Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 19 из 29

4.106.
3
∫
−
x
dx
4.107.
(
)
3 2
∫
+
x
dx
4.108.
(
)
5 4
∫
+
x
dx
4.109.
(
)
1 5
3
∫
+
x
dx
4.110.
2 4
2 2
∫
+
+
x
x
dx
4.111.
9 6
2
∫
+
−
x
x
dx
4.112.
5 4
2
∫
+
−
x
x
dx
4.113.
2 2
2
∫
+
+
x
x
dx
4.114.
(
)(
)
3 2
4
dx
x
x
x
∫
−
−
−
4.115.
(
)
5 1
dx
x
x
∫
+
⋅
4.116.
(
)(
)
2 3
dx
x
x
x
∫
+
+
4.117.
(
)(
)
2 1
1 2
dx
x
x
x
∫
−
−
−
4.118.
5 4
2
∫
−
+
x
x
dx
4.119.
2 7
2 2
∫
−
+
+
dx
x
x
x
4.120.
4 6
2 6
7 2
∫
+
−
−
dx
x
x
x

126
4.121.
3 2
2 3
2
∫
−
+
+
dx
x
x
x
4.122.
(
)(
)
1 1
3 2
3 2
dx
x
x
x
x
x
∫
+
−
⋅
−
+
4.123.
(
) (
)(
)
3 2
1
∫
+
+
⋅
−
x
x
x
dx
4.124.
2 2
2 3
2
∫
−
+
+
dx
x
x
x
x
4.125.
(
)
(
)
9 1
2 3
2
∫
−
+
−
dx
x
x
x
4.126.
2 2
2 3
∫
−
+
dx
x
x
x
4.127.
(
)(
)
3 1
2 2
∫
+
+
x
x
dx
x
4.128.
(
)
(
)(
)
2 1
16 11 2
∫
+
−
+
x
x
dx
x
4.129.
4 4
8 5
2 3
∫
+
−
−
⋅
dx
x
x
x
x
4.130.
1 3
∫
+
x
xdx
4.131.
(
)
(
)
1 1
2 2
∫
+
+
x
x
dx
4.132.
8 3
∫
−
dx
x
x
4.133.
2 3
∫
−
dx
x
x
4.134.
2 2
3 4
∫
−
+
dx
x
x
x
4.135.
4 2
3 3
∫
−
+
dx
x
x
x
4.136.
(
)
1 2
3
∫
−
+
dx
x
x
x
4.137.
8 6
4 2
3
∫
+
−
+
dx
x
x
x
4.138.
3 2
3 3
3
∫
−
−
+
dx
x
x
x
x
4.139.
4 4
15 3
3 2
3
∫
+
+
+
+
dx
x
x
x
x
x
4.140.
1 3
3 5
3 3
2 3
2 3
4
∫
+
+
+
−
+
+
dx
x
x
x
x
x
x
4.141.
6 11 6
4 2
3
∫
+
+
+
+
dx
x
x
x
x
4.142.
(
)
1 2
1 2
4
∫
+
+
+
x
x
dx
x
4.143.
1 1
4 4
∫
−
+
dx
x
x
4.144.
(
)
2 3
5 2
2
dx
x
x
∫
+
+
4.145.
4 4
1 2
4
∫
+
+
+
dx
x
x
x
4.146.*
1 4
∫
+
x
dx
4.147. Используя различные примы, найти интегралы.
1)
∫
+
+
5 6
2 4
x
x
xdx
;
2)
(
)
∫
+
−
dx
x
x
x
9 2
1
;
3)
(
)(
)
∫
−
+
dx
x
x
x
1 1
4 4
7
;
4)
(
)
∫
+
2 6
1
x
x
dx
;
5)
∫
+
5 7
x
x
dx
;
6)
dx
x
x
x
x
∫
−
+
+
2 3
9 2
5
4.5. Интегрирование тригонометрических функций
Пусть
( )
−
v
u
R ,
рациональная функция двух переменных
v
u,
, те. функция, содержащая переменные
v
u,
и постоянные, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления.
1. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных функций при помощи универсальной тригонометрической подстановки Если
1)
(
)
=
−
x
x
R
cos
,
sin
(
)
x
x
R
cos
,
sin
−
, то удобно положить cos
,
x
t
x
=
< <
0
π
;
2)
(
)
=
−
x
x
R
cos
,
sin
(
)
x
x
R
cos
,
sin
−
, то sin
,
x
t
x
= − < <
π
π
2 2
;
3)
(
)
=
−
−
x
x
R
cos
,
sin
(
)
x
x
R
cos
,
sin
, то
( )
⇒
<
<
−
=
2 2
,
π
π
x
t
x
tg
sin
2 2
2 1
x
t
t
=
+
, cos
2 2
1 1
x
t
=
+
,
arctgt
x
=
,
dx
dt
t
=
+
1 Пример 4.11. Найти
1)
dx
x
x
4 3
5
cos sin
+
+
∫
;
2)
sin cos cos
xdx
x
x
2 2
5
−
+
∫
;
3)
2 3
2 2
2
tgx
x
x
dx
+
+
∫
sin cos
;
4)
ctg xdx
5
∫
;
5)
dx
x
x
sin cos
2 4
⋅
∫
;
6) cos sin
3 Решение. 1) Положим
tg
x
t
2
=
. С учётом (4.10) имеем
=
+
+
∫
5
sin
3
cos
4
x
x
dx
( )
=
+




