Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 18 из 29

4.104.
Используя метод интегрирования по частям, получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов (здесь
N
n
∈
):
1)
dx
e
x
J
ax
n
n
∫
=
, (параметр,
0
≠
a
); 2)
xdx
J
n
n
∫
=
ln
;
3)
xdx
J
n
n
∫
=
sin
,
2
>
n
; 4)
xdx
J
n
n
∫
=
cos
,
2
>
n
;
5)
∫
=
x
dx
J
n
n
sin
,
2
>
n
; 6)
∫
=
x
dx
J
n
n
cos
,
2
>
n
4.105.
Используя рекуррентные формулы, полученные при решении предыдущего примера, найти интегралы
1)
dx
e
x
x
−
∫
5
;
2)
xdx
∫
4
ln
;
3)
xdx
∫
3
sin
;
4)
xdx
∫
4
cos
;
5)
∫
x
dx
4
sin
;
6)
∫
x
dx
5
cos
4.4. Интегрирование рациональных функций
1. Определение рациональной функции. Способы разложения рациональных дробей. Рациональными называют функции, представимые в виде отношения
( )
( )
x
Q
x
P
n
m
, где
( )
P x
m
и
( )
−
x
Q
n
многочлены степеней
m
и
n
соответственно относительно переменной
x
:
( )
m
m
m
x
a
x
a
a
x
P
⋅
+
+
⋅
+
=
1 0
,
( )
x
Q
n
n
n
x
b
x
b
b
⋅
+
+
⋅
+
=
1 0
, здесь
,
,...,
,
1 0
m
a
a
a
−
n
b
b
b
,...
,
1 0
действительные числа, коэффициенты многочленов, целые неотрицательные. При
0
=
n
рациональную функцию
( )
( )
x
Q
x
P
n
m
(в этом случае - многочлен) называют целой при- правильной дробью, при неправильной рациональной дробью Если рациональная дробь
( )
( является неправильной, в ней можно выделить целую часть, те. преобразовать к виду
( )
( )
( )
( )
( )
x
Q
x
R
x
W
x
Q
x
P
n
m
n
m
1
+
=
,
(4.6)

где
( многочлен - целая часть неправильной дроби
( )
( правильная рациональная дробь
n
m
<
1
Любой многочлен с действительными коэффициентами
( )
x
Q
n
разлагается единственным образом на произведение вещественных множителей следующего вида
( )
(
)
(
)
(
) (
)
r
s
l
k
n
q
px
x
d
cx
x
b
x
a
x
x
Q
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
=
2 2
α
,
(4.7) где вещественное число, равное коэффициенту при старшей степени многочлена
( )
x
Q
n
,
−
b
a ,
,
вещественные корни многочлена кратности соответственно, квадратные трёхчлены
(
) (
)
q
px
x
d
cx
x
+
+
+
+
2 2
,
,
не имеют действительных корней те, каждый из них соответствует паре комплексно сопряжённых корней многочлена
( )
x
Q
n
кратности
r
s соответственно, числа
l
k
,
,
,
−
r
s натуральные, причём
+
+
+
l
k ...
n
r
s
=
+
+
)
(
2
Если дробь
( )
( )
−
x
Q
x
P
n
m
правильная, тогда с учётом (4.7 ) имеет место равенство С x D
x
cx
d
s
s
s
+
+
+
+ +
2
(
)
+
+
+
+
q
px
x
N
x
M
2 1
1
(
)
+
+
+
+
+
2 2
2 2
q
px
x
N
x
M
(
)
r
r
r
q
px
x
N
x
M
+
+
+
2
,
(4.8) где
,
,
,
,
,
,
,
,...
,
2 1
2 1
l
k
B
B
B
A
A
A
,
,
1 1
D
C
,...,
,
2 2
D
C
,...,
,
s
s
D
C
,
,
1 1
N
M
,
,
,
2 2
N
M
−
r
r
N
M ,
некоторые действительные числа, коэффициенты разложения (4.8).
Дроби, входящие в правую часть равенства (4.8) называются простейшими, а само равенство (4.8) называется разложением правильной рациональной дробина простейшие.
В частном случае, когда все
n
корней
n
a
a
,
,
1
многочлена
( )
x
Q
n
являются разными действительными, тогда
( )
(
) (и
( )
( ) (
)
1 1
a
x
A
x
Q
x
P
n
m
−
=
+
+
(
)
n
n
a
x
A
−

121
Известны методы определения коэффициентов разложения (4.8). При- ведём обе части равенства (4.8) к общему знаменателю и, приравнивая затем числители получившихся дробей, придём к тождеству, в обеих частях которого будут находиться многочлены. По методу неопределённых коэффициентов далее следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях
x
в обеих частях тождества, в результате получим систему линейных уравнений относительно коэффициентов разложения. Решив е, найдём коэффициенты. Можно составить систему уравнений для определения коэффициентов другим способом, придавая в тождестве переменной
x
n
различных значений. Обычно, если многочлен
( )
Q x
n
имеет действительные корни, целесообразно полагать равным этим корням. Часто бывает полезным комбинировать рассмотренные способы.
2. Интегрируемость рациональных функций. Рациональные функции являются интегрируемыми в своих областях определения. Целые рациональные функции (многочлены) интегрируются очевидным образом. Интегрирование неправильных рациональных дробей сводится к интегрированию целых рациональных функций и правильных рациональных дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей. Каждая из простейших дробей интегрируется в элементарных функциях 2
2 2
2 2
(
)
+
−
+
+
−
n
q
px
x
M
n
1 2
1 2





