Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 4 из 29

1.96.
1) Выпуск продукции предприятия ежегодно увеличивается на
8 %: а) каков будет объём продукции через 5 лет, если начальный объём продукции равен Q; б) через сколько лет объём продукции удвоится
2) Выпуск продукции предприятия залет увеличился на 50 %. Определить среднегодовой темп прироста продукции.
1.97.
Темпом инфляции называется темп прироста среднего уровня цен. Через какой промежуток времени средний уровень цен удвоится, если темп инфляции составляет 10 % в месяц
3. Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения описывает динамику изменения цены на рынке отдельного товара. Если
( )
P
D
D
=
,
( )
−
=
P
S
S
соответственно заданные функции спроса и предложения от цены товара, то модель описывается соотношениями) где цена, спроси предложение в периоде t, цена в периоде
1
−
t
, t номер периода, начальная цена
0
P задана. Ознакомьтесь с описанной выше дискретной паутинообразной моделью рынка с запаздыванием предложения.
1) Поясните, какова экономическая интерпретация равенств (1.1) и рекуррентного уравнения (1.2)?
2) Пусть функции спроса и предложения линейны
( )
P
b
a
P
D
⋅
−
=
,
( )
P
d
c
P
S
⋅
+
=
,
a, b, c, d параметры (в нормальных условиях a, b, c, d > 0). Варианты численных значений параметров приведены в таблице 1.1.

24 Таблица 1.1. Варианты численных значений параметров для дискретной паутинообразной модели рынка Номер варианта
a
b
c
d
0
P
1 10 2
1 1
3,5 2
16 1
1 3/2 3
3 9
1 1
1 2
4 24 3/2 2
1 6
5 13 1
1 2
6 6
102 2
2 3
5 7
100 3
20 2
20 a) Конкретизируйте дискретную паутинообразную модель рынка с запаздыванием предложения для линейных функций спроса и предложения и выбранного варианта численных значений параметров функций из табл. b) Найдите траектории цены
( )
t
P
P
t
=
из рекуррентного уравнения рассматриваемого вами варианта модели, а также траектории спроса
( )
t
D
D
t
=
и предложения
( )
t
S
S
t
=
c) Исследуйте поведение последовательностей
{ }
t
P ,
{ }
t
D и
{ }
t
S . В частности, определите, являются ли данные последовательности сходящимися при
∞
→
t
d) Постройте графики функций
( )
t
P
P
t
=
,
( )
t
D
D
t
=
,
( )
t
S
S
t
=
при
0
≥
t
и отметьте на графиках точки, соответствующие целым значениям) Постройте водной системе координат прямые спроса
( )
P
D
D
=
и предложения
( )
1
−
=
t
t
P
S
S
, обозначив оси координат как показано на рис (на оси абсцисс OQ откладываются объёмы спроса D и предложения S). Отметьте на прямых спроса и предложения точки с координатами
(
)
0 0
, D
P
,
(
)
1 0
, S
P
,
(
)
1 1
, D
P
,
(
)
2 1
, S
P
, … ,
(
)
n
n
D
P ,
,
(
)
1
,
+
n
n
S
P
, …, соедините их последовательно отрезками. Стало ли вам понятно, почему модель носит название «паутинообраз- ной
P
0
Q Рис

25 Глава 2. Введение в анализ функции одной переменной
2.1. Понятие функции одной переменной. Экономические переменные. Функции экономического анализа
1. Понятие функции одной переменной. Пусть X
−
произвольное множество действительных чисел. Если задано правило, по которому каждому элементу
X
x
∈
ставится в соответствие единственное действительное число
y
, то говорят, что на множестве X определена числовая функция При этом x называют независимой переменной (независимой переменной величиной) или аргументом,
y
−
зависимой переменной, а правило, устанавливающее соответствие между x и
y
, обозначают некоторым символом, например
f
, и пишут
( )
x
f
y
=
,
X
x
∈
. Множество X называют
областью определения функции и обозначают также
f
D
или
( )
f
D
, множество значений
( )
x
f
, которые принимает функция на множестве X , те.
=
Y
( )
{
}
X
x
x
f
y
R
y
∈
=
∈
,
|
, называют множеством значений функции обозначают также
f
E
или
( )
f
E
. Если множество X не задано специально, то под областью определения функции
( )
x
f
y
=
понимают множество значений аргумента, при которых данная функция вообще имеет смысл. Например, область определения функции
x
x
y
1 2
+
+
=
определяется условиями
0 2
≥
+
x
и
0
≠
x
, откуда имеем
[
) (
)
∞
+
∪
−
=
;
0 Однако одна и та же функция может быть задана в различных частях своей области определения разными формулами (кусочно заданные функции. Так, запись



