Математика в экономике, сборник задач. И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач

• Название: И. А. Никифорова математика в экономике сборник задач
• Анкор: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Дата: 14.07.2018
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика в экономике, сборник задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #21484
• страница: 24 из 29

3.9.
1)
x
6
cos
6
;
2)
3
sin
2
x
⋅
−
;
3)
2
cos
2 1
2
sin
2
x
x
−
−
;
4)






−
⋅
−
2 3
cos
2 1
3
sin
3
x
x
; 5)





 +
⋅
−
3 2
sin
3 2
2
x
; 6)
(
)
5 3
cos
3 2
+
x
; 7)
2 3
1 3
+
⋅
x
e
;

160 8)
2
ln
2 5
7 5
⋅
⋅
+
x
; 9)
(
)
10
ln
7 5
5
⋅
+
x
; 10)
2 25 4
5
x
⋅
−
; 11)
(
)
6 5
1 35
x
−
⋅
−
;
12)
(
)
9 3
2 30
x
+
⋅
; 13)
3 3
4 2
x
+
; 14)
x
2 1
1
−
−
; 15)
(
) (
)
5 2
1 4
1 4
5 24
+
⋅
+
⋅
−
x
x
;
16)
(
)
5 2
5 2
5
+
⋅
+
⋅
x
x
;
17)
(
)
6 2
1 20
x
x
−
⋅
;
18)
(
)
2 2
5 1
30
x
x
+
⋅
⋅
;
19)
(
)
4 3
2 3
1 2
3
x
x
+
⋅
⋅
; 20)
(
)
3 2
4 3
1 3
4
x
x
+
⋅
⋅
; 21)
1
cos
2
sin
+
⋅
−
x
x
;
22)
(
)
5 4
sin
2 5
cos
2
x
x
x
−
⋅
−
; 23)
x
x
tg
2 5
cos
1 6
⋅
⋅
; 24)
x
2
sin
;
25)
x
x
ln cos
1 2
⋅
;
26)
x
x
⋅
2
cos
;
27)
1 2
2 3
3 2
+
⋅
+
+
⋅
x
x
x
;
28)
tgx
−
;
29)
x
e
x
sin cos
⋅
;
30)
2 1
x
e
arctgx
+
;
31)
x
x
−
⋅
⋅
−
1 2
1
;
32)
(
)
x
x
x
cos sgn cos cos
=
; 33)
x
x
x
2 2
2 2
+
+
; 34)
(
)
2 10 5
+
x
x
;
35)
x
cos ; 36)
x
x
ctg
2
sin
1 2
16 2
⋅
⋅
−
; 37)
3
cos
3
sin
2
x
x
⋅
;
38)
(
)
7 4
cos
1 4
sin
24
x
x
+
⋅
; 39)
(
)
4 3
2
cos
4 2
sin
x
x
⋅
−
; 40)
(
)
5 4
2
sin
5 5
2
cos
2 5
x
x
−
⋅
⋅
−
;
41)
x
x
tg
2
cos
2 1
2
⋅
; 42)
(
)
2 6
sin
6
+
−
x
; 43)
x
x
tg
3
cos
5
ln
5 3
2 3
⋅
⋅
;
44)
x
x
x
sin cos
2
ln
2 1
sin
⋅
⋅
−
; 45)
x
x
e
e
6 3
1 3
−
⋅
; 46)
(
)
2 4
1 2
x
arctg
x
⋅
+
;
47)
(
)
5 4
2 2
2 1
cos ln
1 5
1
x
x
x
tg
x
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
; 48)
(
)
1 5
2 1
5 1
5
cos
5
+
+
+
⋅
⋅
x
x
x
e
e
tge
ctg

161
3.10.
x
x
x
⋅
⋅
−
2 1
.
3.11.