 +
⋅





 −
2 2
p
x
J
M
p
N
n
,
1
,
>
∈
n
N
n
. Здесь интеграл, для вычисления которого в примере 4.4 получена рекуррентная формула. Напомним, в интегралах 3), 4)
0 4
2
<
−
q
p
Пример 4.5. Выделить целые части следующих дробей
1)
1 1
2 3
+
+
+
x
x
x
;
2)
x
x
x
x
x
x
2 2
3 3
2 3
2 4
−
−
−
−
−
Решение)
=
+
+
+
1 1
2 3
x
x
x
(
)
=
+
+
+
1 1
1 2
2
x
x
x
x
+
1 1
2
+
x
2) Произведём деление многочленов "уголком
|
2 3
3
_
2 4
−
−
−
x
x
x
x
x
x
2 2
3
−
−
2 3
4 2x
x
x
−
−
1
+
x
2 3
_
2 3
−
−
−
x
x
x
x
x
x
2 2
3
−
−
− −
x
2
, с учётом этого
−
+
=
−
−
−
−
−
1 2
2 3
3 2
3 2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
2 3
−
−
+
Пример 4.6. Разложить данные дробина простейшие
1)
6 5
1 2
+
−
x
x
;
2)
(
)
(
)
2 2
1 2
2
+
+
−
x
x
x
x
Решение. 1) Так как
(
)(
)
3 2
6 5
2
−
−
=
+
−
x
x
x
x
, то искомое разложение имеет вид
(
) (
)
3 2
6 5
1 2
−
+
−
=
+
−
x
B
x
A
x
x
Приведём дроби к общему знаменателю и, приравнивая числители дробей, получим
(
) (
)
1 3
2
=
−
+
−
x
B
x
A
или
(
) (
)
1 3
2
=
+
−
+
B
A
x
B
A
(4.9) По методу неопределённых коэффициентов составим систему, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
:

123
⇔




=
+
−
=
+
0
:
,
1 3
2
:
1 Подставим найденные значения коэффициентов, выпишем ответ
(
) (
)
3 1
2 1
6 5
1 2
−
−
−
=
+
−
x
x
x
x
Замечание. Коэффициенты разложения можно найти иначе полагая в тождестве (4.9)
3
=
x
, получим
1
=
A
; полагая
2
=
x
, найдём
1
−
=
B
2) Поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в знаменателе
0 4
4 2
<
−
=
−
q
p
, то разложение дробина простейшие имеет вид
(
)
(
)
=
+
+
−
2 2
1 2
2
x
x
x
x
(
)
+
−
1
x
A
(
)
+
−
2 1
x
B
(
)
2 2
2
+
+
+
x
x
D
Cx
, отсюда придём к тождеству
x
=
(
)
(
)
B
x
x
x
A
+
+
+
−
2 2
1 2
(
)
+
+
+
2 2
2
x
x
(
)(
)
2 При
1
=
x
имеем
1 5
=
B
, те.
5 1
=
B
. С учётом этого после раскрытия скобок и приведения подобных тождество примет вид
=
x
(
)
+
⋅
+
3
x
C
A
+
⋅






−
+
+
2 2
5 1
x
C
D
A
+
⋅






−
+
x
D
C
2 5
2






−
+
A
D
2 5
2
Для определения трёх оставшихся коэффициентов составим систему, приравнивая в тождестве коэффициенты при любых трёх одинаковых степенях Таким образом, имеем
(
)
(
)
=
+
+
−
2 2
1 2
2
x
x
x
x
(
)
+
−
1 25 1
x
(
)
−
−
2 1
5 1
x
(
)
2 2
25 Пример 4.7. Найти 1)
∫
+
+
8 8
2 2
x
x
dx
; 2)
dx
x
x
x
∫
+
+
−
5 2
1 2
Решение. Подынтегральная дробь является правильной итак как
(
)
2 2
4 2
8 8
2
+
=
+
+
x
x
x
, то она является простейшей
∫
+
+
8 8
2 2
x
x
dx
=
(
)
=
+
∫
2 2
2 1
x
dx
(
)
(
)
(
)
(
)
C
x
C
x
x
x
d
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
∫
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
1 2

