Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 16 из 29

3.185.
Исследовать функции и построить их графики
1)
(
)
125 5
3 2
−
=
x
y
;
2)
(
)
5 6
1 2
3
−
=
x
x
y
;
3)
(
)
2 3
1 2
−
=
x
x
y
;
4)
1 3
2 3
−
−
=
x
x
x
y
;
5)
4 2
−
=
x
x
y
;
6)
1 1
2 2
+
−
=
x
x
y
;
7)
3 2
2x
x
y
−
=
;
8)
(
)
x
x
y
3
−
=
;
9)
(
)
(
)
3 2
1 3
1 2
+
−
+
=
x
x
y
;
10)
2 2
x
x
e
y
−
=
;
11)
2 1
2 1
x
e
x
y
−
=
;
12)
(
)
1
ln
2
+
+
=
x
x
y
;
13)
1
ln
2
−
=
x
y
;
14)
x
x
y
cos sin
+
=
;
15) *
x
x
y
=
2 3
1
x
x
y
−
=
0 x
y Рис График функции
2 3
1
x
x
y
−
=

Глава 4 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4.1. Первообразная и неопределённый интеграл Функцию
( )
x
F
,
X
x
∈
, называют первообразной функции
( )
x
f
на множестве, если
( ) ( )
x
f
x
F
=
′
X
x
∈
∀
. Если
( )
−
x
F
первообразная функции
( )
x
f
,
X
x
∈
, то функция
( )
x
Φ
является первообразной функции
( )
x
f
тогда и только тогда, когда
( )
( )
C
x
F
x
+
=
Φ
, где
−
C
некоторая постоянная. Множество всех первообразных функции
( )
x
f
называют неопределён-
ным интегралом и обозначают
( )
dx
x
f
⋅
∫
. По определению
( )
( )
C
x
F
x
x
f
+
=
⋅
∫
, где
( одна из первообразных функции
( )
x
f
,
−
C
произвольная постоянная. Основные свойства неопределённого интеграла
1.
( )
(
)
( )
x
f
dx
x
f
=
′
⋅
∫
2.
( )
(
)
( )
dx
x
f
dx
x
f
d
=
⋅
∫
3.
( )
( )
C
x
F
x
dF
+
=
∫
4.
( )
( ) (
)
0
,
≠
=
⋅
=
⋅
∫
∫
α
α
α
α
const
dx
x
f
dx
x
f
5.
( ) ( )
(
)
( )
( )
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
⋅
±
⋅
=
⋅
±
∫
∫
∫
6. Если
( )
( )
C
x
F
dx
x
f
+
=
⋅
∫
и
( любая дифференцируемая функция, то
( )
( ) ( )
( )
( Таблица основных интегралов
1.
C
dx
=
⋅
∫
0 2.
C
x
dx
+
=
⋅
∫
1 3.
)
1
,
(
1 1
−
≠
=
+
+
=
+
∫
α
α
α
α
α
const
C
x
dx
x
. 4.
C
x
x
dx
+
=
∫
ln
5.
(
)
1
,
0
ln
≠
<
+
=
∫
a
a
C
a
a
dx
a
x
x
,
C
e
dx
e
x
x
+
=
∫
6.
∫
+
−
=
C
x
xdx
cos sin
7.
∫
+
=
C
x
xdx
sin cos
8.
C
tgx
x
dx
+
=
∫
2
cos
9.
C
ctgx
x
dx
+
−
=
∫
2
sin
10.
∫



+
−
+
=
−
arccos
,
arcsin
1 С.
∫



+
−
+
=
+
,
1 СВ силу свойства 6 таблицу интегралов можно расширить, заменив в приведённых выше формулах независимую переменную
x
на переменную

интегрирования
( )
x
u
u
=
(тогда во всех формулах
dx
заменится на
( )
dx
x
u
du
′
=
). Пример 4.1. Используя тождественные преобразования подынтегральных выражений и свойства неопределённых интегралов, свести к табличными вычислить следующие интегралы
1)
dx
x
x
x
⋅






+
−
+
∫
1 3
2
cos
5 2
;
2)
(
)
dx
x
3 2
3
∫
−
;
3)
dx
x
x
∫
+
1
;
4)
dx
x
x
∫
⋅
2 2
cos sin
1
;
5)
dx
x
x
∫
+
2 4
1
;
6)
dx
x
x
∫
⋅
2 3
2
;
7)
(
)
dx
x
x
x
∫
−
⋅
+
2 3
1 Решение. 1) Используя свойства 4, 5 получим
dx
x
x
x
∫






