Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
3.179. 1) 7 2 104 1 = P , 7 2 64 2 = P , 7 5 55 1 = Q , 7 3 31 2 = Q , 2) 62 1 = Q , 0 2 = Q , 98 = P , прибыль уменьшится над. ед. 3.180. 1) ( ) > ≤ ≤ − < ≤ − = ; 65 0 65 20 , 9 80 9 2600 , 20 0 , 10 300 Q Q Q Q Q Q MR 2) ( ) ( ) [ ) ( ] [ ] ∈ − ∈ − ⋅ = 55 ; 10 , 9 80 9 2600 , 65 ; 55 10 ; 0 , 81 80 2600 8 Q Q Q Q Q MR U 3.181. 10 = B P дед дед. На внутреннем рынке продаётся 100, а на внешнем − 200 автомобилей. 3.184. 1) 2 − = x , 4 2 − = x y при ±∞ → x ; 2) 1 ± = x , 1 = y при ±∞ → x ; 3) нет асимптот 4) 0 = x , при ±∞ → x ; 5) 2 = x , 1 = y при ±∞ → x ; 6) 3 1 − = x y при ±∞ → x ; 7) 0 = x ; 8) при −∞ → x ; 9) 0 = y при ±∞ → x ; 10) 1 2 − − = x y π при −∞ → x , 175 1 2 − = x y π при +∞ → x ; 11) x y = при ±∞ → x ; 12) 0 = x , x y 2 = при +∞ → x . 3.185. 1) R D f = , точек разрыва нет, функция чётная, проходит через точки ( ) 1 ; 0 − , ( ) 0 ; 5 ± , убывает на ( ) 0 ; ∞ − , возрастает на ( ) ∞ + ; 0 , ( ) 1 0 min − = = y y , выпуклая на ( ) ( ) ( ) ∞ + − − ∞ − ; 5 1 ; 1 5 ; U U , вогнутая на ( ) ( ) 5 ; 1 1 ; 5 U − − , перегиб в точках 5 ± = x , 1 ± = x асимптот нет 2) R D f = , точек разрыва нет, функция нечётная, проходит через точки ( ) 0 ; 0 , ( ) 0 ; 5 ± , возрастает на ( ) ( ) ∞ + − ∞ − ; 3 3 ; U , убывает на ( ) 3 ; 3 − , ( ) 3 3 min − = = y y , max y ( ) 3 3 = − = y , выпуклая на ( ) ( ) ∞ + − ; 5 , 1 0 ; 5 , 1 U , вогнутая на ( ) ( ) 5 , 1 ; 0 5 , 1 ; U − ∞ − , перегиб в точках 5 , 1 ± = x , 0 = x , асимптот нет 3) { } 1 / R D f = , точка разрыва 1 = x , функция общего вида, непериодическая, проходит через точку (0;0), возрастает на ( ) ( ) ∞ + ∞ − ; 3 1 ; U , убывает на ( ) 3 ; 1 , ( ) 8 3 3 3 min = = y y ; выпуклая на ( ) ∞ + ; 0 , вогнутая на ( ) 0 ; ∞ − , перегиб в точке 0 = x , вертикальная асимптота 1 = x , наклонная асимптота 1 2 1 + = x y при ∞ → x ; 4) { } 1 ; 1 / − = R D f , точки разрыва 1 ± = x , функция нечётная, непериодическая, проходит через точки (0;0), ( ) 0 ; 3 ± , возрастающая выпуклая на ( ) ( ) 1 ; 0 1 ; U − ∞ − , вогнутая на) ( ) ∞ + − ; 1 0 ; 1 U , перегиб в точке 0 = x , вертикальные асимптоты 1 − = x и 1 = x , наклонная асимптота x y = при ∞ → x ; 5) { } 2 ; 2 / − = R D f , точки разрыва 2 ± = x , функция нечётная, непериодическая, проходит через точку (0;0), убывающая, выпуклая на ( ) ( ) ∞ + − ; 2 0 ; 2 U , вогнутая на) ( ) 2 ; 0 2 ; U − ∞ − , перегиб в точке 0 = x , вертикальные асимптоты и 2 = x , горизонтальная асимптота при ∞ → x ; 6) R D f = , точек разрыва нет, функция чётная, непериодическая, проходит через точки (-1;0), (1;0), (0;-1), убывает на ( ) 0 ; ∞ − , возрастает на ( ) ∞ + ; 0 , 176 ( ) 1 0 min − = = y y , выпуклая на ( ) 3 1 ; 3 1 − , вогнутая на ( ) ( ) ∞ + − ∞ − ; 3 1 3 1 ; U , перегиб в точках 3 1 − = x , 3 1 = x , горизонтальная асимптота 1 = y при ∞ → x ; 7) R D f = , точек разрыва нет, функция общего вида, проходит через точки ( ) 0 ; 0 , ( ) 0 ; 2 , возрастает на ( ) ∞ + ; 1 , убывает на ( ) 1 ; ∞ − , ( ) 1 1 min − = = y y , выпуклая на ( ) 2 ; 0 , вогнутая на ( ) ( ) +∞ ∞ − ; 2 0 ; U , перегиб в точках 0 = x , 2 = x , асимптот нет 8) [ ) ∞ + = , 0 f D , точек разрыва нет, функция общего вида, проходит через точки ( ) 0 ; 0 , ( ) 0 ; 3 , возрастает на ( ) ∞ + ; 1 , убывает на ( ) 1 ; 0 , ( ) 2 1 min − = = y y , выпуклая, асимптот нет 9) R D f = , точек разрыва нет, функция общего вида, проходит через точки ( ) 1 ; 0 − , ( ) 0 ; 1 − , ( ) 0 ; 8 19 , возрастает на ( ) ( ) ∞ + − ∞ − ; 0 1 ; U , убывает на ( ) 0 ; 1 − , ( ) 1 0 min − = = y y , max y ( ) 0 1 = − = y , выпуклая, асимптот нет 10) R D f = , точек разрыва нет, функция общего вида, проходит через точку ( ) 1 ; 0 , возрастает на ( ) 1 ; ∞ − , убывает на ( ) ∞ + ; 1 , = max y ( ) e y = = 1 , выпуклая на ∞ + + − ∞ − ; 2 1 1 2 1 1 ; U , вогнутая на + − 2 1 1 ; 2 1 1 , точки перегиба 2 1 1 − = x , 2 1 1 + = x , горизонтальная асимптота 0 = y при ∞ → x ; 11) { } 0 / R D f = , точка разрыва 0 = x , функция чётная, непериодическая, оси координат не пересекает, возрастает на ( ) ( ) 1 ; 0 1 ; U − ∞ − , убывает на ( ) ( ) ∞ + − ; 1 0 ; 1 U , ( ) ( ) e y y y 1 1 1 max = = − = , выпуклая на ( ) ( ) ∞ + − − ∞ − ; 2 3 1 ; 0 0 ; 3 1 2 ; U U U , вогнутая на − − 2 ; 3 1 3 1 ; 2 U , перегиб в точках 2 ± = x , 3 1 ± = x , горизонтальная асимптота 0 = y при ∞ → x ; 12) R D f = , точек разрыва нет, функция общего вида, проходит через точку ( ) 0 ; 0 , возрастает 177 всюду, выпуклая на ( ) 0 ; ∞ − , вогнутая на ( ) ∞ + ; 0 , перегиб в точке 0 = x , асимптот нет 13) { } 1 ; 1 / − = R D f , точки разрыва 1 ± = x , функция чётная, проходит через точку, возрастает на ( ) ( ) ∞ + − ; 1 0 ; 1 U , убывает на ( ) ( ) 1 ; 0 1 ; U − ∞ − , max y ( ) 0 0 = = y , вогнутая, вертикальные асимптоты 1 ± = x ; 14) R D f = , точек разрыва нет, функция общего вида, проходит через точки ( ) 1 ; 0 , ⋅ + − 0 ; 4 n π π , Z n ∈ , возрастает на ⋅ + ⋅ + − ∈ n n Z n π π π π 2 4 ; 2 4 3 U , убывает на ⋅ + ⋅ + ∈ n n Z n π π π π 2 4 5 ; 2 4 U , = max y 2 2 4 = ⋅ + n y π π , = min y 2 2 4 5 − = ⋅ + n y π π , Z n ∈ , выпуклая на ⋅ + ⋅ + ∈ n n Z n π π π π 2 4 7 ; 2 4 3 U , вогнутая на ⋅ + ⋅ + − ∈ n n Z