Скворцов Ю. В. Анализ. Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012
 Скачать 6.86 Mb.
|
|
Рисунок 14.7 – Приложенная нагрузка и силы реакций 20. Выйти из программы : File>Quit. 15-1 15 СОЗДАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ УЗЛАМИ 15.1 Явное задание уравнений связей Так называемые уравнения многоточечных связей MPC (Multi-Point Constraint) используются в различных МКЭ-пакетах для моделирования не- которых конструктивных особенностей, которые плохо поддаются идеализа- ции обычными конечными элементами. Например, таких как жесткие соеди- нения, шарниры разного вида, поверхности скольжения и т.п. Уравнения связей определяют поведение одних узловых степеней сво- боды (называемых зависимыми) в виде линейных функций поведения других узловых степеней свободы (называемых независимыми). В программе MSC.Patran явная (explicit) форма записи уравнения связи, поддерживаемая большинством решателей (в том числе и MSC.Nasran), имеет следующий вид: 0 1 1 2 2 0 n n u c u c u c u c = + + + + … , где 0 u – зависимая степень свободы; i u – независимые степени свободы; i c – коэффициенты уравнения (постоянные). Величина, стоящая в левой части этого уравнения, называется зависи- мым (dependent) членом, а слагаемые, входящие в правую часть, называются независимыми (independent) членами, причем 0 c – это особый независимый член, называемый постоянным членом. Рассмотрим пример явного задания уравнения MPC: UX(Node 4) = 0.5*UX(Node 5) – 0.5*UY(Node 10) + 1.0, которое определяет, что перемещение x u узла 4 равно половине перемеще- ния x u узла 5 минус половина перемещения y u узла 10 плюс 1,0. Таким обра- зом, в данном примере один зависимый член, два независимых члена и один постоянный член. Следует отметить, что зависимые степени свободы с помощью уравне- ний связей исключаются из числа искомых перемещений. В решателе MSC.Nastran они помещаются в так называемый m-набор. Далее в качестве примера рассмотрим брусок (рисунок 15.1), закреп- ленный по нижнему основанию, а по верхнему – сдавливаемый горизонталь- но расположенным жестким штампом (трением пренебрегаем). При этом пе- 15-2 ремещения узлов 1, 2, 3 и 4 вдоль оси Y должны быть одинаковыми. Уравне- ния связей в данном случае имеют вид UY(1) = UY(2); UY(2) = UY(3); UY(3) = UY(4). Рисунок 15.1 – Брусок, сдавливаемый жестким штампом Суммарную нагрузку P здесь можно приложить в одном узле (напри- мер, в узле 1), поскольку она соответствующим образом перераспределится на остальные узлы за счет наложенных связей. В заключение заметим, что зависимая степень свободы, назначенная одним уравнением связи, не может выбираться в качестве зависимой другим уравнением. Кроме того, на зависимые степени свободы нельзя накладывать граничные условия. 15.2 Жесткие элементы Следует отметить, что во многих случаях достаточно сложно с помо- щью явных уравнений создать нужные связи между узлами. Поэтому боль- шинство решателей поддерживают специальные типы уравнений связей MPC, называемые неявными (implicit). К таковым в первую очередь можно отнести жесткие (rigid) элементы, в которых, например, независимый узел жестко связывается с одним или несколькими зависимыми узлами. При их применении пользователю необходимо задать только номера соответствую- щих узлов. Таким образом, жесткий элемент математически эквивалентен одному или нескольким явным уравнениям связей, каждое из которых опре- деляет лишь одну зависимую степень свободы. В программе MSC.Patran различие между использованием жестких элементов и явных уравнений связей заключается в том, что последние 1 2 3 4 5 9 13 14 15 16 10 11 12 6 7 8 X Y P 15-3 включаются в совокупность граничных условий текущего случая нагруже- ния, т.е. в другом случае нагружения их не будет, а жесткие элементы оста- нутся, поскольку они интерпретируются как обычные конечные элементы. Отметим, что жесткие элементы используются для двух целей: • для моделирования абсолютно жестких связей между двумя или не- сколькими узлами; • для создания связей в виде линейных комбинаций степеней свободы различных узлов (в этом случае их называют обычно не жесткими, а интер- полирующими элементами). Жесткие связи могут применяться, например, для задания недеформи- руемых участков границ, для передачи нагрузки на отдельные части конст- рукции, для сопряжения элементов разных типов и т.