Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 12 из 29

2. Неопределённости вида
∞
−
∞
∞
⋅
,
0
,
0
,
0
,
1
∞
∞
∞
. Неопределённо- сти вида, приводятся к неопределённостям вида
0 0
или
∞
∞
при помощи простейших алгебраических преобразований (см. ниже примеры, а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.
Неопределённости вида
0
,
0
,
1
∞
∞
∞
сводятся к неопределённости
∞
⋅
0
с помощью предварительногологарифмирования или использования тождества
( )
( )
( )
ln x
x
g
x
g
e
x
f
=
Неопределённости, возникающие при вычислении односторонних пределов, а также пределов при
∞
→
x
,
−∞
→
x
,
+∞
→
x
раскрываются аналогично. Пример 3.11. Найти пределы
1)
16 6
5 16
lim
2 3
4 2
−
−
+
−
→
x
x
x
x
x
; 2)
3 0
sin lim
x
x
x
x
−
→
;
3)
n
kx
x
x
e
+∞
→
lim
, где
,
0
>
k
−
k
действительное,
−
n натуральное числа.

79 Решение Убедившись, что имеет место неопределённость
0 0
или, применим затем правилоЛопиталя:
1)
16 6
5 16
lim
2 3
4 2
−
−
+
−
→
x
x
x
x
x
=
=
0 0
=
′
−
−
+
′
−
→
)
16 6
5
(
)
16
(
lim
2 3
4 2
x
x
x
x
x
=
−
+
→
6 10 3
4
lim
2 3
2
x
x
x
x
13 3
1 26 32
=
;
2)
=
−
→
3 0
sin lim
x
x
x
x
=
0 0
=
′
′
−
→
)
(
)
sin
(
lim
3 0
x
x
x
x
=
−
→
2 0
3
cos
1
lim
x
x
x
=
0 0
=
′
′
−
→
)
3
(
)
cos
1
(
lim
2 0
x
x
x
=
→
x
x
x
6
sin lim
0 0
0 6
1
sin lim
6 1
0
=
⋅
=
→
x
x
x
;
здесь правило Лопиталя применено n раз. Пример 3.12. Найти 1)
(
)
;
ln lim
2 0
x
x
x
+
→
2)






−
−
→
1 1
1
lim
0
x
x
e
x
;
3) Решение. 1) Здесь мы имеем неопределённость вида
∞
⋅
0
. Представим произведение функций в виде дроби, получив неопределённость
∞
∞
, применим правило Лопиталя:
(
)
=
+
→
x
x
x
ln lim
2 0
=
+
→
2 0
1
ln lim
x
x
x
=
−
+
→
3 0
2 1
lim
x
x
x
0
lim
2 1
2 0
=
−
+
→
x
x
2) Имеем неопределённость вида
∞
−
∞
. Приведём дроби к общему знаменателю и, получив неопределённость
0 0
, применим правило Лопита- ля
=






−
−
→
1 1
1
lim
0
x
x
e
x
( )
=
−
−
−
→
1 1
lim
0
x
x
x
e
x
x
e
=
+
−
−
→
x
x
x
x
xe
e
e
1 1
lim
0 2
1 2
lim
0
=
+
→
x
x
x
x
xe
e
e
3) Здесь – неопределённость вида
0 0
Положим
x
x
y
sin
=
, тогда ln sin ln ln sin
x
x
x
y
x
⋅
=
=
Вычислим

80
=
+
→
y
x
ln lim
0
=
⋅
+
→
x
x
x
ln sin lim
0
=
+
→
x
x
x
sin
/
1
ln lim
0
=
−
+
→
x
x
x
x
2 0
sin
/
cos
/
1
lim
=
⋅
−
+
→
x
x
x
x
cos sin lim
2 0
⋅
−
+
→
x
x
x
sin lim
0 Следовательно Раскрыть неопределённости вида
0 или, вычислить пределы 1
;
8)
x
x
x
x
tg
x
sin lim
0
−
−
→
;
9)
n
x
x
x
ln lim
∞
+
→
,
N
n
∈
;
3.118.
Раскрыть неопределённости вида или, вычислить пределы
1)
x
ctg
x
x
π
⋅
→
0
lim
;
2)








−
∞
→
1
lim
1
x
x
e
x
;
3)
x
n
x
e
x
⋅
∞
−
→
lim
;
4)
x
x
x
3 0
ln lim
+
→
;
5)
(
)
ctgx
e
e
x
x
x
⋅
−
+
−
→
2
lim
0
;
6)
(
)
1
ln ln lim
0 1
−
⋅
+
→
x
x
x
;
7)






