Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 26 из 29

3.108.
3 2
. 3.109. 1)
26 2
3
+
−
=
P
D
,
12 2
+
=
P
S
; 2)
7 1
5
*
=
P
,
7 2
18
*
=
Q
3.110. 1) Да, стационарная точка c=0; 2) нет, функция терпит разрыв в точке x=1; 3) нет, функция не дифференцируема в точке x=0;
4) нет, функция не определена в точке x=0; 5) нет, функция не дифференцируема в точке x=0;6) да, стационарная точка
2
π
=
c
3.113.
1) Да,
1
=
c
; 2) да,
1
−
=
e
c
; 3) нет, функция не дифф. в точке x=0.
3.114. 1)
( )
1
,
1
; 2)





−
4 15
,
2 1
. 3.115. Функция не дифф. в точке x=1.

169
3.117.
1)1; 2)
2 1
; 3)
5 3
; 4) 2; 5)
3 2
; 6)
2 1
; 7)
e
3
; 8) 2; 9) 0. 3.118. 1)
π
1
;
2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 0; 8)
2 3
−
; 9) -2;10)
∞
. 3.119. 1)1; 2) e; 3) 1; 4)1;
5)
2
e ; 6)
1
−
e . 3.120. 1) Предел равен нулю, правило Лопиталя неприменимо) предел не существует, правило Лопиталя неприменимо )
( )
n
n
n
x
o
n
x
2 1
2 1
!
1 2
1
+
−
−
−
−
; 3)
(
)
( )
( )
n
n
n
x
o
n
x
x
x
x
+
−
+
+
−
=
+
−
1 2
1 2
1
ln
;
4)
(
)
(
)
+
+
−
⋅
+
⋅
+
=
+
!
2 1
1 1
2
x
m
m
x
m
x
m
(
) (
)
( )
n
n
x
o
x
n
n
m
m
m
+
+
−
⋅
⋅
−
⋅
!
1 1
3.123.
1)
( )
!
2 1
8 2
1 2
4 2
n
x
x
x
n
n
n
⋅
−
+
+
+
−
;
2)
+
+
−
48 125 2
5 3
x
x
( )
( )
(
)
!
1 2
2 5
1 1
2 1
2 1
−
⋅
−
+
−
−
−
n
x
n
n
n
;
3)
( )
n
x
x
x
n
n
n
⋅
−
+
+
−
+
−
4 1
32 4
4
ln
2 1
4 2
;
4)
+
+
−
+
⋅
576 24 1
(
2 2
x
x
( ) (
)
( )
)
!
24 3
4 2
1
n
n
x
n
n
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
. 3.124. 1)
(
)
+
−
−
=
−
2 2
1
x
x
x
(
) (
)
(
)
(
)
3 3
2 2
2 2
−
+
−
−
−
x
o
x
x
;
2)
(
)
+
−
−
=
1 2
1 1
1
x
x
(
)
(
)
(
)
2 2
1 1
8 3
−
+
−
x
o
x
;
3)
(
)(
)
+
−
+
⋅
+
=
2 2
ln
1 4
4
x
x
x
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
ln
2 2
ln
4 6
−
+
−
⋅
+
+
x
o
x
3.125.
1)
(
)
2 1
2 2
4
cos
x
x
x
−
+
≈





 −π
;
2)
2
x
x
e
x
x
+
≈
⋅
;
3)
(
)
2 1
ln
2 2
x
x
x
x
+
−
≈
+
−
. 3.126. 1)
(
)
−
−
+
≈
1 4
1 1
4
x
x
(
)
(
)
3 2
1 128 7
1 32 3
−
+
−
x
x
;
2)
−





 +
+
−
≈
4 2
1
π
x
tgx
3 2
4 3
8 4
2





 +
+





 +
π
π
x
x
3.127.
1)
625
,
1
≈
e
;
2)
366
,
8 70
≈
; 3)
005
,
3 245 5
≈
. 3.128. 1)
169
,
0 10
sin
0
≈
; 2)
395
,
1 3
≈
e
;

