Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 8 из 29

3.2. Производная явной функции
1. Таблица производных основных элементарных функций.
1.
( )
,
0
,
1
≠
⋅
=
′
−
α
α
α
α
x
x
2 .
(
)
x
x
cos действительное число.
3.
(
)
x
x
sin cos
−
=
′
4.
( )
x
tgx
2
cos
1
=
′
5.
(
)
x
ctgx
2
sin
1
−
=
′
6.
(
)
2 1
1
arcsin
x
x
−
=
′
7.
(
)
2 1
1
arccos
x
x
−
−
=
′
. 8.
(
)
2 1
1
x
arctgx
+
=
′
. 9.
(
)
2 1
1
x
arcctgx
+
−
=
′
10.
( )
−
>
=
′
a
a
a
a
a
x
x
,
0
,
ln действительное число.
11.
( )
x
x
e
e
=
′
12.
(
)
1
,
0
,
ln
1
log
≠
>
=
′
a
a
a
x
x
a
,
−
a
действительное число.
13.
( )
x
x
1
ln
=
′

53
2. Основные правила дифференцирования Пусть
−
c постоянная величина и функции
( )
x
u
u
=
и
( )
x
v
v
=
дифференцируемы, тогда
1.
( с. 2.
( )
u
c
cu
′
⋅
=
′
3.
(
)
v
u
v
u
′
±
′
=
′
±
4.
( )
v
u
v
u
v
u
′
⋅
+
⋅′
=
′
⋅
5.
0
,
2
≠
′
⋅
−
⋅′
=
′






v
v
v
u
v
u
v
u
6. Если функция
( )
x
u
u
=
дифференцируема в точке
0
x , функция
( дифференцируема в точке
( )
0 0
x
u
u
=
, то сложная функция
( )
( дифференцируема в точке
0
x и
( )
( )
(
) ( )
0 0
0
x
u
x
u
f
x
y
u
x
′
⋅
′
=
′
(3.1)
Пример 3.3. Применяя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные следующих функций
1)
4 7
5 2
2 3
+
+
−
=
x
x
x
y
;
2)
arctgx
x
y
⋅
=
3
;
3)
(
)
2
ln
3
−
⋅
=
x
x
x
y
;
4)
x
x
x
x
y
cos sin cos sin
+
−
=
;
5)
(
)
4 5
3 2
+
=
x
y
;
6)
(
)
5 2
sin
+
=
x
y
;
7)
2
ln
x
tg
y
=
;
8)
1
,
1 2
arcsin
4 2
<
+
=
x
x
x
y
;
9)
x
x
x
e
e
arctg
e
y
2 Решение. 1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
+
′
+
′
−
′
=
′
+
′
+
′
−
′
=
′
0 7
5 2
4 7
5 2
2 3
2 3
x
x
x
x
x
x
y
7 10 6
1 7
2 5
3 2
2 2
+
−
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=
x
x
x
x
2)
( )
(
)
2 3
2 3
3 1
3
x
x
arctgx
x
arctgx
x
arctgx
x
y
+
+
=
′
+
′
=
′
3) Перепишем функцию в следующем виде
(
)
2
ln
3 2
/
3
−
⋅
=
x
x
y
, тогда
( )
(
)
(
)
=
′
−
⋅
+
−
⋅
′
=
′
2
ln
3 2
ln
3 2
/
3 2
/
3
x
x
x
x
y
(
)
=
⋅
+
−
⋅
x
x
x
x
3 2
ln
3 2
3 2
/
3 2
/
1
x
x
x
x
x
x
ln
2 9
3 3
ln
2 9
2
/
1 2
/
1 2
/
1
=
+
−
⋅
4)
(
) (
) (
) (
)
(
)
=
+
′
+
⋅
−
−
+
⋅
′
−
=
′
2
cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
(
) (
) (
) (
)
(
)
=
+
−
⋅
−
−
+
⋅
+
2
cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
) (
)
(
)
(
)
2 2
2 2
cos sin
2
cos sin cos sin cos sin
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
+
−
+
+
5) Применим формулу (3.1) производной сложной функции, учитывая, что промежуточный аргумента. Вычислим

54
( )
( )
(
)
4 5
3 10 3
2
,
4
x
x
x
u
u
u
f
=
′
+
=
′
=
′
, подставляя в формулу (3.1), получим
( )
(
)
(
)
3 5
4 4
3 5
3 2
40 10 3
2 4
+
⋅
=
⋅
+
=
′
=
′
x
x
x
x
x
y
y
x
6)
(
) (
)
(
)
5 2
cos
2 5
2 5
2
cos
+
=
′
+
⋅
+
=
′
x
x
x
y
7) При нахождении производной здесь последовательно дважды используется формула производной сложной функции
x
co
x
x
x
x
x
x
tg
x
tg
x
tg
y
sec sin
1 2
cos
2
sin
2 1
2 2
cos
1 2
1 2
2 1
2
=
=
⋅
=
′