д. В решателе MSC.Nastran к жестким элементам относятся RROD, RBAR, RTRPLT, RBE1 и RBE2, а элементы RBE3 и RSPLINE являются ин- терполирующими. Все эти элементы объединяются под общим названием R-type элементы. 15.2.1 Элемент RROD RROD – стержень с шарнирами на концах, который является абсолют- но жестким в осевом направлении. В программе MSC.Nastran данный элемент определяется следующими параметрами: EID – номер элемента; GA, GB – номера принадлежащих ему узлов; CMA, CMB – номер одной поступательной степени свободы в глобаль- ной системе координат, выбираемой пользователем в качестве зависимой ли- бо в узле GA, либо GB (целое число 1, 2 или 3, задаваемое лишь для одного параметра). Отметим, что степень свободы, указываемая в качестве зависимой, должна иметь ненулевую составляющую на ось стержня. Это подразумевает, в частности, что данный элемент должен иметь конечную (ненулевую) дли- ну, т.е. узлы GA и GB не могут быть совпадающими. Как известно, уравнение связи генерируется для каждой зависимой степени свободы. Элемент RROD определяет одну зависимую степень сво- боды, поэтому он эквивалентен лишь одному уравнению связи (m = 1). 15-4 15.2.2 Элемент RBAR RBAR – жесткий брус с шестью степенями свободы на каждом конце (1 ≤ m ≤ 6). Данный элемент связывает от одной до шести зависимых степеней сво- боды всегда с шестью независимыми степенями свободы. Эти шесть незави- симых степеней свободы должны представлять все возможные перемещения элемента как жесткого целого. Параметры: EID – номер элемента; GA, GB – номера принадлежащих ему узлов; CNA, CNB – номера независимых для элемента степеней свободы в глобальной системе координат в узлах GA и GB соответственно (комбинация из целых чисел от 1 до 6 без пробелов либо 0, либо пустое поле); CMA, CMB – номера зависимых степеней свободы в глобальной сис- теме координат в узлах GA и GB соответственно (см. предыдущий параметр). Отметим, что общее число компонент в CNA и CNB должно быть рав- но шести, например, CNA = 1236, CNB = 34. Для номеров степеней свободы здесь используются следующие обозначения: 1, 2, 3 – поступательные пере- мещения UX, UY, UZ; 4, 5, 6 – углы поворота RX, RY, RZ. Если оба парамет- ра CMA и CMB равны нулю или не заданы, то все степени свободы, не ука- занные в CNA и CNB, будут определены как зависимые. Как отмечалось ранее, шесть независимых степеней свободы данного элемента должны допускать представление любого из его возможных пере- мещений как жесткого целого. Проверить это можно следующим образом. Если закрепить все независимые степени свободы элемента RBAR, то долж- на быть обеспечена его неподвижность. В качестве примера на рисунке 15.2 представлено несколько конфигу- раций элемента RBAR. В конфигурациях (а) и (в), если закрепить все шесть независимых степеней свободы, то элемент не сможет перемещаться как же- сткое целое в каком-либо направлении. Однако в конфигурации (б) при фик- сации всех независимых степеней свободы элемент может еще поворачи- ваться вокруг оси Y . Таким образом, конфигурация (б) не проходит тест же- сткого тела и не работает как элемент RBAR. В большинстве случае при использовании элемента RBAR все шесть независимых степеней свободы выбираются только в одном узле, называе- 15-5 мом независимым. При этом в качестве зависимых определяются все шесть или менее степеней свободы другого узла, который называется уже зависи- мым. Рисунок__15.2_–_Различные_конфигурации_элемента_RBAR'>Рисунок 15.2 – Различные конфигурации элемента RBAR Следует отметить, что элемент RBAR связывается жестко в зависимом узле с другими элементами только по зависимым степеням свободы, а ос- тальные освобождаются от связи и остаются независимыми для модели. Та- кой подход позволяет моделировать, например, различные шарнирные со- единения. На рисунке 15.3 представлен пример создания шарнирного соединения двух балочных элементов CBAR1 и CBAR2. Узлы 2 и 3 здесь