170 3)
163
,
0 2
,
1
ln
≈
; 4)
108
,
3 30 3
≈
. 3.129. 1) При





 ∞
−
∈
2 1
;
x
функция возрастает при






∞
+
∈
;
2 1
x
−
убывает 2) возрастает всюду 3) при
(
)
1
;
1
−
∈
x
функция возрастает при
(
) (
)
∞
+
−
∞
−
∈
;
1 1
;
U
x
−
убывает 4) при
(
)
6
;
−
∞
−
∈
x
функция убывает при возрастает 5) при
(
)
5
;
∞
−
∈
x
функция возрастает при
(
)
∞
+
∈
;
5
x
−
убывает 6) при функция возрастает при
(
) (
)
∞
+
−
∞
−
∈
;
1 1
;
U
x
−
убывает 7) при функция возрастает при
( )
1
;
0
∈
x
−
убывает 8) при
(
)
100
;
0
∈
x
функция возрастает при
(
)
∞
+
∈
;
100
x
−
убывает 9) при
( )
2
;
0
∈
x
функция убывает при
(
)
∞
+
∈
;
2
x
−
возрастает) функция возрастает при
(
)
∞
+
∈
;
0
x
(во всей области определения 11) при
U
Z
n
n
n
x
∈






+
∈
2 1
;
1 2
1
функция возрастает при
U
Z
n
n
n
x
∈






−
∈
1 2
1
;
2 1
−
убывает 12) при
(
) (
)
+∞
−
∈
;
1 0
;
1
U
x
функция возрастает при
(
) ( )
1
;
0 1
;
U
−
∞
−
∈
x
−
убывает 13) при










∈
π
π
π
2
;
4 функция возрастает при






∈
4 убывает
14) при
Z
n
n
n
x
∈






+
+
−
∈
,
2 4
;
2 функция возрастает при
Z
n
n
n
x
∈






+
+
∈
,
2 4
5
;
2 4
π
π
π
π
−
убывает. 3.130. 1)
0
≤
a
; 2)
1
≥
b
,
R
c
∈
3.134.
1)
4 3
2 5
min
=





−
=
y
y
;
2)
( )
3 1
5 2
min
−
=
−
=
y
y
,
( )
3 1
5 2
max
=
=
y
y
;
3)
( )
35 2
max
=
−
=
y
y
,
( )
73 4
min
−
=
=
y
y
; 4)
( )
2 1
min
=
−
=
y
y
,
( )
110 5
max
=
=
y
y
;
5) функция имеет две точки локального минимума
( )
3 1
;
1 1
min
1
min
−
=
−
=
−
=
y
y
x
;
( )
30 2
;
2 2
min
2
min
−
=
=
=
y
y
x
и одну точку локального максимума
( )
2 0
;
0
max max
=
=
=
y
y
x
3)
( )
2 2
max
−
=
−
=
y
y
,

171
( )
2 2
min
=
=
y
y
; 6) функция имеет две точки локального минимума
( )
12 5
1 1
;
1 1
min
1
min
=
−
=
−
=
y
y
x
;
( )
25
,
9 3
;
3 2
min
2
min
−
=
=
=
y
y
x
и одну точку локального максимума
( )
2 0
;
0
max max
=
=
=
y
y
x
; 7)
( )
75
,
6 3
min
−
=
−
=
y
y
;
8)
( )
2
,
0 1
max
=
=
y
y
,
( )
4
,
5 3
min
−
=
=
y
y
; 9)
256 27 4
1
min
−
=






=
y
y
; 10) функция имеет две точки локального минимума
0 1
min
=
x
;
( ) ( )
0 2
0
;
2
min
2
min
=
=
=
=
y
y
y
x
и одну точку локального максимума
( )
1 1
;
1
max max
=
=
=
y
y
x
; 11) функция имеет две точки локального минимума
1 1
min
−
=
x
;
( ) ( )
0 1
1
;
1
min
2
min
=
=
−
=
=
y
y
y
x
и одну точку локального максимума
( )
1 0
;
0
max max
=
=
=
y
y
x
; 12)
( )
0 2
max
=
−
=
y
y
,
(
)
10592
,
1 2
,
1
min
−
=
−
=
y
y
;
13)
( )
2 2
max
−
=
−
=
y
y
,
( )
2 2
min
=
=
y
y
;
14)
( )
5
,
1 1
min
=
=
y
y
; 15)
( )
4 1
max
−
=
=
y
y
,
( )
4 5
min
=
=
y
y
; 16)
( )
=
−
=
1
max
y
y
( )
1 1
=
=
y
;
17)
11 1
2 1
min
−
=






