Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 7 из 29

2.109.
Доказать, что при
0
→
x
:
1)
x
x
sin
;
2)
x
tgx
;
3)
x
x
arcsin
;
4)
x
arctgx
;
5)
2

cos
1 2
x
x
−
;
5)
(
)
x
x
1
ln
+
;
6)
(
)
a
x
x
a
ln

1
log
+
;
7)
x
e
x

1
−
;
8)
a
x
a
x
ln

1
⋅
−
;
9)
(
)
x
a
x
a
⋅
−
+

1 1
, Пример 2.5. Определить порядок бесконечно малой
6 4
sin
x
x
+
относительно бесконечно малой
( )
x
x
=
β
при
0
→
x

46 Решение Учитывая определение бесконечно малой величины порядка, следует найти такое число
γ
, при котором при
0
→
x
предел отношения существует и отличен от нуля. Имеем
=
+
→
γ
x
x
x
x
6 4
0
sin lim
0
lim
→
x
=
+
γ
2 6
4
sin
x
x
x
γ
γ
2 6
0 2
4 0
lim sin Проанализируем каждый из пределов, стоящих под знаком корня отдельно Отсюда видно, что сумма пределов, а, значит, и искомый предел существует и отличен от нуля только при
2
=
γ
:
=
+
→
2 6
4 0
sin lim
x
x
x
x
1. Следовательно, функция
6 является бесконечно малой второго порядка относительно бесконечно малой
x
при Пример 2.6. Пользуясь заменой бесконечно малых функций эквивалентными, вычислить пределы
1)
(
)
;
4 1
ln
5
sin lim
0
x
x
x
+
→
2)
;
2
cos
1
cos
1
lim
0
x
x
x
−
−
→
3)
1 1
cos ln lim
4 Решение При решении данного примера будем использовать эквивалентные функции, перечисленные в пр. 2.109 .
1) Нетрудно убедиться, что
x
x
5

5
sin
,
(
)
x
x
4

4 1
ln
+
, тогда
(
)
=
+
→
x
x
x
4 1
ln
5
sin lim
0 4
5 4
5
lim
0
=
→
x
x
x
2) Имеем
2

cos
1 2
x
x
−
,
8

2
cos
1 2
x
x
−
, поэтому
=
−
−
→
2
cos
1
cos
1
lim
0
x
x
x
4 8
2
lim
2 2
0
=
→
x
x
x
3)
=
−
+
→
1 1
cos ln lim
4 2
0
x
x
x
(
)
(
)
( )
=
−
+
−
+
→
1 1
1
cos
1
ln lim
4 1
2 0
x
x
x
=
−
→
2 0
1
cos lim
4
x
x
x
2 2
lim
4 2
2 0
−
=
−
→
x
x
x
2.110.
Определить порядок бесконечно малой
( )
x
α
относительно бесконечно малой
( )
x
x
=
β
при
0
→
x
, если
1)
( )
x
x
x
3
sin
⋅
=
α
;
2)
( )
x
x
x
cos
2
⋅
=
α
;
3)
( )
(
)
x
x
x
2 1
ln
+
⋅
=
α
;
4)
( )
x
x
x
−
⋅
=
1 3
3
α
;
5)
( )
3 3
2
x
x
x
−
=
α
; 6)
( )
x
tgx
x
sin
−
=
α
;