+
−
+
1 3
2
cos
5 2
=
dx
x
dx
x
dx
xdx
∫
∫
∫
∫
+
−
+
1 3
2
cos
5 2
=
=
C
x
x
x
x
+
+
−
+
ln
2
sin
5 3
2)
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
+
+
=
−
+
−
=
−
dx
x
dx
dx
x
x
x
dx
x
2 6
4 2
3 2
27 27 9
27 27 3
∫
∫
=
−
+
dx
x
dx
x
6 4
9
C
x
x
x
x
C
x
x
x
x
+
−




+
−
=
+
−
+
−
=
7 5
3 9
7 5
9 3
27 27 7
4 2
7 5
3 3) Разделим числитель подынтегральной функции почленно на знаменатель, тогда
dx
x
x
∫
+
1
=
dx
x
x
∫






+
1
=
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
+





 +
=
+
+
=
+
∫
∫
−
3 1
2 2
3 2
2 1
2 3
2 1
2 1
4) Заменим единицу в числителе подынтегральной функции на тригонометрическую, получим
dx
x
x
∫
⋅
2 2
cos sin
1
=
∫
∫
∫
+
=
⋅
+
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
2 2
2 2
2 2
sin cos cos sin cos sin
=
2 2
tgx
ctgx
C
ctg x
C
=
−
+ = −
+
5)
=
+
∫
dx
x
x
2 4
1
dx
x
x
∫
+
+
−
2 4
1 1
)
1
(
=
dx
x
x
∫






+
+
−
2 2
1 1
1
=
∫
∫
∫
+
+
−
2 2
1
x
dx
dx
dx
x
=
3 3
x
x
arctgx
C
=
− +
+
6)
dx
x
x
∫
⋅
2 3
2
=
=
⋅
∫
dx
x
x
9 2
dx
x
∫
18
=
C
x
+
18
ln
18 7)
(
)
dx
x
x
x
∫
−
⋅
+
2 3
1 2
2
(
)
dx
x
x
∫
+
=
2 3
2
=
+
∫
dx
x
2
=
∫
dx
x
2 3
+
2
ln
2
x
3
x
C
+
Найти интегралы
4.1.
dx
x
x
x
∫






+
+
1 2
2
4.2.
(
)
dx
x
x
∫
+
−
5 4
3

110
4.3.
dx
x
x
∫






+
+
5 1
3
cos sin
2
4.4.
dx
x
x
∫





 −
cos
5 2
.
4.5.
dx
x
x
∫






−
−
2 2
1 3
sin
1
4.6.
(
)
dx
x
x
∫






+
+
⋅
2 2
1 2
cos
3 1
4.7.
dx
x
x
∫










+
2 1
3
4.8.
(
)
dx
e
x
x
∫
⋅
+
3 2
4.9.
dx
x
a
x
a
x
a
∫




+
+
3 3
2 постоянная. 4.10.
dx
x
x
∫






⋅
+
−
3 2
4 1
1 1
4.11.
dx
x
x
∫






−
5 3
2 5
3
4.12.
dx
x
x
∫






⋅
+
⋅
3 4
3 3
2
4.13.
∫
n
x
dx
,
−
n число,
1
,
0
≠
>
n
n
4.14.
∫
x
x
dx
4.15.
dx
x
x
x
∫
4.16.
dx
x
x
∫






+
−
4 3
1 1
3
4.17.
(
)(
)
dx
x
x
∫
+
+
3 2
4.18.
(
)
dx
x
2 3
2
∫
+
4.19.
dx
x
x
∫
−
4 3
2
4.20.
dx
x
x
∫
+
2 3
4.21.
(
)
dx
x
x
∫
−
3 2
1 3
4.22.
dx
x
x
∫





 −
2 1
4.23.
dx
x
x
x
∫




+
−
4 3
3 2
1 1
4.24.
(
)
dx
ax
x
a
∫
+
3
, постоянная,
0
≠
a
4.25.
dx
x
x
∫
−
−
+
2 2
1 1
2
4.26.
dx
x
x
x
∫
+
+
−
3 4
4 2
4.27.
dx
e
x
x
∫
⋅
2
4.28.
dx
x
x
x
∫
+
10 5
2
4.29.
dx
e
e
x
x
∫
+
−
1 1
2
4.30.
dx
x
e
e
x
x
∫





 −
−
2
cos
1
4.31.
dx
x
∫
2
sin
2
4.32.
dx
x
x
∫




−
−
+
2 2
1 3
1 2
4.33.
dx
x
x
∫
−
2 3
sin sin
2
4.34.
dx
x
x
x
∫
⋅
2 2
sin cos
2
cos

111
4.35.
dx
x
x
ctg
∫
−
2 2
cos
2 3
4.36.
dx
x
tg
∫
2
4.37.
∫
+
x
x
dx
2
sin
2
cos
4.38.
dx
x
x
∫






