Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 25 из 29

3.60. 1)
(
)
dx
e
x
x
⋅
⋅
+
1
; 2)
dx
x
4 3
−
;
3)
dx
x
x
1 2
2
−
; 4)
dx
x
x
x
⋅
⋅
−
2
ln
2
; 5)
dx
a
x
x
2 2
+
; 6)
( )
dx
x
x
2 2
1 1
1
−
−
3.61.
1)
xdx
x sin
;
2)
xdx
e
x
2 2
sin
⋅
;
3)
dx
e
e
x
x
4 2
1 2
+
;
4)
xdx
ln
;
5)
dx
x
x
x
x






+
cos
2
sin
2
;
6)
dx
e
x
tgx
x
cos
1
cos
−
⋅
−
;
7)
(
)
dx
x
36 1
2
−
; 8)
xdx
arcsin
. 3.62. 1)
(
)
dx
w
v
u
w
v
u
w
v
u
′
⋅
⋅
+
⋅′
⋅
+
⋅
⋅′
;
2)
dx
v
v
u
v
u
3 2
′
⋅
⋅
−
⋅′
;
3)
(
)
dx
v
u
v
v
u
u
3 2
2
+
′
⋅
+
′
⋅
−
;
4)
dx
u
v
v
u
v
u
2 2
+
′
⋅
−
⋅′
;
5)
(
)
(
)
(
)
(
)
dx
e
w
v
u
w
v
u
w
v
u
+
⋅
′
⋅
+
+
⋅
′
+
′
; 6)
dx
v
u
v
v
u
u
2 2
+
′
⋅
+
′
⋅
. 3.63. 1)
150 1
1
;
2)
40 1
4
+
π
;3)
90 1
π
+
; 4)
160 159 1
; 5)
360 3
2 1
π
⋅
−
; 6) 0,2; 7)
80 1
2
; 8)
540 1
π
−
;
9) 1,15. 3.64. 1) 1,2; 2) 0,97. 3.65. 0,5 км. 3.66. 9,12 м. 3.67. 10,83 3
м
π
3.68.
2см. 3.69. 3 см. 3.70. 1)
2 2
dx
a
⋅
⋅
; 2)
(
)
2 2
2 3
1 3
ln
2 3
ln
2
dx
x
x
−
⋅
−
;
3)
(
)
2 2
sin
dx
c
bx
b
a
⋅
+
⋅
⋅
−
;
4)
(
)
2 3
2 1
1
dx
x
+
;
5)
2 3
3
ln
2
dx
x
x
−
;
6)
(
)
(
)
2 3
2 2
2 3
7 9
3 2
dx
x
x
x
x
+
−
+
−
; 7)
( )
2 3
2 2
1 1
arcsin
dx
x
x
x
x
−
−
+
−
; 8)
(
)
2 3
2 4
dx
x
x
+
−
;
9)
(
)
2 2
1 1
ln
dx
x
x
x
x
⋅
⋅






+
+
3.71.
1)
3 2
1
dx
x
−
;
2)
3 2
sin
4
dx
x
−
;
3)
3 3
1 8
15
dx
x
x
⋅
−
3.72.
1)
( ) ( )
( )
( )
(
)
3 3
3
dx
u
u
f
u
u
u
f
u
u
f
′′′
⋅
′
+
′′
⋅′
⋅
′′
+
′
⋅
′′′
;
2)
( )
3 3
2 3
3 2
dx
u
u
u
u
u
u
u
′′′
⋅
+
′′
⋅′
⋅
−
′
;
3)
( )
(
)
3 3
3
dx
u
u
u
u
e
u
′′′
+
′′
⋅′
+
′
⋅
;
4)
(
)
3 3
2
dx
u
u
u
u
′′′
⋅
+
′′
⋅′
3.73.
1) а)
2 2
2 4
dx
e
y
d
x
⋅
=
; баба б)
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
4 4
4 2
1 3
1 1
4
dt
x
x
x
x
x
x
y
d




