Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 5 из 29

2.11.
Предложение на рынке некоторого товара характеризуется зависимостью, а точка рыночного равновесия ед, дед. Найти соответствующую линейную функцию спроса от цены товара, если известно, что объём спроса равен 0 ед. при цене 19 дед В предлагаемых двух вариантах определить точку рыночного равновесия и величину избытка
(
)
d
s
s
Q
Q
−
=
∆
или дефицита товара при следующих уровнях цены ад. ед, б)
7 дед Объём спроса населения на данный товар равен 20 и 50 единицам при уровнях цены на товар 160 и 100 дед. соответственно. Предполагая линейную зависимость между объёмом спроса и ценой, найти функцию спроса, её область определения и множество значений. Построить кривую спроса.
2.14.
Объём предложения фирмы на данный товар равен 10 и 20 единицам при уровнях цены на товар 25 и 45 дед. соответственно. Предполагая линейную зависимость между объёмом предложения и ценой, найти функцию предложения, её область определения и множество значений. Построить кривую предложения. Производится закупка товара. Известно, что при закупке больших партий товара часто производится оптовая скидка. Пусть она определяется следующим образом если покупается партия в количестве менее
100 штук, цена будет 2 дед. за штуку, если от 100 до 999 штук, цена будет
1,95 дед. за штуку, если не менее 1000, то цена будет 1,9 дед. за штуку условного товара. Найти функцию
( )
q
f
, определяющую стоимость произвольной партии рассматриваемого товара. Найти её область определения. Вычислить стоимость партий из 50 штук штук, 700 штук, 1200 штук. В демонстрационном зале осуществляется продажа автомобилей популярной марки N. Объём продаж составляет не более 1000 автомашин в год. Традиционно закупки автомобилей производятся у одного итого же поставщика. Стоимость подачи каждого заказа составляет 5000 дед. Если размер заказа меньше, чем 50 автомобилей, то цена покупки одного автомобиля составляет 60000 дед. Для заказов, размер которых колеблется от 50 до 99 автомашин, предоставляется скидка на закупочную цену в
1,5%. Заказам, размер которых составляет 100 и более автомобилей, соответствует скидка, равная 3% (скидка считается от цены 600000 дед. Найти функцию
( )
q
f
, определяющую стоимость произвольной партии автомобилей.
3. Обратные функции. Пусть задана функция
( )
x
f
y
=
с областью определения и множеством значений
Y
. Обратной к функции
( называют функцию
( )
y
f
x
1
−
=
(вообще говоря, многозначную, которая каждому значению
Y
y
∈
ставит в соответствие множество решений уравнения

31
( )
x
f
y
=
(2.1) Если для каждого множество
( )
y
f
1
−
состоит из одного элемента, то обратная функция является однозначной, обычной в смысле введён- ного нами выше определения функции одной переменной, с областью определения и множеством значений
X
. В дальнейшем под обратными будем понимать только однозначные функции. Графики исходной
( и обратной функции
( )
y
f
x
1
−
=
совпадают. Если для обратной функции применить привычные обозначения зависимой переменной y и независимой, то график функции
( )
x
f
y
1
−
=
получается путем отображения графика исходной функции
( )
x
f
y
=
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Очевидно, что если для функции
( )
x
f
y
=
существует обратная
( )
y
f
1
−
, то обратная к последней существует и совпадает с исходной функцией, те.
( )
(
)
( )
x
f
y
f
=
−
−
1 1
1 1
y
x
0 а)
1
>
a
x
y
a
log
=
1 1
y
x
0 б 0
<
<
a
x
y
a
log
=
x
a
y
=
x
a
y
=
0 1
1
y в) Рис. 2.1

