Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 6 из 29

3. Замечательные пределы Известны следующие пределы lim
0
=
→
x
x
x
первый замечательный предел
=





 +
∞
→
x
x
x
1 1
lim
(
)
e
=
+
→
α
α
α
1 0
1
lim
второй замечательный предел. Пример 2.3. Вычислить)
x
x
x
4
sin lim
0
→
; 2)
x
x
x
x






+
−
∞
→
2 1
lim
;
3)
(
)
x
x
x
2 3
1
ln Решение. 1) Имеем неопределённость
0 0
. Умножим числитель и знаменатель дробина и воспользуемся первым замечательным пределом
=
→
x
x
x
4
sin lim
0
=
⋅
→
x
x
x
4 4
sin
4
lim
0 4
1 4
4 4
sin lim
4 0
=
⋅
=
⋅
→
x
x
x
2) Убедившись, что имеет место неопределённость
∞
1
, преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, выделим в основании слагаемое, равное 1:
=






+
−
∞
→
x
x
x
x
2 1
lim
=
∞
1
(
)
=






+
−
+
∞
→
x
x
x
x
2 3
2
lim
x
x
x






+
−
+
∞
→
2 3
1
lim
Введём новую переменную
⇒
+
−
=
2 3
x
t
2 3
−
−
=
t
x
и
0
→
t
при
∞
→
x
. Продолжим вычисление предела в новой переменной
=






+
−
+
∞
→
x
x
x
2 3
1
lim
( )
=
+
−
−
→
2 3
1
lim
0
t
t
t
( )
( )
⋅
+
−
⋅
→
3 1
1
lim
0
t
t
t
( )
=
+
−
→
2 1
lim
0
t
t
( )
=
⋅








+
−
→
1 1
lim
3 0
1
t
t
t
3
−
e
3) Имеем

41
(
)
=
=
+
+
→
0 0
2 3
1
ln lim
0
x
x
x
2 1
(
)
=
+
+
→
x
x
x
1 0
3 1
ln lim
(
)




+
+
→
x
x
x
1 0
3 1
lim ln
2 Мы поменяли местами знаки предела и логарифма, воспользовавшись непрерывностью логарифмической функции. Заметим, что
(
)
=
+
+
→
x
x
x
1 0
3 1
lim
∞
1
, продолжим вычисление предела
(
)
=




+
+
→
x
x
x
1 0
3 1
lim ln
2 1
(
)
( )
2 3
3 1
lim ln
2 1
3 3
1 Используя первый замечательный предел, вычислить
1)
x
x
x
3
sin lim
0
→
;
2)
x
x
x
3
sin
2
sin lim
0
→
;
3)
x
x
x
cos
1
lim
2 0
−
→
;
4)
1 1
4
sin lim
0
−
+
→
x
x
x
;
5)
x
tgx
x
2
sin lim
π
→
;
6)
(
)
2 4
lim
2 2
+
−
−
→
x
arctg
x
x
;
7)
x
x
x
−
→
1 2
cos lim
1
π
;
8)
x
x
x
tg
x
x
sin
2
cos
1
lim
2 Доказать следующие равенства
1)
(
)
=
+
→
x
x
a
x
1
log lim
0
e
a
log
;
2) Используя второй замечательный предел, вычислить
1)
x
x
x
7 1
1
lim





 +
∞
→
;
2)
x
x
x
2 1
lim
0
−
→
;
3)
1 2
2 3
lim
+
∞
→






−
+
x
x
x
x
;
4)
2 5
lim
2 2
x
x
x
x




−
∞
→
;
5)
x
x
x
x






+
−
∞
→
1 3
3 2
lim
;
6)
(
)
x
x
x
tg
3 2
0 1
lim
+
+
→
;
7)
(
)
tgx
x
x
sin lim
2
π
→
;
8)
(
)
x
x
x
4 1
ln lim
0
+
→
;
9)
x
x
x
x
−
+
→
1 1
ln
1
lim
0
;
10)
1
lim
1
−
−
→
x
a
a
x
x

42
4. Разные примеры на вычисление пределов. Вычислить пределы
2.29.
1 2
1
lim
2 2
−
−
−
∞
→
x
x
x
x
2.30.
1 2
1
lim
2 2
0
−
−
−
→
x
x
x
x
2.31.
1 2
1
lim
2 2
1
−
−
−
→
x
x
x
x
2.32.