47 7)
( )
( )
x
x
x
arcsin
⋅
=
α
; 8)
( )
1 3
−
=
x
x
α
;
9)
( )
tgx
x
x
x
7 5
1
+
=
α
2.111.
Вычислить пределы
1)
x
x
x
7
sin
4
sin lim
0
→
;
2)
3
sin
2
lim
2 2
0
x
x
arctg
x
→
;
3)
x
tg
x
x
x
5 2
sin lim
⋅
→π
;
4)
(
)
1 1
sin lim
2 2
1
−
−
→
x
x
x
;
5)
(
)
x
x
x
x
2 2
arcsin lim
2 2
+
+
−
→
;
6)
(
)
1 4
1 2
lim
2 2
1
−
−
→
x
x
tg
x
;
7)
n
n
tg
n
n
n
arctg
n
tg
n
5
arcsin
1 2
sin
3 1
lim
3 3
⋅
⋅
⋅
∞
→
;
8)
(
)
1
sin
1
lim
3 1
−
−
→
x
x
x
;
9)
1 1
3 1
1
lim
2 3
2 0
−
+
−
+
→
x
x
x
;
10)
1 2
1 1
1
lim
5 4
0
−
+
−
+
→
x
x
x
;
11)
1 1
lim
8 7
1
−
−
→
x
x
x
;
12)
1 3
1 5
sin lim
2 2
0
−
−
→
x
x
x
;
13)
1 2
cos
1
cos lim
5 3
0
−
−
→
x
x
x
;
14)
(
)
(
)
(
)
1 1
cos
1 2
1
lim
1 5
1
−
−
−
−
−
→
x
x
x
x
;
15)
1 1
3
lim
2 0
−
+
+
→
x
x
x
x
;
16)
x
e
x
x
arcsin
1
lim
2 0
−
−
→
;
17)
(
)
x
x
x
4 1
ln
1 2
lim
0
−
−
→
;
18)
1 2
1 5
lim
0
−
+
→
x
x
tg
x
;
19)
(
)
x
x
x
2 1
ln
3
sin lim
2 2
0
+
→
;
20)
(
)
(
)
3 2
3 2
1 4
3 1
ln
2 3
1
ln lim
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
+
−
+
→
;
21)
(
)
2 0
1
ln cos ln lim
x
x
x
+
→
;
22)
(
)
x
e
x
x
ln
1
sin lim
1 1
−
−
→
2.4. Точки разрыва функции и их классификация Точку называют точкой разрыва функции
( )
x
f
y
=
, если функция
( )
x
f
y
=
не является непрерывной в этой точке. Точку называют
•
точкой разрыва первого рода
−
когда существуют односторонние пределы в точке, неравные друг другу, те.
( )
≠
−
→
x
f
a
x
0
lim
( )
x
f
a
x
0
lim
+
→
;

48
•
точкой разрыва второго рода
−
когда хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует (в том числе если функция является бесконечно большой при
0
−
→
a
x
или
0
+
→
a
x
);
•
точкой устранимого разрыва
−
когда существует предел функции в точке
a
, но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция в точке не определена Показать, что в точке a функция
( )
x
f
y
=
имеет разрыв, определить характер разрыва
1)
4
−
=
x
x
y
, a = 4;
2)
x
x
y
=
, a = 0;
3)



≤
<
+
≤
≤
−
=
,
4 2
,
1 2
,
2 2
,
2
x
x
x
y
x
a = 2;
4)



≤
<
−
≤
≤
=
,
2 1
,
2
,
1 0
,
2
x
x
x
x
y
a = 1;
5)
5 25 2
−
−
=
x
x
y
, a = 5;
6)
2 1
−
=
x
arctg
y
, a =2.
2.113.
Заданы функции, зависящие от параметров. При каком выборе параметров функции будут непрерывными
1)
( )




=
≠
−
−
+
=
;
1
,
,
1
,
1 2
2
x
A
x
x
x
x
x
f
2)
( )



>
−
≤
−
=
;
1
,
2
,
1
,
1 2
x
ax
x
x
x
f
3)
( )






>
+
≤
+
=
2
,
sin
,
2
,
1
π
π
x
b
x
x
ax
x
f
2.114.
Исследовать на непрерывность функцию
( )
x
f
на указанных отрезках
1)
( ) ( ) ( )
6 1
1
−
⋅
−
=
x
x
x
f
,
[ ]
5
,
2
)
a
;
[
]
10
,
4
)
b
;
[ ]
7
,
0
)
c
;
2)
( )
25 26 1
2 4
+
−
=
x
x
x
f
,
[
]
10
,
6
)
a
;
[
]
2
,
2
)
−
b
;
[
]
6
,
6
)
−
c
2.115.
Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва и построить графики функций
1)
( )
1 2
−
=
x
x
f
;
2)
( )
x
x
f
6
−
=
;
3)
( )
tgx
x
f
=
;
4)
( )
2 4
4
x
x
f
−
=
;
5)
( )
1 1
+
+
=
x
x
x
f
;
6)
( )
x
x
x
f
−
=
2
;
7)
( )
1 1
+
+
+
=
x
x
x
x
f
;
8)
( )
x
x
x
x
f
⋅
+
=
2 3
;
9)
( )
3 2
4 4
x
x
x
x
f
−
−
=
;

