Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 9 из 29

3.23.
1 1
1
ln
2 2
−
−
−
=
x
x
y
3.24.
x
x
y
sin
1
sin
1
ln
−
+
=
3.25.
x
x
x
x
y
cos sin
1
ln cos sin
2
+
+
=
3.26.
(
)
1 9
3
ln
4 2
+
+
=
x
x
y
3.27.
(
)
1
ln
2
+
+
=
x
x
y
3.28.
(
)
1 2
2
−
⋅
=
x
e
y
x
3.29.
x
x
x
x
e
e
e
e
y
−
−
−
+
=
3.30.
1
ln
4 4
+
=
x
x
e
e
y
3.31.
(
)
1
ln
4 2
+
+
=
x
x
e
e
y

58
3.32.
2 4
2
arccos
x
x
x
y
−
−
⋅
=
3.33.
x
x
x
y
−
+
⋅
=
1
arcsin
3.34.
(
)
2 1
1 2
+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
arctg
y
3.35.
2 2
9 9
arccos
x
x
y
+
−
=
,
0
>
x
3.36.
(
)
(
)
2 2
2 1
1
ln
2 1
arctgx
x
arctgx
x
y
⋅
−
+
−
⋅
=
3.37.
(
)
(
)
2 3
1 1
1
ln
+
⋅
−
⋅
+
+
+
=
x
x
x
y
3.38.
(
)(
)
(
) (
4 2
3 1
ln
3 Найти значения производных функций в указанных точках
1)
( )
2 2
x
x
x
f
−
+
=
, найти
( )
0
f
′
,
( )
1
f
′
,
( )
10
f
′
;
2)
( )
(
)
x
x
x
f
2 1
−
=
, найти
( )
01
,
0
f
′
;
3)
( )
t
t
t
f
sin
1
cos
−
=
, найти





′
6
π
f
;
4)
( ) (
) (
) (
)
3 2
3 2
1
−
⋅
−
⋅
−
=
x
x
x
x
f
, найти
( )
1
f
′
,
( )
2
f
′
,
( )
3
f
′
;
5)
( )
1 2
ln
+
=
t
t
e
e
t
f
, найти
( )
0
f
′
;
6)
( )
x
x
x
f
2
cos
2
sin
3 3
−
=
, найти





′
8
π
f
;
7)
4 1
1
ln
2 1
x
x
arctgx
y
−
+
−
=
, найти





−
′
2 1
y
;
8*)
x
e
x
y
⋅
=
, найти
( )
1
−
′
y
,
( )
1
y
′
,
( )
0
−
′
y
,
( Вычислить
( ) ( )
0 2
u
u
′
+
′
, если
2
arcsin
4 4
2
x
x
x
u
+
−
=
3.41.
* Для функции
x
x
y
cos cos
2
+
=
вычислить





′
6
π
y
,





′
4 3
π
y
,






′
−
2
π
y
,






′
+
2
π
y
и определить, существует ли производная функции в точке Количество продукции Q ед, произведённой бригадой рабочих в течение дня описывается функцией
t
t
t
Q
75 5
2 3
+
+
−
=
, где t
−
время ч,
8 0
≤
≤
t
. Найти производительность труда бригады рабочих через 1, 2,
4, 6 часов после начала работы. Сделать экономический анализ.

59 Известна зависимость расхода автомобилем горючего на 100 км пути от скорости движения автомобиля
( )
2 005
,
0 4
,
0 20
x
x
x
f
+
−
=
, где скорость в км/ч,
( )
−
x
f
расход горючего в литрах на 100 км. Найти закон изменения скорости расхода горючего. Сравнить скорости расхода горючего при движении со скоростью 60 км/ч и 80 км/ч.
3. Логарифмической производной функции
( )
x
f
y
=
называют производную натурального логарифма модуля этой функции
( )
(
)
( )
( )
( )




