Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 11 из 29

3.84.
* Для линейной функции
bx
a
y
+
=
доказать следующие утверждения а) если a
b
>
>
0 0
,
, то при изменении
x
от 0 до
+ ∞
эластичность возрастает от 0 доб) если
,
0
,
0
>
<
b
a
то при изменении
x
от
−
a b
до
+ ∞
(
−
< < +∞
a b
x
) эластичность убывает от
+ ∞
до +1; в) если a
b
>
<
0 0
,
, то при изменении
x
от 0 до
−
a b
(
)
0
< < −
x
a эластичность убывает от 0 до Дать графическую иллюстрацию всех трёх рассмотренных случаев. Показать, что
1) эластичность степенной функции
α
x
a
y
⋅
=
(здесь постоянные) совпадает с показателем степени
2) все функции одной переменной с постоянной эластичность являются степенными
3) эластичность показательной функции
x
b
a
y
⋅
=
(здесь
−
b
a,
постоянные) пропорциональна аргументу. Вычислить эластичность
( )
(
)
x
f
E
x
функции
( )
3
x
a
x
f
⋅
=
,
0
>
a
, параметр. Используя эластичность, ответить на вопрос, насколько процентов изменится значение функции в произвольной точке x , если аргумент увеличится на 1%. Определить абсолютную погрешность, которая при этом допускается 1) в общем случае 2) при Доказать
1)
( )
(
)
( )
( )
x
Af
x
Mf
x
f
E
x
=
;
2)
( )
(
)
=
x
f
E
x
( )
(
)
( )
x
d
x
f
d
ln ln
;
3)
( )
(
)
=
⋅
x
f
b
E
ax
( )
(
)
x
f
E
x
(
−
>
>
0
,
0 b
a
параметры
4) если
( функция, обратная
( )
x
f
y
=
, тогда
( )
=
x
E
y
( )
y
E
x
1
;
5)
( ) ( )
(
)
=
⋅
x
g
x
f
E
x
( )
(
)
+
x
f
E
x
( )
(
)
x
g
E
x
; 6)
( )
( )
=




x
g
x
f
E
x
( )
(
)
−
x
f
E
x
( )
(
)
x
g
E
x
7)
( )
(
)
=
x
Af
E
x
( )
(
)
1
−
x
f
E
x

73 Пусть задана функция )
0
,
0
,
>
>
=
y
x
x
f
y
. Вычислить эластичности, если 1)
( )
5 2
−
⋅
=
x
x
f
, 2 )
( )
5 3
2
+
=
x
x
f
, и определить, при каких значениях переменной x функции являются эластичными, а при каких
−
неэластичными. По известной величине среднего продукта
( )
x
AP
ресурса x найти совокупный
( )
x
TP
и предельный
( )
x
MP
продукты
1)
( )
(
)
x
x
x
AP
1 3
2
ln
5
,
0
+
+
=
;
2)
( )
( )
x
x
x
x
AP
x 5 4
3 2
,
0 1
3
−
−
+
=
;
3)
( )
x
x
arctg
x
x
x
AP
4
,
0 3
5 Зависимость между издержками производства
C
(дед) и объёмом выпускаемой продукции Q ед) выражается функцией
C
Q
Q
=
−
10 0 04 3
,
. Определить средние и предельные издержки при объёме продукции, равном 5 ед. Сравнить полученные результаты и определить, что произойдёт со средними издержками при увеличении выпуска продукции на малую величину. Для заданных ниже вариантов функций издержек
( )
Q
f
C
=
:
1)
3 10
Q
C
+
=
; 2)
(
)
7 1
ln
2
+
+
=
Q
C
; 3)
(
)
1 2
+
=
Q
arctg
С
найти предельные издержки Си их значения при объёмах производства
5 ед, 10 ед, 20 ед. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Для заданных ниже вариантов функций издержек
( )
Q
f
C
=
:
1)
3 2
02
,
0 50
Q
Q
Q
C
⋅
+
−
⋅
=
; 2)
2 1
,
0 а) найти мгновенный темп прироста, эластичность и их значения при объёме производства
Q
=10 (ед б) определить, насколько процентов (приближённо) изменятся издержки, если объём производства возрастёт от 10 (ед) до 10,2 (ед. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Как связаны предельные и средние затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1? Найти коэффициент эластичности спроса по цене, если
1)
2
,
0 5
,
11
−
⋅
=
P
D
;
2) Определить, при какой цене эластичность спроса по цене равна
−
0,5, если функция спроса задана уравнением
P
D
⋅
−
=
5
,
0 8
? Для функций спроса 1)
P
D
2 23
−
=
; 2)
1 5
+
=
P
D
найти эластичность спроса по цене и определить, является ли спрос эластичным, нейтральным или неэластичным при следующих значениях цены а)
4 1
=
P
; б)
7 2
=
P
. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

