Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 10 из 29

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если система
( )
( )



=
=
,
,
t
y
t
x
ψ
ϕ
( )
b
a
t
,
∈
, где
( )
t
ϕ
и
( дифференцируемые функции и
( )
0
≠
′
t
ϕ
, определяет
y
как однозначную функцию от x , то производная
( )
x
y
′
существует и определяется условиями
( )
( )
( )




′
′
=
=
′
=
,
,
t
t
dx
dy
y
t
x
ϕ
ψ
ϕ
( )
b
a
t
,
∈

64 Производные высших порядков (если они существуют) вычисляются последовательно
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
(
)





′
′
⋅
′′
−
′
⋅
′′
=
′
′
′
′
=
′
=
=
′′
=
,
,
3 2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
dx
y
d
dx
y
d
y
t
x
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
( )
b
a
t
,
∈
и т. д. Для следующих функций, заданных параметрически, найти производные первого порядка от y по x :
1)




+
−
=
+
+
=
,
1 3
,
1 3
3 3
t
t
y
t
t
x
(
)
∞
+
∞
−
∈
,
t
;
2)
(
)
(
)



−
=
−
=
,
cos
1 2
,
sin
2
t
y
t
t
x
(
)
∞
+
∞
−
∈
,
t
;
3)






+
=
+
=
,
1 3
,
1 3
3 2
3
t
t
y
t
t
x
1
−
≠
t
;
4) Для следующих функций, заданных параметрически, найти производные второго порядка от y по x :
1)
( )



+
=
+
=
,
1
ln
,
2 2
t
y
t
t
x
(
)
∞
+
−
∈
,
1
t
;
2)




=
=
,
sin
3
,
cos
2 3
3
t
y
t
x






∈
2
,
0
π
t
;
3)




+
=
+
=
−
,
6
,
1 6
6
t
t
e
t
y
e
x
(
)
∞
+
∞
−
∈
,
t
;
4)




=
=
,
sin
,
cos
t
e
y
t
e
x
t
t





 −
∈
2
,
2
π
π
t
3.5. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков
1. Дифференциал функции Функцию
( называют дифференцируемой в точке x , если её приращение в этой точке
(
) ( )
x
f
x
x
f
y
−
∆
+
=
∆
представимо в виде
( )
( )
x
o
x
x
A
y
∆
+
∆
⋅
=
∆
,
(3.3) где
( )
0
→
∆
∆
x
x
o
при
0
→
∆
x
. При этом главную при
( )
0
≠
x
A
, линейную относительно
x
∆
, часть приращения функции называют её дифференциалом (или дифференциалом первого порядка) и обозначают символом
( )
x
df
или dy :
( )
x
x
A
dy
∆
⋅
=
Приращение независимой переменной x называют её дифференциалом и обозначают символом
:
dx
x
dx
∆
=
Для дифференцируемости функции
( )
x
f
y
=
в точке x необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная
( )
x
f
y
′
=
′
, при этом верно равенство

65
( )
( )
dx
x
f
x
df
′
=
( )
(
)
dx
x
f
dy
′
=
(3.4)
2. Формулы для приближённых вычислений Если приращение
x
∆
достаточно мало по абсолютной величине, то для дифференцируемой функции
( )
x
f
y
=
имеют место приближённые формулы для вычисления приращения функции в точке x:
( )
( и значения функции в точке
x
x
∆
+
:
(
) ( )
( )
x
x
f
x
f
x
x
f
∆
⋅
′
+
≈
∆
+
(3.5) Разности
( )
( )
x
df
x
f
−
∆
и
( )
( )
x
x
f
x
f
∆
⋅
′
−
∆
равны абсолютным, а отношения
( )
( )
( )
x
f
x
df
x
f
∆
−
∆
и
( )
( )
(
)
x
x
f
x
x
f
x
f
∆
+
∆
⋅
′
−
∆
−
относительным погрешностям этих вычислений. Пример 3.8. Найти приращение и дифференциал функции
1 3
3
−
+
=
x
x
y
в точке
1
=
x
при
1
,
0
=
∆
x
Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые допускаются при замене приращения функции её дифференциалом. Решение При произвольных x и x
∆
имеем
(
)
[
]
(
)
=
−
+
−
−
∆
+
+
∆
+
=
∆
1 3
1 3
3 3
x
x
x
x
x
x
y
( )
( )
x
x
x
x
x
x
∆
+
∆
+
∆
⋅
+
∆
⋅
3 2
2 3
9 9
,
(
)
1 При
1
,
0
,
1
=
∆
=
x
x
получаем
,
093
,
1 1
,
0 003
,
0 09
,
0 Абсолютная погрешность
,
093
,
0
=
−
∆
dy
y
относительная погрешность равна
085
,
0 093
,
1 093
,
0
≈
=
∆
−
∆
y
dy
y
или приближённо 8,5%. Пример 3.9. Найти dy , если
(
)
x
e
x
x
y
−
⋅
−
−
=
2 Решение Воспользуемся формулой (3.4):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⇒
−
−
−
−
−
=
′
−
−
=
−
−
−
dx
e
x
x
e
x
dx
e
x
x
dy
x
x
x
2 2
2 2
2 2
2 2
(
)
4 Пример 3.10. Вычислить приближённое значение Решение Рассмотрим функцию arcsin Полагая
01
,
0
,
5
,
0
=
∆
=
x
x
, применим формулу (3.5):
(
)
≈
∆
+
x
x
arcsin
(
)
,
arcsin получим
≈
51
,
0
arcsin
( )
513
,
0 011
,
0 6
01
,
0 5
,
0 1
1 5
,
0
arcsin
2
≈
+
=
⋅
−
+
π