124 2) Подынтегральная дробь, очевидно, является правильной. Дискриминант квадратного члена в знаменателе
0 16 20 4
4 2
<
−
=
−
=
−
q
p
, дробь простейшая типа 3):
2 1
5 2
1 2
=
+
+
−
∫
dx
x
x
x
(
)
=
+
+
−
+
∫
dx
x
x
x
5 2
4 1
2 2
(
)
(
)
=
+
+
+
−
+
+
+
+
∫
∫
4 1
2 2
5 2
5 2
2 1
2 2
2
x
x
dx
x
x
x
x
d
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
−
+
+
∫
2 2
2 2
1 1
2 5
2
ln
2 1
x
x
d
x
x
(
)
C
x
arctg
x
x
+
+
−
+
+
2 1
5 2
ln
2 Пример 4.8. Найти 1)
dx
x
x
∫
+
−
6 5
1 2
; 2)
(
)
(
)
∫
+
+
−
2 2
1 Решение. Подынтегральные дроби правильные, воспользуемся разложением их на простейшие (см. пр) .
1)
∫
∫
−
−
=
+
−
3 6
5 1
2
x
dx
dx
x
x
∫
=
−
2
x
dx
=
+
−
−
−
C
x
x
ln
2
ln
3
ln
(
)
(
)
2 3
ln
−
−
x
x
C
;
2)
(
)
(
)
=
+
+
−
∫
2 2
1 2
2
x
x
x
xdx
(
)
+
−
∫
1 25 1
x
dx
(
)
−
−
∫
2 1
5 1
x
dx
(
)
=
+
+
+
∫
dx
x
x
x
2 2
8 25 1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
−
+
+
+
−
−
−
−
=
∫
∫
1 1
1 25 7
2 2
2 2
50 1
1 5
1 1
ln
25 1
2 2
x
x
d
dx
x
x
x
x
x
(
)
−
−
−
−
1 5
1 1
ln
25 1
x
x
(
)
(
)
=
+
+
−
+
+
−
C
x
arctg
x
x
1 25 7
2 2
ln
50 1
2
(
)
(
)
(
) ( )
C
x
x
arctg
x
x
x
+
−
−
+
−
+
+
−
1 5
1 1
25 7
2 2
1
ln
50 1
2 Пример 4.9. Найти 1)
dx
x
x
x
∫
+
+
+
1 1
2 3
; 2)
dx
x
x
x
x
x
x
∫
−
−
−
−
−
2 2
3 3
2 3
2 Решение. В обоих примерах подынтегральные дроби неправильные, целые части дробей выделены ранее при решении пр. 4.5:
1)
=
+
+
=
+
+
+
∫
∫
∫
1 1
1 2
2 3
x
dx
xdx
dx
x
x
x
C
arctgx
x
+
+
2 2
2)
(
)
∫
∫
−
+
=
−
−
−
−
−
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
1 2
2 3
3 2
3 2
4
=
−
−
+
∫
dx
x
x
x
x
2 2
2 3
−
+
x
x
2 2
dx
x
x
x
x
∫
−
−
+
2 2
2 Дробь
x
x
x
x
2 2
2 правильная. Преобразуем знаменатель
=
−
−
x
x
x
2 2
3
(
)
=
−
−
2 2
x
x
x
(
)(
)
1 2
+
−
x
x
x
. Разложим дробь на простейшие
x
x
x
x
2 2
2 3
−
−
+
=
1 Отсюда придём к тождеству

125
(
) (
)
(
)
(
)
2 1
1 Полагая в тождестве
0
=
x
, получим
1
−
=
A
; при
1
−
=
x
найдём
3 1
=
D
; при
2
=
x
вычислим
3 2
=
B
. Подставляя найденные значения, получим
=
−
−
−
−
−
∫
x
x
x
x
x
x
2 2
3 3
2 3
2 4
−
+
x
x
2 2
(
) (
)
∫
=




+
+
−
+
−
dx
x
x
x
1 3
1 2
3 2
1
+
+
x
x
2 2
−
x
ln
−
−
−
2
ln
3 2
x
=
+
+
C
x
ln
1
ln
3 1
+
+
x
x
2 2
(
) (
)
1 2
ln
3 1
2 Пример 4.10.*
5 6
2 Решение. Сделаем подстановку
xdx
dt
x
t
2
,
2
=
=
, получим
=
+
+
∫
5 6
2 4
x
x
xdx
∫
=
+
+
5 6
2 1
2
t
t
dt
(
)(
)
∫
+
+
5 1
2 Разложим подынтегральную дробь на простейшие
( )(
)
1 1
5
t
t
=
+
+
( )
+
+
1
t
A
(
)
1 5
B
⇒
+
(
) ( )
1 Подставим
4 1
1
=
⇒
−
=
A
t
;
4 1
5
−
=
⇒
−
=
B
t
. С учётом этого
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
+
+
=
+
+
−
+
=






+
−
+
=
+
+
5 1
ln
8 1
ln
5
ln
1
ln
8 1
5 1
1 1
8 1
5 1
2 Возвращаясь к старой переменной, получим
=
+
+
∫
5 6
2 4
x
x
xdx
(
)
5 1
ln
8 1
2 2
+
+
x
x
C
Найти интегралы.