49 10)
2 2
3
)
(
2
−
+
−
=
x
x
x
x
f
;
11)
( )
2 1
2
−
=
x
x
f
;
12)
( )
x
x
f
1 2
1
−
=
;
13)




>
≤
≤
−
−
−
−
<
+
=
;
5
,
,
5 1
,
1
,
1
,
1
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
14)





=
<
≤
−
−
<
≤
=
;
4
,
1
,
4 1
,
1
,
1 1
-
,
2
)
(
x
x
x
x
x
f
x
15)






>
≤
≤
−
−
−
<
+
=
;
1
,
1
,
1 2
,
3
,
2
,
3 2
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
16)







>
+
≤
≤
−
+
−
<
+
=
;
1 1,
,
1 3
,
2
,
3
,
4 3
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
17)





>
≤
≤
−
<
+
=
;
1
,
,
1 0
,
1 1
,
0
,
1
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
18)






>
−
≤
≤
−
<
−
=
1
,
2 1
,
1 0
,
1
,
0
,
1
)
(
3
x
x
x
x
x
x
x
f
2.116.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности
1)
( )
(
)
1 1
2
−
⋅
=
x
x
x
f
;
2)
( ) (
)
x
x
x
f
n
1 1
−
+
=
;
3)
( )
x
x
x
f
sin
1
⋅
=
;
4)
( )
2 4
3
x
x
x
f
−
=
;
5)
( ) (
)
x
arctg
x
x
f
1 1
⋅
+
=
;
6)
( )
x
x
x
x
f
−
+
⋅
=
1 1
ln
1
;
7)
( )
1 3
1 3
2 1
2 1
+
−
=
−
−
x
x
x
f
;
8)
( )
x
x
x
x
x
f
1 1
1 1
1 1
+
−
+
−
=

50 Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Понятие производной Пусть функция
( )
x
f
y
=
определена в окрестности точки x ,
( )
=
∆
=
∆
x
f
y
(
) ( приращение функции в точке x , соответствующее приращению аргумента
x
∆
. Если существует
( )
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x
x
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
∆
∆
→
∆
→
∆
→
∆
0 0
0
lim lim lim
, то его называют производной функции
( )
x
f
y
=
в точке x и обозначают
( ) ( )
x
y
x
f
′
′
,
,
,
dx
dy
( )
dx
x
df
. Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Величина
( )
x
x
f
x
y
∆
∆
=
∆
∆
равна средней скорости изменения функции
( )
x
f
y
=
при изменении аргумента от x до
x
x
∆
+
, а производная
( )
x
f
′
– мгновенной скорости изменения функции
( )
x
f
y
=
в точке x .
Если
( )
(
)
∞
−
∞
+
∞
=
∆
∆
→
∆
,
lim
0
x
x
f
x
, то говорят, что в точке x функция
( )
x
f
y
=
имеет бесконечную производную (бесконечную производную знака
«+», бесконечную производную знака «-»).
Правостороннюю
( )
x
f
+
′
и левостороннюю
( )
x
f
−
′
производные функции
( )
x
f
y
=
в точке x определяют равенствами
( )
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
f
x
∆
−
∆
+
=
′
+
→
∆
+
0
lim
,
( )
(
) ( Производные
( )
x
f
+
′
и
( )
x
f
−
′
называют односторонними. Для существования производной
( )
x
f
′
функции
( )
x
f
в точке x необходимо и достаточно, чтобы в этой точке обе односторонние производные существовали и были равны между собой, те.
( )
x
f
+
′
=
( )
x
f
−
′
, при этом
( )
=
′
x
f
( )
x
f
+
′
=
( Пример 3.1. Пользуясь определением производной, найти формулу для вычисления производной функции
ax
y
cos
=
при
0
≠
a
Решение. Найдём приращение функции в точке
x
и преобразуем его
(
)
⇒
∆
⋅
⋅