′
=
′
=
y
y
dx
y
d
x
f
x
f
dx
x
f
d
ln ln
Логарифмическую производную используют при вычислении производных функций, содержащих операции умножения, деления, возведения в степень. Найдём, в частности, производную показательно-степенной функции
,
v
u
y
=
где u и v - функции независимой переменной x :
( )
x
u
u
=
,
( )
x
v
v
=
,
0
>
u
. Прологарифмируем равенство
,
v
u
y
=
получим
u
v
y
ln ln
=
Найдём производные левой и правой частей
⇒
′
⋅
+
⋅′
=
′
u
u
v
u
v
y
y
ln






′
⋅
+
⋅′
=
′
u
u
v
u
v
y
y
ln или, подставляя
v
u
y
=
: Пример 3.5. Используя логарифмическую производную, найти производные следующих функций 1)
(
)
0
sin
>
=
x
x
y
x
; 2)
( )
2 2
1 Решение
1) Логарифмируя исходную функцию, получим
x
x
y
ln sin Отсюда
x
x
x
x
y
y
sin ln cos
+
⋅
=
′
,
x
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
y
sin sin ln cos sin ln cos
⋅






+
⋅
=
′
⇒
⋅






+
⋅
=
′
2) Имеем
( )
2 2
1
ln
2 1
1
ln ln ln
x
x
x
y
−
−
+
+
=
, тогда
( )
⇒
−
−
+
=
−
+
+
+
=
′
4 4
2 2
2 1
2 3
1 1
1 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
( )
4 4
2 1
)
2 3
1
(
x
x
x
x
y
y
−
−
+
⋅
=
′
( )
2 2
4 2
1 1
2 3
1
x
x
x
x
y
−
−
−
+
=
′
⇒

60 Найти производные функций
1)
x
x
y
=
;
2)
(
) (
)
(
)
3 2
1 1
2 3
+
−
−
=
x
x
x
y
;
3)
(
)
x
x
y
sin
=
;
4)
( )
x
x
y
1
ln
=
;
5)
(
) (
)
3 5
2 1
2
x
x
x
y
−
⋅
+
=
;
6)
3 3
sin
1 3
sin
x
x
y
−
=
;
7)
x
e
x
y
=
;
8)
x
x
y
=
;
9)
(
)
x
x
y
arcsin sin
=
;
10)
( )
x
x
x
y
=
;
11)
( )
x
x
x
x
y
ln ln
=
;
12)*
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
x
y
2 2
2
+
+
=
3. 3. Производные высших порядков Если производная функции
( )
x
f
y
=
определена и является функцией, дифференцируемой в точке x , то её производную называют производной го порядка (или ой производной функции
( )
x
f
y
=
в точке x :
( )
( )
(
)
′
′
=
′′
x
f
x
f
. Если
( )
x
f
′′
является дифференцируемой в точке x , то производная го порядка
( )
( и т.д. В общем случае если производная го порядка
( )
( )
x
f
n 1
−
дифференцируема в точке x , то её производную называют производной n -го порядка (или ой производной функции
( )
x
f
y
=
в точке x :
( )
( )
( )
( )
(
)
′
=
−
x
f
x
f
n
n
1
, Обозначают n -ую производную
( )
( )
( )
x
f
y
n
n
,
,
n
n
dx
y
d
или
( Производные, начиная со второй, называют производными высших порядков. Пример 3.6. 1) Найти производную второго порядка функции
x
e
x
y
−
⋅
=
;
2) для функции
,
5 3
2 3
+
−
=
x
x
y
найти
,...
, y
y
′′
′
;
3) для функции
x
y
2
=
, найти
( )
n
y
;
4) для функции, найти
( )
0
y
′
,
( )
0
y
′′
,
( Решение 1)
(
)
;
1
x
x
x
e
x
e
x
e
y
−
−
−
−
=
⋅
−
=
′
(
)
(
)
′
−
=
′′
−
x
e
x
y
1
=
(
)
(
)
x
x
x
e
x
e
x
e
−
−
−
−
=
−
−
−
2 1
2) Последовательно вычислим
,
6 3
2
x
x
y
−
=
′
(
)
,
6
,
1 6
=
′′′
−
=
′′
y
x
y
0
=
=
=
V
IV
y
y