+
−
+
−
→
1 4
1 3
lim
3 0
x
x
x
x
2.33.
x
x
x
−
→
1
lim
1
2.34.
1 3
lim
2 4
2 3
+
+
−
→
x
x
x
x
2.35.
(
)
3 3
lim
0 3
0 3
−
−
−
→
+
→
x
x
x
x
2.36.
(
)
2 0
5 0
5 25 5
lim
x
x
x
x
−
+
−
→
+
→
2.37.
2 2
2 4
2 3
lim
x
x
x
x
−
+
−
→
2.38.
3 2
1 4
5
lim
x
x
x
x
+
+
−
∞
→
2.39.
2 2
1 3
4 2
lim
x
x
x
x
x
−
−
−
+
→
2.40.
3 2
1 1
7 5
2
lim
x
x
x
x
+
−
−
−
→
2.41.
∞
→
x
lim
(
) (
)
3 3
3 2
2 3
2
−
−
+
−
−
x
x
x
x
2.42.
(
)






−
−
−
−
→
+
→
3 0
2 0
2 8
3 2
1
lim
x
x
x
x
2.43.








+
−
∞
→
x
x
x
x
1 2
2 2
1 5
lim
2.44.
(
)
5 5
5 2
3
lim
1
+
−
⋅
+
−∞
→
∞
+
→
x
x
x
x
x
2.45.
(
)
x
x
x
x
x
x
5 6
7 8
lim
−
−
−∞
→
∞
+
→
2.46.
2 2
3
lim
+
∞
→
x
x
x
2.47.
(
)
5 2
0 5
0 5
3
lim
−
−
→
+
→
x
x
x
x
2.48.
(
)




−∞
→
∞
+
→
x
x
x
1
lim
2.49.
(
)
(
)
x
x
x
−
−
→
+
→






2 1
0 2
0 2
3 2
lim
2.50.
(
)
(
)
x
x
x
x
1 0
0 2
lim
+
−
→
+
→
2.51.




+
−
−
∞
→
1 2
1 2
lim
2 2
3
x
x
x
x
x
2.52.
(
) (
)
(
)
5 5
5 5
5 2
1
lim
n
x
n
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
∞
→
,
N
n
∈
2.53.
(
)






+
−
⋅
−
+
+
−
+
→
2 3
3 4
4 5
2
lim
2 2
1
x
x
x
x
x
x
x
2.54.
3 5
4 3
lim
x
x
x
x
+
+
∞
→

43
2.55.
1 3
3 5
lim
2 3
−
+
+
+
+∞
→
x
x
x
x
x
2.56.
(
)
x
x
x
x
2 4
7 4
lim
2
−
+
−
∞
+
→
2.57.
9 3
6
lim
2 3
−
−
+
→
x
x
x
2.58.
2 3
2 1
lim
4
−
−
+
→
x
x
x
2.59.
2
lim
−
→
x
1 4
9 6
2
−
+
+
−
x
x
2.60.
0
lim
→
x
x
x
x
x
3 4
4 2
+
−
−
+
2.61.
1 2
3 8
lim
2 1
+
−
−
+
→
x
x
x
x
2.62.
9 1
2 13
lim
2 3
−
+
−
+
→
x
x
x
x
2.63.
8 2
6
lim
3 3
2
+
+
−
−
→
x
x
x
2.64.
1 1
lim
3 1
−
−
→
x
x
x
2.65.






−
−
+
+∞
→
x
x
x
x
x
2 2
1
lim
2.66.
0
lim
→
x
3 3
2 2
2 2
x
x
x
x
−
−
+
−
−
+
2.67.
2 2
lim
a
x
a
a
x
x
a
x
−
−
−
+
→
2.68.
x
x
x
3 2
sin lim
0
→
2.69.
x
arctg
x
x
5
lim
2 2
0
→
2.70.
x
x
x
3
sin
2
arcsin lim
0
→
2.71.
x
x
x
x
sin
4
cos
1
lim
0
−
→
2.72.
x
x
x
4 5
sin lim
π
→
2.73.
x
x
x
sin lim
0
+
→
2.74.
x
x
x
2
cos lim
2
−
→
π
π
2.75.
(
)
x
tg
x
x
2 1
lim
1
π
⋅
−
→
2.76.
x
x
x
x
5 1
sin lim
−
−
∞
→
2.77.
(
)
1 1
sin lim
1
−
−
→
x
x
x
2.78.






−
→
ctgx
x
x
sin
1
lim
0
2.79.
2 0
1
sin
1
lim
x
x
x
x
−
+
→
2.80.
(
)
x
x
x
sin
1
sin lim
−
+
+∞
→
2.81.
3 0
sin lim
x
x
tgx
x
−
→
2.82.
(
)
x
x
x
+
+
−
→
1
sin
1
lim
3 1
2.83.
(
)
x
x
x
x
cos
1 2
4
lim
0
−
⋅
−
+
→
2.84.
x
x
x
3
cos
1 5
cos
1
lim
0
−
−
→
2.85.
2
sin
2
lim
α
α
π
α
−
⋅
→
x
x
tg
x
2.86.
x
x
x
4
cos
2 2
lim
4
−
−
→
π
π
2.87.
x
x
x
x
x
sin sin lim
0
−
+
→
2.88.
(
)
x
x
x
x
sin lim
0 0
−
→
+
→

44
2.89.
(
)
2 2
4
lim
0 4
0 4
π
π
π
π
−
−






−
→
+
→
x
x
tg
x
x
2.90.
1
cos lim
2 0
2
−
±
→
x
x
x
π
2.91.