−
→
x
ctgx
x
1
lim
0
;
8)






−
−
→
x
x
x
x
ln
1 1
lim
1
;
9)






−
→
x
ctgx
x
x
cos
2
lim
2
π
π
;
10)






−
−
−
→
1 1
1 1
lim
2 1
x
x
x
3.119.
Раскрыть неопределённости вида
1 0
0
∞
∞
∞
,
,
, вычислить пределы Установить, существуют ли пределы, применимо лик их вычислению правило Лопиталя и приводит лик правильному ответу его формальное применение
1)
( )
x
x
x
x
sin
1
sin lim
2 0
→
;
2)
(
)
x
x
e
x
x
x
x
sin sin
2
sin
2 2
lim
⋅
+
+
+
∞
→

81
3.10. Формулы Тейлора и Маклорена Пусть функция
( )
x
f
имеет в точке a производные до го порядка включительно. Тогда в некоторой окрестности этой точки
( справедлива следующая формула (формула Тейлора
−
n го порядка
( ) ( )
+
=
a
f
x
f
( )( )
+
−
′
a
x
a
f
!
1
( ) ( )
2 2!
f
a
x
a
′′
−
+
K
( )
( ) ( )
!
n
n
f
a
x
a
n
+
−
+
(
)
(
)
n
a
x
o
−
, (3.8) где
( ) ( )
+
=
a
f
x
P
n
( )( )
+
−
′
a
x
a
f
!
1
( )( )
+
−
′′
2
!
2
a
x
a
f
. . . +
( )
( )( )
n
n
a
x
n
a
f
−
!
−
многочлен Тейлора порядка n,
(
)
(
)
n
a
x
o
−
−
остаточный член в форме
Пеано,
(
)
(
)
n
a
x
o
−
−
бесконечно малая в точке
a
x
=
более высокого порядка, чем
(
)
n
a
x
−
. С точностью до указанной бесконечно малой
∈
∀
x
( )
a
O
ε
верно приближённое равенство
( )
≈
x
f
( )
+
a
f
( )( )
+
−
′
a
x
a
f
!
1
( )( )
+
−
′′
2
!
2
a
x
a
f
. . . +
( )
( )( )
n
n
a
x
n
a
f
−
!
(3.9) При
0
=
a
формулу Тейлора называют формулой Маклорена:
( ) ( )
+
=
0
f
x
f
( )
+
′
x
f
!
1 0
( )
+
′′
2
!
2 0
x
f
. . . +
( )
( )
+
n
n
x
n
f
!
0
( )
n
x
o
(3.10) Пример 3.13. Представить функцию
( )
3
x
x
f
=
в виде многочлена третьей степени относительно двучлена Решение. Найдём для заданной функции многочлен Тейлора третьего порядка. Из условия имеем
1 Вычислим функцию и производные до третьего порядка включительно в точке
1
−
=
a
:
( )
1 1
−
=
−
f
;
( )
⇒
=
′
−
3 2
3 1
x
x
f
( )
3 1
1
=
−
′
f
;
( )
⇒





−
⋅
=
′′
−
3 5
3 2
3 1
x
x
f
( )
9 2
1
=
−
′′
f
;
( )
⇒





−
−
=
′′′
−
3 8
3 5
9 2
x
x
f
( )
27 10 Подставляя в формулу (3.8) при n=3, получим
(
)
(
)
(
)
⇒
+
⋅
+
+
⋅
+
+
+
−
≈
3 2
3 1
!
3 27 10 1
!
2 9
2 1
3 1
1
x
x
x
x
(
) (
)
(
)
3 2
3 1
81 5
1 9
1 1
3 Пример 3.14. Вычислить приближённо при помощи многочлена Тейлора второй степени a)
0 46
cos
; б)
4 83 . Решение а) Итак, требуется вычислить значение функции
( )
x
x
f
cos
=
при
=
=
0 46
x
π
180 46
(радиан. Выберем
4 45 0
π
=
=
a
, поскольку

82 известны
=
4
sin
π
2 2
4
cos
=
π
и разность
=
−
a
x
180
π
мала. Вычислим
2 2
4
=