74 Пусть функция спроса описывается формулой
2 0
P
k
e
D
D
⋅
−
⋅
=
, где и k
0
>
−
известные величины. Найти, при каких значениях цены P спрос будет эластичным. Для функций предложения 1)
24 3
−
=
P
S
; 2)
P
S
−
=
9 6
найти эластичность предложения по цене и определить, при каких значениях цены предложение будет а) эластичным, б) нейтральным, в) неэластичным. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Функции спроса и предложения от цены выражаются соответственно уравнениями 1) D=7- P и S=P+1; 2) D
P
P
= +
+
8 и
S
P
= +
0 5
,
. Найти а) равновесную цену б) эластичность спроса и предложения для этой цены в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на
5% от равновесной. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов На рынке имеется три покупателя со следующими функциями спроса
6 1
+
−
=
P
D
;
15 3
2
+
−
=
P
D
;
8 3
+
−
=
P
D
. Определить эластичность рыночного спроса по цене, когда цена на рынке будет равна 4,5 дед При цене моркови 8 дед. за 1 кг на рынке было три продавца, имеющих прямолинейные функции предложения. Первый из них с эластичностью предлагал 10 кг, второй с
( )
( )
8 2
S
E
P
= 2 предлагал кг, а третий с
( )
( )
8 3
S
E
P
= 1 предлагал 40 кг моркови. Какова будет отраслевая эластичность предложения по цене при дед Доход фирмы-монополиста от реализации товара в количестве
Q вычисляется по формуле
( )
( )
Q
Q
P
Q
R
⋅
=
, где
( )
−
=
Q
P
P
D
функция цены от спроса на данный товар. Доказать, что верно равенство
( )





 −
=
η
1 1
P
Q
MR
, где
( эластичность спроса по цене товара. Проанализируйте изменение дохода с увеличением цены на товар при различных вариантах эластичности спроса.
3.103.
Известно, что спрос на рынке рассматриваемого товара полностью удовлетворяется. Общий доход от продажи товара
( )
3 2
,
0 375
Q
Q
Q
R
⋅
−
⋅
=
, где
−
Q количество реализованного товара. Найти функцию спроса от цены товара. Определить, в каких пределах спрос эластичен. Что надо делать, чтобы доход возрастал, если начальная цена равна ад. ед, б) 200 дед Функция потребления
( описывает зависимость расходов индивидуального потребителя в зависимости от величины дохода I. Заметим, что речь идёт о непроизводственных или текущих "бытовых" расходах за определённый период времени, которые не связаны со сбережением, инвестированием и производством) Для функции потребления
I
I
C
5
,
0 5
,
0 5
+
⋅
+
=
найти предельную склонность к потреблению
( )
(
)
I
f
MPC
′
=
и эластичность потребления по доходу
( )
(
)
C
E
I
, а также вычислить их значения, соответствующие доходу в 16 дед. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.105.
Для функции потребления
I
I
C
+
⋅
+
=
75
,
0 8
:
1) определить равновесный уровень дохода
*
I
, который обеспечивает совпадение доходов и расходов (потребления
2) вычислить предельную склонность к потреблению и эластичность потребления по доходам при найденном равновесном уровне дохода
I Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.106.
Спрос населения на продовольствие характеризуется постоянной эластичностью по доходу
( )
E
D
E
I
=
. Известно, что в истекшем году расходы населения на продовольствие составляли r% от дохода. В текущем году ожидается рост доходов населения на %
δ
. Определить, какую часть своего дохода население будет тратить на продовольствие в текущем году, если цена на него, а также общий уровень цен останутся неизменными. Решить задачу 1) в общем виде 2) при
( )
8
,
0
=
D
E
I
; r =50%;
%
10
=
δ
3.107.
Л. Торнквистом были предложены следующие варианты функций спроса потребителей
D
, зависящих от дохода I на а) малоценные товары
(
)
γ
β
α
+
+
⋅
⋅
=
2
I
I
I
D
; б) товары первой необходимости
β
α
+
⋅
=
I
I
D
; в) товары второй необходимости (относительной роскоши)
(
)
β
γ
α
+
−
⋅
=
I
I
D
; г) предметы роскоши
(
)
β
γ
α
+
−
⋅
⋅
=
I
I
I
D
. В них
α
,
β
, параметры,
α
,
β
, Для каждой из предложенных функций найти коэффициент эластичности спроса по доходу. При заданных значениях параметров
5
=
α
,
10
=
β
,
15
=
γ
:
1) найти коэффициент эластичности спроса по доходам при дед) и определить, насколько процентов (приблизительно) изменится спрос на соответствующие товары, если доход увеличится на 2% от
*
I
2) найти коэффициент эластичности спроса по доходам при дед) и определить, насколько процентов (приблизительно) изменится спрос на соответствующие товары, если доход уменьшится над. ед. от Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
3.108.
Потребитель весь свой доход расходует только натри товара хлеб, колбасу и молоко. В настоящее время 20% своего дохода он расходует на хлеб, 50%
−
на колбасу и 30%
−
на молоко. Определите эластичность спроса на молоко по доходу, если эластичность спроса на хлеб по доходу равна – 1, а эластичность спроса на колбасу по доходу равна 2.
3.109.
На рынке некоторого товара в равновесии потребляется 20 единиц блага по цене 4 дед, при этом коэффициент эластичности спроса по цене равен (– 0,3), а коэффициент эластичности предложения по цене равен (+0,4).
1) Вывести функции спроса и предложения при условии, что они линейны) Определить равновесный объём и рыночную цену при введении потоварного налога, уплачиваемого производителями в размере 2 дед. Теоремы Ролля и Лагранжа Теорема Ролля. Если 1) функция
( )
x
f
определена и непрерывна на отрезке
[ ]
b
a,
; 2) дифференцируема на интервале
( )
b
a,
; 3)
( ) ( )
b
f
a
f
=
, то существует точка
( )
b
a
c
,
∈
такая, что
( )
0
=
′
с
f
Точки, в которых производная функции
( равна нулю, называются стационарными. Теорема Лагранжа Если 1) функция
( )
x
f
определена и непрерывна на отрезке
[ ]
b
a,
; 2) дифференцируема на интервале
( )
b
a,
, тогда существует точка
( )
b
a
c
,
∈
такая, что справедлива формула
( ) ( )
( )
c
f
a
b
a
f
b
f
′
=
−
−
(3.6)
3.110.
Определить, удовлетворяют ли условиям Ролля функции
1)
( )
1 2
−
=
x
x
f
,
[ ]
1
,
1
−
∈
x
;
2)
( )
[ )



