Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
![]()
|
4.106. 3 ∫ − x dx 4.107. ( ) 3 2 ∫ + x dx 4.108. ( ) 5 4 ∫ + x dx 4.109. ( ) 1 5 3 ∫ + x dx 4.110. 2 4 2 2 ∫ + + x x dx 4.111. 9 6 2 ∫ + − x x dx 4.112. 5 4 2 ∫ + − x x dx 4.113. 2 2 2 ∫ + + x x dx 4.114. ( )( ) 3 2 4 dx x x x ∫ − − − 4.115. ( ) 5 1 dx x x ∫ + ⋅ 4.116. ( )( ) 2 3 dx x x x ∫ + + 4.117. ( )( ) 2 1 1 2 dx x x x ∫ − − − 4.118. 5 4 2 ∫ − + x x dx 4.119. 2 7 2 2 ∫ − + + dx x x x 4.120. 4 6 2 6 7 2 ∫ + − − dx x x x 126 4.121. 3 2 2 3 2 ∫ − + + dx x x x 4.122. ( )( ) 1 1 3 2 3 2 dx x x x x x ∫ + − ⋅ − + 4.123. ( ) ( )( ) 3 2 1 ∫ + + ⋅ − x x x dx 4.124. 2 2 2 3 2 ∫ − + + dx x x x x 4.125. ( ) ( ) 9 1 2 3 2 ∫ − + − dx x x x 4.126. 2 2 2 3 ∫ − + dx x x x 4.127. ( )( ) 3 1 2 2 ∫ + + x x dx x 4.128. ( ) ( )( ) 2 1 16 11 2 ∫ + − + x x dx x 4.129. 4 4 8 5 2 3 ∫ + − − ⋅ dx x x x x 4.130. 1 3 ∫ + x xdx 4.131. ( ) ( ) 1 1 2 2 ∫ + + x x dx 4.132. 8 3 ∫ − dx x x 4.133. 2 3 ∫ − dx x x 4.134. 2 2 3 4 ∫ − + dx x x x 4.135. 4 2 3 3 ∫ − + dx x x x 4.136. ( ) 1 2 3 ∫ − + dx x x x 4.137. 8 6 4 2 3 ∫ + − + dx x x x 4.138. 3 2 3 3 3 ∫ − − + dx x x x x 4.139. 4 4 15 3 3 2 3 ∫ + + + + dx x x x x x 4.140. 1 3 3 5 3 3 2 3 2 3 4 ∫ + + + − + + dx x x x x x x 4.141. 6 11 6 4 2 3 ∫ + + + + dx x x x x 4.142. ( ) 1 2 1 2 4 ∫ + + + x x dx x 4.143. 1 1 4 4 ∫ − + dx x x 4.144. ( ) 2 3 5 2 2 dx x x ∫ + + 4.145. 4 4 1 2 4 ∫ + + + dx x x x 4.146.* 1 4 ∫ + x dx 4.147. Используя различные примы, найти интегралы. 1) ∫ + + 5 6 2 4 x x xdx ; 2) ( ) ∫ + − dx x x x 9 2 1 ; 3) ( )( ) ∫ − + dx x x x 1 1 4 4 7 ; 4) ( ) ∫ + 2 6 1 x x dx ; 5) ∫ + 5 7 x x dx ; 6) dx x x x x ∫ − + + 2 3 9 2 5 4.5. Интегрирование тригонометрических функций Пусть ( ) − v u R , рациональная функция двух переменных v u, , те. функция, содержащая переменные v u, и постоянные, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. 1. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных функций при помощи универсальной тригонометрической подстановки Если 1) ( ) = − x x R cos , sin ( ) x x R cos , sin − , то удобно положить cos , x t x = < < 0 π ; 2) ( ) = − x x R cos , sin ( ) x x R cos , sin − , то sin , x t x = − < < π π 2 2 ; 3) ( ) = − − x x R cos , sin ( ) x x R cos , sin , то ( ) ⇒ < < − = 2 2 , π π x t x tg sin 2 2 2 1 x t t = + , cos 2 2 1 1 x t = + , arctgt x = , dx dt t = + 1 Пример 4.11. Найти 1) dx x x 4 3 5 cos sin + + ∫ ; 2) sin cos cos xdx x x 2 2 5 − + ∫ ; 3) 2 3 2 2 2 tgx x x dx + + ∫ sin cos ; 4) ctg xdx 5 ∫ ; 5) dx x x sin cos 2 4 ⋅ ∫ ; 6) cos sin 3 Решение. 