+
+
⋅
+
+
−
⋅
∫
2 2
2 2
1 5
1 2
3 1
1 4
2
t
t
t
t
t
dt
2 6
9 2
dt
t
t
+ +
=
∫
(
)
2 3
2
dt
t
+
=
∫
−
+
+ =
2 3
t
C
−
+
+
2 2
3
tg
x
C
2) Подынтегральная функция является нечётной относительно sin Положим
,
cos
t
x
=
dt
xdx
=
−
sin
, получим sin cos cos
xdx
x
x
2 2
5
−
+
=
∫
−
− +
=
∫
dt
t
t
2 2
5
(
)
−
−
+
=
∫
dt
t
1 4
2
(
)
−
−
+ =
1 2
1 2
arctg
t
C
(
)
−
−
+
1 2
1 2
arctg
x
C
cos
3) Подынтегральная функция удовлетворяет условию 3). Применим подстановку
tgx
t
=
,
dx
x
dt
cos
2
=
:
2 3
2 2
2
tgx
x
x
dx
+
+
=
∫
sin cos
2 3
2 2
2
tgx
tg x
dx
x
+
+
⋅
=
∫
cos
2 3
2 2
t
t
dt
+
+
=
∫
2 2
2
t
t
dt
+
+
∫
=
+
∫
2 3
2
t
dt
(
)
ln t
arctg
t
C
2 2
3 2
2
+ +
+ =
(
)
ln
tg x
arctg
tgx
C
2 2
3 2
2
+ +
+
4) Положим с,
dx
dt
t
= −
+
1 2
, получим
ctg xdx
5
∫
=
−
+
=
∫
t
t
dt
5 2
1
−
+ − − +
+
=
∫
t
t
t
t
t
t
dt
5 3
3 2
1
−
− +
+



 =
∫
t
t
t
t
dt
3 2
1
−
+
−
t
t
4 2
4 2
(
)
1 2
1 2
ln
+
+ =
t
C
(
)
−
+
−
+
+ =
ctg x
ctg x
ctg x
C
4 2
2 4
2 1
2 1
ln
−
+
+
+
ctg x
ctg x
x
C
4 2
4 2
ln sin