66 Доказать, что для линейной функции
b
ax
y
+
=
приращение
y
∆
и дифференциал
dy
совпадают. Найти приращения и дифференциалы функций
( )
x
f
y
=
в точке
0
x
, соответствующие трём различным приращениям аргумента а)
1
=
∆
x
, б)
1
,
0
=
∆
x
, в)
01
,
0
=
∆
x
, если 1)
x
y
1
=
,
1 0
=
x
; 2)
3
x
y
=
,
2 0
=
x
. Вычислить абсолютные
a
∆
и относительные
δ
погрешности, которые допускаются при замене приращения функции её дифференциалом. Дать толкование дифференциала функции
( )
0
t
df
, соответствующего приращению аргумента
t
∆
(
)
0
>
∆
t
, если
1) функция
( )
t
f
s
=
описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где ч)
−
время движения, а км)
−
пройденный путь за промежуток времени от 0 до
t
;
2) функция
( )
t
f
Q
=
описывает зависимость между временем работы рабочего ч) и объёмом продукции
Q
(ед, произведённым им за промежуток времени от 0 до Найти
1)
( )
x
e
x
d
⋅
;
2)






3 1
x
d
;
3)
(
)
2 1
ln
x
d
−
; 4)






x
x
d
ln
;
5)
(
)
−
+
a
x
a
d
,
2 2
параметр
6)






−
2 1 Найти
dy
, если
1)
4
cos sin
+
−
=
x
x
x
y
; 2)
(
)
8 2
cos
2
sin
2 2
x
x
e
y
x
−
−
=
;
3)
x
e
arctg
y
2
=
; 4)
1
ln
+
−
=
x
x
x
y
; 5)
x
x
y
sin
2
=
;
6)
x
e
y
cos
1
−
=
; 7)
6 6
ln
12 1
+
−
=
x
x
y
; 8)
3 Пусть
−
w
v
u ,
,
дифференцируемые функции переменной x . Найти дифференциал функции
y
, если
1)
w
v
u
y
⋅
⋅
=
;
2)
2
v
u
y
=
;
3)
2 2
1
v
u
y
+
=
;
4)
v
u
arctg
y
=
;
5)
(
)
w
v
u
e
y
+
=
;
6)
2 Найти приближённые значения
1)
;
02
,
1 3
2)
;
05
,
1
arctg
3)
;
46 0
tg
4)
;
8
,
15 4
5)
;
29
sin
0 6)
;
2
,
1
ln
7)
;
33 5
8)
;
0 1
45 0
′
ctg
9)
( )
03
,
1 5

67 Найти приближённое значение функции
( )
x
f
y
=
в точке
0
x
, если
1)
( )
;
2
,
1
,
0 2
=
=
−
x
e
x
f
x
x
2)
( )
15
,
0
,
2 2
0 Найти приближённо путь км, пройденный материальной точкой за промежуток времени от
3 ч до
4 ч, если точка движется прямолинейно по закону
t
s
3 1
+
=
, где
t
(ч)
−
время движения, а км)
−
пройденный путь за промежуток времени от 0 до Вычислить приближённое значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Найти приближённоезначение объёма шара радиусам.
3.68.
Рёбра куба увеличены на 1 см. При этом дифференциал
dV
объёма куба оказался равным 12 см. Найти первоначальную длину рёбер. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным см. Найти первоначальную величину радиуса. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалы высших порядков функции
( )
x
f
y
=
последовательно определяют равенствами
( )
,
2
dy
d
y
d
=
( )
,
2 3
y
d
d
y
d
=
... ,
( откуда получаем формулы для вычисления дифференциалов
,
2 2
dx
y
y
d
′′
=
,
3 3
dx
y
y
d
′′
=
... ,
( Найти дифференциалы второго порядка функций
1)
,
2
c
bx
ax
y
+
+
=
(
−
c
b
a параметры параметры) Найти дифференциалы третьего порядка функций
1)
(
)
1
ln
−
=
x
x
y
;
2)
x
y
2
sin
=
;
3) Пусть
( )
−
=
x
u
u
функция, дифференцируемая достаточное число раз. Найти
y
d
3
, если
1)
( )
u
f
y
=
;
2)
u
y
ln
=
;
3)
;
u
e
y
=
4) Найти дифференциалы го иго порядков функций

