Скворцов Ю. В. Анализ. Интерактивное мультимедийное пособие в системе дистанционного обучения Moodle самара 2012
 Скачать 6.86 Mb.
|
|
Рисунок 23.5 – Зависимости прогибов от времени Следует отметить , что в рассматриваемом случае после удара пластина начинает совершать свободные затухающие колебания , так как было зада - но демпфирование При этом колебания происходят в основном по перво - му тону ( т е с частотой 6,37 Гц ), поскольку они менее всего подвержены демпфированию Для того чтобы увидеть колебания , соответствующие второму тону и т д ., необходимо отключить демпфирование Отметим , что для удаления окна с графиком следует установить сочетание Delete/Plots и в списке «Existing Plot Types» выбрать GRA_default_Graph, Apply. 12. Включить анимацию переходного динамического процесса Здесь полезно предварительно убрать с экрана изображение геометриче - ских объектов Нажимаем кнопку Iso 3 View панели инструментов для задания подходя - щего вида Устанавливаем сочетание Create/Deformation. В разделе «Select Result Cases» выбираем сразу все случаи результатов , соответствующие различным моментам времени 23-9 В списке «Select Deformation Result» выбираем Displacement, Translational ( поступательные перемещения ). Включаем опцию «Animate». Нажимаем кнопку - пиктограмму для задания атрибутов изображения Снимаем флаг «Show Undeformed» ( показать недеформированное состоя - ние ). В разделе «Deformed» для опции «Render Style» ( стиль отображения де - формированного состояния ) выбираем значение Shaded ( с закрашенными гранями и тенями ). Далее нажимаем последнюю кнопку с кинолентой В поле «Number of Frames» ( число кадров ) вводим значение 30 для полу - чения более плавной анимации И наконец , нажимаем кнопку Apply. Некоторое время займет формирование видео файла , после чего в графи - ческом окне будет представлена анимация переходного динамического процесса Кроме того , появится дополнительная панель «Animation Con- trol». Скорость анимации здесь регулируется бегунком «Animation Speed». В случае необходимости изменения опций здесь следует временно пре - рвать процесс анимации , установив флаг «Pause Animation». Для полного завершения процесса анимации необходимо нажать одну из кнопок раздела «Stop Animation and ...». 13. Выйти из программы : File>Quit. 24-1 24 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 24.1 Особенности учета нелинейных эффектов в МКЭ - расчетах Линейность поведения конструкции опирается на следующие допущения: • перемещения малы по сравнению с размерами тела; • материал является линейно-упругим; • природа граничных условий сохраняется неизменной во время при- ложения нагрузки. Тот факт, что перемещения малы, учитывается при вычислении матри- цы жесткости конструкции [ ] K и вектора нагрузки [ ] P , поскольку интегри- рование выполняется по исходному (недеформированному) объему конечных элементов, а матрица [ ] β , связывающая деформации с узловыми перемеще - ниями , считается не зависящей от перемещений Допущение о линейно - упругом материале позволяет использовать постоянную матрицу [ ] κ , связы - вающую напряжения с деформациями И наконец , допущение о том , что природа граничных условий сохраняется неизменной , отражается при ис - пользовании постоянных граничных связей При этих допущениях в случае статического анализа конечно - элементные уравнения равновесия имеют вид [ ][ ] [ ] K v P = (24.1) Здесь узловые перемещения [ ] v являются линейной функцией прило - женного вектора нагрузки [ ] P Таким образом , если вместо нагрузки [ ] P приложить [ ] P α ( где α – некоторая постоянная ), то перемещения будут рав - ны [ ] v α Это не выполняется в нелинейном анализе Если перемещения тела являются большими ( например , для пластин и оболочек прогиб больше четверти толщины ), то необходимо учитывать из - менение конфигурации тела , т е так называемую геометрическую нелиней- ность Для тонкостенных конструкций обычно возникает ситуация , когда перемещения и углы поворота большие , а деформации можно считать малы - ми ( по сравнению с единицей ). Случай больших деформаций ( более 4%) тре - бует использования специальной формулировки И наконец , особо следует выделить случай очень больших ( конечных ) деформаций , превышающих 24-2 30%. Корректно решать такие задачи можно только с использованием совре - менных пакетов , предназначенных для анализа высоконелинейных