′′
⋅
+
′
⋅
−
+
⋅
−
−
=
⋅
. 3.74. 1)
dx
y
x
y
dy
2
+
−
=
,
(
)
(
)
2 3
2 2
2
dx
y
x
y
y
x
y
d
⋅
+
+
=
;
2)
dx
e
dy
y
1 1
−
=
,
( )
2 3
2 1
dx
e
e
y
d
y
y
⋅
−
=
3.75. 1)
3 7
+
−
=
x
y
,
7 1
10 7
1
+
=
x
y
; 2)
5
=
y
,
2
−
=
x
; 3)
1 4
1
+
=
x
y
,
18 4
+
−
=
x
y
; 4)
1
−
=
x
y
,
1
+
−
=
x
y
; 5)
x
y
2
=
,
x
y
2 1
−
=
; 6)
(
)
5 2
1
−
−
=
x
y
,
x
y
2
=
;
7)
3 2
+
=
x
y
,
2 1
2 1
+
−
=
x
y
;
8)
12 11
+
=
x
y
,
13 12
+
−
=
x
y
3.76.
8 4
+
−
=
x
y
,
4 2
−
=
x
y
. 3.77.
3
−
=
b
,
4
=
c
. 3.78. 1)
3 2
arctg
; 2)
4
π
3.79. 1)
(
)
4
;
2
−
−
; 2)






4 1
4
;
2 1
. 3.80. 1) средний прироста б) 6; в) 4; г) 2; 2) относительный прирост функции а)
7 2
3 ; б) 0,4; в)
21 4
; г) 0,08;
3) темп прироста а)
70 23
; б) 0,04; в)
105 2
; га б)
( )
( )
5 2
2
−
=
′
x
x
f
x
f
,
( )
( )
3 2
1 1
−
=
′
f
f
,
( )
( )
2 2
2
−
=
′
f
f
; в)
( )
5 2
2
−
=
x
x
f
E
x
,
( )
3 2
1
−
=
=
x
x
f
E
,
( )
4 2
−
=
=
x
x
f
E
; 2) а)
( )
3 2
+
=
′
x
x
f
,
( )
5 1
=
′
f
,
( )
9 3
=
′
f
; б)
( )
( )
1 3
3 2
2
+
+
+
=
′
x
x
x
x
f
x
f
,
( )
( )
1 1
1
=
′
f
f
,
( )
( )
19 9
3 3
=
′
f
f
; в)
( )
1 3
3 2
2 2
+
+
+
=
x
x
x
x
f
E
x
,
( )
1 1
=
=
x
x
f
E
,
( )
19 8
1 3
=
=
x
x
f
E
;
3) а)
( )
(
)
x
e
x
x
x
f
−
⋅
−
⋅
=
′
4 3
,
( )
e
f
3 1
=
′
,
( )
0 4
=
′
f
; б)
( )
( )
1 4
−
=
′
x
x
f
x
f
,
( )
( )
3 1
1
=
′
f
f
,
( )
( )
0 4
4
=
′
f
f
; в)
( )
x
f
E
x
−
=
4
,
( )
3 1
=
=
x
x
f
E
,
( )
0 4
=
=
x
x
f
E
;
4) а)
( ) ( )
2 3
2
−
−
=
′
x
x
f
,
( )
8 5
,
3
−
=
′
f
,
( )
5
,
0 5
−
=
′
f
; б)
( )
( )
(
)(
)
1 3
2
−
−
−
=
′
x
x
x
f
x
f
,
( )
( )
6
,
1 5
,
3 5
,
3
−
=
′
f
f
,
( )
( )
25
,
0 5
5
−
=
′
f
f
; в)
( )
(
)(
)
1 3
2
−
−
−
=
x
x
x
f
E
x
,
( )
6
,
5 5
,
3
−
=
=
x
x
f
E
,
( )
25
,
1 5
−
=
=
x
x
f
E
; 5) а)
( )
1 1
+
=
′
x
x
f
,
( )
1 0
=
′
f
,
(
)
e
e
f
1 1
=
−
′
;