1) Положим tg x t 2 = . С учётом (4.10) имеем = + + ∫ 5 sin 3 cos 4 x x dx ( ) = + + + ⋅ + + − ⋅ ∫ 2 2 2 2 1 5 1 2 3 1 1 4 2 t t t t t dt 2 6 9 2 dt t t + + = ∫ ( ) 2 3 2 dt t + = ∫ − + + = 2 3 t C − + + 2 2 3 tg x C 2) Подынтегральная функция является нечётной относительно sin Положим , cos t x = dt xdx = − sin , получим sin cos cos xdx x x 2 2 5 − + = ∫ − − + = ∫ dt t t 2 2 5 ( ) − − + = ∫ dt t 1 4 2 ( ) − − + = 1 2 1 2 arctg t C ( ) − − + 1 2 1 2 arctg x C cos 3) Подынтегральная функция удовлетворяет условию 3). Применим подстановку tgx t = , dx x dt cos 2 = : 2 3 2 2 2 tgx x x dx + + = ∫ sin cos 2 3 2 2 2 tgx tg x dx x + + ⋅ = ∫ cos 2 3 2 2 t t dt + + = ∫ 2 2 2 t t dt + + ∫ = + ∫ 2 3 2 t dt ( ) ln t arctg t C 2 2 3 2 2 + + + = ( ) ln tg x arctg tgx C 2 2 3 2 2 + + + 4) Положим с, dx dt t = − + 1 2 , получим ctg xdx 5 ∫ = − + = ∫ t t dt 5 2 1 − + − − + + = ∫ t t t t t t dt 5 3 3 2 1 − − + + = ∫ t t t t dt 3 2 1 − + − t t 4 2 4 2 ( ) 1 2 1 2 ln + + = t C ( ) − + − + + = ctg x ctg x ctg x C 4 2 2 4 2 1 2 1 ln − + + + ctg x ctg x x C 4 2 4 2 ln sin 128 5) Данный интеграл можно найти, используя подстановку tgx t = , однако проще предварительно преобразовать подынтегральную функцию, используя тригонометрическую единицу cos sin 2 2 1 x x + = : dx x x sin cos 2 4 ⋅ = ∫ ( ) sin cos sin cos 2 2 2 2 4 x x dx x x + ⋅ = ∫ sin sin cos cos sin cos 4 2 2 4 2 4 2 x x x x x x dx + ⋅ + ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ = + + ⋅ x dx x dx x dx x tg 2 2 2 2 sin cos 2 cos C ctgx tgx x tg + − + 2 3 3 ; 6) cos sin 3 6 x x dx ∫ = ( ) 1 2 6 − = ∫ sin cos sin x x x dx d x x d x x sin sin sin sin 6 4 − = ∫ ∫ − 1 5 5 sin x − + 1 3 3 sin x С 4.148. Доказать, что при помощи универсальной тригонометрической подстановки t x tg = 2 интеграл ( ) dx x x R ⋅ ∫ cos , sin всегда приводится к интегралу от рациональной функции переменной . Указать наиболее подходящие подстановки для рационализации функций вида а) ( ) dx x x R ∫ cos sin ; б ) dx tgx R ⋅ ∫ ; в где Найти интегралы 1) ∫ + − x x dx cos sin 2 3 ; 2) ∫ + 2 cos 3 x dx ; 3) ∫ xdx tg 4 ; 4) ∫ + dx x tgx 2 sin 1 ; 5) ∫ + ⋅ + ; cos 12 cos sin 8 sin 2 2 x x x x dx 6) ∫ + x x xdx sin sin cos 2 3 ; 7) ∫ + dx x x x 2 cos sin sin 3 ; 8)* dx ctgx ctgx ∫ − + 1 1 ; 9) ∫ x dx sin ; 10) ∫ − x dx sin 2 ; 11) ∫ − x x dx 2 2 cos 7 sin 4 ; 12) ∫ + x xdx 2 cos 4 1 2 sin ; 13) ∫ + x xdx sin 1 sin * ; 14) ( ) ∫ + + x x dx x x 4 2 5 3 sin sin cos cos ; 15) ∫ − − 1 sin cos 2 sin 2 3 x x xdx ; 16) dx tgx tgx ∫ − 3 ; 17) ( ) ∫ − + x x x dx sin 2 cos 2 sin ; 18) ( )( ) ∫ + + 1 sin 4 sin x x dx 2. Интегралы вида ∫ xdx x n m cos sin , где m и целые числа, можно вычислить с помощью преобразований подынтегральной функции, в частности, применением формул понижения 129 sin cos 2 1 2 2 x x = − ; cos cos 2 1 2 2 x x = + ; 2 2 sin cos Интегралы, содержащие произведения функций косинус и синус с различными аргументами вычисляются с помощью применения формул 1. ( ) ( ) [ ] sin sin cos cos α β α β α β ⋅ = − − + 1 2 2. ( ) ( ) [ ] cos cos cos cos α β α β α β ⋅ = − + + 1 2 3. ( ) ( ) [ ] sin cos sin sin α β α β α β ⋅ = − + + 1 Пример 4.12 . Найти sin cos 4 