Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
![]()
|
3.60. 1) ( ) dx e x x ⋅ ⋅ + 1 ; 2) dx x 4 3 − ; 3) dx x x 1 2 2 − ; 4) dx x x x ⋅ ⋅ − 2 ln 2 ; 5) dx a x x 2 2 + ; 6) ( ) dx x x 2 2 1 1 1 − − 3.61. 1) xdx x sin ; 2) xdx e x 2 2 sin ⋅ ; 3) dx e e x x 4 2 1 2 + ; 4) xdx ln ; 5) dx x x x x + cos 2 sin 2 ; 6) dx e x tgx x cos 1 cos − ⋅ − ; 7) ( ) dx x 36 1 2 − ; 8) xdx arcsin . 3.62. 1) ( ) dx w v u w v u w v u ′ ⋅ ⋅ + ⋅′ ⋅ + ⋅ ⋅′ ; 2) dx v v u v u 3 2 ′ ⋅ ⋅ − ⋅′ ; 3) ( ) dx v u v v u u 3 2 2 + ′ ⋅ + ′ ⋅ − ; 4) dx u v v u v u 2 2 + ′ ⋅ − ⋅′ ; 5) ( ) ( ) ( ) ( ) dx e w v u w v u w v u + ⋅ ′ ⋅ + + ⋅ ′ + ′ ; 6) dx v u v v u u 2 2 + ′ ⋅ + ′ ⋅ . 3.63. 1) 150 1 1 ; 2) 40 1 4 + π ;3) 90 1 π + ; 4) 160 159 1 ; 5) 360 3 2 1 π ⋅ − ; 6) 0,2; 7) 80 1 2 ; 8) 540 1 π − ; 9) 1,15. 3.64. 1) 1,2; 2) 0,97. 3.65. 0,5 км. 3.66. 9,12 м. 3.67. 10,83 3 м π 3.68. 2см. 3.69. 3 см. 3.70. 1) 2 2 dx a ⋅ ⋅ ; 2) ( ) 2 2 2 3 1 3 ln 2 3 ln 2 dx x x − ⋅ − ; 3) ( ) 2 2 sin dx c bx b a ⋅ + ⋅ ⋅ − ; 4) ( ) 2 3 2 1 1 dx x + ; 5) 2 3 3 ln 2 dx x x − ; 6) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 7 9 3 2 dx x x x x + − + − ; 7) ( ) 2 3 2 2 1 1 arcsin dx x x x x − − + − ; 8) ( ) 2 3 2 4 dx x x + − ; 9) ( ) 2 2 1 1 ln dx x x x x ⋅ ⋅ + + 3.71. 1) 3 2 1 dx x − ; 2) 3 2 sin 4 dx x − ; 3) 3 3 1 8 15 dx x x ⋅ − 3.72. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 dx u u f u u u f u u f ′′′ ⋅ ′ + ′′ ⋅′ ⋅ ′′ + ′ ⋅ ′′′ ; 2) ( ) 3 3 2 3 3 2 dx u u u u u u u ′′′ ⋅ + ′′ ⋅′ ⋅ − ′ ; 3) ( ) ( ) 3 3 3 dx u u u u e u ′′′ + ′′ ⋅′ + ′ ⋅ ; 4) ( ) 3 3 2 dx u u u u ′′′ ⋅ + ′′ ⋅′ 3.73. 1) а) 2 2 2 4 dx e y d x ⋅ = ; баба б) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 2 1 3 1 1 4 dt x x x x x x y d ′′ ⋅ + ′ ⋅ − + ⋅ − − = ⋅ . 3.74. 1) dx y x y dy 2 + − = , ( ) ( ) 2 3 2 2 2 dx y x y y x y d ⋅ + + = ; 2) dx e dy y 1 1 − = , ( ) 2 3 2 1 dx e e y d y y ⋅ − = 3.75. 1) 3 7 + − = x y , 7 1 10 7 1 + = x y ; 2) 5 = y , 2 − = x ; 3) 1 4 1 + = x y , 18 4 + − = x y ; 4) 1 − = x y , 1 + − = x y ; 5) x y 2 = , x y 2 1 − = ; 6) ( ) 5 2 1 − − = x y , x y 2 = ; 7) 3 2 + = x y , 2 1 2 1 + − = x y ; 8) 12 11 + = x y , 13 12 + − = x y 3.76. 8 4 + − = x y , 4 2 − = x y . 3.77. 3 − = b , 4 = c . 3.78. 1) 3 2 arctg ; 2) 4 π 3.79. 1) ( ) 4 ; 2 − − ; 2) 4 1 4 ; 2 1 . 3.80. 