π
f
;
( )
⇒
−
=
′
x
x
f
sin
2 2
4
−
=





′π
f
;
( )
⇒
−
=
′′
x
x
f
cos
2 Подставляя найденные значения в формулу (3.8), получим
0 46
cos
−
≈
2 2
⋅
2 2
−
180
π
⋅
⋅
2 2
2
⇒
2 2
180
π
0 46
cos
2 2
≈
−
−
180 1
(
π
⋅
2 1
⇒
)
180 2
2
π
(
)
694658
,
0 000152
,
0 017453
,
0 1
707107
,
0 б) Представим заданный корень следующим образом
=
4 83 4
2 81
=
+
⋅
=





 +
⋅
3 81 2
1 81 4
4 81 2
1





 +
. Положим
( ) (
)
m
x
x
f
+
=
1
,
81 2
=
x
,
4 1
=
m
; при
0
=
a
разность
=
−
a
x
81 2
мала. Вычислим
( )
1 0
=
f
;
( ) (
)
⇒
+
=
′
−
4 3
1 4
1
x
x
f
( )
4 1
0
=
′
f
;
( )
=
′′
x
f
(
)
⇒
+
−
−
4 7
1 16 3
x
( )
16 3
0
−
=
′′
f
. С учётом этого
=
4 83
≈





 +
⋅
4 1
81 2
1 3
≈






⋅
−
⋅
+
⋅
2 81 4
16 3
81 2
4 1
1 3
(
)
018176
,
3 000114
,
0 006173
,
0 1
3
≈
−
+
⋅
3.121.
Разложить многочлен
( )
x
P
по степеням двучлена
1
−
x
, используя формулу Тейлора, если
1)
( )
1 2
2 2
3 4
5
−
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
P
, 2)
( )
4 4
8 2
2 3
4
+
+
−
+
=
x
x
x
x
x
P
3.122.
Для заданных функций написать формулы Маклорена го порядка
1)
;
x
e
y
=
2)
x
y
sin
=
; 3)
(
)
x
y
+
=
1
ln
; 4)
(
)
m
x
y
+
=
1
3.123.
Используя формулы Маклорена, полученные в предыдущем примере, написать многочлены Маклорена й степени для следующих функций
1)
;
2 2
x
e
y
−
=
2)
2 5
sin
x
y
=
;
3)
(
)
2 4
ln
x
y
+
=
; 4)
3 8
x
y
+
=
3.124.
Для функции
( )
x
f
в точке a написать формулу Тейлора го порядка, построить графики данной функции и её многочлена Тейлора й степени
1)
( )
1
−
=
x
x
x
f
,
2
=
a
,
3
=
n
;
2)
( )
x
x
f
1
=
, a =1,
2
=
n
;
3)*
( )
x
x
x
f
=
,
2
=
a
,
2
=
n
3.125.
Для каждой из следующих функций найти приближённое выражение в виде многочлена й степени относительно x :

83 1)
;
4
cos





 −
=
π
x
y
2)
x
xe
y
=
;
3)
(
)
2 1
ln
x
x
y
+
−
=
3.126.
Аппроксимировать многочленами й степени относительно двучлена
a
x
−
следующие функции
1)
,
4
x
y
=
при
1
=
a
;
2)
tgx
y
=
при
4
π
−
=
a
3.127.
Вычислить при помощи многочлена Тейлора й степени
1) e ;
2) 70 ;
3)
5 245 .
3.128.
Вычислить при помощи многочлена Тейлора й степени
1)
0 10
sin
;
2)
3
e ;
3)
2
,
1
ln
;
4)
3 30 .
3.11. Монотонные функции. Экстремум
1. Монотонные функции. Функцию
( называют возрастающей (убывающей) на промежутке X , если для любых точек
X
x
x
∈
2 1
,
, таких, что
2 1
x
x
<
выполняется неравенство
( ) ( )
2 1
x
f
x
f
<
( ) ( )
(
)
2 1
x
f
x
f
>
. Если неравенства в определении являются нестрогими, те.
( ) ( )
2 1
x
f
x
f
≤
( ) ( )
(
)
2 1
x
f
x
f
≥
, то функцию называют неубывающей невозрастающей. Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными. Дифференцируемая на интервале функция
( )
x
f
y
=
не убывает не возрастает) на этом интервале тогда и только тогда, когда
( )
0
≥
′
x
f
( )
(
)
0
≤
′
x
f
для всех точек
x
из Если
( )
0
>
′
x
f
( )
(
)
0
<
′
x
f
для всех точек x из интервала X , тогда функция
( )
x
f
y
=
возрастает (убывает) на этом интервале.
2. Исследование функции на экстремум. Пусть функция
( определена на множестве X. Говорят, что функция
( )
x
f
y
=
имеет в точке
X
x
∈
0
локальный максимум минимум, если существует такая окрестность
( )
X
x
O
∈
0
ε
точки
0
x , что
∈
∀
x
( )
0
x
O
ε
выполняется неравенство
( ) ( )
0
x
f
x
f
≤
( ) ( )
(
)
0
x
f
x
f
≥
. Локальный максимум и локальный минимум часто называют просто максимумом и минимумом и объединяют общим названием локальный экстремум или просто экстремум. Если функция
( )
x
f
y
=
дифференцируема в точке
0
x и имеет в этой точке экстремум, то
( )
0 Значения аргумента функции
( )
x
f
y
=
, в которых производная функции равна нулю или не существует, но сама функция непрерывна, называют критическими или точками возможного экстремума.

