параметры 4) ( ) < ≥ ⋅ = ⋅ − , 0 , 0 , 0 , x x e x f x λ λ (экспоненциальное (показательное) распределение с параметром. Интегралы от неограниченных функций. Пусть функция ) x f определена на промежутке [ ) b a, и интегрируема на любом отрезке [ ] ε − b a, , a b − < < ε 0 и не ограничена на отрезке [ ] b b , ε − , тогда полагают ( ) = ⋅ ∫ b a dx x f ( Если предел существует, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае интеграл называют расходящимся. Аналогично, если ( ) x f определена на промежутке ( ] b a, и интегрируема на любом отрезке [ ] b a , ε + , a b − < < ε 0 не ограничена на отрезке, то ( ) = ⋅ ∫ b a dx x f ( Если функция не ограничена в окрестности точки ( ) b a c , ∈ , то ( ) = ⋅ ∫ b a dx x f ( с св предположении, что ( ) x f интегрируема на отрезках [ ] ε − c a, , [ ] b c , ε + при { } c b a c − − < < , min 0 ε ) Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость 0 5 3 3 3 2 dx x x x ; 7) ∫ ⋅ e dx x 0 ln ; 8) ∫ 1 0 α x dx , где параметр. 5.45. Для функций 1) ( ) ( ] ( ] ∉ ∈ ⋅ = ; 2 ; 0 , 0 , 2 ; 0 , x x x a x f 2) ( ) [ ] [ ] − ∉ − ∈ − = ; 1 ; 1 , 0 , 1 ; 1 , 1 2 x x x a x f 3) ( ) x x e e a x f − + = ; 4) ( ) ≤ > ⋅ ⋅ = − 0 , 0 , 0 , 2 найти значения параметра a из условия ( ) 1 = ⋅ ∫ +∞ ∞ − dx x f ОТВЕТЫ ГЛАВА 1 1.1. 1) { } 4 ; 1 ; 0 = A ; 2) { } 4 ; 3 ; 2 ; 1 = A ; 3) = A ∅ ; 4) { } 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 − − = A ; 5) { } 3 ; 2 ; 1 = A ; 6) = π π π π 2 ; 2 3 ; ; 2 A . 1.2. = 1 A ∅ , { } a A = 2 , { } b A = 3 , { } c A = 4 , { } b a A , 5 = , { } c a A , 6 = , { } c b A , 7 = , { } c b a A , , 8 = ; 2) = 1 B ∅ , { } 1 2 = B , { } { } 6 , 2 3 = B , { } 2 4 = B , { } { } 6 , 2 , 1 5 = B , { } 2 , 1 6 = B , { } { } 2 , 6 , 2 7 = B , { } { } 2 , 6 , 2 , 1 8 = B 1.3. { } 4 ; 3 ; 2 ; 1 = = B A 1.4.1) = B A U { } 4 ; 3 ; 5 − − = , { } 4 = B A I , { } 5 / − = B A , { } 3 / − = A B ; 2) ( ) { } R y R x y x B A ∈ ∈ = , | , U , = B A I ( ) { } 4 1 | , 2 2 < + < y x y x , см. рис, ( ) { } 1 | , / 2 2 ≤ + = y x y x B A , см. рис, ( ) { } 4 | , / 2 2 ≥ + = y x y x A B , см. рис 3) ( ] 9 ; 3 = B A U , [ ) 8 ; 7 = B A I , [ ] 9 ; 8 / = B A , ( ) 7 ; 3 / = A B 1.5. 1) { } 0 ; 1 − ; 2) { } 3 1 ; 5 1 ± ± ; 3) { } 1 − . 1.6.1) − ∞ − 2 3 ; ; 2) 2 1 ; 0 1.8. 1) Z , { } 1 ; 0 ; 1 − ; 2) { } N k k n N n ∈ ≠ ∈ , 3 : , ∅ ; 3) ( ] 1 ; 0 ; {} 1 1.11. 1) множество ограничено, множество верхних граней [ ) ∞ + ; 1 , множество нижних граней ( ] 1 ; − ∞ − , 1 sup = X , 1 inf − = X , 1 max = X , 1 min − = X ; 2) множество ограничено, множество верхних граней [ ) ∞ + , 3 , множество нижних граней ( ] 4 ; − ∞ − , 3 sup = X , 4 inf − = X , X max 2 x y Рис Рис. 1.2. B A / 1 x y Рис. 1.1. B A I 2 x y 1 и X min не существуют 3) множество ограничено, множество верхних граней, множество нижних граней ( ] 5 ; − ∞ − , 1 sup − = X , 5 inf − = X , 1 max − = X и 5 min − = X ; 4) множество ограничено сверху, множество верхних граней, множество нижних граней ∅ , 0 sup = X , X inf , X max и X min не существуют 5) множество X ограничено, множество верхних граней [ ) ∞ + ; 1 , множество нижних граней, 1 sup = X , 0 inf = X , 1 max = X , X min не существует 6) множество X ограничено снизу, множество верхних граней ∅ , множество нижних граней ( ] 0 ; ∞ − , 0 inf = X , X min ; X sup и X max не существуют. 1.15. 1) 3 1 , 5 1 , 7 1 , 9 1 , 11 1 ; 2) 4 1 , 4 1 , 16 3 , 8 1 , 64 5 ; 3) 2 , 4 3 − , 9 4 , 16 5 − , 25 6 ; 4) 1 , 0 , 3 1 − , 0 , 5 1 ; 5) 2; 0 ; 6 ; 0 ; 10; 6) 3 2 π , 3 7 π , 3 8 π , 3 13 π , 3 14 π 1.16. 