Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
2. Ограниченные и неограниченные последовательности Последовательность называют ограниченной снизу (ограниченной сверху, если найдётся число m (M) такое, что неравенство m ≤ n x (M ≥ n x ) выполнится, тогда m (M) называют нижней (верхней) гранью последовательности. Последовательность, ограниченную снизу и сверху, называют ограниченной. Наибольшую из нижних и наименьшую из верхних граней последовательности { называют соответственно точной нижней и точной верхней гранями последовательности и обозначают n x inf и Если m = n x inf и m ∈ { } n x , то m = n x min (наименьший член последовательности, если M = n x sup и M ∈ { } n x , то M= n x max (наибольший член последовательности. Используя логическую символику, записать определения ограниченной снизу (сверху, ограниченной последовательностей, а также отрицания этих понятий. Доказать, что последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда найдётся число 0 > С такое, что неравенство выполнится ∀ n ∈ N. Для последовательностей { } n x : а) определить, являются ли последовательности ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными б) найти n x inf , n x sup , ,... 2 , 1 = n , наименьший и наибольший члены последовательности, если они существуют 1) n x n 1 1 − = ; 2) ( ) n x n n ⋅ − = 1 ; 3) n x n ln = ; 4) 5 6 2 − − = n n x n ; 5) n n n x 2 ! = ; 6) ( ) + − = − n x n n 3 2 1 1 ; 7) 24 10 2 − − = n n n e x ; 8) 2 cos 1 1 π n n n x n + + = ; 9) ( ) ( ) 1 1 3 1 2 + − + − = n n n x ; 10) n x n sin = ; 11) ( ) ( ) n n n x 1 2 − + ⋅ − = ; 12) 2 sin 1 π n n x n ⋅ + = 11 1. 3. Метод математической индукции Метод используют для доказательства того, что некоторое утверждение выполняется для всех натуральных чисел. Суть метода состоит в следующем проверяется, что утверждение верно для единицы предполагается, что утверждение верно для произвольного натурального числа 1 − n ; доказывается, что утверждение верно для числа n. Применяя метод математической индукции, доказать, что N n ∈ ∀ справедливы равенства 1) ( ) 1 5 , 0 2 1 + ⋅ ⋅ = + + + n n n ; 2) ( ) ( ) 1 2 1 6 1 2 1 2 2 2 + ⋅ + ⋅ = + + + n n n n ; 3) ( ) 2 2 3 3 3 1 25 , 0 Методом математической индукции доказать справедливость неравенств 1) 1 2 1 2 1 2 4 3 2 1 + < − ⋅ ⋅ ⋅ n n n ; 2) ( ) 2 1 3 1 2 1 1 ≥ > + + + + n n n ; 3) ( ) n n n n 1 1 + > + при 3 ≥ n ; 4) n n n x x x n x x x ⋅ ⋅ ⋅ ≥ + + + 2 1 2 1 при n k x k , , 1 , 0 = ≥ (среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность { } n α называют бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого числа 0 > ε найдётся номер ( ) ε N N = такой, что для всех n >N выполнится неравенство n α < ε . В этом случае пишут 0 lim = ∞ → n n x или n x → 0 при n → ∞ . Последовательность { } n x называют бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого действительного числа 0 > C найдётся номер такой, что для всех n >N выполнится неравенство n x > C. В этом случае пишут ∞ = ∞ → n n x lim или при n → ∞ . Сумма, разность, произведение бесконечно малых последовательностей, а также произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть последовательность бесконечно малая. Если последовательность { } n x − бесконечно большая и 0 ≠ n x N n ∈ ∀ , то { } − n x 1 бесконечно малая если последовательность { бесконечно малая и 0 ≠ n α N n ∈ ∀ , то { } − n α 1 бесконечно большая. 