−
2 Рассмотрим подробнее ситуацию, когда интеграл сводится к табличному посредством введения вспомогательной, зависимой от
x
, переменной интегрирования. Этот приём иногда называют подведением функции под знак дифференциала, он является частным случаем метода замены переменной. Ключевым моментом является тождественное преобразование подынтегрального выражения с выделением дифференциала новой переменной интегрирования. После освоения приёма введение явно обозначения для новой переменной необязательно. Пример 4.2. Найти интегралы сведением к табличным :
1)
(
)
∫
+
dx
x
10 5
3
;
2)
∫
xdx
2
sin
;
3)
∫
⋅
xdx
e
x
cos sin
;
4)
( )
∫
x
dx
x
3
ln
;
5)
∫
−
16 7
1 x
dx
x
;
6) Решение. 1) Учитывая, что
(
)
3 5
3
=
′
+
x
, положим
(
)
,
5 3
+
=
x
u
dx
du
3
=
, преобразуем интеграл к табличному следующим образом
(
)
=
+
∫
dx
x
10 5
3 1
3
(
)
=
⋅
+
∫
dx
x
3 5
3 10 1
3
(
) (
)
=
+
+
+
=
∫
5 3
10
|
5 3
5 3
x
u
x
d
x
=
∫
du
u
10 3
1
=
+
C
u
33 11
(
)
C
x
+
+
=
33 5
3 11 2) По аналогии с предыдущим примером имеем
=
∫
xdx
2
sin
=
⋅
∫
dx
x 2 2
sin
2 1
( )
=
⋅
=
∫
x
u
x
d
x
2
|
2 2
sin
2 1
=
∫
udu
sin
2 1
=
+
−
C
u
2
cos
C
x
+
−
2 2
cos
3) Учитывая, что
(
)
xdx
x
d
cos sin
=
, кратко решение запишем в виде
=
⋅
∫
xdx
e
x
cos sin
(
)
=
⋅
∫
x
d
e
x
sin sin
C
e
x
+
sin
4)
( )
=
∫
x
dx
x
3
ln
( )
∫
=
⋅
x
dx
x
3
ln
( ) ( )
=
∫
x
d
x
ln ln
3
( )
C
x
+
4
ln
4 5)
=
−
∫
16 7
1 x
dx
x
( )
∫
=
−
2 8
7 1
8 8
1
x
dx
x
( )
( )
∫
=
−
2 8
8 1
8 1
x
x
d
C
x
+
8
arcsin
8 1

112 6)
=
+
∫
x
dx
2
cos
1
=
+
∫
x
x
dx
2 2
sin cos
2
(
)
=
+
⋅
∫
x
tg
x
dx
2 2
2
cos
( )
∫
=
+
x
tg
tgx
d
2 2
2 Найти интегралы
4.39.
dx
x
∫
3
sin
4.40.
dx
x
∫
5
cos
4.41.
∫
x
dx
5
cos
2
4.42.
∫
x
dx
7
sin
2
4.43.
dx
e
x
∫
2
4.44.
∫
+
2 16 1
x
dx
4.45.
(
)
dx
x
∫
+
3 2
sin
4.46.
(
)
dx
x
∫
−
5 4
cos
4.47.
(
)
dx
x
4 5
6
∫
+
4.48.
(
)
dx
x
3 3
2
∫
−
4.49.
dx
x
∫
+
3
4.50.
dx
x
3 7
3
−
4.51.
dx
x
x
∫
+
5 3
2
4.52.
(
)
dx
x
x
∫
−
3 4
3 2
1
4.53.
∫
dx
xe
x
2
4.54.
∫
⋅
⋅
+
−
dx
e
x
x
1 2
3
4.55.
dx
x
x
∫
+
5 3
2
4.56.
dx
x
x
∫
+
⋅
3 2
6 6
5
4.57.
dx
x
x
∫
−
⋅
5 3
2 7
4 2
4.58.
dx
x
x
∫
+
3 2
1
4.59.
dx
x
x
∫
−
4 4
1
4.60.
dx
x
x
∫
+
1 8
3
4.61.
dx
x
x
∫
⋅
cos sin
5
4.62.
dx
x
x
⋅
⋅
+
∫
sin
)
1
(cos
3
4.63.
dx
x
x
∫
+
2
cos sin
4.64.
dx
x
x
∫
+
1
sin cos
2
4.65.
dx
x
x
∫
⋅
5
sin cos
4
4.66.
dx
x
x
∫
3
cos sin
4.67.
dx
tgx
∫
4.68.
dx
ctgx
∫
4.69.
∫
x
xdx
tg
2 2
cos
4.70. с sin
2
cos
4.72.
dx
x
x
∫
+
2
sin
2
sin
1

113