=
∈
=
;
1
,
0
,
1
,
0
,
x
x
x
x
f

77 3)
( )
[ ]
1
,
1
,
−
∈
=
x
x
x
f
;
4)
( )
4 2
5
x
x
x
f
−
=
,
[
]
1
,
1
−
∈
x
;
5)
( )
[ ]
1
,
1
,
1 3
2
−
∈
−
=
x
x
x
f
;
6)
( )




∈
=
6 5
,
6
,
sin ln
π
π
x
x
x
f
; Если да, то найти все стационарные точки соответствующей функции на заданном отрезке.
3.111.
Пусть
( ) (
) (
) (
)
3 2
1
−
⋅
−
⋅
−
=
x
x
x
x
x
f
. Доказать, что все три корня уравнения
( )
0
=
′
x
f
действительны.
3.112.
Доказать, что если функция
( )
x
f
определена и непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале
( )
b
a,
, то функция
( )
=
x
F
( ) ( )
(
) (
)
−
−
⋅
−
a
b
a
f
x
f
( ) ( )
(
) (
)
a
x
a
f
b
f
−
⋅
−
имеет по крайней мере одну стационарную точку на интервале
( )
b
a,
3.113.
Проверить, применима ли формула Лагранжа к функциям
1)
( )
2 5
2
−
+
=
x
x
x
f
на отрезке
[ ]
2
,
0
; 2)
( )
x
x
f
ln
=
на отрезке
[ ]
e
,
1
;
3)
( )
(
)
5 4
1
−
=
x
x
x
f
на отрезке



−
2 1
,
2 Если да, то найти фигурирующую в формуле Лагранжа (3.6) точку c .
3.114.
На кривой
( )
x
f
y
=
найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B , пояснить полученный результат графически
1)
3
x
y
=
,
(
)
1
,
1
−
−
A
,
( )
8
,
2
B
;
2)
2 4
x
y
−
=
,
(
)
0
,
2
−
A
,
( )
3
,
1
B
3.115.
Построить график функции
1
−
=
x
y
на отрезке
[ ]
3
,
0
. Пояснить, почему нельзя провести касательную, параллельную хорде, соединяющей точки
( )
1
,
0
A
и
( )
2
,
3
B
. Какое условие теоремы Лагранжа здесь нарушается Доказать, что если производная
( )
x
f
′
тождественно равна нулю на интервале
( )
b
a,
, то функция
( )
x
f
постоянна на этом интервале если
( )
0
<
′
x
f
на интервале
( )
b
a,
, то функция
( )
x
f
убывает на этом интервале если
( )
0
>
′
x
f
на интервале
( )
b
a,
, то функция
( )
x
f
возрастает на этом интервале.
3.9. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя
1.
Неопределённости
0 0
или
∞
∞
. Правило Лопиталя. Если
1) в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a дифференцируемы функции )
x
f
и
( )
x
ϕ
,
( )
0
≠
′
x
ϕ
,
2)
( )
=
→
x
f
a
x
lim
( )
0
lim
=
→
x
a
x
ϕ
или
( )
=
→
x
f
a
x
lim
( )
∞
=
→
x
a
x
ϕ
lim и
3) существует
( )
( )
x
x
f
a
x
ϕ′
′
→
lim
, тогда существует
( )
( )
x
x
f
a
x
ϕ
→
lim
, причём
( )
( )
=
→
x
x
f
a
x
ϕ
lim
( )
( )
x
x
f
a
x
ϕ′
′
→
lim
(3.7) Если
( )
( )
0 0
lim
=
′
′
→
x
x
f
a
x
ϕ
(или
∞
∞
), а функции
( )
x
f
′
и
( )
x
ϕ′
удовлетворяют тем же условиям, что и функции
( )
x
f
и
( )
x
ϕ
, то равенство (3.7) можно продолжить, перейдя к пределу отношения вторых производных и т.д.