≥
<
+
=
0
,
,
0
,
1 означает, что функция определена на всей числовой оси, причём при е значения подсчитываются по формуле
1 2
+
=
x
y
, а при
0
≥
x
−
по формуле Найти области определения следующих функций
1) y
x
x
=
+
2 1
;
2)
(
)
y
x
=
+
ln
3
;
3)
y
x
=
−
5 2
;
4) y
x
x
=
−
3 2
3
;
5)
(
) (
)
y
x
x
=
+ +
−
lg lg
2 2
;
6)
y
e
x
=
−
2
;
7) y
x
=
−
1
;
8) y
x
=
sin
;
9)
(
)
y
x
x
x
= −
+
−
2 1
1
;
10) y
x
=
−
arcsin
1 2 4

26 Найти области определения и множества значений следующих функций
1) y
x
x
=
+ −
2 2
;
2)
(
)
x
y
cos
2 1
ln
−
=
;
3) y
x
x
=
+
arccos
2 Найти множество Y , на которое данная функция отображает множество X , если
1)
y
x
=
2
,
[
]
X
= −
1 2
,
;
2) y
x
=
lg ,
[
]
X
=
10 100
,
;
3)
1 2
+
=
x
x
y
,
( )
X
=
0 1
,
;
4)
y
x
=
,
{
}
X
x
R
x
=
∈
< ≤
| 1 Вычислить значения функций при заданных значениях аргументов, вычислить )
f
−
1
,
(
)
f
−
0 001
,
,
( )
f 100
;
2)
( )



+∞
<
<
≤
<
∞
−
+
=
x
x
x
x
f
x
0
,
2
,
0
,
1
, вычислить
( )
f
−
2
,
( )
f 0
,
( )
f 1
,
( )
f 2
;
3)
( )
f x
x
=
−
3 1, найти
( )
f 1
,
( )
f a
,
(
)
f a
+
1
,
(
)
f a
−
1
,
( )
2 2
f
a
;
4)
( )
f x
x
x
= −
+
1 1
, найти
( )
f 0
,
( )
f
x
−
,
(
)
f x
+
1
,
( )
f x
+
1
, f
x
1




,
( )
1
f Найти
( )
f x
, если
1)
(
)
f x
x
x
+ =
−
+
1 3
2 2
;
2) f x
x
x
x
+




=
+
1 1
2 2
(
)
x
≥
2 . Показать, что функция
( )
x
f
удовлетворяет указанному функциональному уравнению
1)
(
)
(
) ( )
0 1
2 2
=
+
+
−
+
x
f
x
f
x
f
,
( )
f x
kx
b
=
+
,
k постоянные
2)
( ) (
)
(
)
(
)
,
1 1
+
⋅
=
+
+
x
x
f
x
f
x
f
( )
f x
x
a
=
log
, a
a
>
≠
0 Найти
1) линейную функцию (многочлен первой степени)
( )
f x
ax
b
=
+
, если, вычислить )
f 1
,
( )
f 2
;
2) квадратичную функцию многочлен второй степени)
( )
f x
ax
bx
c
=
+
+
2
, если
( )
f
− =
2 0
,
( )
f 0 1
=
,
( )
5 1
=
f
; вычислить )
f
−
1
,
( )
f 0 5
,
;
3) многочлен третьей степени
( )
f x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+
3 2
, если
( )
f
− =
1 0
,
( )
f 0 2
=
,
( )
f 1 3
= −
,
( )
f 2 5
=
;
4) функцию вида
( )
f x
a
bc
x
= +
, если
( )
f 0 15
=
,
( )
f 2 30
=
,
( )
f 4 90
=
2. Экономические переменные. Функции экономического анализа. В экономике величины характеризуются не только своими числовыми значениями, но имеют содержательный смысл, для них обычно используют специальные обозначения цену принято обозначать через
P
или
p
, объём