84 Пусть функция
( дифференцируема в некоторой окрестности критической точки
0
x (за исключением, быть может, самой точки
0
x ). Если для точек окрестности
1)
( )
0
>
′
x
f
при
0
x
x
<
и
( )
0
<
′
x
f
при
0
x
x
>
(в точке производная меняет свой знак с плюса на минус, то
0
x
является точкой максимума
2)
( )
0
<
′
x
f
при
0
x
x
<
и
( )
0
>
′
x
f
при
0
x
x
>
(в точке
0
x производная меняет свой знак с минуса на плюс, то
0
x является точкой минимума
3) производная
( )
x
f
′
сохраняет один и тот же знак, то функция
( )
x
f
y
=
не имеет в точке
0
x экстремума. Пусть в критической точке
0
x функция
( )
x
f
y
=
имеет вторую производную. Тогда если
( )
0 0
<
′′
x
f
( )
(
)
0 0
>
′′
x
f
, то функция
( имеет в точке
0
x максимум (минимум. Говорят, что в точке
0
x достигается наименьшее (наибольшее) значение или глобальный минимум (максимум) функции
( )
x
f
y
=
на множестве X , если
( )
≤
0
x
f
( )
x
f
( ) ( )
(
)
x
f
x
f
≥
0
для всех Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений. Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции на отрезке нужно подсчитать значения функции на концах отрезка ив критических точках, принадлежащих этому отрезку, и выбрать наибольшее наименьшее. Пример 3.15. Найти интервалы возрастания и убывания функции )
2 Решение. Область определенияфункции задаётся условием
0 1
2
>
−
x
, следовательно, состоит из точек интервала
1 1
<
<
−
x
. Вычислим производную
2 1
2
x
x
y
−
−
=
′
. Решением неравенства
0
>
′
y
при
1 является интервала решением неравенства
0
<
′
y
притом же условии
−
интервал )
1
;
0
, Следовательно, функция
( )
2 возрастает на интервале
(
)
0
;
1
−
и убывает на интервале
( )
1
;
0
(точка отделяет интервалы возрастания и убывания функции. Пример 3.16. Исследовать на экстремум функцию
( )
3 2
1 Решение. Функция определена и дифференцируема всюду на множестве действительных чисел. Найдём производную )
2 2
1 Полагая
0
=
′
y
, найдём критические точки
1 1
−
=
x
,
0 2
=
x
,
1 3
=
x
. Далее исследуем критические точки на наличие в них экстремума двумя способами.

85 й способ.Найдём вторую производную
( )
( ) (
)
1 5
1 6
2 2
−
⋅
−
=
′′
x
x
x
f
и определим её знак в критических точках. Имеем
( )
=
−
′′
1
f
( )
0 1
=
′′
f
, сомнительный случай, установить наличие или отсутствие экстремума функции в точках
1
−
=
x
и
1
=
x
при помощи знака второй производной неуда тся, требуются дополнительные исследования
( )
0 6
0
<
−
=
′′
f
, следовательно, в точке
0
=
x
функция имеет максимум. й способ. Нанесём критические точки на числовую прямую (см. рис. 3.2). Для определения знака производной слева и справа от каждой критической точки подсчитаем значение производной в произвольных точках в каждом из выделенных интервалов. Например, найдём
( )
0 108 2
>
=
−
′
f
,
0 16 11 1
2 1
>
=





−
′
f
,
0 16 11 1
2 1
<
−
=





′
f
,
( )
0 108 Расставим знаки производной на соответствующих интервалах рис, видим функция возрастает на интервале
(
)
0
,
∞
−
и убывает на интервале
(
)
∞
+
,
0
. Следовательно, в точках
1
−
=
x
и
1
=
x
экстремума нет, в точке
0
=
x
функция имеет максимум,
( )
1 0
max
=
=
f
f