Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
2. Тригонометрические подстановки. Интегралы вида x ax bx c можно сначала преобразовать, выделив полный квадрат из квадратного трёхчлена: ax bx c 2 + + = = − + + ⋅ ⋅ + a b c a b x a b x a 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b x a 4 2 2 2 − + + , а затем при помощи подстановки свести к одному из интегралов 1) ( ) − − ∫ du u p u R 2 интегрируется при помощи подстановки u p t t = − < < sin , π π 2 2 ; 2) ( ) R u p u du , 2 интегрируется при помощи подстановки u ptgt t = − < < , π π 2 2 ; 3) ( ) R u u p du , 2 интегрируется с помощью подстановки u p t t = < < cos , 0 В результате интегралы 1) - 3) приводятся к интегралам вида, Пример 4.14. Найти 1) ∫ > − 0 , 1 2 x dx x x ; 2) ( ) ∫ + + 3 2 2 Решение. 1) Здесь интеграл типа 3). Положим 2 0 , cos 1 π < < = t t x , тогда x tgt 2 1 − = , dx tgt dt t = cos . Подставляя в интеграл, получим x x dx tg t t t dt t t dt dt t dt 2 2 2 2 2 1 1 − = ⋅ = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos cos cos cos cos tgt t C x − + = − 2 1 − − + arctg С 1 2) Выделим полный квадрат в трёхчлене, получим ( ) 5 2 1 4 2 2 + + = + + x x x . Пропуская промежуточную переменную, сделаем подстановку, тогда dx dt t = 2 2 cos , ( ) 5 2 1 4 2 2 2 + + = + + = x x x t cos . Осуществляя подстановку, найдём ( ) dx x x t dt t tdt 5 2 1 4 1 4 2 3 3 2 + + = ⋅ = = ∫ ∫ ∫ cos cos cos 1 4 1 4 5 2 2 sin t C x x x C + = + + + + 4.98. Найти интегралы при помощи тригонометрических подстановок 1) ∫ − dx x x 2 2 4 ; 2) dx x x ∫ + 2 1 ; 3) ∫ − − dx x x 2 2 1 ; 4) ( ) ∫ + − 2 3 2 5 2x x dx ; 5)* ( ) ∫ − + 2 1 x x x dx ; 6) dx x x ∫ − 2 2 1 ; 4.7. Смешанные примеры на интегрирование Найти интегралы. 4.99. dx x x ∫ + 1 4.100. dx x x arctg ∫ + 1 2 2 4.101. ∫ + 2 3 ax x dx 4.102. ∫ + x dx sin 1 4.103. ∫ ⋅ xdx tg x 2 4.104. ∫ − + 5 4 2 x x x e e dx e 4.105. ( ) ∫ + − − 1 6 3 2 x x dx x 4.106. ∫ x xdx sin cos 2 4.107. ( ) ( ) ∫ + − 4 b ax dx b ax 4.108. ∫ − dx e x 4.109. ( ) ∫ + dx x x 2 ln 4.110.* ( ) ∫ − − + 2 2 4 x x dx x 4.111. dx x x x ∫ + + + 4 2 3 2 4.112. dx x x ∫ ⋅ 3 sin 2 sin 4.113. ( ) ∫ − ⋅ + − dx e x x x 2 2 1 2 2 4.114. ∫ − dx x 1 2 4.115. ( ) ∫ − dx x x 4 sin 1 cos 4.116. ∫ + − 1 4 x x dx 4.117. ( ) ∫ dx x x 2 sin cos ln 4.118. ∫ + 2 4 x x dx 4.119. ( ) ( ) ∫ + + + dx x x x 1 4 cos 2 2 4.120. ∫ + − arctgxdx x x 1 2 2 2 4.121. ∫ ⋅ xdx x 3 sin sin 2 4.122. ∫ + − dx x x x 3 2 3 4.123. ∫ − dx x tgx 2 3 cos 2 4.124. ∫ dx x arctg 4.125. ∫ − + + dx e e e e x x x x 2 2 3 2 2 4.126. ∫ + + x a x dx 4.127. ∫ xdx 2 ln cos 4.128. ( ) ∫ + − dx x x 4 3 2 3 2 133 4.129. ∫ dx x x 4 3 sin cos 4.130. ( ) ∫ − dx x 2 ln 1 4.131. ∫ + x x dx 4.132. ∫ − + − + dx x x x x 1 1 2 3 4 4.133. ∫ + x x dx 2 2 cos sin 9 4.134. ∫ xdx x 2 cos 4.135. ∫ + dx x x 1 2 3 4.136. ( ) ∫ + 2 2 1 x dx 4.137. ∫ + x b x a dx 2 2 2 2 sin cos 4.138. ( ) ∫ − − dx x x x x 4 3 4 3 6 1 . 