n π π π π 2 4 3 ; 2 4 U , точки перегиба, асимптот нет 15) ( ) ∞ + = ; 0 f D , точек разрыва нет, оси координат не пересекает, возрастает на ∞ + ; 1 e , убывает на e 1 ; 0 , = min y ≈ e y 1 0,692, выпуклая, асимптот нет. ГЛАВА 4 4.1. C x x x + + + ln 3 2 3 4.2. C x x x + + − 5 2 2 4 4.3. C x x x + ⋅ + + ⋅ − 5 1 3 sin cos 2 4.4. C x x + ⋅ − sin 5 ln 2 4.5. C x ctgx + ⋅ − − arcsin 3 . 4.6. C arctgx tgx + ⋅ + ⋅ 2 3 1 . 4.7. C x x + ⋅ − 2 ln 2 1 3 ln 3 . 4.8. C e x x + ⋅ + 3 2 ln 2 4.9. C x a x a x a + − − ⋅ 2 3 2 2 ln . 4.10. C x x x + − + 2 2 1 . 4.11. C x x x x + ⋅ ⋅ − ⋅ 5 3 2 6 5 178 4.12. C x x x x + ⋅ + ⋅ 3 4 3 3 2 4.13. ( ) C x n n n n + ⋅ − − 1 1 4.14. C x + − 2 4.15. C x x + ⋅ 8 7 15 8 . 4.16. C x x x + ⋅ + ⋅ − ⋅ 4 4 2 3 . 4.17. C x x x + ⋅ + ⋅ + 6 2 5 3 2 3 4.18. C x x x + ⋅ + ⋅ + ⋅ 9 6 3 4 2 3 4.19. C x x + − 1 1 1 2 4.20. C x x + ⋅ + ln 2 3 3 4.21. C x x x + ⋅ − + ⋅ 2 2 1 6 ln 9 . 4.22. C x x x + − − ln 2 1 . 4.23. C x x x + ⋅ + − ⋅ 4 3 1 5 4 3 4.24. C a x x x a x x a + ⋅ + + ⋅ + ⋅ 3 2 3 6 ln 4.25. C x x x + + − + arcsin 1 1 ln 4.26. C x x x + − − ln 2 1 . 4.27. C e x x + + ⋅ 2 ln 1 2 . 4.28. C x x + ⋅ − ⋅ ⋅ 5 ln 5 2 2 ln 2 5 1 4.29. C x e x + − 4.30. C tgx e x + − 4.31. ( ) C x x + − sin 2 1 4.32. C x arctgx + − arcsin 3 2 4.33. C x ctgx + + ⋅ − cos 2 . 4.34. C x + − 2 sin 2 4.35. C ctgx tgx + ⋅ + ⋅ 2 3 4.36. C x tgx + − . 4.37. C tgx + 4.38. C x x + + cos 4.39. C x + − 3 3 cos 4.40. C x + 5 5 sin 4.41. C x tg + 5 с 7 4.43. C e x + 2 2 4.44. C x arctg + 4 4 4.45. ( ) C x + + − 2 3 2 cos 4.46. ( ) C x + − 4 5 4 sin 4.47. ( ) C x + + 30 5 6 5 4.48. ( ) C x + − − 12 3 2 4 4.49. ( ) C x x + + ⋅ + 3 3 3 2 4.50. ( ) C x x + − ⋅ − − 3 7 3 7 3 28 3 4.51. ( ) C x + + 3 3 5 9 2 . 4.52. ( ) C x + − − 4 4 2 1 32 1 . 4.53. C e x + ⋅ − − 2 2 1 4.54. C e x + − + − 1 3 3 1 4.55. C x + + 3 5 ln 3 . 4.56. ( ) C x + + 2 3 2 ln 6 179 4.57. ( ) C x + + ⋅ 5 4 3 7 4 24 5 4.58. ( ) C x + + ⋅ 3 2 3 1 4 3 4.59. C x + 4 2 arcsin 2 4.60. ( ) C x arctg + 4 4 4.61. C x + 6 sin 6 4.62. C x x + − − cos 4 cos 4 4.63. C x + + − 2 cos ln 4.64. C x arctg + sin 4.65. C x + − 4 sin 1 4.66. C x + ⋅ 2 cos 2 1 4.67. с. C x + sin ln 4.69. C x tg + 3 3 4.70. ( ) C ctgx + + − 2 1 2 4.71. C x + 2 sin ln 4.72. C x ctgx + + − sin ln 2 4.73. C tgx + + ⋅ 2 6 4.74. C x + − − 2 sin 3 2 ln 3 2 . 4.75. ( ) C e x + + 1 ln . 4.76. C e x + − − 6 3 1 ln 2 4.77. C e x + − 1 2 . 4.78. C e x + ⋅ 2 4.79. C e arctgx + . 4.80. C e ctgx + − 4.81. C x + ⋅ 2 ln 2 4 . 4.82. C tgx + 2 ln 2 4.83. C x + 2 ln 2 4.84. ( ) C x x + + + 2 ln 1 2 ln 1 3 2 4.85. C x + + 2 ln ln |