68 1)
;
2 x
e
y
=
2)
;
3 7
4 2
5
+
−
=
x
x
y
3)
2 2
1 считая, что а) независимая переменная б)
−
x
функция от переменной Найти дифференциалы1-го иго порядков следующих неявно заданных функций 1)
1 2
=
+
y
xy
; 2)
y
x
e
y
+
=
3.6. Геометрические приложения производной Значение производной
( )
0
x
f
′
функции
( )
x
f
y
=
равно угловому коэффициенту
ϕ
tg
k
=
касательной
T
T
′
к графику этой функции, проведён- ной через точку
(
)
0 0
0
, y
x
M
, где
( )
0 0
x
f
y
=
, см. рис. 3.1 геометрический смысл производной Уравнение касательной к графику функции
( )
x
f
y
=
в его точке
(
)
0 0
0
, y
x
M
имеет вид
( )(
)
0 Уравнение нормали
N
N
′
кграфику функции в его точке
(
)
0 0
0
, y
x
M
:
( )(
)
0 0
0 Углом между двумя кривыми в их общей точке называют угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в точке
(
)
0 0
0
, y
x
M
, если
1)
4 5
2
+
−
=
x
x
y
,
1 0
−
=
x
; 2)
3 4
2 2
3
−
−
+
=
x
x
x
y
,
2 0
−
=
x
;
3)
x
y
=
,
4 0
=
x
;
4)
x
y
ln
=
, x
0 1
=
;
5)
x
tg
y
2
=
,
0 0
=
x
6) y
x
=
−
5 2
, x
0 1
=
7)
2 1 x
e
y
−
=
,
1 0
−
=
x
;
8)
y
x
=
−
2 9
2 3
, x
0 Написать уравнение касательной и нормали к параболе
2 4
x
y
−
=
в точке её пересечения с осью
Ox
(при
0
>
x
) и построить параболу, касательную и нормаль. Рис. 3.1
x
y
T
T
′
N
N
′
0
M
ϕ

69 В уравнении параболы
c
bx
x
y
+
+
=
2
определить
b
и c , если известно, что парабола касается прямой
x
y
=
в точке Доказать, что угол
α
между кривыми
( )
x
f
y
1
=
ив их общей точке
(
)
0 0
0
, y
x
M
находится по формуле
( )
( )
( ) ( )
0 2
0 1
0 1
0 2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
arctg
′
⋅
′
+
′
−
′
=
α
Найти угол между 1) кривой
3
x
x
y
−
=
и прямой
x
y
5
=
; 2) кривыми и
2 1 Определить
1) в какой точке касательная к параболе
x
x
y
4 2
+
=
параллельна оси
Ox
;
2) в какой точке параболы
5 2
2
+
−
=
x
x
y
нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла.
3.7. Элементы предельного или маргинального анализа
1. Основные понятия и формулы. Пусть
( )
−
=
x
f
y
функцияэконо- мического анализа, Далее во всех формулах через x будем обозначать произвольное фиксированное значение аргумента, а через его приращение.
1. Разность
( ) (
) ( )
x
f
x
x
f
x
f
y
−
∆
+
=
∆
=
∆
называют абсолютным приращением или абсолютным приростом зависимой переменной y функции
( )
x
f
), соответствующим изменению аргумента от значения x до
x
x
∆
+
2. Отношение
=
∆
∆
x
y
( )
x
x
f
∆
∆
задаёт среднее приращение (средний прирост или среднюю скорость изменения) зависимой переменной y функции, соответствующее изменению аргумента от значения x до
x
x
∆
+
. Средний прирост функции равен изменению функции, приходящемуся на единицу приращения аргумента при изменении последнего от x до а. Средняя величина зависимой переменной y (функции
( )
x
f
)
( )
( )
x
x
f
x
y
x
Af
Ay
=
=
=
, равна значению зависимой переменной (функции, приходящемуся на единицу значения аргумента. Например, средняя выручка AR
( )
q
q
R
=
, где
( )
q
R
−
выручка от продаж товара в объёме q , средние издержки

