Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
3.169. Фирма выпускает товар в условиях монополии. Кривая спроса на данный товар задаётся равенством Q P ⋅ − = 3 144 , а функция средних издержек Q Q AC + = 25 . При каком объёме выпуска прибыль фирмы будет максимальной 3.170. Производство столов в городе М монополизировано компанией ″ Харин и сыновья. Какую цену на столы назначит компания, если её общие издержки по производству столов Q C ⋅ = 10 , а эластичность спроса по цене на столы равна (-5)? 3.171. Продавая оборудование по цене 120 дед. за единицу, фирма – монополист максимизирует прибыль. Если ценовая эластичность спроса приданной цене равна (-1,5), то какую величину при этом составляют предельные издержки и предельная выручка 3.172. Монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 дед. Функция общих затрат монополии 2 25 , 0 4 100 Q Q C + + = , функция отраслевого спроса на продукцию монополии линейна. Как изменится цена на продукцию, если с каждой проданной её единицы с монополии будет взиматься налог в размере 7 дед Как изменится прибыль монополии Какова сумма получаемого налога 3.173. Функция общих издержек фирмы-монополиста имеет вид Q C ⋅ + = 50 30000 , функция спроса на её продукцию Определить цену, при которой фирма получит максимум прибыли и размер этой прибыли 2) цену и прибыль, если фирма будет платить налог в размере 10 дед. с каждой реализованной единицы продукции 3) цену и прибыль, если фирма должна будет платить фиксированный налог на капитал в размере 200 дед Фермер выращивает капусту. Производственная функция имеет вид x Q K ⋅ = 10 , где x (ед) − количество используемых удобрений. Удобрения стоят 1 дед. за единицу. Определить, сколько капусты вырастит фермер и какова будет его прибыль, если рыночная цена капусты равна 2 дед Предположим, мы имеем следующую информацию о деятельности фирмы её предельный доход описывается функцией Q MR ⋅ − = 20 1000 , предельные издержки Q MC ⋅ + = 10 100 . Сколько продукции продаст фирма, стремящаяся максимизировать прибыль, и по какой цене, если 1) * она будет функционировать как монополия, а функция спроса на продукцию фирмы линейна она будет функционировать в условиях совершенной конкуренции 4. Монополия с несколькими заводами. Рассмотрим фирму- монополиста, производящую одну и туже продукцию на n заводах. Прибыль монополиста равна разности между общей выручкой от продажи всей произведенной продукции n Q Q Q + + = 1 , где − i Q объём выпуска го завода, 0 ≥ i Q , n i ,..., 2 , 1 = , и суммарными затратами всех заводов ( ) = Π Q ( ) ( ) ( ) n n Q C Q C Q R − − − 1 1 , здесь − i C затраты го завода. Необходимым условием максимизации прибыли фирмы по выпуску некоторого объёма продукции Q в коротком периоде является распределение выпуска между заводами так, чтобы выполнились равенства ( ) ( ) ( ) ( ) Q MR Q MC Q MC Q MC n n = = = = 1 1 , (3.16) где предельные затраты го завода, n Q Q Q + + = 1 , предельный доход фирмы от продажи произведённой продукции. В случае, когда функция ( ) Q R является вогнутой, а все функции ( выпуклыми, условия (3.16) будут достаточными для глобального максимума прибыли фирмы. 3.176. В состав фирмы-монополиста, стремящейся максимизировать свою прибыль, входят несколько заводов. Зная функцию общих затрат каждого из них, найти функцию общих затрат для следующих вариантов её состава. 1) Фирма состоит из n одинаковых заводов с функциями затрат ( ) 2 10 100 i i i i Q Q Q C + + = 2) Фирма имеет два завода с функциями затрат ( ) 2 1 1 1 1 10 100 Q Q Q C + + = ; ( ) 2 2 2 2 2 25 , 0 10 200 Q Q Q C + + = 3)* Фирма имеет два завода с функциями затрат ( ) 2 1 1 1 1 10 100 Q Q Q C + + = ; ( ) 2 2 2 2 2 25 , 0 5 200 Q Q Q C + + = 102 3.177. Монополия, максимизирующая прибыль, владеет двумя предприятиями, на которых может производиться один и тот же вид продукции с разными затратами ( ) 1 1 Q C и ( ) 2 2 Q C . Спрос на продукцию характеризуется функцией P Q D 2 200 − = . Определить, сколько и на каком предприятии монополия будет производить продукции. Решить задачу для следующих вариантов функций затрат 1) ( ) 1 1 1 10 Q Q C ⋅ = , ( ) 2 2 2 2 25 , 0 Q Q C ⋅ = ; 2) ( ) 2 1 1 1 Q Q C = , ( ) 2 2 2 2 5 , 0 Q Q C ⋅ = 5. Ценовая дискриминация монополиста