⋅
⋅
=
′






⋅
=
′
8)
=
′






+
⋅






+
−
=
′
4 2
2 4
2 1
2 1
2 1
1
x
x
x
x
y
( )
(
)(
)
( )
( )
=
+
⋅
−
+
⋅
⋅
+
−
+
+
+
2 4
2 3
4 4
2 4
2 4
1 2
4 1
4 2
1 2
1 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
( )
( ) ( )
4 4
4 4
1 4
1 1
4 1
1
x
x
x
x
x
x
+
=
+
−
⋅
⋅
−
=
9) Используя свойства логарифма, перепишем исходную функцию в виде
(
)
x
x
x
e
e
arctg
e
y
2 1
ln
2 1
+
−
⋅
=
и вычислим производную
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1
1 1
(
)
( ln 1
)
2 2
2 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
y
e
arctg e
e
e
arctg e
e
e
e
e
arctg e
′
′
′
=
⋅
−
+
= ⋅
+
− ⋅
⋅
=
+
+
= Пример 3.4. Вычислить
( )
0
x
f
′
, если
1)
( )
;
8
,
16 1
0 3
2
=
+
−
=
x
x
x
x
f
2)
( )
(
)
2
,
2
cos
0 Решение При решении данных примеров следует сначала найти производные, а затем вычислить их значения в точках
0
x :
1)
( )
;
16 3
2 2
3 1
x
x
x
f
−
−
=
′
−
( )
12 7
4 1
3 1
8 16 8
3 2
8 2
3
−
=
−
−
=
−
−
=
′
f
;
2)
( )
(
)
(
)
;
2
sin
2
cos
2 2
−
−
−
=
′
x
x
x
x
x
f
( )
4 0
sin
2 0
cos
2 2
2 Найти производные функций
1)
5 4
3 2
3
−
+
−
=
x
x
x
y
;
2)
7 5
3
+
=
x
y
;

55 3)
3 7
x
y
=
;
4)
2 3
6 4
1
x
x
y
−
=
;
5)
4 2
4 1
2 3
x
x
x
y
+
−
=
;
6)
5 2
1 1
x
x
x
y
−
+
=
;
7)
2 2
1





 −
=
x
y
;
8)
2 2
3 1





 +
=
x
y
;
9)
3 3
2
x
x
x
y
−
⋅
+
=
;
10)
4 3
4 6
x
x
y
⋅
−
⋅
=
;
11)
x
x
y
2 3
3
−
=
;
12)
2 6
3
+
+
=
x
x
y
;
13)
3 4
3
x
x
y
⋅
=
;
14)
4 3
5 4
7 2
x
x
x
x
y
⋅
+
⋅
=
;
15)
2 4
1




−
=
x
x
y
;
16)
3 3
3 1




+
=
x
x
y
;
17)
x
x
x
y
cos
6
sin
2
−
+
=
;
18)
4 5
3
cos
+
⋅
+
=
tgx
x
y
;
19)
7 3
2 2
−
⋅
+
=
tgx
x
y
;
20)
x
ctgx
y
sin
4
+
=
;
21)
x
e
x
y
⋅
−
=
4
sin
5
;
22)
x
e
x
y
⋅
+
=
7 5
;
23)
x
x
y
5 3
2
⋅
+
=
;
24)
5 2
8 4
+
−
⋅
=
x
x
y
;
25)
2 1
2
ln
2 3
2
−
+
=
x
x
y
;
26)
x
x
x
y
3
ln
+
+
=
;
27)
3 2
+
−
=
arctgx
x
y
;
28)
x
x
y
arcsin
5
sin
+
=
;
29)
x
x
y
cos
3
⋅
=
;
30)
(
)
ctgx
x
y
⋅
+
=
1
;
31)
(
)
x
x
x
x
y
cos
2
sin
2 2
+
⋅
−
=
;
32)
x
x
y
sin
2
⋅
⋅
=
;
33)
x
e
x
y
⋅
=
2
;
34)
(
)
1 3
−
⋅
=
x
e
x
y
;
35)
(
)
1
sin
2
+
⋅
=
x
y
x
;
36)
x
e
y
x
arcsin
⋅
=
;
37)
(
)
arctgx
e
y
x
⋅
−
=
5
;
38)
(
)
x
x
e
y
x
cos sin
3
−
−
⋅
=
;
39)
x
x
y
ln
3 2
⋅
=
;
40)
(
)
x
x
x
y
3 3
log
2
⋅
−
=
;
41)
1 2
2
+
=
x
x
y
;
42)
x
x
y
4 1
−
=
;
43)
2
cos
x
x
y
=
;
44)
x
tgx
y
=
;
45)
x
x
y
cos
1
sin
2
+
⋅
=
;
46)
x
x
y
sin
2 1
cos
+
=
;
47)
x
x
e
e
y
−
+
=
1 1
;
48)
1 2
3
+
=
x
x
y
;