128 5) Данный интеграл можно найти, используя подстановку
tgx
t
=
, однако проще предварительно преобразовать подынтегральную функцию, используя тригонометрическую единицу cos sin
2 2
1
x
x
+
=
:
dx
x
x
sin cos
2 4
⋅
=
∫
(
)
sin cos sin cos
2 2
2 2
4
x
x dx
x
x
+
⋅
=
∫
sin sin cos cos sin cos
4 2
2 4
2 4
2
x
x
x
x
x
x
dx
+
⋅
+
⋅
=
∫
∫
∫
∫
=
+
+
⋅
x
dx
x
dx
x
dx
x
tg
2 2
2 2
sin cos
2
cos
C
ctgx
tgx
x
tg
+
−
+
2 3
3
;
6)
cos sin
3 6
x
x
dx
∫
=
(
)
1 2
6
−
=
∫
sin cos sin
x
x
x
dx
d
x
x
d
x
x
sin sin sin sin
6 4
−
=
∫
∫
−
1 5
5
sin x
−
+
1 3
3
sin x
С
4.148.
Доказать, что при помощи универсальной тригонометрической подстановки
t
x
tg
=
2
интеграл
(
)
dx
x
x
R
⋅
∫
cos
,
sin всегда приводится к интегралу от рациональной функции переменной . Указать наиболее подходящие подстановки для рационализации функций вида а)
(
)
dx
x
x
R
∫
cos sin
; б )
dx
tgx
R
⋅
∫
; в где Найти интегралы
1)
∫
+
−
x
x
dx
cos sin
2 3
;
2)
∫
+
2
cos
3
x
dx
;
3)
∫
xdx
tg
4
;
4)
∫
+
dx
x
tgx
2
sin
1
;
5)
∫
+
⋅
+
;
cos
12
cos sin
8
sin
2 2
x
x
x
x
dx
6)
∫
+
x
x
xdx
sin sin cos
2 3
;
7)
∫
+
dx
x
x
x
2
cos sin sin
3
;
8)*
dx
ctgx
ctgx
∫
−
+
1 1
;
9)
∫
x
dx
sin
;
10)
∫
−
x
dx
sin
2
;
11)
∫
−
x
x
dx
2 2
cos
7
sin
4
;
12)
∫
+
x
xdx
2
cos
4 1
2
sin
;
13)
∫
+
x
xdx
sin
1
sin
*
;
14)
(
)
∫
+
+
x
x
dx
x
x
4 2
5 3
sin sin cos cos
;
15)
∫
−
−
1
sin cos
2
sin
2 3
x
x
xdx
;
16)
dx
tgx
tgx
∫
−
3
;
17)
(
)
∫
−
+
x
x
x
dx
sin
2
cos
2
sin
;
18)
(
)(
)
∫
+
+
1
sin
4
sin
x
x
dx
2. Интегралы вида
∫
xdx
x
n
m
cos sin
, где
m
и целые числа, можно вычислить с помощью преобразований подынтегральной функции, в частности, применением формул понижения

129
sin cos
2 1
2 2
x
x
=
−
; cos cos
2 1
2 2
x
x
=
+
;
2 2
sin cos Интегралы, содержащие произведения функций косинус и синус с различными аргументами вычисляются с помощью применения формул
1.
(
)
(
)
[
]
sin sin cos cos
α
β
α β
α β
⋅
=
−
−
+
1 2
2.
(
)
(
)
[
]
cos cos cos cos
α
β
α β
α β
⋅
=
−
+
+
1 2
3.
(
)
(
)
[
]
sin cos sin sin
α
β
α β
α β
⋅
=
−
+
+
1 Пример 4.12 . Найти sin cos
4 Решение 2
cos
1 2
sin
16 1
cos sin
4 6
4
(
)
1 128 1
4 2
−
+
∫
cos x dx
+
1 64 2
2 4
sin sin
xd
x
=
∫
1 128
dx
∫
−
1 64 4
cos xdx
+
∫
1 128 4
2
cos
xdx
+
∫
1 320 2
5
sin
x
=
x
128
−
1 256 4
sin x
+
(
)
1 256 1
8
+
+
∫
cos x dx
1 320 2
5
sin
x
=
3 256
x
−
1 256 4
sin x
+
1 2048 8
sin x
+
1 320 2
5
sin
x
С
+
4.151.
Найти интегралы
1)
∫
dx
x
2
cos
4
;
2)
∫
xdx
6
sin
;
3)
∫
xdx
x
4 2
cos sin
;
4)
∫
x
x
dx
4 4
cos sin
;
5)
∫
xdx
x cos
5
sin
;
6)
∫
dx
x
x
3
cos
2
cos
;
7)
∫
xdx
x
15
sin
10
sin
;
8)
∫
xdx
x
x
3
cos
2
cos cos
; 9)
∫
xdx
x
3
cos
2
sin
2
4.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций Пусть
(
)
R x
x
n
1
,...,
−
рациональная функция
n
переменных
x
x
n
1
,...,
, те. функция, содержащая переменные
x
x
n
1
,...,
и постоянные, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления.
1. Интеграл вида x
ax
b
cx
d
ax
b
cx
d
dx
m
m
k
,
,...,
+
+
+
+






∫
1
, где
k m
m
k
,
, ...,
1
−
натуральные, действительные числа,
ab bc
−
≠
0
, сводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки
t
s
=
ax
b
cx
d
+
+
, где
s
−
наименьшее общее кратное чисел
m
m
k
1
, В частности, для
(
)
R x
ax
b
ax
b используется подстановка
t
s
=
ax
b
+
;
(
)
R x
x
x dx
m
m
k
,
,...,
1
∫
используется подстановка
t
s
=
x.