процес - сов Если связь между напряжениями и деформациями нелинейная ( напри - мер , как при пластическом течении ), то следует учитывать физическую нели- нейность Если в процессе нагружения граничные условия изменяются ( напри - мер , при определенном уровне нагрузки накладываются дополнительные ог - раничения на некоторые перемещения ), то поведение будет линейным только до изменения граничных условий Такая ситуация возникает при решении контактных задач Основной целью нелинейного анализа является нахождение положения равновесия тела , соответствующего приложенным нагрузкам Принимая , что внешние силы являются функцией времени , условия равновесия системы ко - нечных элементов , соответствующей телу , могут быть выражены как [ ] [ ] 0 t t P F − = , (24.2) где [ ] t P – вектор внешне приложенных узловых сил в конфигурации в мо- мент времени t ; [ ] t F – вектор узловых сил, соответствующих напряжениям в элементах в той же конфигурации. Данное уравнение должно удовлетворяться в любой момент всей исто- рии приложения нагрузки, т.е. переменная времени t должна браться от 0 до максимального значения, которое нас интересует. В статическом анализе без временных эффектов t является лишь удобной переменной для обозначения различных уровней приложения нагрузки и соответственно различных кон- фигураций. Данную переменную в этом случае можно назвать параметром нагрузки. Во многих задачах требуется найти только напряжения или перемеще- ния, достигнутые при определенном уровне нагрузки. В некоторых случаях (для консервативных систем) равновесные конфигурации, соответствующие заданной нагрузке, могут вычисляться сразу без решения для других равно- весных конфигураций. Однако, когда анализ включает зависящие от уровня нагрузки нелинейные геометрические или физические условия или завися- щие от времени явления (т.е. неконсервативное поведение), уравнение (24.2) необходимо решать для полного временного диапазона. Для этого использу- ется пошаговый метод последовательных нагружений. 24-3 В пошаговой схеме предполагается, что решения для временных шагов от 0 до t включительно получены, а требуется найти решение для момента времени t t + ∆ , где t ∆ – некоторое малое приращение времени. Согласно (24.2) в момент времени t t + ∆ имеем [ ] [ ] 0 t t t t P F +∆ +∆ − = (24.3) Так как решение в момент времени t известно, можно записать [ ] [ ] [ ] t t t F F F +∆ = + ∆ , (24.4) где [ ] F ∆ – приращение узловых сил, соответствующее приращению напря- жений за период времени от t до t t + ∆ . Этот вектор может аппроксимиро- ваться с помощью так называемой матрицы тангенциальной жесткости [ ] t K , которая соответствует геометрическим и физическим условиям в момент времени t : [ ] [ ][ ] t F K v ∆ = ∆ , (24.5) где [ ] v ∆ – вектор приращения узловых перемещений. Подставляя (24.5) и (24.4) в (24.3), получим [ ][ ] [ ] [ ] t t t t K v P F +∆ ∆ = − (24.6) Решая эту систему уравнений, можно определить [ ] v ∆ , а затем найти приближение для перемещений в момент времени t t + ∆ : [ ] [ ] [ ] t t t v v v +∆ = + ∆ (24.7) Однако из-за допущения (24.5) такое решение может приводить к су- щественным ошибкам и в зависимости от размера шага по времени (или на- грузке) может быть неустойчивым. Поэтому на практике, как правило, требу- ется итерационное уточнение решения на каждом шаге. Широко используемой итерационной процедурой здесь является метод Ньютона-Рафсона, предназначенный для решения систем нелинейных урав- нений. При этом уравнения (24.6) и (24.7) примут вид ( 1) ( ) ( 1) [ ] [ ] [ ] [ ] t t i i t t t t i K v P F +∆ − +∆ +∆ − ∆ = − ; (24.8) ( ) ( 1) ( ) [ ] [ ] [ ] t t i t t i i v v v +∆ +∆ − = + ∆ , (24.9) с начальными условиями (0) (0) (0) [ ] [ ]; [ ] [ ]; [ ] [ ] t t t t t t t t t K K v v F F +∆ +∆ +∆ = = = . (24.10) 24-4 Здесь 1, 2, i = … – номер итерации. Следует отметить, что каждая итерация полного метода Ньютона- Рафсона требует пересчета (т.