4.139. ∫ xdx x 2 ln 4.140. ∫ + tgx dx 3 4 4.141. ∫ − − − − dx e e e e x x x x 3 2 3 2 2 2 4.142. ( ) ∫ − xdx x 2 cos 1 2 2 4.143. ∫ dx x x x 3 sin cos 4.144. ( ) ∫ − + 2 1 1 x x dx 4.145. ∫ + dx x tgx 2 sin 1 4.146. ( ) ( ) ∫ + − 3 2 2 x x dx 4.147. ∫ dx x arctgx 2 4.148. ( ) ∫ − + + ⋅ 2 2 2 x x x e e dx e 4.149. ∫ + x dx cos 2 4.150. ∫ + − dx x x 1 1 4.151. ∫ dx x x 3 cos 2 sin 4.152. ∫ + dx e xe x x 1 4.153. ∫ − − dx x x x 1 2 3 4.154. ∫ ⋅ dx e e x x sin 2 4.155. ∫ + + + dx x x x 3 2 1 1 4.156. ∫ − x dx 2 sin 4 3 4.157. ∫ + x xdx cos 1 4.158. ∫ − + dx x x 2 3 4 2 4.159. ∫ ⋅ xdx x cos ln 2 sin 4.160. ( ) ∫ + dx x x 5 2 1 4 4.161. ∫ + x tg x dx 2 2 5 2 cos 4.162. ∫ + + 2 2 x x xdx 4.163. ( ) ∫ + 2 4 5 1 x x dx 4.164. ∫ − + x x x xdx 2 ln ln 4 6 ln 4.165. ( ) ∫ − 3 2 4 1 x dx x 4.166. ∫ xdx x arcsin 4.167. ∫ + dx x x 16 4 Глава 5 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 5.1. Понятие определённого интеграла. Основные свойства 1. Понятие определённого интеграла. Пусть функция ( ) x f определена на отрезке [ ] b a, . Разделим отрезок [ ] b a, произвольным образом на n частей точками 2 1 0 b x x x a x n = < < < < = На каждом из получившихся отрезков [ ] i i x x , 1 − длины 1 − − = ∆ i i i x x выберем произвольную точку ξ i ∈ [ ] i i x x , 1 − , n i ..., , 1 = . Построим для функции ( ) x f на отрезке [ ] b a, интегральную сумму ( и положим Если существует предел интегральных сумм при 0 → λ , независящий от способа разбиения отрезка [ ] b a, и выбора точек i ξ , то этот предел называют определённым интегралом от функции ( ) x f на отрезке [ и обозначают символом ( ) ∫ b a dx x f : ( ) 0 lim → = ∫ λ b a dx x f ( ) i n i i f ∆ ⋅ ∑ = 1 ξ , функцию ( ) x f в этом случае называют интегрируемой на отрезке [ Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. Если функция интегрируема на отрезке [ ] b a, , то она ограничена на этом отрезке. Геометрический смысл опреде- лённого интеграла. Пусть функция ( непрерывна на отрезке [ ] b a, . Если ( ) [ ] b a x x f , 0 ∈ ∀ ≥ , то ( ) ∫ b a dx x f численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , a x = , b x = осью Ox и кривой ( ) x f y = , см. рис. 5.1. Пример 5.1. Вычислить интеграл ∫ 1 0 2 dx x как предел интегральной суммы) Рис. y Решение. Функция ( ) 2 x x f = непрерывна на отрезке [ ] 1 , 0 , следовательно, интегрируема на этом отрезке. Построим интегральную сумму следующим образом. Разделим отрезок [ ] 1 , 0 на n равных частей, тогда n i 1 = ∆ n i ,..., 1 = ∀ и , 0 0 = x , 1 1 n x = ,..., 2 Выберем i i x = ξ , тогда ( ) 2 = n i f i ξ n i ,..., 1 = ∀ , те. ( ) , 1 2 1 = n f ξ ( ) ,..., 2 2 2 = n f ξ ( Очевидно, n 1 = λ и ∞ → ⇔ → n 0 λ . Следовательно, = ⋅ = ∑ ∫ = ∞ → n n i dx x n i n 1 lim 2 1 1 0 2 = + + + + ∞ → 3 2 2 2 2 3 2 1 lim n n n ( )( ) = + + ∞ → 3 6 1 2 1 lim n n n n n = = + + ∞ → 6 1 2 1 1 lim n n n 1 Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел (см.пр.1.23. 2)). Рассмотреть задачи, приводящие к понятию определённого интеграла) о нахождении объёма продукции Q , произведённой за промежуток времени [ ] T ; 0 , если известна функция ( ) t u u = , описывающая изменение производительности труда на предприятии стечением времени а) в общем виде б если ч, ( ) 1 4 + = t t u (ед./ч); 2) о нахождении прироста капитала (основных фондов) K ∆ за период с момента времени 1 t до 2 t по известным чистым инвестициям ( ) t I : а) в общем виде б) при 1 1 = t , 3 2 = t , ( ) 1 2 − = t t I (млн. руб./год). Пусть известна функция ( ) q MC , описывающая зависимость предельных издержек MC от объёма произведённой продукции q . Выписать формулы для вычисления 1) прироста суммарных издержек и 2) среднего прироста (иначе, средней скорости изменения) суммарных издержек при производстве продукции в пределах от 1 q до 2 q единиц. С помощью предельного перехода от интегральных сумм вычислить, разбивая отрезок [ ] 4 ; 1 : 1) на равные части 2) точками, образующими геометрическую прогрессию. В каждом из указанных разбиений в качестве i ξ выбирать а) левые концы отрезков б) правые концы отрезков в) середины отрезков [ ] i i x x Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм 1) ( ) ∫ + 4 0 1 dx x ; 2) ∫ 2 1 2 Численность населения N в любой момент времени t г) задаётся функцией ( ) t f N = . Потребление некоторого продукта пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональности k. Считая ( непрерывной функцией, записать формулу для подсчёта объёма потребления рассматриваемого продукта за первое полугодие второго года с момента начала отсчёта. Функция ( ) x f описывает плотность движения грузов в любой точке железной дороги, находящейся на расстоянии x (км) от выбранного начала железной дороги. Указанная плотность движения грузов измеряется весом в тоннах всех грузов, проходящих за год через эту точку. Написать формулу для подсчёта годового объёма перевозок по железной дороге от её начала до го км, предполагая ( ) x f непрерывной на отрезке [ ] L ; 0 2. Основные свойства определённого интеграла 1. Если ( ) x f интегрируема на [ ] b a, , − k произвольное число, то ( ) x f k ⋅ интегрируема на [ ] b a, и ( ) ( ) ∫ ∫ ⋅ = ⋅ b a b a dx x f k dx x f k 2. Если ( ) x f и ( ) x g интегрируемы на [ ] b a, , то ( ) ± x f ( ) x g интегрируемы на [ ] b a, и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ∫ ∫ ∫ 3. ( ) 0 = ⋅ ∫ dx x f a a . 4. ( ) ( ) ∫ ∫ ⋅ − = ⋅ a b b a dx x f dx x f . 5. ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + = b c c a b a dx x f dx x f dx x f 6. Если ( ) ∈ ∀ ≥ x x f 0 [ ] b a, , то ( ) 0 ≥ ⋅ ∫ dx x f b a 137 7. Если ( ) ( ) ∈ ∀ ≥ x x g x f [ ] b a, , то ( ) ≥ ⋅ ∫ dx x f b a ( ) dx x g b a ⋅ ∫ 8. Если ( ) ( ) ∈ ∀ ≥ x x g x f [ и существует точка [ ] b a x , 0 ∈ , в которой ( ) ( ) 0 0 x g x f > , причём обе функции f и g непрерывны в этой точке, то ( ) > ∫ dx x f b a ( ) g x Свойства 4-8 формулируются в предположении, что все используемые в них интегралы существуют. 9. Если ( ) f непрерывна на [ ] b a, , − m наименьшее, − M наибольшее значение ( ) x f на [ ] b a, , то ( ) ( ) ( ) a b M dx x f a b m b a − ⋅ ≤ ⋅ ≤ − ⋅ ∫ 10. (Теорема о среднем) Если ( ) x f непрерывна на [ ] b a, , то существует точка [ ] b a c , ∈ такая, что справедливо равенство ( ) ( )( ) a b c f dx x f b a − = ∫ , при этом ( ) c f называют средним значением функции на отрезке [ Исходя из геометрического смысла и свойств определённого интеграла, доказать, что 1) ∫ = π 2 0 0 2 sin xdx ; 2) ( ) ∫ = + 2 1 4 1 2 dx x ; 3) ∫ − = − 3 3 2 2 9 Выяснить (не вычисляя, какой из интегралов больше 1) ∫ 1 0 2 dx e x или ∫ 1 0 dx e x ; 2) ∫ 2 1 2 dx e x или ∫ 2 1 dx e x ; 3) ∫ − + 1 1 4 1 dx x или ∫ − 1 1 2 dx x ; 4) ∫ 1 0 2 3 cos xdx x или ∫ 1 0 2 2 cos xdx x ; 5) ∫ e xdx x 0 ln или ∫ e xdx x 0 2 ln ; 6) ∫ 2 0 sin π xdx n или ∫ + 2 0 1 sin π xdx n ; 7) ∫ − − 1 2 3 1 dx x или ∫ − − 1 2 3 dx x |