27 спроса
−
через
D
или
d
Q
, объём предложения
−
через
S
или
s
Q
, количество, объём
−
q
или
Q
и т.д. Переменные, имеющие конкретный экономический смысл, называют экономическими переменными или показателями. Содержательный экономический смысл переменных учитывают при нахождении их областей изменения. Перечисленные выше экономические переменные в обычной ситуации принимают только неотрицательные значения
Приведём примеры функций одной переменной, используемых в экономической теории. Рассмотрим рынок некоторого товара. Пусть
−
P
цена товара. Функцией спроса от цены товара называют функцию, которая описывает зависимость максимального количества товара, которые потребители согласны приобрести за определённый период (например, месяц, год и т.д.), от цены этого товара. Функцию спроса от цены обозначают
( )
P
f
D
=
,
( )
P
f
Q
d
=
или
( )
P
D
Q
=
, где
D
,
d
Q
и
−
Q
объём спроса на рассматриваемый товар. Функция предложения от цены товара описывает зависимость максимального количества товара, которые продавцы готовы продать за опре- делённый период, от цены этого товара. Для функции предложения отце- ны используют обозначения
( )
P
g
S
=
,
( )
P
g
Q
s
=
или
( )
P
S
Q
=
, где
S
,
s
Q
и
−
Q
объём предложения товара. При этом для каждого значения цены
0
≥
P
объём совокупного рыночного спроса на товар равен сумме объёмов спроса всех потребителей. Предположим, на рынке имеется n потребителей (покупателей товара, для каждого из них известна индивидуальная функция спроса от цены товара
( )
P
f
D
i
i
=
,
n
i
,...,
1
=
. Тогда можно предложить следующее правило построения функции (совокупного) рыночного спроса
( )
P
f
D
=
1. Найти область определения M функции
( )
P
f
D
=
, равную объединению областей определения функций
( )
P
f
D
i
i
=
,
n
i
,...,
1
=
2. Доопределить каждую из функций
( )
P
f
D
i
i
=
,
n
i
,...,
1
=
на множество нулём, те. построить функции
( )
( )



∈
∈
=
i
i
i
i
M
M
P
M
P
P
f
P
f
/
,
0
,
,
,
n
i
,...,
1
=
3. Положить
( )
( )
( Аналогично строится функция совокупного рыночного предложения иначе, отраслевого предложения)
( )
P
f
S
=
товара, если известны индивидуальные функции предложения по цене товара продавцов.(Отрасль группа фирм, продающих на рынке определённый вид товара) Рыночное равновесие состояние на рынке товара, при котором рыночная цена устанавливается на таком уровне
*
P
, что соответствующие объёмы спроса и предложения совпадают
( )
=
=
*
*
P
f
Q
d
( )
*
*
P
g
Q
s
=