−
→
2
sin
4 1
sin
1
lim
2 2
0
x
x
x
2.92.
(
)
(
)








+
−
−
−
−
→
2 2
1 2
2 2
4 2
sin lim
x
x
x
x
2.93.
x
x
x
x
x
cos sin
1
sin lim
2 0
−
+
→
2.94.
(
)
1 1
cos lim
3 1
+
+
−
→
x
x
x
π
2.95.
2 1
lim
2 2
x
x
x
x




+
∞
→
2.96.
x
x
x
x
2 1
3 2
3
lim






+
−
∞
→
2.97.
(
)
(
)
x
x
x
x
−
→
−
1 0
4 1
lim
2.98.
2 3
1 2
lim
2 2
x
x
x
x
x




+
+
−
∞
→
2.99.
(
)
x
ctg
x
tg
x
2 2
0 3
1
lim
+
→
2.100.
(
)
x
x
x
sin
1 0
cos lim
→
2.101.
(
) (
)
(
)
x
x
x
x
3
ln
4 3
ln
7 2
lim
−
+
−
∞
+
→
2.102.
(
)
x
x
x
3 1
ln lim
0
−
→
2.103.
x
x
x
1 5
lim
0
−
→
2.104.
(
)
x
x
x
+
→
1
ln
2
sin lim
0
2.105.
(
)
2 1
2 2
lim
−
→






x
x
x
2.106.
(
)
1
ln sin
3
sin lim
0
+
−
→
x
x
x
x
5. Темп роста и мгновенный темп роста функции. Темп роста
функции
( )
x
f
y
=
, соответствующий изменению аргумента от значения x до
x
x
∆
+
, определяют отношением
(
)
( Мгновенным темпом роста функции
( )
x
f
y
=
в точке x называют величину
( )
=






∆
+
=
∆
+
→
∆
x
x
y
y
y
x
R
1 0
lim
(
)
( )
x
x
x
f
x
x
f
∆
+
→
∆






∆
+
1 0
lim
2.107.
Доказать, что только постоянная функция имеет единичный темп роста в любой момент времени.
2.108.
Вычислить мгновенные темпы роста указанных функций и указать их значения при t=10 и t=30:

45 1)
1 2
+
=
t
y
; 2)
10 4
+
−
=
t
y
; 3)
b
at
y
+
=
; 4)
kt
a
y
=
(
)
0
>
a
; 5)
b
t
a
y
⋅
=
, здесь a, b, постоянные.
2.3. Сравнение бесконечно малых Пусть
( )
x
α
и
( )
−
x
β
бесконечно малые в точке
a
функции. Тогда, если
1)
( )
( )
0
lim
=
→
x
x
a
x
β
α
, то
( )
x
α
называют бесконечно малой более высокого порядка, чем
( )
x
β
, и пишут
( )
=
x
α
( )
(
)
x
o
β
;
2)
( )
( )
A
x
x
a
x
=
→
β
α
lim
,
−
A
число,
0
≠
A
, то
( )
x
α
и
( называют бесконечно малыми одного порядка. В частности, при
1
=
A
бесконечно малые
( и
( )
x
β
называют эквивалентными и пишут
( )

x
α
( )
x
β
;
3)
( )
( )
(
)
A
x
x
a
x
=
→
γ
β
α
lim
,
−
A
число,
0
≠
A
, то
( )
x
α
называют бесконечно малой порядка
γ
относительно
( При нахождении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую (или только одну) из них заменить другой бесконечно малой, эквивалентной ей, те. если в точке
a
бесконечно малые
( )

x
α
( )
x
1
α
и
( )

x
β
( )
x
1
β
, то
( )
( )
=
→
x
x
a
x
β
α
lim
( )
( )
=
→
x
x
a
x
β
α
1
lim
( )
( )
=
→
x
x
a
x
1
lim
β
α
( )
( )
x
x
a
x
1 Пример 2.4. Доказать, что
tgx
x
sin при Решение. Вычислим предел отношения
=
→
tgx
x
x
sin lim
0
=
→
x
x
x
x
cos sin sin lim
0 1
cos Данные бесконечно малые эквивалентны при
0
→
x

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29