56 49)
x
x
y
2
log
5
+
=
;
50)
x
x
y
ln
1
+
=
;
51)
x
x
y
arcsin
=
;
52)
1 2
+
=
x
arctgx
y
;
53)
x
x
y
2 3
3 2
=
;
54)
x
x
y
5 Используя правило вычисления производной сложной функции, переписать таблицу производных, заменив в функциях аргумент x на функцию
( Найти производные сложных функций
1)
x
y
6
sin
=
;
2)
3
cos
6
x
y
=
;
3)
2
sin
2
cos
x
x
y
−
=
;
4)
2 3
sin
3
cos
x
x
y
+
=
;
5)





 +
=
3 2
2
x
ctg
y
;
6)
(
)
5 3
+
=
x
tg
y
;
7)
2 1
3
+
=
x
e
y
;
8)
7 5
2
+
=
x
y
;
9)
(
)
7 5
lg
+
=
x
y
;
10)
2 5
arcsin
x
y
=
;
11)
(
)
7 5
1
x
y
−
=
;
12)
(
)
10 3
2
x
y
+
=
;
13)
(
)
3 2
3 4
x
y
+
=
;
14)
x
y
2 1
−
=
;
15)
(
) (
)
5 1
4 1
4 1
+
⋅
+
=
x
x
y
;
16)
(
)
2 5
2 5
2
+
⋅
+
=
x
x
y
;
17)
(
)
5 2
1 2
x
y
−
=
;
18)
(
)
3 2
5 1
x
y
+
=
;
19)
4 2
3 1
x
y
+
=
;
20)
3 4
1
x
y
+
=
;
21)
1
cos
+
=
x
y
;
22)
5
sin
2
x
x
y
−
=
;
23)
x
tg
y
6
=
;
24)
x
y
2
sin
=
;
25)
x
tg
y
ln
=
;
26)
x
y
sin
=
;
27)
(
)
1 2
ln
3
+
+
=
x
x
y
;
28)
x
y
cos ln
=
;
29)
x
e
y
sin
=
;
30)
arctgx
e
y
=
;
31)
x
y
arccos
=
;
32)
(
)
x
y
sin arcsin
=
;
33)
(
)
x
x
y
2
ln
2
+
=
;
34)
2
ln
5 5
+
=
x
x
y
;

57 35)
2 2
cos
2
sin






+
=
x
x
y
;
36)
x
ctg
x
tg
y
2 2
+
=
;
37)
3
sin
3
x
y
=
;
38)
(
)
6 4
cos
1 1
x
y
+
=
;
39)
4 2
cos
1
x
y
+
=
;
40)
5 2
sin
5
x
x
y
−
=
;
41)
x
tg
y
2
=
;
42)
(
)
1 3
ln
+
=
x
ctg
y
;
43)
x
tg
y
3 5
=
;
44)
x
y
sin
2
=
;
45)
( )
x
e
y
3
arcsin
=
;
46)
2
x
arctg
y
=
47)
5 2
1
cos ln
x
y
+
=
;
48)
1 5
sin Найти производные функций.
3.10.
(
)






+
⋅
−
=
1 1
1
x
x
y
3.11.






+
⋅
⋅
=
3 2
3 2
3 4
2 3
x
x
x
y
3.12.
x
x
y
+
−
⋅
=
1 1
2
3.13.
2 3
2
+
+
=
x
x
x
y
3.14.
2
cos
1
sin






+
=
x
x
y
3.15.
2 2
cos
2
sin






−
=
x
x
y
3.16.
x
tg
x
tg
x
tg
y
2 5
1 2
3 2
2 5
3
+
+
=
3.17.
x
x
x
e
e
e
y
−
−
−
⋅
−
=
cos sin
3.18.
x
x
tg
y
cos ln
2 1
2
+
=
3.19.
2
sin ln
2 2
2
x
x
ctg
y
−
−
=
3.20.
(
)
x
x
x
y
ln cos ln sin
−
⋅
=
3.21.
2
ln ln cos
x
tg
tgx
x
y
−
⋅
=
3.22.
2 2
2 1
ln
2 1
1
ln
x
x
x
x
y
+
⋅
−
+
=