12 Пример 1.1. Доказать, что 1) последовательность { } a n , где 0 ≠ a , произвольное действительное число при 0 > a является бесконечно большой, при 0 < a − бесконечно малой 2) последовательность { } n q при 1 > q является бесконечно большой, при 1 < q − бесконечно малой. Решение 1) Пусть 0 > a . Из определения бесконечно большой последовательности для любого действительного числа 0 > C требуется найти такой номер ( С, чтобы для всех n >N выполнялось неравенство. В рассматриваемом примере a n n x = , выпишем неравенство. Из обеих частей последнего неравенства извлечем корни степени a , поскольку 0 > a , то получим неравенство. Искомое число ( С определяется правилом [ ] { } a C N ; 1 max = . Для записи номера N здесь используется функция [ ] x , называемая целой частью числа x . По определению целая часть действительного числа x равна наибольшему целому числу, не превосходящему x . Итак, правило для определения числа N найдено, последовательность { } a n при 0 > a является бесконечно большой. Пусть 0 < a . Из определения бесконечно малой последовательности { } n α для любого действительного числа 0 > C требуется найти такой номер ( ) ε N N = , чтобы для всех n >N выполнялось неравенство Имеем α α n n = , выпишем неравенство n α < ε : ⇒ <ε α n ε α < n . Из обеих частей последнего неравенства извлечем корни степени α , поскольку, то получим неравенство α ε > n . Искомое число N определяется правилом [ ] { } α ε ; 1 max = N . Последовательность { } α n при 0 < α является бесконечно малой. 2) Пусть 1 > q . Докажем, что последовательность { } n q является бесконечно большой. Для любого действительного числа 0 > C выпишем неравенство при n n q x = : n q > C C q n > ⇒ . Прологарифмируем обе части неравенства по основанию q , поскольку 1 > q , получим неравенство > n q q log ⇒ C q log > ⋅ q n q log ⇒ C q log > n ⇒ C q log 13 { } C N q log ; 1 max = . Последовательность { } n q при 1 > q является бесконечно большой. При 1 < q для любого 0 > C из неравенства n α < ε при получим n q < ε ε < ⇒ n q . Прологарифмируем обе части неравенства по основанию q , поскольку 1 < q , получим неравенство Последовательность { } n q при 1 < q является бесконечно малой. Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания 1) последовательность { } n α является бесконечно малой 2) последовательность { } n x является бесконечно большой. Доказать, что заданные последовательности { } n x являются бесконечно малыми 1) ( ) n x n n 1 1 + − = ; 2) ! 1 n x n = ; 3) 1 2 3 + = n n x n ; 4) ( ) n n n x 999 , 0 Доказать, что заданные последовательности { } n x являются бесконечно большими 1) n x n − = ; 2) 2 n x n = ; 3) n n x 2 = ; 4) ( ) 1 5 2 1 + ⋅ ⋅ − = n n x n n 1.28. 1) Доказать, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. 2) Сформулировать и доказать основные свойства бесконечно больших последовательностей, связанные с арифметическими действиями над последовательностями. Доказать, что последовательности 1) ( ) ( ) { } n n ⋅ − + 1 1 ; 2) ( ) { } n n 1 − неограниченные, ноне являются бесконечно большими. 1.30. Установить, какие из заданных последовательностей являются a) бесконечно малыми, б) бесконечно большими 1) ( ) n n n x 1 − = ; 2) n x n 100 = ; 3) 1 2 + = n n x n ; 4) 2 sin n n x n π = ; 5) ( ) 1 2 1 2 + ⋅ − = n n x n n ; 6) ( ) n x n lg lg = 1.5. Сходящиеся последовательности Последовательность { } n x называют сходящейся к числу a, если для любого числа 0 > ε найдётся номер ( ) ε N N = такой, что для всех n >N выполнится неравенство a x n − < ε . В этом случае пишут a x n n = ∞ → lim или 14 n x → a при n →∞ , число a называют пределом последовательности { Последовательности, не являющиеся сходящимися, называют расходящимися. Если с постоянная, a x n n = ∞ → lim , b y n n = ∞ → lim , тогда 1) с с n = ∞ → lim ; 2) ( ) = ± ∞ → n n n y x lim ± ∞ → n n x lim b a y n n ± = ∞ → lim ; 3) ( ) = ⋅ ∞ → n n n y x lim b a ⋅ ; 4) ( ) = ⋅ ∞ → n n x с lim a с ⋅ ; 5) ( ) = ∞ → n n n y x / lim b a / , Если n x → a, n y → b при n →∞ и, начиная с некоторого номера, Пусть даны три последовательности { } n x , { } n y , { } n z . Если, начиная с некоторого номера, n n n z y x ≤ ≤ и n x → a, n z → a при n →∞ , тогда a при n →∞ . Данные свойства широко используются при вычислении пределов. В тех случаях, когда свойства пределов непосредственно применить не уда- ётся, например, когда общий член последовательности представим в виде отношения двух бесконечно больших последовательностей (неопределён- ность ∞ ∞ ) или разности двух бесконечно больших последовательностей одного знака (неопределённость ∞ − ∞ ) и т.