е. обновления) матрицы тангенциальной жест- кости, который является весьма трудоемкой операцией. Поэтому на практике часто используется упрощенный (модифицированный) метод Ньютона- Рафсона. Эффективность данной схемы в МКЭ-расчетах заключается в том, что в пределах шага по времени матрица тангенциальной жесткости не меня- ется. В этом случае уравнение (24.8) преобразуется к следующему виду: ( ) ( 1) [ ][ ] [ ] [ ] t i t t t t i K v P F +∆ +∆ − ∆ = − (24.11) Правая часть уравнений (24.8) и (24.11), которая определяет «невязку» сил, обращается в нуль, если конфигурация тела соответствует его равновес- ному состоянию. В противном случае по величине «невязки» находится при- ращение перемещений на очередной итерации, а также корректируется кон- фигурация тела. На практике итерационный процесс выполняется до тех пор, пока приращение перемещений не будет находиться внутри определенной меры сходимости. На рисунках 24.1 и 24.2 представлена графическая иллюстрация полно- го и модифицированного методов Ньютона-Рафсона при использовании их в пошаговой процедуре последовательных нагружений. В этом случае прира- щение нагрузки, как правило, берется постоянным. Видно, что модифицированный метод требует для сходимости значи- тельно большего числа итераций, нежели полный, однако время выполнения одной итерации здесь существенно меньше. Следует отметить, что нелинейные соотношения могут быть записаны в лагранжевом или эйлеровом представлении. В лагранжевой (материальной) формулировке внимание фокусируется на движении фиксированных частиц, а в эйлеровой (пространственной) – наблюдается протекание во времени процесса в данном месте. Для твердых тел материальное описание обычно является более естественным и эффективным подходом, чем пространствен- ное, которое применяется, как правило, в решении задач механики жидкости и газа. Основная трудность нелинейного анализа заключается в том, что пара- метры состояния среды определяются в деформированной конфигурации в момент времени t t + ∆ , которая сама обычно является неизвестной, тогда как, например, начальная конфигурация входит в состав исходных данных. По- 24-5 этому вводятся вспомогательные величины, определенные относительно из- вестной отсчетной конфигурации. Так, для характеристики напряженного со- стояния здесь может использоваться второй тензор напряжений Пиолы- Кирхгофа, а для характеристики деформированного состояния – тензор де- формации Коши-Грина. Они являются объективными характеристиками, по- скольку их значения не зависят от движения тела как жесткого целого. Рисунок 24.1 – Полный метод Ньютона-Рафсона Рисунок 24.2 – Модифицированный метод Ньютона-Рафсона P t t P +∆ t P t t P −∆ P ∆ P ∆ t t v −∆ t v t t v +∆ v P t t P +∆ t P t t P −∆ P ∆ P ∆ t t v −∆ t v t t v +∆ v t K Кривая равновесных состояний P – параметр нагрузки; P const ∆ = – приращение нагрузки; v – характерное (например, максимальное) перемещение 24-6 В принципе в качестве отсчетной конфигурации может использоваться любая из уже определенных конфигураций. Однако на практике выбор лежит преимущественно между двумя формулировками, которые называются об- щей (total) и модифицированной (updated) формулировками Лагранжа. В первой схеме решения все статические и кинематические переменные отно- сятся к начальной конфигурации, а во второй – к конфигурации в момент времени t . Если начальная конфигурация не имеет преимуществ по сравне- нию с остальными, то эффективнее использовать модифицированную фор- мулировку, поскольку в этом случае выражения получаются проще. Так, матрица тангенциальной жесткости здесь записывается в виде суммы двух матриц: 0 [ ] [ ] [ ] t t t K K K σ = + , (24.12) где 0 [ ] t K – инкрементальная матрица жесткости; [ ] t K σ – матрица началь- ных напряжений (или геометрическая матрица жесткости). При использова- нии же общей формулировки Лагранжа появляется еще одна квадратная мат- рица – матрица начальных (или больших) перемещений. 24.2 Задача начальной устойчивости ( линеаризованный подход ) Как известно, форма статического равновесия может быть устойчивой (после отклонения система возвращается в исходное состояние), неустойчи- вой (после отклонения система не возвращается в исходное состояние, а бу- дет уходить от этого состояния) и нейтральной, или безразличной (после от- клонения система не возвращается в исходное состояние, но и не удаляется от него). Очевидно, что при малых внешних нагрузках соотношение между внешними силами и перемещениями мало отличается от линейного и состоя- ние равновесия будет устойчивым. При увеличении внешних нагрузок (осо- бенно это относится к тонкостенным конструкциям) состояния устойчивого равновесия может смениться на состояние неустойчивого равновесия. На- грузка, при которой начальная форма перестает быть устойчивой, называется критической, а соответствующее состояние – критическим. Отметим, что на основе линейной теории можно установить лишь ус- тойчивое состояние равновесия, но невозможно определить критические на- грузки. Поэтому здесь нужны нелинейные соотношения. 