Решение 2 cos 1 2 sin 16 1 cos sin 4 6 4 ( ) 1 128 1 4 2 − + ∫ cos x dx + 1 64 2 2 4 sin sin xd x = ∫ 1 128 dx ∫ − 1 64 4 cos xdx + ∫ 1 128 4 2 cos xdx + ∫ 1 320 2 5 sin x = x 128 − 1 256 4 sin x + ( ) 1 256 1 8 + + ∫ cos x dx 1 320 2 5 sin x = 3 256 x − 1 256 4 sin x + 1 2048 8 sin x + 1 320 2 5 sin x С + 4.151. Найти интегралы 1) ∫ dx x 2 cos 4 ; 2) ∫ xdx 6 sin ; 3) ∫ xdx x 4 2 cos sin ; 4) ∫ x x dx 4 4 cos sin ; 5) ∫ xdx x cos 5 sin ; 6) ∫ dx x x 3 cos 2 cos ; 7) ∫ xdx x 15 sin 10 sin ; 8) ∫ xdx x x 3 cos 2 cos cos ; 9) ∫ xdx x 3 cos 2 sin 2 4.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций Пусть ( ) R x x n 1 ,..., − рациональная функция n переменных x x n 1 ,..., , те. функция, содержащая переменные x x n 1 ,..., и постоянные, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. 1. Интеграл вида x ax b cx d ax b cx d dx m m k , ,..., + + + + ∫ 1 , где k m m k , , ..., 1 − натуральные, действительные числа, ab bc − ≠ 0 , сводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки t s = ax b cx d + + , где s − наименьшее общее кратное чисел m m k 1 , В частности, для ( ) R x ax b ax b используется подстановка t s = ax b + ; ( ) R x x x dx m m k , ,..., 1 ∫ используется подстановка t s = x. Пример 4.13. Найти 1) ( ) x x x x x dx + + + ∫ 2 3 6 3 1 ; 2) ( ) dx x x 2 1 2 1 2 3 + − + ∫ ; 3) ( ) ( ) dx x x − + ∫ 1 2 3 Решение. 1) Подынтегральная функция является рациональной относительно и x 6 ; m 1 3 = , m 2 6 = ⇒ s = 6. Применим подстановку x t dx t dt = = 6 5 6 , , получим ( ) x x x x x dx + + + ∫ 2 3 6 3 1 = ( ) 6 1 6 4 6 2 5 t t t t t t dt + + + ⋅ = ∫ 6 1 1 5 3 2 t t t dt + + + = ∫ 6 3 t dt + ∫ 6 1 2 dt t + = ∫ = + + = C arctgt t 6 2 3 4 C x arctg x + + 6 3 2 6 2 3 2) Подынтегральная функция является рациональной относительно 3 1 2 + x и 1 2 + x ⇒ m 1 3 = , m 2 2 = ⇒ s = 6 . Применим подстановку 2 1 3 6 5 x t dx t dt + = = , , получим ( ) dx x x 2 1 2 1 2 3 + − + = ∫ 3 5 4 3 t dt t t − = ∫ 3 1 2 t dt t − = ∫ 3 1 1 1 2 t t dt − + − = ∫ 3 1 1 1 t t dt + + − = ∫ = + − ⋅ + + = C t t t 1 ln 3 3 2 3 2 C x x x + − + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ 1 1 2 ln 3 1 2 3 1 2 2 3 6 6 3 3) Преобразуем интеграл ( ) ( ) dx x x − + = ∫ 1 2 3 5 4 ( )( ) dx x x x x + − + − ∫ 2 1 2 Подынтегральная функция является рациональной относительно переменной и дроби x x + − 2 1 4 . Сделаем подстановку t x x 4 2 1 = + − , отсюда найдём x t = − + 3 1 1 4 , ( ) dt t t dx 2 4 3 1 12 − ⋅ − = , 1 3 1 4 − = − t x x t t + = − 2 3 1 4 4 , с учётом этого ( )( ) dx x x x x + − + − = ∫ 2 1 2 1 4 ( ) ( ) ∫ = ⋅ ⋅ − − ⋅ − dt t t t t t 3 3 1 1 12 4 2 4 2 4 3 − = ∫ 4 3 2 dt t = + C t 3 4 4 3 1 Найти интегралы 1) ( ) ∫ + x x dx 4 3 ; 2) ∫ − 3 3 2x xdx ; 3) ( ) ∫ + − + 3 1 3 4 x x dx ; 4) ( ) dx x x x 3 2 2 2 2 2 + − ⋅ − ∫ ; 5) ( ) ∫ − − 2 1 1 x x dx ; 6) dx x x x x ∫ + + 6 7 4 5 3 ; |