28 При этом цена и объём называют равновесными, а пару
(
)
−
*
*
, точкой равновесия. Рассмотрим теперь производство, например, фирму, которая выпускает один вид продукции. Зависимость максимально возможного объёма выпуска продукции фирмы за определённый период времени от количества затраченных для этого ресурсов называют производственной функцией. Если затраты всех ресурсов, кроме одного, постоянны, то мы имеем дело с однофакторной производственной функцией. Обозначим объём выпуска продукции через
Q
, а количество единственного переменного ресурса через
x
, тогда производственную функцию можно записать в виде
( )
x
f
Q
=
Часто в качестве переменных факторов производства используют затраты труда
L
(или
N
), измеренные, например, в человеко
−
часах; затраты капитала
K
, измеренные в денежных единицах затраты материалов
M
, единицы измерения которых зависят от вида материалов и могут выражаться в единицах веса, площади, объёма, штуках и т.д.
Однофакторные производственные функции в экономической теории используют, в частности, при анализе деятельности фирм в коротком периоде. Коротким называют периодвремени, в течение которого объемы части факторов, используемых в производстве, не изменяются. Факторы, объемы которых в коротком периоде не изменяются, называют постоянными, а факторы, объемы использования которых изменяются, называют переменными. Наиболее часто единственным переменным фактором являются затраты труда Функцией издержек (затрат) называют функцию, которая выражает зависимость между объёмом произведённой продукции
Q
и минимально необходимыми издержками её производства. Функцию обозначают
( )
Q
C
C
=
или
( Доходили выручка фирмы
R
от продажи
Q
единиц произведённого товара по цене
P
определяется равенством Прибыль фирмы равна разности между выручкой и издержками
С
R
−
=
Π
Пример 2.1. На рынке некоторого товара имеется три потребителя, известны их индивидуальные функции спроса от цены товара
P
D
5 30 1
−
=
,
P
D
10 40 2
−
=
,
P
D
20 40 3
−
=
. Найти функцию рыночного спроса на данный товар. Решение. Функция
P
D
5 30 1
−
=
является линейной. Линейная функция определена на множестве всех действительных чисел. Однако, учитывая ограничения на знаки экономических переменных, получим
⇔



≥
≥
0
,
0 1
D
P
⇒



≥
−
≥
0 5
30
,
0
P
P
[
]
6
;
0
∈
P
,

29 область определения функции спроса первого покупателя
[
]
6
;
0 Аналогично для
P
D
10 40 2
−
=
:
⇒



≥
−
≥
0 10 40
,
0
P
P
[
]
4
;
0 2
=
M
; для
P
D
20 40 3
−
=
:
⇒



≥
−
≥
0 20 40
,
0
P
P
[ ]
2
;
0 Следовательно, функция рыночного спроса имеет область определения. Доопределим на отрезок функции индивидуального спроса, получим
( )
[ ]
6
;
0 5
30 1
∈
∀
−
=
P
P
P
f
;
( )
[ ]
(
]



∈
∈
−
=
6
;
4
,
0
,
4
;
0
,
10 40 2
P
P
P
P
f
,
( )
[ ]
(
]



∈
∈
−
=
6
;
2
,
0
,
2
;
0
,
20 40 3
P
P
P
P
f
, суммируя их, найдём функцию рыночного спроса
[ ]
(
]
(
]
⇒




∈
−
∈
−
+
−
∈
−
+
−
+
−
=
6
;
4
,
5 30
,
4
;
2
,
10 40 5
30
,
2
;
0
,
20 40 10 40 5
30
P
P
P
P
P
P
P
P
P
D
[ ]
(
]
(
]




∈
−
∈
−
∈
−
=
6
;
4
,
5 30
,
4
;
2
,
15 70
,
2
;
0
,
35 Для следующих функций общих (суммарных) издержек производства а)
2
+
=
q
C
; б 5
,
0
+
=
q
e
C
; в)
q
C
−
=
400 здесь С общие издержки, а
−
q
количество выпускаемой продукции) найти области определения и множества значений. Допустим, что функция общих издержек некоторой производственной фирмы
( )
q
f
C
=
, где
−
q
число изготовленных в месяц изделий, задана таблично Число изделий в месяц (шт)
0 1
2 3
4 5 Общие издержки в месяц (тыс. руб)
0 20 30 40 60 80 Найти её область определения
f
D
и множество значений На рынке некоторого товара имеется три продавца, известны их индивидуальные функции предложения от цены товара
P
S
+
−
=
12 1
,
P
S
4 16 2
+
−
=
,
P
S
5 10 3
+
−
=
. Найти функцию рыночного предложения на данный товар.