=
y
y
;
18) точек экстремума нет
19)
( )
1 0
max
=
=
y
y
,
( )
2 1
min
−
=
=
y
y
; 20) точек локального экстремума нет, наименьшее значение функции достигается в точке
( )
0 наим
21)
2 1
2 1
min
−
=





−
=
y
y
2 1
2 1
max
=






=
y
y
;
22)
( )
3 0
max
=
=
y
y
;
23)
( )
2 1
max
=
=
y
y
;
24)
( )
e
e
y
y
=
=
min
;
25)
=






=
2 1
min
y
y
2 1
2
ln
+
; 26) функция не имеет точек локального экстремума,
( )
( )
0 наим
27)
( )
2 2
max
4
−
−
⋅
=
=
e
e
y
y
,
( )
0 1
min
=
=
y
y
;
28)
=






+
=
n
y
y
π
π
2 3
5
max
,
2 3
5 3
n
π
π +
+
,
2 3
3 2
3
min
n
n
y
y
π
π
π
π
+
−
=





 +
=
Z
n
∈
;
29)
( )
=
=
n
y
y
π
2
max
,
3
ln
(
)
0 2
min
=
+
=
n
y
y
π
π
,
Z
n
∈
;
30)
=






=
12
max
π
y
y
,
2 3
12
+
π

172 2
3 12 5
12 5
min
−
=






=
π
π
y
y
;
31)
=






=
6
max
π
y
y
,
3 1
3 2
−
π
3 1
3 2
6
min
+
−
=





 −
=
π
π
y
y
;
32)
( )
e
y
y
=
=
1
min
;
33)
( )
0 0
min
=
=
y
y
,
( )
2
max
4 2
−
⋅
=
=
e
y
y
; 34)
4 2
1 2
1
max
π
+
−
=





−
=
y
y
,
4 2
1 2
1
min
π
−
=






=
y
y
3.135. 1)
( )
14 31
max
=
=
y
y
,
4 1
17 32 9
32
min
−
=





 −
=
y
y
; 2)
( )
e
e
y
y
1
max
=
=
3.137.
1)
( ) ( )
3 1
1
=
=
−
=
y
y
y
наиб
,
( ) ( )
24 наим
2)
( )
2
e
e
y
y
наиб
=
=
,
( )
0 наим 3)
( )
8 4
=
=
y
y
наиб
,
( )
0 наим
4)
2 3
3 3
=






=
π
y
y
наиб
,
2 наим 5)
( )
1 3
2 наим,
( )
2 0
=
=
y
y
наиб
; 6)
( )
5 3
4
=
=
y
y
наиб
,
( )
1 наим 7)
( )
1
−
=
=
e
e
y
y
наиб
,
( )
1 наим
8)
(
)
132 10
=
−
=
y
y
наиб
,
( ) ( )
0 наим 3.138. а) 1), 4); б) 2), 3). 3.139. Выручка возрастает
0
>
∀
Q
. 3.140. 20 человек 3.141.
300 ед. 3.142. 1) P = 2 дед ед
2) P = 5 дед ед. 3.143. P = 92 дед ед, П = 322 дед дед ед. 3.145. P = 12 дед ед, П = 1800 деда тыс. дед, П = 30500 тыс. дед тыс. дед, П = 31250 тыс. дед мм мм мм мм) Выпуклая на
(
)
∞
+
;
1
, вогнутая на
(
)
1
;
∞
−
, x =
1
−
точка перегиба 2) выпуклая на
(
)
2
;
3
−
, вогнутая на
(
) (
)
∞
+
−
∞
−
;
2 3
;
U
,
3 1
−
=
x
,
2 2
=
x
−
точки перегиба 3) выпуклая на
(
)
2
;
−
∞
−
, вогнутая на
(
)
∞
+
−
;
2
, x = -2
−
точка перегиба 4) выпуклая на
(
) (
)
∞
+
−
∞
−
;
1 1
;
U
, вогнутая на
(
)
1
;
1
−
,
1 1
−
=
x
,
1 2
=
x
−
точки перегиба 5) функция выпуклая, точек перегиба нет 6) выпуклая на
(
)
∞
+
−
;
1
, вогнутая на
(
)
1
;
−
∞
−
, точек