Пример 4.13. Найти
1)
(
)
x
x
x
x
x
dx
+
+
+
∫
2 3
6 3
1
;
2)
(
)
dx
x
x
2 1
2 1
2 3
+
−
+
∫
;
3)
(
) (
)
dx
x
x
−
+
∫
1 2
3 Решение. 1) Подынтегральная функция является рациональной относительно и
x
6
;
m
1 3
=
,
m
2 6
=
⇒
s
=
6. Применим подстановку
x
t
dx
t dt
=
=
6 5
6
,
, получим
(
)
x
x
x
x
x
dx
+
+
+
∫
2 3
6 3
1
=
(
)
6 1
6 4
6 2
5
t
t
t
t
t
t dt
+ +
+
⋅
=
∫
6 1
1 5
3 2
t
t
t
dt
+ +
+
=
∫
6 3
t dt
+
∫
6 1
2
dt
t
+
=
∫
=
+
+
=
C
arctgt
t
6 2
3 4
C
x
arctg
x
+
+
6 3
2 6
2 3
2) Подынтегральная функция является рациональной относительно
3 1
2
+
x
и
1 2
+
x
⇒
m
1 3
=
,
m
2 2
=
⇒
s
=
6
. Применим подстановку
2 1
3 6
5
x
t
dx
t dt
+ =
=
,
, получим
(
)
dx
x
x
2 1
2 1
2 3
+
−
+
=
∫
3 5
4 3
t dt
t
t
−
=
∫
3 1
2
t dt
t
−
=
∫
3 1 1 1
2
t
t
dt
− +
−
=
∫
3 1
1 1
t
t
dt
+ +
−



 =
∫
=
+
−
⋅
+
+
=
C
t
t
t
1
ln
3 3
2 3
2
C
x
x
x
+
−
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
1 1
2
ln
3 1
2 3
1 2
2 3
6 6
3 3) Преобразуем интеграл
(
) (
)
dx
x
x
−
+
=
∫
1 2
3 5
4
(
)(
)
dx
x
x
x
x
+
−
+
−
∫
2 1
2 Подынтегральная функция является рациональной относительно переменной и дроби
x
x
+
−
2 1
4
. Сделаем подстановку
t
x
x
4 2
1
=
+
−
, отсюда найдём
x
t
=
−
+
3 1
1 4
,
( )
dt
t
t
dx
2 4
3 1
12
−
⋅
−
=
,
1 3
1 4
−
=
−
t
x
x
t
t
+ =
−
2 3
1 4
4
, с учётом этого
(
)(
)
dx
x
x
x
x
+
−
+
−
=
∫
2 1
2 1
4
( )
( )
∫
=
⋅
⋅
−
−
⋅
−
dt
t
t
t
t
t
3 3
1 1
12 4
2 4
2 4
3
−
=
∫
4 3
2
dt
t
=
+
C
t
3 4
4 3
1 Найти интегралы
1)
(
)
∫
+
x
x
dx
4 3
;
2)
∫
−
3 3
2x
xdx
;
3)
(
)
∫
+
−
+
3 1
3 4
x
x
dx
;
4)
(
)
dx
x
x
x
3 2
2 2
2 2
+
−
⋅
−
∫
;
5)
(
)
∫
−
−
2 1
1
x
x
dx
;
6)
dx
x
x
x
x
∫
+
+
6 7
4 5
3
;

131 7)
(
)
∫
+
+
x
x
dx
1 5
;
8)
∫
+
−
−
dx
x
x
1 3
2 3
2 3
;
9)
∫






−
+
3 1
2
x
x
x
dx
;
10)
(
) (
)
∫








−
+
3 4
2 1
1
x
x
dx
;
11)
(
)
(
)
∫
+
+
+
−
+
dx
a
x
a
x
a
x
3 6
1 1
, параметр
12)
(
)
∫
−
4 3
1
x
x
dx