∆
⋅
+
−
=
−
∆
+
=
∆
2
sin
2
sin
2
cos Применяя свойства предела функции в точке и й замечательный предел, вычислим

51
( )
ax
a
x
a
x
a
x
a
ax
a
x
y
x
y
x
x
x
sin
2 2
sin lim
2
sin lim lim
0 0
0
−
=
∆
⋅
∆
⋅
⋅






∆
⋅
+
−
=
∆
∆
=
′
→
∆
→
∆
→
∆
Следовательно, Пример 3.2. Для функции
( )



>
+
−
≤
=
1
,
2 1
,
2
x
x
x
x
x
x
f
найти односторонние производные
( )
1
−
′
f
и
( )
1
+
′
f
. Определить, имеет ли функция в точке производную. Решение При
1
≤
x
функция определяется формулой
( )
x
x
f
=
, поэтому При
1
>
x
функция
( )
x
x
x
f
2 2
+
−
=
, следовательно,
( )
(
) ( )
(
)
(
)
=
∆
−
∆
+
+
∆
+
−
=
∆
−
∆
+
=
′
+
→
∆
+
→
∆
+
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
1 1
2 1
lim
1 1
lim
1 2
0 0
( )
0
lim
1 2
2 2
1
lim
0 Итак,
( )
1 1
=
′
+
f
,
( )
0 1
=
′
−
f
Поскольку
( )
( )
1 1
−
+
′
≠
′
f
f
, то производная не существует. Пользуясь определением производной, найти производные следующих функций
1)
3
x
y
=
;
2)
x
y
=
;
3)
x
y
3
sin
=
;
4)
1
−
=
x
y
;
5)
x
y
2
log
=
;
6)
3 Дать интерпретацию отношению
( )
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
x
x
f
∆
−
∆
+
=
∆
∆
и производной
( )
( )
x
x
f
x
f
x
∆
∆
=
′
→
∆
0
lim в следующих случаях
1) материальная точка М движется прямолинейно в заданном направлении по закону
( )
t
f
s
=
, где момент времени, а путь, пройденный материальной точкой за время t ,
0
≥
t
;
2) фирма производит продукцию одного вида, производственная функция
( )
t
f
Q
=
определяет зависимость объёма выпущенной продукции
Q от времени работы фирмы
t
x
=
,
0
≥
t
;
3) рассматривается рынок одного товара, для которого известна
( функция предложения
S
от цены товара
P
x
=

52 Найти односторонние производные функций в указанных точках. Определить, имеют ли функции в этих точках а) производные б) бесконечные производные
1)
( )
1 3
+
=
x
x
f
вточке
0
=
x
;
2)
( )
5 2
x
x
f
=
в точке
0
=
x
;
3)
( )
x
x
f
ln
=
в точке
1
=
x
;
4)
( )
x
x
f
2
=
в точке
0
=
x
;
5)
( )
1 1
+
+
−
=
x
x
x
f
в точках
1
±
=
x
;
6)
( )




>
−
≤
−
=
1
,
2 1
,
1
,
2 2
3
x
x
x
x
x
x
f
в точке
1
=
x
;
7)
( )




≠
+
=
=
0
,
1
,
0
,
0
/
1
x
e
x
x
x
f
x
в точке
0
=
x
;
8*)
( )
2 1
x
e
x
f
−
−
=
в точке Показать, что функция
( )




>
≠
=
1
,
0 0
,
1
sin
x
x
x
x
x
f
непрерывна в точке
0
=
x
, ноне имеет в этой точке ни левой, ни правой производных. Известно, что
( )
0 0
=
f
и существует предел
( )
x
x
f
x
0
lim
→
. Доказать, что этот предел равен
( Доказать, что если функция
( )
x
f
имеет производную в точке, то
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0
lim
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
′
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
→