173 перегиба нет 7) выпуклая на
(
)
∞
+
;
0
, вогнутая на
(
)
0
;
∞
−
, точек перегиба нет 8) выпуклая на
(
)
∞
+
;
8
, вогнутая на
( )
8
;
4
, точка перегиба
9) выпуклая на




∞
+
−
;
6 е, вогнутая на




−
6 5
;
0 е,
−
=
−
6 уточка перегиба
10) вогнутая на
(
)
1
;
−
∞
−
, выпуклая на
(
)
∞
+
−
;
1
, x = - 1
−
точка перегиба
11) выпуклая на
( )
1
;
0
, вогнутая на
(
) (
)
∞
+
∞
−
;
1 0
;
U
, точки перегиба 12) выпуклая на
(
)
(
)
∞
+
∞
−
;
3
)
1
;
0
(
0
;
U
U
, вогнутая на
( )
3
;
1
,
1 1
=
x
,
−
=
3 2
x
точки перегиба . 3.153. 1)a = -1,5,
b = 4,5; 2)
2 6
1
=
h
3.155.
а) 2); баи б)
−
при
0
>
x
; 2) а)
−
при
(
)
200
;
0
∈
x
, б) при
100
>
x
. 3.157. 1) а)
(
)
В
С
,
0
,
б)
(
)
∞
+
,
A
С
; 2)
(
)
В
С
,
0
, см. риса, б)
(
)
*
, Q
Q
A
, в ,
*
;
4)
( )
0
<
′′
Q
C
при
(
)
A
Q
Q
,
0
∈
,
( при
(
)
B
A
Q
Q
Q
,
∈
. 3.158. 1) 50 ед
2) 2 еда бед. Объём выпуска уменьшится на 25 ед. 3.161. 5 ед.
3.162. 1)
200
,...,
1
,
5
,
0 1
=
⋅
+
−
=
i
P
Q
i
,
P
Q
⋅
+
−
=
100 200
; 2) 6 дед) ед,
12
−
=
Π
i
дед, в коротком периоде фирмы терпят убытки.
3.163. 1)



>
≤
=
;
,
,
,
0
*
b
P
Q
b
P
Q
2) фирма прибыльна при
b
Q
a
P
+
>
*
, убыточна при
b
Q
a
P
+
<
*
. 3.164. 1) 3 дед дед) дед ед 2) дед ед 3) дед ед 4) дед ед. 3.166. ед, дед дед д. ед./ед.
3.168. 1) а) 226; б) 150,5; в 2) а) 150,25; б) 100; вед. Цена увеличится
A
B
0
B
A
Q
Q
Q
*
Q
C
( Рис

174 над. ед. Прибыль монополии уменьшится над. ед. Сумма налога составит 56 дед. дед, дед дед, дед дед, дед. ед, дед) ед, дед ед, дед 1
=
Q
,
40 2
=
Q
. 3.178. 1)
20 17 5
1
=
P
,
20 17 2
2
=
P
,
80 43 1
1
=
Q
,
80 21 2
=
Q
; 2)
8 1
=
P
,
4 2
=
P
,
1 1
=
Q
,
0 2
=
Q
; 3) дискриминации нет 2
=
P
,
20 27 1
=
Q
,
20 9
2
=
Q
;
4) условие) не выполняется с учётом спроса на обоих рынках фирма может полностью реализовать товар, если
3 1
=
Q
,
5 2
=
Q
, при этом её доход равен нулю макс. доход фирма получит при
6 1
=
P
,
30 2
=
P
,
5
,
1 1
=
Q
,
5
,
2 2
=
Q
, но при этом не реализовано будет 4 ед. товара.