1) средний прироста б) 6; в) 4; г) 2; 2) относительный прирост функции а) 7 2 3 ; б) 0,4; в) 21 4 ; г) 0,08; 3) темп прироста а) 70 23 ; б) 0,04; в) 105 2 ; га б) ( ) ( ) 5 2 2 − = ′ x x f x f , ( ) ( ) 3 2 1 1 − = ′ f f , ( ) ( ) 2 2 2 − = ′ f f ; в) ( ) 5 2 2 − = x x f E x , ( ) 3 2 1 − = = x x f E , ( ) 4 2 − = = x x f E ; 2) а) ( ) 3 2 + = ′ x x f , ( ) 5 1 = ′ f , ( ) 9 3 = ′ f ; б) ( ) ( ) 1 3 3 2 2 + + + = ′ x x x x f x f , ( ) ( ) 1 1 1 = ′ f f , ( ) ( ) 19 9 3 3 = ′ f f ; в) ( ) 1 3 3 2 2 2 + + + = x x x x f E x , ( ) 1 1 = = x x f E , ( ) 19 8 1 3 = = x x f E ; 3) а) ( ) ( ) x e x x x f − ⋅ − ⋅ = ′ 4 3 , ( ) e f 3 1 = ′ , ( ) 0 4 = ′ f ; б) ( ) ( ) 1 4 − = ′ x x f x f , ( ) ( ) 3 1 1 = ′ f f , ( ) ( ) 0 4 4 = ′ f f ; в) ( ) x f E x − = 4 , ( ) 3 1 = = x x f E , ( ) 0 4 = = x x f E ; 4) а) ( ) ( ) 2 3 2 − − = ′ x x f , ( ) 8 5 , 3 − = ′ f , ( ) 5 , 0 5 − = ′ f ; б) ( ) ( ) ( )( ) 1 3 2 − − − = ′ x x x f x f , ( ) ( ) 6 , 1 5 , 3 5 , 3 − = ′ f f , ( ) ( ) 25 , 0 5 5 − = ′ f f ; в) ( ) ( )( ) 1 3 2 − − − = x x x f E x , ( ) 6 , 5 5 , 3 − = = x x f E , ( ) 25 , 1 5 − = = x x f E ; 5) а) ( ) 1 1 + = ′ x x f , ( ) 1 0 = ′ f , ( ) e e f 1 1 = − ′ ; 166 б) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ln 1 1 + + + = ′ x x x f x f , ( ) ( ) 1 0 0 = ′ f f , ( ) ( ) e e f e f ⋅ = − − ′ 2 1 1 1 ; в) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ln 1 + + + = x x x f E x , ( ) 0 0 = = x x f E , ( ) e e f E e x x ⋅ − = − = 2 1 1 ; 6) а) ( ) x x f 5 , 0 cos = ′ , 2 2 2 = ′π f , ( ) 0 = ′ π f ; б) ( ) ( ) x ctg x f x f 5 , 0 2 1 = ′ , 2 1 2 2 = ′ π π f f , ( ) ( ) 0 = ′ π π f f ; в) ( ) x ctg x f E x 5 , 0 2 = , ( ) 4 2 π π = = x x f E , ( ) 0 = =π x x f E ; 7) а) ( ) 1 − = ′ x e x f , ( ) 1 1 = ′ f , ( ) 3 4 e f = ′ ; б) ( ) ( ) 3 1 1 + = ′ − − x x e e x f x f , ( ) ( ) 4 1 1 1 = ′ f f , ( ) ( ) 3 4 4 3 3 + = ′ e e f f ; в) ( ) = f E x 3 1 1 + ⋅ − − x x e e x , ( ) 4 1 1 = = x x f E , ( ) = = 4 x x f E 3 4 3 3 + ⋅ e e ; 8) а) ( ) ( ) 2 ln 1 ln x x x f − = ′ , ( ) 0 = ′ e f , ( ) 4 1 2 = ′ e f ; б) ( ) ( ) = ′ x f x f x x x ln 1 ln ⋅ − , ( ) ( ) 0 = ′ e f e f , ( ) ( ) 2 2 2 2 1 e e f e f ⋅ = ′ ; в) ( ) = f E x x x ln 1 ln − , ( ) 0 = = e x x f E , ( ) = = 2 e x x f E 2 1 3.86. ( ) ( ) x x f E x ∀ = 3 , функция увеличится на 3% , 1) % 0301 , 3 = ∆ y , абс. погрешность 0, 0301%; 2) % 0301 , 3 = ∆ y , абс. погрешность 0,301%. 3.88. 1) ( ) ( ) 5 2 2 − = x x x f E x , ( эластична при 5 , 2 > x , неэластична при 5 , 2 < x ; 2) ( ) ( ) 2 ln 3 ⋅ ⋅ = x x f E x , функция эластична при 2 ln 3 1 > x , неэластична при 2 ln 3 1 < x 3.89. 