32 Рассмотрим примеры. Обратной к показательной функции
x
a
y
=
,
1
,
0
≠
>
a
a
(
)
(
)
∞
+
=
=
,
0
, Y
R
X
является функция
y
x
a
log
=
(или в традиционных обозначениях зависимой и независимой переменных
x
y
a
log
=
). Обратной к функции
2
x
y
=
,
[
)
∞
+
∈
,
0
x
является функция
y
x
=
(или в традиционных обозначениях зависимой и независимой переменных
x
y
=
). Напомним, что графики функций
x
a
y
=
и
x
y
a
log
=
;
2
x
y
=
и
x
y
=
при
[
)
∞
+
∈
,
0
x
симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (см. рис. Если же мы будем рассматривать графики пары взаимно обратных функций, например, показательной и логарифмической, не изменяя обозначений переменных обратной функции, то графики обеих функций совпадают, они представлены одной кривой
x
a
y
=
(
)
y
x
a
log
=
, но для обратной функции
y
x
a
log
=
независимая переменная откладывается наверти- кальной оси, а значение функции
−
на горизонтальной. Это замечание важно для понимания некоторых графиков, используемых в экономической теории. В экономической теории, например, часто используют функции, обратные функциям спроса
( )
P
f
Q
d
=
и предложения
( от цены товара ими являются соответственно функция цены от спроса
( )
d
Q
f
P
1
−
=
и функция цены от предложения товара
( График функции спроса
( )
P
f
Q
d
=
и обратной ей
( )
d
Q
f
P
1
−
=
называют кривой спроса. График функции предложения
( )
P
g
Q
s
=
и обратной ей
( )
s
Q
g
P
1
−
=
называют кривой предложения Очевидно, что функция
( )
P
D
монотонно убывает (как и
( )
Q
D
1
−
), а функция
( )
P
S
монотонно возрастает (как и
( )
Q
S
1
−
). При изображении графиков принято на вертикальной координатной оси откладывать цену
P
, а на горизонтальной
−
спрос
Q
. Изобразим схематично кривые спроса и предложения водной координатной плоскости, см. рис. 2.2.
P
∗
P
1 1
*
Q
Q
0
( )
( )
(
)
Q
D
P
P
D
Q
1
−
=
=
( )
( Рис. 2.2

33 Точка пересечения кривых спроса и предложения есть точка равновесия спроса и предложения на рынке данного товара (точка рыночного равновесия. Е координаты
(
)
*
*
, удовлетворяют условиям
( )
( )
*
1
*
1
*
Q
D
Q
S
P
−
−
=
=
,
( ) ( )
*
*
*
P
D
P
S
Q
=
=
, где
−
*
P
равновесная цена равновесный объём. Для нахождения точки равновесия достаточно, например, найти равновесную цену из равенства
( ) ( )
*
*
P
D
P
S
=
, а далее вычислить равновесный объём:
( )
*
*
P
S
Q
=
(или
( )
*
*
P
D
Q
=
). Пример 2.2. При моделировании рынка некоторого товара на основе статистических данных построены линейные функции спроса
P
Q
2 23
−
=
и предложения
2
+
=
P
Q
1) Найти функции, обратные функциям спроса и предложения, их области определения и множества значений.
2) Изобразить кривые спроса и предложения, вычислить точку рыночного равновесия.
Решение. Область определения функции спроса
P
Q
2 23
−
=
задаётся следующими условиями
2 23 0
0 2
23
,
0 0
,
0
≤
≤
⇔



≥
−
≥
⇔



≥
≥
p
p
p
D
p
или




∈
2 То, областью её определения является отрезок




2 1
11
;
0
. Функция является линейной и монотонно убывающей, поскольку коэффициент при независимой переменной
P
отрицательный. Очевидно, что множество её значений отрезок
( )
=










0
;
2 Разрешая уравнение
P
Q
2 23
−
=
относительно
P
, найдём функцию цены спроса
Q
P
2 1
2 1
11
−
=
, область её определения
−
отрезок
[
]
23
;
0
, множество значений
−
отрезок




2 Обратной к функции предложения
2
+
=
P
Q
, очевидно, является функция цены предложения
2
−
=
Q
P
с областью определения
[
)
∞
+
,
2
(те.
∈
Q
[
)
∞
+
,
2
) и множеством значения
[
)
∞
+
,
0
(те.
∈
P
[
)
∞
+
,
0
). Изобразим кривые спроса и предложения на одной координатной плоскости (см. рис. 2.3).

34 Из условия
P
P
2 23 2
−
=
+
найдём равновесную цену
7
*
=
P
, тогда равновесный объём
9 2
*
*
=
+
=
P
Q
Итак, функция цены от спроса
Q
P
2 1
2 1
11
−
=
,
[
]
23
;
0
∈
Q
,