+
⋅
⋅
3 2
3 2
x
x
.
3.12.
(
)
x
x
x
−
⋅
+
−
1 1
.
3.13.
(
)
2 2
2 12 2
2 2
2
+
+
⋅
⋅
⋅
+
−
x
x
x
x
x
. 3.14.
(
)
2
cos
1
sin
2
x
x
+
⋅
. 3.15.
x
cos
−
. 3.16.
x
2
cos
2 6
.
3.17.
x
x
e
e
−
−
⋅
⋅
−
2
sin
2
.
3.18.
x
tg
x
3 2
1
⋅
⋅
.
3.19.
2 3
x
ctg
.
3.20.
x
ln sin
2
⋅
.
3.21.
tgx
x ln sin
⋅
−
.
3.22.
(
)
x
x
x
ln
1 2
2 2
⋅
+
⋅
−
.
3.23.
(
)
2 2
3 1
2
−
⋅
x
x
. 3.24.
x
cos
1
. 3.25.
x
3
cos
2
. 3.26.
1 9
6 4
+
x
x
. 3.27.
1 1
2
+
x
.
3.28.
x
e
2
. 3.29.
(
)
2 2
2 1
4
−
⋅
−
x
x
e
e
. 3.30.
1 2
4
+
x
e
. 3.31.
1 2
4 2
+
⋅
x
x
e
e
. 3.32.
2
arccos
x
.
3.33.
x
x
arcsin
2 1
⋅
⋅
. 3.34.
(
)
2 2
2 2
2
+
+
x
x
. 3.35.
2 9
6
x
+
. 3.36.
arctgx
x
x
⋅
+
1 2
2
.
3.37.
(
)
x
x
x
+
+
⋅
+
+
1 1
2 1
. 3.38.
(
)(
)(
)(
)
4 3
2 1
6
−
−
−
−
−
−
x
x
x
x
. 3.39. 1)
( )
1 0
=
′
f
,
( )
1 1
−
=
′
f
,
( )
19 10
−
=
′
f
; 2)
( )
495 01
,
0
−
=
′
f
; 3)
2 6
=





′π
f
; 4)
( )
8 1
−
=
′
f
,
( )
=
′
2
f
( )
0 3
=
′
f
;
5)
( )
2 1
0
=
′
f
;6)
2 2
3 8
=





′π
f
;
7)
15 4
2 1
−
=





−
′
y
;
8)
( )
0 1
=
−
′
y
,
( )
e
y
⋅
=
′
2 1
,
( )
1 0
−
=
′
−
y
,
( )
1 0
=
′
+
y
. 3.40. 4. 3.41.
2 3
6
−
=





′π
y
,
2 2
4 3
=





′ π
y
,
3 2
−
=






′
−
π
y
,
1 2
=






′
+
π
y
. 3.42.
82
,
83
,
67
,
27
(ед./ч).
3.43.
( )
4
,
0 01
,
0
−
⋅
=
′
x
x
f
,
( )
2
,
0 60
=
′
f
,
( )
4
,
0 80
=
′
f
(л на 100 км)/км/ч).
3.44. 1)
(
)
1
ln
+
⋅
x
x
x
; 2)
(
)(
)
(
)
4 1
3 17 19
+
−
−
x
x
x
; 3)
(
) (
)
ctgx
x
x
x
x
⋅
+
⋅
sin ln sin
;
4)
( )






−
⋅
⋅
x
x
x
x
x
ln ln ln
1 1
ln
2 1
;
5)
(
) (
)
3 2
8 2
2 1
5 3
2
+
⋅
−
⋅
−
+
⋅
−
x
x
x
x
x
;

162 6)
(
) (
)
3 3
sin
1 3
sin
3
sin
1 3
x
x
x
x
ctg
−
⋅
−
; 7)






+
⋅
⋅
x
x
e
x
x
e
x
1
ln
; 8)
(
)
x
x
x
x
ln
1 1
2 1
−
⋅
⋅
;
9)
(
)






⋅
+
−
⋅
ctgx
x
x
x
x
x
arcsin
1
sin ln sin
2
arcsin
; 10)
( )
(
)






+
+
⋅
⋅
⋅
x
x
x
x
x
x
x
x
1 1
ln ln
;
11)
( )