24-7 Выпишем уравнения равновесия системы, идеализированной по МКЭ, в приращениях (формулы (24.6) и (24.12)): [ ][ ] [ ] [ ] t t t t K v P F +∆ ∆ = − , (24.13) где 0 [ ] [ ] [ ] t t t K K K σ = + Можно показать, что критерием устойчивости здесь является положи- тельная определенность матрицы тангенциальной жесткости [ ] t K Задача начальной устойчивости решается с помощью статического кри- терия устойчивости Эйлера и путем линеаризации исходных нелинейных со- отношений. Согласно этому критерию критическим называется наименьшее значение нагрузки, при котором кроме начального положения равновесия система может иметь, по крайней мере, еще одно близкое к начальному по- ложение равновесия. Таким образом, задача заключается в отыскании со- стояния нейтрального равновесия. Уравнение нейтрального равновесия следует непосредственно из ра- венства (24.13), если его правую часть приравнять нулю: [ ][ ] 0 t K v ∆ = (24.14) Эта однородная система уравнений имеет ненулевое решение лишь в том случае, когда определитель ее матрицы коэффициентов равен нулю. Та- ким образом, в состоянии нейтрального равновесия ( ) det [ ] 0 t K = , т е матри - ца тангенциальной жесткости является сингулярной ( вырожденной ). Для линеаризации задачи предположим , что в исходном ( докритиче - ском ) состоянии перемещения малы , и , следовательно , можно не учитывать изменение конфигурации тела Таким образом , решение можно найти за один шаг Здесь необходимо отметить , что матрица начальных напряжений [ ] K σ не содержит перемещения в явном виде и пропорциональна напряжениям На первом шаге напряжения определяются из линейного решения и , в свою оче - редь , пропорциональны внешней нагрузке Если нагрузку увеличить в λ раз , то можно найти , что существует состояние нейтрального равновесия , т е та - кое , при котором ( ) 0 [ ] [ ] [ ] 0 K K v σ λ + ∆ ≡ , (24.15) где 0 [ ] K – обычная матрица жесткости конструкции 24-8 Таким образом , приходим к обобщенной проблеме собственных значе - ний Решая приведенную выше задачу , можно найти наименьшее собствен - ное значение 1 λ , которое и определяет критическую нагрузку При этом со - ответствующий собственный вектор ( с точностью до произвольного множи - теля ) будет характеризовать форму потери устойчивости Следует отметить , что в МКЭ - пакетах метод начальной устойчивости реализуется с помощью режима Buckling. При этом определение критической нагрузки здесь осуществляется в два этапа по следующей схеме Сначала по заданной внешней нагрузке [ ] P ( обычно единичной ) с использованием ли - нейного статического анализа вычисляются напряжения , по которым строит - ся матрица начальных напряжений [ ] K σ Затем решается проблема собствен - ных значений для определения наименьшего собственного значения 1 λ , ко - торое показывает во сколько раз критическая нагрузка больше заданной , т е кр 1 [ ] [ ] P P λ = В заключение отметим , что описанный выше подход часто использует - ся там , где он не применим Задача начальной устойчивости дает физически правильное решение только в тех случаях , когда возможна бифуркация ( раз - ветвление ) форм равновесия и малы докритические перемещения Это может быть только в очень ограниченном числе представляющих практический ин - терес случаев ( например , идеально прямой стержень под действием сжи - мающей силы ; пластина при сжатии силами , лежащими в ее срединной плос - кости ; замкнутая сфера , нагруженная равномерно распределенным внешним давлением , и т д .). На рисунке 24.3 представлена классическая задача Эйлера – устойчивость консольного стержня при сжатии мертвой ( т е не меняющей своего направления ) силой Здесь докритические перемещения равны нулю и на кривой равновесных состояний имеется точка бифуркации В практических приложениях задачи устойчивости ( особенно для обо - лочечных конструкций , потеря устойчивости которых часто сопровождается скачкообразным увеличением прогибов ) следует решать с учетом геометри - ческой , а иногда и физической нелинейностей , т е пошаговым методом по - следовательных нагружений В этом случае критическая нагрузка находится по расходимости итераций или по смене знака определителя матрицы тан - генциальной жесткости |