∈
2 1
11
;
0
P
; функция цены от предложения товара
2
−
=
Q
P
,
[
)
∞
+
∈
,
2
Q
,
∈
P
[
)
∞
+
,
0
; точка равновесия
(
)
( Найти обратные функции и области их определения, если исходные функции определены следующим образом
1)
,
b
ax
y
+
=
−
b
a,
параметры,
0
≠
a
;
2)
(
)
3 1
−
=
x
y
;
3)
,
sin x
y
=
2 2
π
π
≤
≤
x
;
4)
,
6 2
+
=
x
y
a)
0
≤
<
∞
−
x
; б)
+∞
<
≤
x
0
;
5)
,
x
e
y
=
6)
x
y
2
ln
=
;
7)
2 2
x
y
=
;
8)
x
x
y
+
−
=
1 Кривые рыночного спроса заданы уравнениями
1)
P
Q
20 1
5
−
=
; 2)
1 100
−
=
P
Q
, где
−
P цена,
−
Q
объём спроса на данный товар. Определить функцию цены от спроса на товар, построить её графики график функции спроса от цены товара. Кривая рыночного предложения задана уравнением
1)
15 3
+
=
Q
P
; 2)
100 2
50
−
+
=
Q
P
, где
−
P цена,
−
Q
объём предложения товара. Определить функцию предложения от цены товара, построить её графики график функции цены от предложения товара. Рис
0 1
0
Q
23






−
=
−
=
Q
P
P
Q
2 1
2 1
11 2
23
(
)
2 2
−
=
+
=
Q
P
P
Q
P
1 2
1 11 0
P

35
2.2. Предел функции. Непрерывность функции
1. Предел функции, основные определения. Пусть функция )
x
f
,
X
x
∈
, определена в некоторой окрестности точки
a
кроме, быть может, самой точки Число
A
называют пределом функции
( )
x
f
при
x
, стремящемся кили в точке
a
), и обозначают
( )
x
f
A
a
x
→
=
lim или
( )
A
x
f
→
при
a
x
→
:
1) определение на языке последовательностей если для любой последовательности значений аргумента
{ }
X
x
n
⊂
,
a
x
n
≠
, сходящейся к точке
a
, соответствующая последовательность
( )
{
}
n
x
f
значений функции сходится к
A
;
2) определение на языке «
ε−δ
»), если для любого, сколь угодно малого, числа
0
>
ε
найдётся такое число
( )
ε
δ
δ =
0
>
, что для всех
a
x
≠
и удовлетворяющих условию
δ
<
−
a
x
, выполняется неравенство
( Оба приведённые определения предела функции в точке эквивалентны. Число
A
называют пределом функции
( )
x
f
при
x
, стремящемся к бесконечности, и обозначают )
x
f
A
x
∞
→
=
lim
, если для любой бесконечно большой последовательности
{ }
X
x
n
⊂
, соответствующая последовательность значений функции
( )
{
}
n
x
f
сходится кили, если для любого числа
0
>
ε
найдётся такое число
( )
ε
С
С
=
0
>
, что для всех
x
, удовлетворяющих условию
C
x
>
, выполнится неравенство
( )
ε
<
−
A
x
f
Если
a
x
<
и
a
x
→
, то пишут
0
−
→
a
x
, аналогично, если
a
x
>
и
a
x
→
, то пишут
0
+
→
a
x
. Если существуют
(
)
( )
x
f
a
f
a
x
0
lim
0
−
→
=
−
и
(
)
(
)
0
lim
0 0
+
=
+
−
→
x
f
a
f
a
x
, то числа
(
)
0
−
a
f
и
(
)
0
+
a
f
называют соответственно левым пределом (или пределом слева) и правым пределом (или пределом справа функции
( )
x
f
в точке a. Оба таких предела называют односторонними Аналогично определяются односторонние пределы функции при и
+∞
→
x
, те.
( )
x
f
x
∞
−
→
lim и
( Функция
( )
x
f
имеет предел в точке
a
тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева, совпадающие между собой. В этом случае предел функции равен односторонним пределам. Пример 2.1. Используя определение, доказать, что
(
)
11 5
3
lim
2
=
+
→
x
x