⋅
−
+
⋅
x
x
x
x
x
x
x
x
ln
2
ln
1
ln ln ln ln
;
12)
( )
(
)
+
+
⋅
+
1
ln
2 1
2
x
x
x
( )
+






+
⋅
⋅
⋅
+
x
x
x
x
x
1
ln
2
ln
2 2
( )
(
)
1
ln
2
ln
2
+
⋅
⋅
⋅
x
x
x
x
x
3.45.
1)
(
)
3 5
44
+
−
x
;
2)
x
ln
;
3)
x
2
cos
2
−
;
4)
( )
2 4
4 1
6 2
x
x
+
⋅
−
;
5)
x
x
x
3
sin
3
cos
3 4
⋅
−
⋅
;
6)
(
)
1 2
2 2
2
−
⋅
⋅
−
x
e
x
; 7)
( )
( )
2 2
2 1
1 2
ln
3 2
x
x
−
+
⋅
⋅
−
; 8)
x
x
ln sin
2
⋅
−
. 3.46. 1)
(
)
4 1
1
+
x
;
2)
3 3
ln
2
x
x
−
; 3)
(
)
3 2
3 2
3
+
⋅
+
−
x
x
; 4)
( )
t
e
t
−
⋅
−
3
; 5)
x
x
x
cos sin
3
⋅
−
⋅
−
;
6)
(
)
(
)
3 2
2 4
3 4
4
x
x
+
−
⋅
−
3.47.
1)
2 2
1
x
n
e
⋅
;
2)
( )
(
)
1 1
2
!
2 1
+
+
⋅
−
n
n
n
x
n
;
3)
( )
(
)
( )
n
x
n
x
2
ln
2 1
2
⋅
⋅
−
+
−
;
4)
!
4
n
n
⋅
;
5)
( )
(
)
n
n
x
n
!
1 1
1
−
⋅
−
+
;
6)
(
)(
)
x
n
n
n
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
2 3
5 1
2 1
2
;
7)






⋅
+
⋅
⋅
−
−
n
x
n
2 2
cos
2 3
1
π
;
8)
( ) (
)
(
)
1 с. 3.48. 1) –1; 2) 6; 3)
( )
0 0
=
y
,
( )
3 0
=
′
y
,
( )
12 0
=
′′
y
3.50.
1)





′
⋅
−
=
′
2 3
1 2
x
f
x
y
,











′′
⋅
+





′
⋅
⋅
=
′′
2 2
2 4
1 2
1 3
2
x
f
x
x
f
x
y
; 2)
( )
( )
x
f
x
f
y
′
=
′
,
( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2
x
f
x
f
x
f
x
f
y
′
−
⋅
′′
=
′′
. 3.51. 1)
−
′
=
′
u
u
y
v
v
′
,
( )
−
′
−
⋅′
′
=
′′
2 2
u
u
u
u
y
( )
2 2
v
v
v
v
′
−
⋅′
′
;
2)
2 2
v
u
v
v
u
u
y
+
′
⋅
+
′
⋅
=
′
,
(
)
(
)
+
+
′
⋅
−
′
⋅
=
′′
3 2
2 2
v
u
v
u
u
v
y
2 2
v
u
v
v
u
u
+
′′
⋅
+
′′
⋅
3.52.
1)
(
)
−
−
−
x
x
x
cos
209 2
(
)
x
x
sin
1 2
15
+
⋅
;
2)
(
)
x
e
x
x
⋅
+
+
360 39 2
;