166 б)
( )
( ) (
) (
)
(
)
1 1
ln
1 1
+
+
+
=
′
x
x
x
f
x
f
,
( )
( )
1 0
0
=
′
f
f
,
(
)
(
)
e
e
f
e
f
⋅
=
−
−
′
2 1
1 1
; в)
( ) ( ) ( )
(
)
1 1
ln
1
+
+
+
=
x
x
x
f
E
x
,
( )
0 0
=
=
x
x
f
E
,
( )
e
e
f
E
e
x
x
⋅
−
=
−
=
2 1
1
;
6) а)
( )
x
x
f
5
,
0
cos
=
′
,
2 2
2
=





′π
f
,
( )
0
=
′ π
f
; б)
( )
( )
x
ctg
x
f
x
f
5
,
0 2
1
=
′
,
2 1
2 2
=











′
π
π
f
f
,
( )
( )
0
=
′
π
π
f
f
; в)
( )
x
ctg
x
f
E
x
5
,
0 2
=
,
( )
4 2
π
π
=
=
x
x
f
E
,
( )
0
=
=π
x
x
f
E
;
7) а)
( )
1
−
=
′
x
e
x
f
,
( )
1 1
=
′
f
,
( )
3 4
e
f
=
′
; б)
( )
( )
3 1
1
+
=
′
−
−
x
x
e
e
x
f
x
f
,
( )
( )
4 1
1 1
=
′
f
f
,
( )
( )
3 4
4 3
3
+
=
′
e
e
f
f
; в)
( )
=
f
E
x
3 1
1
+
⋅
−
−
x
x
e
e
x
,
( )
4 1
1
=
=
x
x
f
E
,
( )
=
=
4
x
x
f
E
3 4
3 3
+
⋅
e
e
;
8) а)
( ) ( )
2
ln
1
ln
x
x
x
f
−
=
′
,
( )
0
=
′
e
f
,
( )
4 1
2
=
′
e
f
; б)
( )
( )
=
′
x
f
x
f
x
x
x
ln
1
ln
⋅
−
,
( )
( )
0
=
′
e
f
e
f
,
( )
( )
2 2
2 2
1
e
e
f
e
f
⋅
=
′
; в)
( )
=
f
E
x
x
x
ln
1
ln
−
,
( )
0
=
=
e
x
x
f
E
,
( )
=
=
2
e
x
x
f
E
2 1
3.86.
( )
(
)
x
x
f
E
x
∀
=
3
, функция увеличится на 3%
, 1)
%
0301
,
3
=
∆
y
, абс. погрешность 0, 0301%; 2)
%
0301
,
3
=
∆
y
, абс. погрешность 0,301%.
3.88.
1)
( )
(
)
5 2
2
−
=
x
x
x
f
E
x
,
( эластична при
5
,
2
>
x
, неэластична при
5
,
2
<
x
; 2)
( )
(
)
2
ln
3
⋅
⋅
=
x
x
f
E
x
, функция эластична при
2
ln
3 1
>
x
, неэластична при
2
ln
3 1
<
x
3.89.
1)
( )
(
)
x
x
x
TP
3 2
ln
5
,
0
+
+
⋅
=
,
( )
x
x
MP
3 2
3 5
,
0
+
+
=
; 2)
( )
5 4
5 1
3
−






−
+
=
x
x
x
TP
,
( )
+
⋅
=
4 3
4 1
x
x
MP
2
ln
5 1
5
−






x
;
3)
( )
+
−
=
x
x
TP
5 2
x
arctg 4
,
0 3
+
,
( )
2 2
8
,
0 5
6 5
x
x
x
MP
+
+
=
. 3.90. AC=9,
MC =7, ср. издержки убывают. 3.91. 1)MC
( )
Q = 3 1 ,
( )
( )
=
=
10 5
MC
MC
( )
3 1
20
=
MC
;
2)
( )
1 2
+
=
Q
Q
MC
,
( )
3 1
5
=
MC
,
( )
11 2
10
=
MC
,