являются сов- падающими. Они показаны раздельно лишь для удобства изображения. Рисунок 15.3 – Моделирование шарнирного соединения балочных элементов Данный способ моделирования шарнирного соединения состоит в ис- пользовании совпадающих узлов в центре вращения и определении между ними жесткого элемента RBAR. При этом RBAR будет иметь нулевую длину, CBAR1 Свободный поворот вокруг глобальной оси Z X Y Z CBAR2 1 2,3 4 Цилиндрический шарнир CBAR1 CBAR2 RBAR 1 2 3 4 Независимые 1-6 Зависимые 1-5 a) GA CNA = 123456 - приемлемо X x Z GB Y б) GA CNA = 12346 - неприемлемо GB в) GA - приемлемо GB CNB = 2 CNB = 0 CNA = 12346 CNB = 3 15-6 что допускается для него. Здесь необходимо в качестве независимых для же- сткого элемента выбрать все шесть степеней свободы одного из его узлов и в качестве зависимых задать не все, а лишь определенное количество степеней свободы другого узла, оставляя независимыми для модели перемещения, представляющие шарнир. Так, в нашем примере компонента 6 узла 3 остав- ляется независимой, что позволяет элементу CBAR2 свободно поворачивать- ся вокруг оси Z относительно элемента CBAR1. Следует отметить, что если вы используете совпадающие узлы для идеализации каких-либо конструктивных особенностей, то при выполнении «сшивки» модели их необходимо исключить из данной операции. Конечно, для моделирования шарнирного соединения балочных эле- ментов проще воспользоваться заданием флагов шарниров (pin-флагов), од- нако элемент RBAR незаменим при моделировании шарнирного соединения, например, двух пластин. 15.2.3 Элемент RTRPLT RTRPLT – жесткая треугольная пластина с шестью степенями свободы в каждой вершине (1 ≤ m ≤ 12). Параметры: EID – номер элемента; GA, GB, GC – номера принадлежащих ему узлов; CNA, CNB, CNC – номера независимых для элемента степеней свобо- ды в глобальной системе координат в узлах GA, GB и GC соответственно; CMA, CMB, CMC – номера зависимых степеней свободы в глобальной системе координат в узлах GA, GB и GC соответственно. Отметим, что общее число компонент в CNA, CNB и CNC должно быть равно шести, например, CNA = 1236, CNB = 3, CNC = 3. При этом они долж- ны совместно допускать представление любого из перемещений элемента как жесткого целого. Если все параметры CMA, CMB и CMC равны нулю или не заданы, то все степени свободы, не указанные в CNA, CNB и CNC, будут оп- ределены как зависимые. 15.2.4 Элемент RBE1 RBE1 (Rigid Body Element, type 1) – жесткое тело, прикрепленное к произвольному числу узлов. Зависимые и независимые степени свободы здесь могут выбираться произвольно (m ≥ 1). 15-7 Параметры: EID – номер элемента; GN i – номера узлов, в которых для элемента назначаются независимые степени свободы (максимум шесть узлов); CN i – номера независимых для элемента степеней свободы в глобаль- ной системе координат в узлах GN i ; “UM” – текстовое поле, указывающее начало задания зависимых сте- пеней свободы; GM i – номера узлов, в которых назначаются зависимые степени свобо- ды; CM i – номера зависимых степеней свободы в глобальной системе коор- динат в узлах GM i Общее число компонент в CN i здесь также должно быть равно шести, и они должны допускать все возможные перемещения как жесткого целого. Степень свободы не может быть одновременно независимой и зависимой для одного и того же элемента. Однако в одном и том же узле могут одновремен- но находиться как независимые, так и зависимые компоненты. 15.2.5 Элемент RBE2 RBE2 (Rigid Body Element, type 2) – жесткое тело, прикрепленное к произвольному числу узлов. В качестве независимых для элемента здесь вы- бираются все шесть степеней свободы одного из узлов, а зависимые степени свободы других узлов должны быть одинаковыми, т.е. иметь одни и те же номера, выбираемые пользователем (m ≥ 1). Параметры: EID – номер элемента; GN – номер узла, все шесть степеней свободы которого выбираются в качестве независимых для элемента; CM – номера зависимых степеней свободы в глобальной системе коор- динат в узлах GM i ; GM i – номера узлов, в которых назначаются зависимые степени свобо- ды. Отметим, что элемент RBE2 является очень удобным инструментом для жесткого соединения одинаковых компонент движения нескольких уз- лов. Конечно, вместо данного элемента можно воспользоваться более уни- 15-8 версальным элементом RBE1 или взять несколько элементов RBAR. Однако они менее удобны в работе. Элемент RBE2 может использоваться для моделирования различных жестких включений, для передачи нагрузки на отдельные части конструкции и т.