70
AC
( )
Q
Q
C
=
, где )
Q
C
- издержки при выпуске продукции в объёме Q , средний продукт труда
( )
L
L
f
AQ
=
(для него часто используют обозначение, где
( )
−
=
L
f
Q
производственная функция одной переменной затраты труда) и т. д.
3. Производная функции
( )
x
f
y
=
в точке x
( )
( )
( )
x
x
f
dx
x
df
dx
dy
x
f
y
x
∆
∆
=
=
=
′
=
′
→
∆
0
lim трактуется как мгновенный прирост или мгновенная скорость изменения зависимой переменной y (функции
( )
x
f
) в точке x . В экономической теории производную принято называть предельной или маргинальной характеристикой и использовать для неё следующие обозначения
( )
( Например, предельная выручка
( )
=
q
MR
( )
( )
dq
q
dR
q
R
=
′
, предельные издержки С )
( )
dq
Q
dC
Q
C
=
′
, предельный продукт труда
( )
( )
( )
dL
L
df
L
Q
L
MQ
=
′
=
(часто обозначают MP
L
=MQ).
4. Относительное изменение (относительный прирост) аргумента и соответствующее относительное изменение (относительный прирост зависимой переменной
y
(функции
( )
x
f
)
x
x
∆
и
=
∆
y
y
( )
( являются безразмерными величинами, показывающими, какую часть x
∆
и
( )
x
f
y
∆
=
∆
составляют от исходных значений x и
( )
x
f
y
=
соответственно. Умноженные на 100%, они дают изменения аргумента и функции, выраженные в процентах.
5. Величина
=
∆
∆
x
y
y
( ) ( )
x
x
f
x
f
∆
∆
- темп прироста зависимой переменной (функции
( )
x
f
) при изменении аргумента от значения x до
x
x
∆
+
. Темп прироста равен средней скорости относительного изменения функции при указанном изменении аргумента.
6. Величина
( )
( или
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
x
f
dx
d
x
f
x
f
dx
x
df
x
f
x
r
ln
1
=
′
=
⋅
=

71
– мгновенный или точечный темп прироста зависимой переменной y функции
( )
x
f
) в точке x ; совпадает с логарифмической производной зависимой переменной
y
(функции
( )
x
f
) в точке x .
7. Теоретическая или точечная эластичность зависимой переменной (функции
( )
x
f
) в точке x :
( )
=
y
E
x
y
x
dx
dy
x
x
y
y
x
⋅
=
∆
∆
→
∆
0
lim или
( )
(
)
=
x
f
E
x
( ) ( )
( )
( Эластичность - это безразмерная величина, равная пределу при
0
→
∆
x
отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента или, что тоже самое, пределу при
0
→
∆
x
отношения процентного изменения функции к процентному изменению аргумента. Приближённо эластичность функции показывает, насколько процентов изменится значение функции в данной точке
x
при изменении аргумента на один процент. Если
( )
(
)
1
>
x
f
E
x
, то функцию
( )
x
f
называют эластичной если
( )
(
)
1
<
x
f
E
x
, то неэластичной;если
( )
(
)
1
=
x
f
E
x
, то нейтральной в точке
x . Пусть, например,
( )
−
=
P
D
Q
функция спроса от цены товара. Тогда:
а) спрос
( эластичен по цене
⇔
( )
(
)
1
>
Q
E
P
; б) спрос
( )
P
D
Q
=
неэластичен по цене
⇔
( )
(
)
1
<
Q
E
P
; в) спрос нейтрален при условии
( Функция
( )
y
f задана таблично
x
10 20 30 40 50
y
35 150 210 250 270 Найти : 1) средний прирост, 2) относительный прирост функции, 3) темп прироста в следующих диапазонах изменения аргумента а) от 10 доб) от 20 до 30; вот дог) от 40 до 50. Для заданных функций найти а) мгновенный прирост, б) мгновенный темп прироста, в) точечную эластичность и вычислить значения этих характеристик в указанных точках
1) y
x
= −
5 2 ,
;
2
,
1 2
1
=
=
x
x
2) y
x
x
=
+
+
2 3
1,
;
3
,
1 2
1
=
=
x
x
3)
,
4
x
e
x
y
−
=
;
4
,
1 2
1
=
=
x
x
4) y
x
x
= −
−
1 3
,
;
5
;
5
,
3 2
1
=
=
x
x

72 5)
(
)
,
1 1
ln
+
+
=
x
y
;
1
,
0 2
1
−
=
=
e
x
x
6)
,
5
,
0
sin
2
x
y
=
;
,
2 2
1
π
π
=
=
x
x
7)
,
3 1
1
+






=
−
x
e
y
;
4
,
1 2
1
=
=
x
x
8)
,
ln x
x
y
=
,
2 Показать, что между мгновенным темпом роста
( )
x
R
(см.п.2.2.4) и мгновенным темпом прироста
( )
x
r
дифференцируемой функции
( )
x
f
y
=
имеется следующая зависимость
( )
( Доказать, что при всех
0
>
x
средняя величина степенной функции прямо пропорциональна предельной.