1) ( ) ( ) x x x TP 3 2 ln 5 , 0 + + ⋅ = , ( ) x x MP 3 2 3 5 , 0 + + = ; 2) ( ) 5 4 5 1 3 − − + = x x x TP , ( ) + ⋅ = 4 3 4 1 x x MP 2 ln 5 1 5 − x ; 3) ( ) + − = x x TP 5 2 x arctg 4 , 0 3 + , ( ) 2 2 8 , 0 5 6 5 x x x MP + + = . 3.90. AC=9, MC =7, ср. издержки убывают. 3.91. 1)MC ( ) Q = 3 1 , ( ) ( ) = = 10 5 MC MC ( ) 3 1 20 = MC ; 2) ( ) 1 2 + = Q Q MC , ( ) 3 1 5 = MC , ( ) 11 2 10 = MC , 167 ( ) 21 2 20 = MC ; 3) ( ) 1 2 2 1 2 + + = Q Q Q MC , ( ) 61 1 5 = MC , ( ) 221 1 10 = MC , ( ) 841 1 20 = MC 3.92. 1) а) ( ) ( ) 3 2 2 02 , 0 50 06 , 0 С, ( ) ( ) 3 2 3 2 02 , 0 50 06 , 0 2 50 Q Q Q Q Q Q Q C E Q + − + − = , ( ) ( ) 35 3 10 С, ( ) ( ) 7 6 10 = C E Q , б) увеличится на 7 12 %; 2) а) ( ) ( ) 2 1 , 0 2 30 2 , 0 С, ( ) ( ) = Q C E Q 2 2 1 , 0 2 30 2 , 0 2 Q Q Q Q + + + , ( ) ( ) 15 1 10 С, ( ) ( ) 3 2 10 = C E Q , б) увеличится на 3 4 %. 3.93. AC=MC. 3.94. 1) ( ) 2 , 0 − = D E P ; 2) ( ) 2 ln ⋅ − = P D E P . 3.95. 3 1 5 = P . 3.96. 1) ( ) 23 2 2 − = P P D E p , а) ( ) ( ) ⇒ < = 1 15 спрос неэластичный; б) ( ) ( ) ⇒ > = 1 9 14 7 D E p спрос эластичный 2) ( ) ( ) 1 + − = P P D E p , а) ( ) ( ) ⇒ < = 1 5 4 спрос неэластичный; б) ( ) ( ) ⇒ < = 1 8 7 7 D E p спрос неэластичный. 3.97. k P 2 1 > 3.98. 1) ( ) 8 − = P P S E p , предложение эластично при ( ) +∞ ∈ ; 8 P ; 2) ( ) P P S E p − = 9 , при [ ) 5 , 4 ; 0 ∈ P предложение неэластично; при ( ) 9 ; 5 , 4 ∈ P предложение эластично, при 5 , 4 = P предложение нейтрально. 3.99. 1) a) 3 * = P , б) ( ) ( ) 4 3 3 − = D E p , ( ) ( ) 4 3 3 = S E p , в) увеличится наб, в) увеличится на 3,5%. 3.100. 13 6 3 . 3.101. 17 3 1 . 3.103. P Q 5 1875 − = , спрос эластичен при 250 < < P а) объёмы продаж следует уменьшить, б) объёмы продаж следует увеличить. 168 3.104. , 5625 , 0 16 9 = = MPC ( ) ( ) 6 , 0 16 = C E I . 3.105. = * I 64 деда б) ( ) ( ) β β + = I D E I ; в) ( ) ( ) ( ) ( ) β γ γ β + ⋅ − + ⋅ = I I I D E I ; га, спрос уменьшится приблизительно наб, спрос увеличится приблизительно на 0,1818%; в) ( ) ( ) 0134 , 0 374 5 100 ≈ = D E I , спрос увеличится приблизительно наг, спрос увеличится приблизительно на 2,6%; 2) а ) ( ) 2391 , 0 46 11 10 − ≈ − = D E I , спрос увеличится приблизительно наб, спрос уменьшится приблизительно на 1,5 %; в) ( ) ( ) 5 , 2 10 − = D E I , спрос увеличится приблизительно наг, спрос увеличится приблизительно на 4,5%; |