167
( )
21 2
20
=
MC
; 3)
( )
1 2
2 1
2
+
+
=
Q
Q
Q
MC
,
( )
61 1
5
=
MC
,
( )
221 1
10
=
MC
,
( )
841 1
20
=
MC
3.92.
1) а)
( )
( )
3 2
2 02
,
0 50 06
,
0 С,
( )
(
)
3 2
3 2
02
,
0 50 06
,
0 2
50
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
C
E
Q
+
−
+
−
=
,
( )
( )
35 3
10 С,
( )
(
)
7 6
10
=
C
E
Q
, б) увеличится на
7 12
%; 2) а)
( )
( )
2 1
,
0 2
30 2
,
0 С,
( )
(
)
=
Q
C
E
Q
2 2
1
,
0 2
30 2
,
0 2
Q
Q
Q
Q
+
+
+
,
( )
( )
15 1
10 С,
( )
(
)
3 2
10
=
C
E
Q
, б) увеличится на
3 4
%. 3.93. AC=MC. 3.94. 1)
( )
2
,
0
−
=
D
E
P
; 2)
( )
2
ln
⋅
−
=
P
D
E
P
. 3.95.
3 1
5
=
P
. 3.96. 1)
( )
23 2
2
−
=
P
P
D
E
p
, а)
( )
(
)
⇒
<
=
1 15 спрос неэластичный; б)
( )
(
)
⇒
>
=
1 9
14 7
D
E
p
спрос эластичный
2)
( )
(
)
1
+
−
=
P
P
D
E
p
, а)
( )
(
)
⇒
<
=
1 5
4 спрос неэластичный; б)
( )
(
)
⇒
<
=
1 8
7 7
D
E
p
спрос неэластичный. 3.97.
k
P
2 1
>
3.98.
1)
( )
8
−
=
P
P
S
E
p
, предложение эластично при
(
)
+∞
∈
;
8
P
;
2)
( )
P
P
S
E
p
−
=
9
, при
[
)
5
,
4
;
0
∈
P
предложение неэластично; при
(
)
9
;
5
,
4
∈
P
предложение эластично, при
5
,
4
=
P
предложение нейтрально.
3.99. 1) a)
3
*
=
P
, б)
( )
(
)
4 3
3
−
=
D
E
p
,
( )
(
)
4 3
3
=
S
E
p
, в) увеличится наб, в) увеличится на 3,5%. 3.100.
13 6
3
. 3.101.
17 3
1
.
3.103.
P
Q
5 1875
−
=
, спрос эластичен при 250
<
<
P
а) объёмы продаж следует уменьшить, б) объёмы продаж следует увеличить.

168
3.104.
,
5625
,
0 16 9
=
=
MPC
( )
(
)
6
,
0 16
=
C
E
I
. 3.105.
=
*
I
64 деда б)
( ) ( )
β
β
+
=
I
D
E
I
; в)
( )
(
)
(
) (
)
β
γ
γ
β
+
⋅
−
+
⋅
=
I
I
I
D
E
I
; га, спрос уменьшится приблизительно наб, спрос увеличится приблизительно на
0,1818%; в)
( )
(
)
0134
,
0 374 5
100
≈
=
D
E
I
, спрос увеличится приблизительно наг, спрос увеличится приблизительно на
2,6%; 2) а )
(
)
2391
,
0 46 11 10
−
≈
−
=
D
E
I
, спрос увеличится приблизительно наб, спрос уменьшится приблизительно на 1,5 %; в)
( )
(
)
5
,
2 10
−
=
D
E
I
, спрос увеличится приблизительно наг, спрос увеличится приблизительно на 4,5%;