д. 15.2.6 Элемент RBE3 RBE3 (Rigid Body Element, type 3) – интерполирующий элемент, опре- деляющий перемещение базового узла путем весового осреднения переме- щений системы других узлов (1 ≤ m ≤ 6). Данный элемент полезен, например, для перераспределения приложен- ных нагрузок и масс в модели. Здесь силы и моменты, действующие в базо- вом узле, распределяются к системе независимых степеней свободы с учетом геометрии элемента RBE3 и заданных пользователем весовых коэффициен- тов. Параметры: EID – номер элемента; REFGRID – номер базового узла; REFC – номера степеней свободы базового узла, по которым должны передаваться нагрузки; WT i – весовой коэффициент для степеней свободы в узлах осреднения G i,j , связываемых с базовым; C i – номера степеней свободы с весовым коэффициентом WT i в узлах осреднения G i,j ; G i,j – номера узлов, чьи компоненты перемещения C i входят в осред- няющие уравнения связей с весовым коэффициентом WT i ; “UM” – текстовое поле, указывающее начало задания зависимых сте- пеней свободы (по умолчанию в качестве зависимых выбираются все степени свободы, указанные для параметра REFC); GM i – номера узлов, в которых назначаются зависимые степени свобо- ды; CM i – номера зависимых степеней свободы в глобальной системе коор- динат в узлах GM i Следует отметить, что по умолчанию весовые коэффициенты прини- маются равными единице. При этом каждый из узлов осреднения входит на «равных правах» в уравнения связей. 15-9 Параметры C i используются для задания степеней свободы узлов ос- реднения, через которые выражаются степени свободы базового узла. Дан- ных компонент, во-первых, должно быть достаточно для фиксации создавае- мого элемента как жесткого целого (хотя сам он не является абсолютно же- стким, а просто перераспределяет нагрузки между базовым узлом и узлами осреднения). Во-вторых, при задании указанных степеней свободы должны учитываться требуемые свойства передачи нагрузки. Для большинства задач рекомендуется использовать для параметра C i только поступательные пере- мещения UX, UY, UZ (т.е. C i = 123). Исключением здесь является лишь слу- чай, когда все узлы осреднения лежат на одной прямой. Как правило, для поля “UM” следует использовать значение по умол- чанию кроме случаев, когда пользователь по какой-либо причине желает ис- ключить некоторые или все компоненты, заданные параметром REFC, из m- набора (т.е. из числа зависимых степеней свободы). Отметим, что силы и моменты, приложенные в базовом узле, распреде- ляются на узлы осреднения по правилу группового болтового соединения. Пусть в базовом узле действуют сила A F и момент A M (рисунок 15.4). Пере- несем их в центр тяжести узлов осреднения, положение которого определя- ется с учетом весовых коэффициентов. Рисунок__15.4_–_Перенос_нагрузки_в_центр_тяжести_узлов_осреднения'>Рисунок 15.4 – Перенос нагрузки в центр тяжести узлов осреднения Сила A F распределяется на узлы осреднения пропорционально их ве- совым коэффициентам (рисунок 15.5,а): A i i k k F F ω ω = ∑ , где i F – сила в i -ом узле осреднения; i ω – весовой коэффициент для степеней свободы i -го узла. A F A M A F A A M M e F = + × e Центр тяжести узлов осреднения Базовый узел 15-10 Момент M распределяется в виде сил, которые пропорциональны их расстояниям от центра тяжести, умноженным на их весовые коэффициенты (рисунок 15.5,б): i i i k k k M r F r ω ω × = ∑ , причем i r – радиус-вектор, соединяющий центр тяжести узлов осреднения и i -ый узел. Рисунок 15.5 – Распределение нагрузки на узлы осреднения Таким образом, полная сила, действующая в каждом узле осреднения, будет равна сумме двух сил. Способность элемента RBE3 распределять нагрузку делает его идеаль- ным инструментом для передачи сил от грубой модели к более детальной. |