д., общий член последовательности следует предварительно преобразовать. Пример 1.2. Пользуясь определением предела последовательности доказать, что 5 1 2 Решение. Из определения предела последовательности видно для доказательства существования предела a x n n = ∞ → lim следует ∀ 0 > ε найти такой номер ( ) ε N N = , чтобы для всех n >N выполнялось неравенство a x n − В рассматриваемом примере 1 2 10 − = n n x n , 5 = a . Выпишем ∀ 0 > ε неравенство, получим ε < − − 5 1 2 Преобразуем его ⇒ < − + − ε 1 2 5 10 10 n n n ⇒ < − ε 1 2 5 n ⇒ + > ε ε 2 5 n + = ε ε 2 Пример 1.3. Вычислить 1) 7 3 5 4 lim 2 2 − + + + ∞ → n n n n n ; 2) 7 5 3 1 4 2 lim 2 3 2 − + − + ∞ → n n n n n ; 3) 3 1 2 lim 3 4 + + + + ∞ → n n n n n ; 15 4) ( ) ( ) ! ! 1 ! 2 lim n n n n + + + ∞ → ; 5) 5 7 7 lim 1 + + ∞ → n n n ; 6) ( ) 1 cos 3 2 lim 2 + ⋅ − ∞ → n n n n ; 7) ( ) n n n n − + + ∞ → 1 Решение. 1) Имеем неопределённость ∞ ∞ . Разделим числитель и знаменательна старшую степень n в примере = − + + + ∞ → 7 3 5 4 lim 2 2 n n n n n = − + + + ∞ → 2 2 7 1 3 5 4 1 lim n n n n n ( ) ( ) = − + + + ∞ → ∞ → 2 2 7 1 3 lim 5 4 1 lim n n n n n n = − + + + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → 2 2 7 lim 1 lim 3 lim 5 lim 4 lim 1 lim n n n n n n n n n n = − + + + 0 0 3 0 0 1 3 1 2) Имеем неопределённость ∞ ∞ . Разделим числитель и знаменательна) Имеем неопределённость ∞ ∞ . Разделим числитель и знаменательна, поскольку числитель дроби стремится к числу, равному 2, а знаменатель является бесконечно малым при ∞ → n 4) Имеем неопределённость ∞ ∞ . Напомним, что использованная в примере функция факториал ( ) ! n n f = определена на множестве всех неотрицательных целых чисел, причём: ( ) 1 0 = f , ( Следовательно, n n ⋅ ⋅ ⋅ = 2 1 ! , ( ) ( ) 1 ! ! 1 + ⋅ = + n n n , ( ) ( ) ( ) 2 1 ! ! 2 + ⋅ + ⋅ = + n n n n . С учётом этого ( ) ( ) = + + + ∞ → ! ! 1 ! 2 lim n n n n ( ) ( ) ( ) = ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ∞ → ! 1 1 ! 1 2 lim n n n n n n ( ) ( ) ( ) = + + ⋅ + ∞ → 2 1 2 lim n n n n ( ) ∞ = + ∞ → 1 lim n n 5) Имеем неопределённость ∞ ∞ . Разделим числитель и знаменательна) Последовательности, стоящие в числителе и знаменателе рассматриваемой в примере дробине имеют конечных пределов при ∞ → n . Разделим числитель и знаменатель дробина старшую степень n , имеющуюся в примерена. Получим ( ) = + ⋅ − ∞ → 1 cos 3 2 lim 2 n n n n ( ) 0 1 1 cos 3 2 lim 2 2 = + ⋅ − ∞ → n n n n n , поскольку преобразованный числитель равен произведению бесконечно малой при ∞ → n последовательности ( ) 2 3 2 n n − и ограниченной последовательности, следовательно, является бесконечно малым при ∞ → n , а знаменатель стремится к 1 при ∞ → n 7) Имеем неопределённость ∞ − ∞ . Умножим и разделим общий член последовательности на сумму ( ) n n n + + + 1 3 2 : ( ) = − + + ∞ → n n n n 1 3 lim 2 ( ) ( ) ( ) = + + + + + + ⋅ − + + ∞ → n n n n n n n n n n 1 3 1 3 1 3 lim 2 2 2 ( ) = + + + − + + ∞ → n n n n n n n 1 3 1 3 lim 2 2 2 ( ) n n n n n + + + + ∞ → 1 3 1 Получили неопределённость ∞ ∞ . Разделим числитель и знаменатель дробина старшую степень 2 n n = : ( ) = − + + ∞ → n n n n 1 3 lim 2 ( ) 2 3 1 1 3 1 1 Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенства 1) 2 3 2 lim = + ∞ → n n n ; 2) 0 cos lim = ∞ → n n n ; 3) 1 3 5 3 lim 2 2 = + + − ∞ → n n n n ; 4) 3 3 5 Найти n n x a ∞ → = lim и определить номер ( ) ε N такой, что ε < − a x n при всех ( ) ε N n > , если 1) ; 001 , 0 , 3 33 , 0 = = ε 3 2 1 n n x 2) ; 001 , 0 , 2 sin 1 = = ε π n n x n 3) ; 005 , 0 , 1 2 = + = ε n n x n 4) 005 , 0 , 3 5 1 Доказать, что заданные последовательности - расходящиеся. Определить, являются ли последовательности ограниченными или неограниченными 2 1 + − = n x n n ; 6) 3 sin 2 Вычислить пределы |