36 Решение. Возьмём произвольное
0
>
ε
. Для доказательства требуется найти такое
0
>
δ
, при котором из неравенства
δ
<
−
2
x
следовало бы, что
( )
=
−
11
x
f
(
)
ε
<
−
+
11 5
3x
. Преобразуем последнее неравенство, получим
ε
<
−
6 3x
или
3 2
ε
<
−
x
. Тогда при любом
3
ε
δ ≤
из неравенства вытекает
(
)
ε
<
−
+
11 5
3x
. Это означает по определению, что
(
)
11 Используя определение, доказать, что
1)
(
)
7 1
2
lim
3
=
+
→
x
x
;
2)
(
)
10 5
3
lim
5
=
−
→
x
x
;
3)
1
cos lim
0
=
→
x
x
;
4)
0 1
sin lim
0
=
→
x
x
x
;
5)
0
lim
0
=
→
x
x
;
6)
2 1
1
lim
1
=
−
−
→
x
x
x
2. Предел функции, основные свойства. Непрерывные функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Неопределенности.
Пусть
−
C
постоянная и существуют
( )
x
f
a
x
→
lim
и
( )
x
g
a
x
→
lim
, тогда существуют
1)
С
С
a
x
=
→
lim
;
2)
( )
⋅
=
⋅
→
С
x
f
С
a
x
lim
( )
x
f
a
x
→
lim
;
3)
( ) ( )
(
)
=
±
→
x
g
x
f
a
x
lim
( )
±
→
x
f
a
x
lim
( )
x
g
a
x
→
lim
;
4)
( ) ( )
(
)
=
⋅
→
x
g
x
f
a
x
lim
( )
⋅
→
x
f
a
x
lim
( )
x
g
a
x
→
lim
;
5)
( ) ( )
(
)
=
→
x
g
x
f
a
x
lim
( )
( )
x
g
x
f
a
x
a
x
→
→
lim lim
(при
( )
0
lim
≠
→
x
g
a
x
). Аналогичные свойства верны и для односторонних пределов и для пределов при
∞
→
x
,
+∞
→
x
, Если функция
( )
x
f
y
=
определена в некоторой окрестности точки
a
, и существует
( ) ( )
a
f
x
f
a
x
=
→
lim
, то функцию
( )
x
f
y
=
называют непрерывной в точке
a
. Если выполнено равенство
( ) ( )
a
f
x
f
a
x
=
−
→
0
lim
( ) ( )






=
+
→
a
f
x
f
a
x
0
lim
, то говорят, что функция
( )
x
f
y
=
непрерывна в точке
a
слева (справа Сумма, произведение конечного числа функций, непрерывных в точке
a
, есть функция, непрерывная в этой точке. Частное отделения двух функций, непрерывных в точке
a
, есть функция, непрерывная в этой точке при условии, что делитель отличен от нуля. Если функция
( )
x
ϕ
непрерывна в точке
a
, а функция
( )
z
f
непрерывна в точке
( )
a
b
ϕ
=
, то сложная функция
( )
(
)
x
f
ϕ
непрерывна в точке Функцию
( )
x
f
y
=
называют непрерывной на интервале )
b
a,
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала функцию
( )
x
f
y
=
называют непрерывной на отрезке ]
b
a,
, если она непрерывна на интервале и непрерывна в точке
a
справа, а в точке
b
слева. Любая из элементарных функций непрерывна в области своего определения. В простейшем случае, когда функция, стоящая под знаком предела
( )
x
f
a
x
→
lim
, непрерывна в точке
a
x
=
, вычисление предела сводится к под- счёту значения
( )
a
f
. В других случаях нахождение предела требует специальных исследований. Функцию
( )
x
α
называют бесконечно малой в точке
a
, если существует Функцию
( )
x
f
называют бесконечно большой в точке
a
, если для любой
{ }
X
x
n
⊂
,
a
x
n
≠
, последовательность )
{
}
n
x
f
является бесконечно большой или, еслидля любого числа
0
>
M
найдётся такое число
( )
M
δ
δ =
0
>
, что для всех
a
x
≠
и удовлетворяющих условию
δ
<
−
a
x
, выполняется неравенство
( )
M
x
f
>
. В этом случае пишут
( По аналогии определяют бесконечно малые и бесконечно большие функции при
∞
→
x
,
0
−
→
a
x
,
0
+
→
a
x
. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций аналогичны свойствам соответствующих последовательностей. Например, если в точке
a
функция
( )
x
α
является бесконечно малой и
( )
0
≠
a
α
, то функция
( )
x
α
1
является бесконечно большой в точке
a
. Если в точке
a
функция
( )
x
f
является бесконечно большой, то функция
( )
x
f
1
является бесконечно малой в этой точке. Выражения вида
0 0
,
∞
∞
,
∞
−
∞
∞
⋅
,
0
,
0
,
0
,
1
∞
∞
∞
используют для обозначения неопределенностей, возникающих при вычислениях пределов. Условная запись
0 0
означает, например, что функция под знаком предела равна отношению двух бесконечно малых, а
∞
∞
−
отношению двух бесконечно больших величин и т. д. При наличии неопределённости функцию под знаком предела следует преобразовать. Пример 2.2. Вычислить
1)
3 2
1
lim
2 3
+
+
−
∞
−
→
x
x
x
x
;
2)
1 2
1 4
lim
2 2
+
+
−
→
x
x
x
x
;
3)
6 4
2 9
lim
2 2
3
−
−
−
→
x
x
x
x
;
4)
1 3
1
lim
0
−
+
→
x
x
x
;
5)
(
)
x
x
x
a
−∞
→
∞
+
→
lim
(параметр