на сегментированных рынках означает установление различных цен для разных категорий покупателей (сегментов рынка. При дискриминации на сегментированном рынке монополия максимизирует прибыль, выбирая на каждом из сегментов наилучшее сочетание цени объёмов продаж. Предположим, что монополист может разделить рынок своей продукции на т сегментах, причём переток товара с одного сегмента на другой невозможен. Прибыль монополиста равна разности между общей выручкой от продажи всей произведенной продукции n Q Q Q + + = 1 , где − i Q объём продаж на ом сегменте рынка, m i ,..., 2 , 1 = , затратами на производство всей продукции ( ) = Π Q ( ) ( ) ( ) Q C Q R Q R n n − + + 1 1 , здесь − i R доход на ом сегменте рынка, ( суммарные затраты фирмы. Необходимым для максимизации прибыли от рационального размещения товара в объёме Q на сегментах рынка является условие ( ) ( ) ( ) ( ) Q MC Q MR Q MR Q MR n n = = = = 1 1 , (3.17) где − i MR предельный доход на ом сегменте рынка, m i ,..., 1 = , предельный доходи предельные издержки фирмы соответственно. Если функции ( ) i i Q R , m i ,..., 2 , 1 = являются вогнутыми, а все функция ( ) − Q C выпуклой, условия (3.17) будут достаточными для глобального максимума прибыли фирмы. Предельный доход представим в виде ( ) − = η 1 1 P Q MR , где ( ) Q E p = η , ( ) − Q E p эластичность спроса по цене товара (см. пр. 3.102). Тогда для двух сегментов рынка i и j верно равенство, связывающее цены и эластичности спроса по цене сегментов рынка = − i i P η 1 1 ⇒ − j j P η 1 1 − − = i j j i P P η η 1 1 1 1 103 3.178. Фирма-монополист, располагая общим объёмом предложения товара в Q млн. единиц, торгует на рынках 1 и 2, которые характеризуются кривыми спроса, заданными уравнениями 1 1 4 12 Q P − = и 2 соответственно, где b>0 − параметр. Фирма стремится максимизировать прибыль. Найти оптимальное для фирмы распределение товара между рынками 1, 2 и цены продаж * 1 P , * 2 P для следующих вариантов значений параметров b и Q: 1) b =6, Q =1,8; 2) b =4, Q =1; 3) b =12, Q =1,8. 4) b =60, Q =8. 3.179. Фирма-монополист реализует продукцию на рынке, где покупатели подразделяются на две группы с различной эластичностью спроса 1 1 160 P Q D − = ; 2 2 2 160 P Q D − = . Её функция общих затрат имеет вид ( ) 2 25 , 0 5 5 Q Q Q C + + = 1) При каких ценах на каждом из сегментов монополия получит максимум прибыли 2) Как изменились бы объёмы продаж на каждом из сегментов и прибыль монополии, если бы ценовая дискриминация была бы запрещена 3.180. Фирма-монополист реализует продукцию на рынке, где покупатели подразделяются на две группы с различной эластичностью спроса 1 1 2 , 0 60 P Q D ⋅ − = , 2 2 025 , 0 5 P Q D ⋅ − = . Найти предельную выручку фирмы как функцию объёма производства для двух вариантов 1) продукт продаётся на рынке по единой цене 2) * продукт продаётся группам покупателей по разным ценам. 3.181. Компания является монополистом на рынке готовой продукции и, проводя политику ценовой дискриминации, разделяет потребителей своей продукции на два рынка Аи В. Эластичность спроса по цене на рынке А равна (-2), на рынке В – (- 4). Предельные издержки компании постоянны. Если цена товара на рынке А составляет 15 дед. за единицу, то какую цену компания может назначить на рынке В с целью максимизации своей прибыли 3.182. Торговая компания Сатурн продаёт футболки на Сенном и Кузнечном рынках. Эластичности спроса по цене соответственно равны 5 − = c e , к. Торговой компании удаётся успешно разделить эти рынки и препятствовать перепродаже купленных на другом рынке футболок. Какую цену должна назначить компания на футболки, продающиеся на Сенном рынке, если цена футболок на Кузнечном рынке равна 1000 дед Автомобильный концерн может продавать автомобили на внутреннем рынке, защищённом протекционистской политикой правительства, где спрос на автомобили описывается функцией 10 В. Кроме того, концерн может поставлять автомобили на мировой рынок, где цена в пересчёте на рубли составляет 80 тыс. рубине зависит от объёма экспорта. Предельные издержки концерна равны 10 50 Q MC + = , где − Q общий объём производства концерна. Каким 104 образом концерн распределит продукцию между внутренними внешним рынком для того, чтобы максимизировать прибыль 3.15. Асимптоты Прямую называют асимптотой графика функции ( ) x f y = , если расстояние от точек ( ) ( ) x f x M , графика функции доданной прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точек Мот начала координат. 1. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке 0 x x = является бесконечным, то прямую 0 x x = называют вертикальной асимптотой. 2. Если существуют (конечные) пределы ( ) ( ) x x f k x x ∞ − → ∞ + → = lim и ( ) ( при одинаковом поведении x : те. в обеих формулах +∞ → x или −∞ → x !), тогда прямую b kx y + = ( ) 0 ≠ k называют наклонной асимптотой при +∞ → x ( −∞ → x ), если k =0, то прямую b y = называют горизонтальной асимптотой при +∞ → x ( −∞ → x ). Пример 3.17. Найти асимптоты кривой 3 3 6 Решение 1. Область определения рассматриваемой функции состоит из множества всех действительных чисел, за исключением одной точки 3 0 = x . Таким образом, в точке 3 0 = x функция имеет разрыв. Вычислим 3 6 lim 2 разрыв бесконечный, следовательно, прямая 3 0 = x является вертикальной асимптотой. 2. Найдём: ( ) = = ∞ + → x x f k x lim ∞ + → x lim ( ) 1 3 3 6 2 = ⋅ − + − x x x x ; ( ) ( ) = − = ∞ + → kx x f b x lim ∞ + → x lim ( ) = − − + − x x x x 3 3 6 2 ∞ + → x lim ( ) 3 3 3 Нетрудно убедиться, что при −∞ → x также k =1 и b = - 3. Таким образом, прямая 3 − = x y является единственной наклонной асимптотой к ней приближается график рассматриваемой функции при +∞ → x и −∞ → x 3.184. Найти асимптоты следующих кривых 1) 2 9 2 2 + − = x x y ; 2) 1 2 4 4 − + = x x y ; 3) 2 9 2 2 4 + − = x x y ; 105 4) x x y 1 2 − = ; 5) 5 2 − = x x y ; 6) 3 2 3 x x y − = ; 7) x x y 2 3 − = ; 8) x e x y ⋅ = ; 9) 2 2 x y − = ; 10) 2 2 x y − = ; 11) x x x y sin + = ; 12) ( ) x x x y 2 1 ln 2 + + = 3.16. Исследование функций. Построение графиков Рекомендуется следующая схема исследования функций найти область определения функции найти точки разрыва и односторонние пределы в этих точках выяснить чётность, нечётность и периодичность функции найти нули функции и точки пересечения с осью ординат найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба найти асимптоты построить график, используя результаты исследования. Пример. Исследоватьфункцию и построить ее график 3 1 x x y − = . Решение) Функция определена всюду, кроме точки x = 0. Функция имеет одну точку разрыва x = 0. Подсчитаем в ней пределы слева и справа = − − → 2 3 0 1 lim x x x +∞ = − + → 2 3 0 1 lim x x x , поскольку предел числителя равен 1, а знаменатель является бесконечно малым при 0 ± → x 3) Функция не является ни чётной: ( ) ≠ + = − 2 3 1 x x x f ( ) 2 3 1 x x x f − = , ни нечётной ( ) ≠ + = − 2 3 1 x x x f ( ) 2 3 1 x x x f − = − , ни периодической. 4) Имеем ⇒ = 0 y ⇒ = − 0 1 2 3 x x 1 = x . Следовательно, график функции пересекает ось 0x в точке (1; 0) и не пересекает ось 0y ( ) 0 ≠ x . Нетрудно убедиться, что при 0 < x значение функции 0 > y , при 1 0 < < x значение функции 0 > y , при имеем 0 < y 5) Найдём производную 1 2 3 − − = ′ x y , приравнивая её нулю, найдём критическую точку 3 2 − = x . Производная не существует при x = 0, но эта 106 точка не принадлежит области определения, поэтому критической не является. Нанесём критическую точку и точку x = 0 на числовую прямую, расставив знаки производной на получившихся интервалах, видим, что функция убывает при 3 2 − < x 0 > x , а возрастает при 0 2 3 < < − x , в точке 3 2 − = x функция имеет локальный минимум, ( ) 3 3 min 4 3 2 = − = y y 6) Найдём вторую производную 2 6 x y = ′′ , 0 ≠ ′′ y и не определена в точке x = 0, не принадлежащей области определения. Следовательно, точек перегиба функция не имеет (не выполнено необходимое условие их существования. Во всей области определения вторая производная положительна, функция является всюду выпуклой. 7) В рассматриваемом примере существует вертикальная асимптота x = 0 (см. п. 2 исследования. Проверим условия существования наклонной асимптоты ( ) = = ∞ + → x x f k x lim 1 1 lim 3 3 − = − ∞ + → x x x , = − − = ∞ + → x x x b x 2 3 1 lim 0 1 lim 2 = ∞ + → x x , аналогично находятся 1 = k и 0 = b и при +∞ → x . Следовательно, функция имеет наклонную асимптоту x y − = при Учитывая результаты исследования, строим график (см. рис. − 3 2 − 0 - + ( ) ( ) x f x f ′ |