61 3) Имеем
2
ln
2
⋅
=
′
x
y
,
2
ln
2 2
⋅
=
′′
x
y
, ... ,
( )
2
ln
2
n
x
n
y
⋅
=
4) Имеем
(
)
x
x
e
y
x
3
cos
3 3
sin
2 2
+
⋅
=
′
,
(
)
x
x
x
x
e
y
x
3
sin
9 3
cos
6 3
cos
6 3
sin
4 2
−
+
+
⋅
=
′′
(
)
x
x
e
x
3
sin
5 3
cos
12 2
−
=
,
(
)
x
x
x
x
e
y
x
3
cos
15 3
sin
36 3
sin
10 3
cos
24 2
−
−
−
=
′′′
(
)
x
x
e
x
3
sin
46 3
cos
9 Подставляя
0
=
x
в найденные производные, получим
( )
,
3 0
=
′
y
( )
,
12 0
=
′′
y
( )
9 Найти производные второго порядка
1)
5 22
+
−
=
x
y
;
2)
(
)
3
ln
2 4
1 2
−
=
x
x
y
;
3)
x
y
2
cos
=
;
4)
2
x
arctg
y
=
;
5)
x
x
x
y
3
cos
27 2
3
sin
9 1
−
=
;
6)
2
x
e
y
−
=
;
7)
3 2
2 1
log
x
y
−
=
;
8)
(
)
x
x
x
y
ln cos ln Найти производные третьего порядка
1)
(
)
1 6
+
=
x
x
y
;
2)
x
y
2
ln
2 1
=
; 3)
(
)
3 2
3 2
+
+
=
x
x
y
;
4)
t
te
s
−
=
;
5)
x
x
y
sin
⋅
=
; 6) Найти производные n го порядка
1)
2
x
e
y
=
;
2)
1 2
1
+
=
x
y
;
3)
x
x
y
−
+
=
2 2
;
4)
(
)
n
x
y
1 4
+
=
;
5)
x
y
2
ln
=
; 6)
x
x
y
n
⋅
=
;
7)
x
y
2
cos
3 5
−
=
; 8)
d
cx
b
ax
y
+
+
=
(постоянные. Найти производные в указанных точках
1)
(
)
1
ln
−
=
x
y
, найти
( )
2
y
′′
;
2)
x
x
y
ln
3
⋅
=
, найти
( )
y
IV
1
;
3)
( )
x
e
x
y
x
3
sin
2
⋅
=
, найти
( )
0
y
,
( )
0
y
′
,
( Показать, что функция
( )
x
f
y
=
удовлетворяет заданному уравнению, если
1)
x
x
y
2
sin
+
=
,
x
y
y
4 4
=
+
′′
;
2)
x
x
y
ln cos ln sin
+
=
,
0 2
=
+
′
+
′′
y
y
x
y
x
;
3)
x
x
e
e
y
2 2
+
=
,
0 6
11 6
=
−
′
+
′′
−
′′′
y
y
y
y
;
4)
x
x
e
С
e
С
y
⋅
−
+
=
2 2
1
, здесь C
1
, С произвольные постоянные,
0 2
1
=
−
′
+
′′
y
y
y
x

62 Пусть
( )
−
u
f
дважды дифференцируемая функция. Найти и y
′′
, если 1)