163 3)
(
)
x
e
x
x
−
⋅
−
cos sin
4
; 4)
9 2
ln
!
8
x
⋅
. 3.53. 1)
y
x
xy
x
y
2 2
3 2
2
+
+
−
=
′
; 2)
x
y
e
x
y
y
+
=
′
;
3)
1 5
2 4
+
=
′
y
x
y
; 4)
(
)
(
)
y
x
y
x
x
y
y
2 2
2 2
2 2
−
−
=
′
; 5)
x
xy
y
xy
y
+
+
−
=
′
2 2
; 6)
y
x
y
x
y
−
+
=
′
;
7)
3
x
y
y
−
=
′
;
8)
(
)
(
)
x
y
x
y
y
x
y
1 2
1 2
2 2
2 2
−
+
−
=
′
;
9)
( )
( )
xy
x
xy
y
y
sin sin
1
⋅
⋅
+
−
=
′
;
10)
(
)
(
)
y
x
y
x
y
+
+
+
−
=
′
sin
1
sin
;
11)
( )
1 0
−
−
=
′
e
y
;
12)
( )
2 0
=
′
y
3.54. 1)
(
)
5 2
1 2
y
y
y
+
⋅
−
=
′′
; 2)
(
) (
)
( )
3 2
2 1
1 1
y
x
y
y
x
e
e
e
e
e
y
+
+
−
+
=
′′
; 3)
( )
100 0
=
′′
y
;
4)
( )
256 111 1
=
′′
y
3.55.
1)





+
−
=
′
+
+
=
,
1 1
,
1 3
2 2
3
t
t
y
t
t
x
(
)
+∞
∞
−
∈
,
t
;
2)
(
)




−
=
′
−
=
,
cos
1
sin
,
sin
2
t
t
y
t
t
x
Z
k
k
t
∈
≠
,
2
π
;
3)






−
−
=
′
+
=
,
2 1
2
,
1 3
3 4
3
t
t
t
y
t
t
x
1
−
≠
t
,
3 2
1
≠
t
;
4)



=
′
=
,
2
,
ln
2
t
ctg
y
ctgt
x






∈
2
,
0
π
t
3.56.
1)
( )





+
−
=
′′
+
=
,
1 2
1
,
2 4
2
t
y
t
t
x
(
)
+∞
−
∈
,
1
t
;
2)




⋅
=
′′
=
,
cos
2
sin
2 1
,
cos
2 3
3
t
t
y
t
x






∈
2
,
0
π
t
;
3)
(
)




−
=
′′
+
=
−
,
2
,
1 6
18 6
t
t
t
e
e
y
e
x
(
)
+∞
∞
−
∈
,
t
;
4)
(
)





−
⋅
=
′′
⋅
=
,
sin cos
2
,
cos
3
t
t
e
y
t
e
x
t
t











−
∈
4
\
2
,
2
π
π
π
t
3.58.
1) а)
2 1
−
=
∆
y
,
1
−
=
dy
,
2 1
=
∆
a
,
1
=
δ
; б)
11 1
−
=
∆
y
,
1
,
0
−
=
dy
,
110 1
=
∆
a
,
1
,
0
=
δ
; в)
101 1
−
=
∆
y
,
01
,
0
−
=
dy
,
10100 1
=
∆
a
,
01
,
0
=
δ
;
2) а)
19
=
∆
y
,
12
=
dy
,
7
=
∆
a
,
368
,
0 19 7
≈
=
δ
; б)
261
,
1
=
∆
y
,
2
,
1
=
dy
,
061
,
0
=
∆
a
,
05
,
0 1261 61
≈
=
δ
; в)
120601
,
0
=
∆
y
,
12
,
0
=
dy
,
4 10 01
,
6
−
⋅
=
∆
a
,
005
,
0
≈
δ
. 3.59. Дифференциал
( )
=
=
0
t
df
ds
( )
t
t
f
∆
⋅
′
0
равен пути, который был бы пройден материальной точкой за время
t
∆
при

164 равномерном движении на отрезке времени
[
]
t
t
t
∆
+
0 0
,
со скоростью
( )
=
t
v
( )
0
t
f
′
; 2) дифференциал
( )
=
=
0
t
df
dQ
( )
t
t
f
∆
⋅
′
0
равен объёму продукции, который рабочий произвёл бы за промежуток времени от момента
0
t до
t
t
∆
+
0
, если бы работал с постоянной производительностью труда
( )
=
t
u
( )
0
t
f
′
,
[
]
t
t
t
t
∆
+
∈
0 0
,
.