1) = n x n 2 1 ; 2) = n x ( ) 1 1 + − n n ; 3) = n x ( ) 1 2 1 2 1 − + − n n n ; 4) = n x 1 2 2 − n n ; 5) = n x ( ) n 1 1 − + ; 6) = n x ( ) 2 1 cos − ⋅ ⋅ n n π ; 7) ( ) 2 2 1 2 n n x n − = ; 8) = n x ( ) 4 1 sin − ⋅ n π . 1.17.1)1; 4; 7; 10; 13, ( ) 1 3 1 − + = n x n ; 2) 2; 6; 18; 54; 162, = n x ( ) 1 3 2 − ⋅ n ; 3) 1 ! ; 2 ! ; 3 ! ; 4 ! ; 5 ! , ! n x n = ; 4) 1; 1; 2; 4; 8, 1 1 = x , , 2 2 − = n n x 2 ≥ n ; 5) 1; 1; 1; 1; 1, ! 1 = n x . 1.18. 1 90 − = x , 1 885 = x . Замечание. Последовательность { } n x периодическая, с периодом T=6 ⇒ = n x k n x ⋅ + 6 , N k n ∈ , . 1.19. 134, = n x + − 1 n x 2 − n x 1.22. 1) Последовательность ограничена, = n x inf 0, = n x sup 1, = n x min 0, n x max не существует 2) последовательность не ограничена 3) последовательность ограничена снизу, = n x inf = n x min 0, сверху не ограничена 4) последовательность ограничена сверху, = n x sup = n x max 4 , снизу не ограничена) последовательность ограничена снизу, = n x inf 2 1 min = n x , сверху не ограничена 6) последовательность ограничена, = n x inf 2 1 3 min − = n x , = n x sup = n x max 5; 7) последовательность ограничена, = n x inf 0, = n x sup e x n = max , n x min не существует 8) последовательность ограничена, = n x inf 0, = n x sup 2, n x min и n x max не существуют 9) последовательность ограничена, = n x inf 1 min − = n x , = n x sup = n x max 1; 10) последовательность ограничена, = n x inf -1, = n x sup 1, n x min и n x max не существуют 11) последовательность ограничена сверху, = n x sup = n x max -1 , снизу не ограничена) последовательность не ограничена. 1.30. а) бесконечно малыми являются последовательности 2), 5); б) бесконечно большими 1), 6). 1.32. 1) 3 1 = a , = N 3; 2) 0 = a , = N 999; 3) 1 = a , = N 10; 4) 5 1 = a , = N 8. 1.33.1) Последовательность ограниченная ; 2) ограниченная, 3) ограниченная 4) неограниченная 5) неограниченная 6) ограниченная. 1.34. 3 1 . 1.35. ∞ . 1.36. 0. 1.37.2. 1.38.0. 1.39.0. 1.40. 2 1 . 1.41.5. 1.42. 5 1 . 1.43.1. 1.44.0. 1.45. ∞ . 1.46.2. 1.47.36. 1.48. 64 27 1.49.0. 1.50. ∞ − . Предел не существует. 1.68. 6 1 . 1.69. ∞ . 1.70. 1. 1.71.1) Последовательность является бесконечно малой при или β α < < 0 ; является бесконечно большой при 0 > α , 0 ≤ β или α β < < 0 ; сходится к 3 1 при 0 < α , 0 < β ; сходится к 4 1 при 0 < α , 0 = β ; сходится к 3 2 при 0 = α , 0 < β ; сходится к 2 1 при 0 = α , 0 = β ; сходится к 1 при 153 = α 0 > β ; 2) последовательность является бесконечно малой при 2 3 < γ является бесконечно большой при 2 3 > γ , сходится к 3 2 при 2 3 = γ . 1.73. 1) Последовательность немонотонная, ограниченная, наибольший элемент ! 9 10 9 10 9 = = = x x x наиб , наименьшего элемента не существует 2) последовательность монотонная возрастающая, неограниченная, но ограниченная снизу, наименьший элемент 2 наим, наибольшего элемента не существует 3) последовательность монотонная убывающая, ограниченная, наибольший элемент 3 4 1 = = x x наиб , наименьшего элемента не существует. 1.76. 1) 2 13 1 + ; 2) 2; 3) 3 . 1.78. 1) e ; 2) 3 1 e ; 3) e . При применении простой учетной ставки ( ) nd S P n − = 1 ; залет до погашения ( ) n k < долг равен ( ) d k S S n k n ⋅ − = − 1 ; при применении сложной учетной ставки ( ) n n d S P − = 1 ; залет до погашения долга ( ) n k < : ( ) k n k n d S S − = − 1 ; при применении сложной номинальной годовой учетной ставки ( ) m d , применяемой m разв году ( ) n m m n m d S P ⋅ − = 1 ; ( ) m k m n k n m d S S ⋅ − − = 1 ; для непрерывной учетной ставки δ : δ n n e S P − = ; По простой ставке 45 , 5 3 = S тыс. руб, по сложной ставке 46 , 5 тыс. руб. |