=
2 1
x
f
y
; 2)
( Пусть
( )
x
u
и
( дважды дифференцируемые функции. Найти y
′
и y
′′
, если 1)
;
ln
v
u
y
=
2*)
2 2
v
u
y
+
=
3.52.
* Пусть функции
( )
x
u
и
( )
x
v
имеют производные до го порядка включительно. Показать, что справедлива формула Лейбница
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
k
k
n
n
k
k
n
n
n
n
n
n
v
u
C
v
u
v
u
n
n
v
u
n
v
u
v
u
⋅
⋅
=
⋅
+
+
′′
⋅
−
+
′
⋅
+
⋅
=
⋅
−
=
−
−
∑
0 2
1 2
1 1
, где
( )
u
u
=
0
,
( )
v
v
=
0
,
(
) (
)
(
)
!
!
!
2 1
1 Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных порядков от заданных функций
1)
(
)
x
x
x
y
sin
1 2
⋅
+
+
=
, найти
( )
15
y
;
2)
(
)
x
e
x
x
y
⋅
−
=
2
, найти
( )
20
y
;
3)
x
e
y
x
sin
−
=
, найти
( )
5
y
;
4)
x
x
y
2
log
⋅
=
, найти
( )
10
y
3.4. Дифференцирование функций, заданных неявно и
параметрически
1. Дифференцирование функций, заданных неявно. Пусть дифференцируемая функция
( )
,
x
y
y
=
X
x
∈
, задана неявно посредством уравнения)
Длянахождения производной
( )
x
y
y
′
=
′
следует продифференцировать равенство (3.2) по x , рассматривая левую часть как сложную функцию переменной x :
( )
=
y
x
F
,
( )
(
)
x
y
x
F
,
, а затем разрешить относительно полученное в результате уравнение
( )
(
)
0
,
=
dx
x
y
x
dF
. Для нахождения второй производной следует при тех же предположениях последовательно дважды продифференцировать уравнение (3.2) пои выразить из полученной системы уравнений
( )
(
)
( как функцию
y
и x . Аналогично вычисляются производные более высоких порядков

63 Пример 3.7. Найти
( )
x
y
′
и
( )
x
y
′′
, если
0 Решение. Дифференцируем уравнение дважды по
x
, считая
y
функцией от переменной
x
, последовательно получим
0
=
′
−
′
⋅
⋅
+
y
y
e
x
e
y
y
,
( )
0 Из первого равенства получим
y
y
e
x
e
y
⋅
−
=
′
1
, из второго
(
)
y
y
e
x
e
y
y
x
y
⋅
−
⋅′
⋅
′
⋅
+
=
′′
1 2
или, после подстановки найденного для y
′
выражения Найти
( )
x
y
′
для следующих функций, заданных неявно
1)
0 2
2 3
=
+
+
y
y
x
x
;
2)
0
ln
=
+
−
x
y
e
x
; 3)
1 2
5
=
−
+
x
y
y
;
4)
;
2 2
4 4
y
x
y
x
⋅
=
+
5)
7
=
+
+
y
xy
x
; 6)
=






x
y
arctg
2 2
ln
y
x
+
;
7)
,
3
/
2 3
/
2 3
/
2
a
y
x
=
+
−
a параметр
8)
2 2
ln
y
x
x
y
⋅
=
; 9)
( )
;
cos
x
xy
=
10)
(
)
y
x
y
+
=
cos
;
11)
e
xy
e
y
=
+
, найти
( )
0
y
′
;
12)
0 24 10 4
2 2
=
+
−
−
+
y
x
y
x
, найти
( )
0
y
′
, если
( )
6 Найти
( )
x
y
′′
для следующих функций, заданных неявно
1)
0
=
+
−
x
y
arctgy
;
2)
x
y
e
e
y
x
−
=
−
;
3)
0 5
5 2
2 2
3
=
−
+
+
−
y
x
y
x
x
, найти
( )
0
y
′′
;
4)
0 6
2 5
2 2
=
−
+
−
+
+
y
x
xy
y
x
, найти
( )
1
y
′′
, если
( )
1 1
=
y

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   29