38 Решение. Имеем неопределённость
∞
∞
. Разделим числитель и знаменатель дробина старшую степень
x
, имеющуюся в примере, те. на
3
x
:
=
+
+
−
∞
−
→
3 2
1
lim
2 3
x
x
x
x
=
+
+
−
∞
−
→
3 2
3 3
2 1
1 1
lim
x
x
x
x
x
(
)
−∞
=
+
+
−
∞
−
→
2 3
3 2
1 1
1 При
∞
−
→
x
числитель дроби стремится ка знаменатель дроби является бесконечно малым, причём
0 1
<
x
. Следовательно, дробь является бесконечно большой знака минус.
2) Подставляя предельное значение
2
=
x
в функцию, получим
5 3
1 2
2 1
2 4
2 1
2 1
4
lim
2 2
2
−
=
+
⋅
+
⋅
−
=
+
+
−
→
x
x
x
x
3) Имеем неопределённость
0 0
. Выделим в числителе и знаменателе дроби множитель
(
)
3
−
x
, бесконечно малый при
3
→
x
:
=
−
−
−
→
6 4
2 9
lim
2 2
3
x
x
x
x
(
) (
)
(
) (
)
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
→
1 3
2 3
3
lim
3
x
x
x
x
x
(
)
(
)
4 3
8 6
1 3
lim
2 1
3
=
=
+
+
⋅
→
x
x
x
4) Имеем неопределённость
0 0
. Умножим числитель и знаменатель дробина сумму
(
)
1 3
1
+
+
x
(выражение называют сопряжённым к 3
1
−
+
x
):
=
−
+
→
1 3
1
lim
0
x
x
x
(
)
(
) (
)
=
+
+
⋅
−
+
+
+
⋅
→
1 3
1 1
3 1
1 3
1
lim
0
x
x
x
x
x
(
)
=
−
+
+
+
⋅
→
1 3
1 1
3 1
lim
0
x
x
x
x
(
)
3 2
3 1
3 1
lim
0
=
+
+
→
x
x
5) )
x
x
a
∞
+
→
lim
(параметр
( )
1
>
=
a
a
y
x
x
y Рис. 2.1
(
)
1 0
<
<
=
a
a
y
x

39 Вычислить пределы
1)
1 3
5
lim
2 4
+
−
−
∞
→
x
x
x
x
x
;
2)
3 5
1 3
lim
x
x
x
x
+
+
∞
→
;
3)
x
x
x
x
x
3 3
3 2
lim
+
+
∞
+
→
;
4)
(
)
x
a
x
x
−
−
∞
+
→
lim
параметр) Вычислить пределы
1)
1 5
3 2
lim
2 2
0
+
−
−
→
x
x
x
x
;
2)
x
x
x
2
sin
1 2
cos
1
lim
4
+
−
→ π
;
3) Вычислить
( )
x
f
a
x
0
lim
−
→
,
( )
x
f
a
x
0
lim
+
→
, если
1)
( )



>
−
≤
+
−
=
1
,
5 3
1
,
3 2
x
x
x
x
x
f
,
1
=
a
;
2)
( )
2 4
2
−
−
=
x
x
x
f
,
2
=
a
;
3)
( )
x
x
f
1 2
=
, Установить вид неопределённости, вычислить пределы
1)
x
x
x
x
x
−
+
−
→
3 2
1 1
2
lim
;
2)
1 5
6 1
8
lim
2 3
2 1
+
−
−
→
x
x
x
x
;
3)
(
)
h
x
h
x
h
3 3
0
lim
−
+
→
;
4)
x
x
x
x
−
−
+
→
1 1
lim
0
;
5)
3 9
2 4
lim
2 2
0
−
+
−
+
→
x
x
x
;
6)
1
lim
2 1
−
−
→
x
x
x
x
;

40 7)
x
mx
x
1 1
lim
3 0
−
+
→
;
8)
x
x
x
sin cos
1
lim
0
+
+
→π
;
9)
x
tgx
tgx
x
2
sin
1 1
lim
+
−
−
→π
;
10)






−
−
−
→
1 2
1 1
lim
2 Доказать следующие соотношения
1)
n
m
x
x
n
m
x
=
−
−
→
1 1
lim
1
(
)
N
m
n
∈
,
;
2)
(
)
(
)
m
n
x
x
n
m
x
=
−
+
−
+
→
1 1
1 1
lim
0
(
)
N
m
n
∈
,
;
3)
(
)
a
x
x
a
x
=
−
+
→
1 1
lim
0
(
)
+
∈
Q
a